Том 27, № 3 (2021)
Статьи
Корректность основной смешанной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе
Аннотация
Известно, что колебания упругих мембран в пространстве моделируются уравнениями в частных производных. Если прогиб мембраны считать функцией u(x; t); x = (x1; :::; xm);m > 2; то по принципу Гамильтона приходим к многомерному волновому уравнению.
Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем многомерное уравнение Лапласа.
Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе.
Основная смешанная задача в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений в пространстве обобщенных функций хорошо исследована. В работах автора доказана корректность этой задачи для многомерных гиперболических и эллиптических уравнений, а также получены явные виды классических решений.
Насколько известно, эти вопросы для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений не изучены.
Смешанная задача с граничными условиями для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе является некорректной.
В данной статье доказана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения основной смешанной задачи с граничными и начальными данными для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе.
7-13
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДОМИНИРУЮЩЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Аннотация
В статье рассмотрена задача Гурса для уравнения с доминирующей смешанной производной четвертого порядка и доказана ее однозначная разрешимость. Рассматриваемое уравнение можно интерпретировать как обобщенное уравнение Буссинеска — Лява, которое возникает при описании продольных волн в стержне с учетом поперечных деформаций. Для обоснования разрешимости предложен метод, который основан на возможности сведения поставленной задачи к двум задачам Гурса
для уравнений второго порядка. Одна из задач является классической задачей Гурса для простейшего гиперболического уравнения, другое же уравнение оказывается нагруженным, и исследование задачи
Гурса для него представляет собой основной результат работы.
14-21
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЗАДАЧ О БЕГУЩИХ ВОЛНАХ
Аннотация
В работе рассматривается задача о бегущих волнах для сингулярно возмущенных систем
полулинейных параболических уравнений. Предлагается эффективный метод редукции сингулярно возмущенных систем, которые возникают при решении задач о нахождении бегущих волн. Полученные математические результаты используются для исследования бегущих волн как для абстрактных уравнений с частными производными, так и в конкретной модели, возникающей в задачах физики, химии и биологии.
22-30
ЗАДАЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ. ЧАСТЬ 7. ДИАГНОСТИРОВАНИЕ В СИСТЕМАХ ПРЯМОГО И НЕПРЯМОГО УПРАВЛЕНИЯ
Аннотация
Данная статья является седьмой работой цикла по дифференциальной и топологической диагностике.
В ней рассмотрена диагностика неисправностей в системе непрямого управления объектом, движение
которого описывается нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями третьего порядка
(задача Б.В. Булгакова). В использованном алгоритме диагностирования выбрана сфера контроля, когда каждой неисправной системе ставится в соответствие некоторая постоянная величина, и с ней по определенным правилам осуществляется сравнение чисел, полученных в процессе интегрирования уравнений и характеризующих функциональное состояние системы. Рассматривается также диагностика неисправностей в одной системе прямого управления движением летательного аппарата, которое может быть описано нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка. При этом строится и используется определенный алгоритм диагностирования в соответствии с разработанной ранее методикой.
31-45
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЙ ПОДПРОГРАММЫ UMAT ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТИНУАЛЬНОЙ МЕХАНИКИ (ОБЗОР)
Аннотация
В настоящей статье представлен обзор применения подпрограммы UMAT многофункционального программного комплекса SIMULIA Abaqus в механике деформируемого твердого тела и смежных с ней областях. Данная подпрограмма служит для описания новых пользовательских материалов, отсутствующих в классе стандартных материалов пакета SIMULIA Abaqus. Приведены примеры задач и определяющих уравнений материалов, которые моделируются с помощью процедур UMAT/VUMAT. Представлены разнообразные типы материалов, успешно описанных посредством пользовательских процедур UMAT и VUMAT. Даны общее описание и опыт применения подпрограммы UMAT. Приведены результаты конечно-элементного моделирования деформирования пластины, ослабленной центральным круговым отверстием, при всестороннем равномерном и одноосном растяжении при установившейся ползучести в среде с поврежденностью, эволюционирующей по степенному закону, в связанной постановке задачи (ползучесть – поврежденность). Найдены распределения напряжений, деформаций и поля поврежденности у кончика дефекта в условиях ползучести и приведен анализ влияния процесса накопления повреждений на поля напряжений у вершины трещины в условиях
установившейся ползучести. Продемонстрированы распределения напряжений и деформаций ползучести
с учетом накопления поврежденности с течением времени.
46-73
О ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Аннотация
Основная цель данной статьи—исследование потенциальности дискретной системы, полученной из
системы вида C(t, u)u_ (t) + E(t, u) = 0 с непрерывным временем. Введено определение потенциальности
соответствующей дискретной системы. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности
относительно заданной билинейной формы. Изложен алгоритм построения соответствующего функционала—аналога действия по Гамильтону. Дан иллюстрирующий пример.
74-82
ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИСТЕМ ЭНЗИМНОЙ КИНЕТИКИ С БЫСТРЫМИ И МЕДЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ В ЗАДАЧЕ СУИЦИДНОГО СУБСТРАТА
Аннотация
В данной статье рассматривается пример кооперативного явления, субстрат в котором известен как субстрат «смертника», или суицидный субстрат, потому что он связывается с активным ферментом как субстрат, но фермент превращает его в ингибитор, который необратимо инактивирует фермент. Таким образом, фермент «совершает самоубийство». Цель работы состоит в применении метода интегральных многообразий к редукции системы кинетики суицидного субстрата. В данной статье приводятся результаты применения методов декомпозиции и интегральных многообразий к системам кинетики суицидного субстрата и сравнения решений исходной и конечной систем. Сравнения решений для четырех уравнений приводятся графически, графики созданы посредством программы Microsoft Excel.
83-88