CHARACTERISTIC PROBLEM FOR A FOURTH-ORDER EQUATION WITH A DOMINANT DERIVATIVE

Full Text

• 1. Предварительные сведения

     В статье рассматривается характеристическая задача для уравнения четвертого порядка с домини- рующей смешанной производной

     uxxyy (x, y) + (A(x, y)ux(x, y))x + (B(x, y)uy (x, y))y + C(x, y)u(x, y) = f (x, y),

     которое можно рассматривать как частный случай уравнения Л. Бианки [1], но мы ограничимся ин- терпретацией его как обобщения уравнения Буссинеска — Лява [2]

     utt(x, t) − uxx(x, t) − uxxtt(x, t) = f (x, t),

     которое встречается при изучении продольных колебаний стержня с учетом эффектов поперечной инер- ции. В литературе уравнение Буссинеска — Лява часто встречается под названием псевдогиперболиче- ского уравнения, а также уравнения Соболевского типа. Краевые, начальные, а также нелокальные задачи для этого уравнения активно изучаются, имеется много публикаций, содержащих интересные результаты о разрешимости краевых, нелокальных и обратных задач для уравнения Буссинеска — Ля- ва и его обобщений. Отметим лишь некоторые из них [3–10] и обратим внимание на списки литературы в них.

     Обратив внимание на то, что уравнение Буссинеска — Лява можно интерпретировать и как урав- нение с доминирующей смешанной производной, естественно рассмотреть для него задачи с условиями на характеристиках. Такие задачи для уравнений с доминирующей производной порядка выше второго изучены в работах [11–16]. В большинстве этих работ доказательства разрешимости базируются на по- строении функции Римана. Мы предлагаем другой метод, который основан на сведении поставленной характеристической задачи для уравнения четвертого порядка к двум задачам Гурса для уравнений второго порядка. Одна из них оказывается классической задачей для простейшего гиперболического уравнения, тогда как вторая — задачей Гурса для нагруженного гиперболического уравнения. Хорошо известна статья А.М. Нахушева, посвященная исследованию задачи Гурса для нагруженного уравне- ния [17], однако отличия в постановке нашей задачи от рассмотренной в упомянутой статье не позволяют сделать прямую ссылку на нее. Учитывая также нежелание строить функцию Римана, мы предлага- ем другой способ доказательства разрешимости задачи. Отметим, что характеристические задачи для нагруженного уравнения тесно связаны с нелокальными аналогами задачи Гурса [18; 19].

      

  2. Постановка задачи

     Рассмотрим в области Ω = (0, a) × (0, b) уравнение

     uxxyy (x, y) + (A(x, y)ux(x, y))x + (B(x, y)uy (x, y))y + C(x, y)u(x, y) = F (x, y) (2.1) и поставим следующую задачу: найти в области Ω решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям

     u(x, 0) = φ(x), uy (x, 0) = ψ(x), (2.2)

     u(0, y) = µ(y), ux(0, y) = ν(y). (2.3) Под решением задачи будем понимать функцию u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω¯ ) и имеющую непрерывную в Ω сме- шанную производную uxxyy. В следующем разделе мы докажем, что при выполнении ряда условий на входные данные существует единственное решение поставленной задачи.

      

  3. Разрешимость задачи

   

  Теорема. Если

   

  и выполняются условия согласования

  A, B ∈ C1(Ω¯ ), C, F ∈ C(Ω¯ )

  φ, ψ ∈ C1[o, a], µ, ν ∈ C1[0, b],

  φ(0) = µ(0), ψ(0) = ν(0), φ′(0) = ν(0), µ′(0) = ψ(0),

  то существует единственное решение задачи (2.1) − (2.3).

  Доказательство теоремы опирается на следующее утверждение.

  Лемма 1. Задача (2.1) − (2.3) эквивалентна системе двух задач, которые будем называть G1 и G2,

  для уравнений второго порядка.

  Гилев А.В., Кечина О.М., Пулькина Л.С. Характеристическая задача для уравнения четвертого порядка...

  16 Gilev A.V., Kechina O.M., Pulkina L.S. Characteristic problem for a fourth-order equation with a dominant derivative

   

  Задача G1. Найти в Ω решение уравнения

  vxy = F (x, t), (3.1)

  удовлетворяющее условиям

   

  где

   

  v(x, 0) = p(x), v(0, y) = h(y), (3.2)

  ∫ x ∫ y

  p(x) = ψ′(x) +

  B(ξ, 0)ψ(ξ)dξ, h(y) = ν′(y) +

  0

  A(0, η)ν(η)dη. (3.3)

  0

  Задача G2. Найти в Ω решение уравнения

  ∫ y

  uxy +

   

  Auxdη +

  ∫ x

  Buydξ +

  ∫ y ∫ x

   

  Cudξdη = v(x, y), (3.4)

  0 0 0 0

  удовлетворяющее условиям

  u(x, 0) = φ(x), u(0, y) = µ(y). (3.5)

  Доказательство леммы 1. Пусть u(x, y) — решение задачи (2.1) − (2.3). Равенство (2.1) можно записать в виде

  

  ∂2 (

  ∫ y

  uxy +

  Auxdη +

  ∫ x

  Buydξ +

  ∫ y ∫ x

  Cudξdη)

  = F (x, y). (3.6)

   

  Введем функцию

  ∂x∂y

  0 0

  ∫ y ∫ x

  0 0

  ∫ y ∫ x

  v(x, y) = uxy +

  Auxdη +

  0

  Buydξ +

  0 0

  Cudξdη. (3.7)

  0

  Тогда из (3.6) vxy = F (x, y). Из (3.7) и условий uy (x, 0) = ψ(x), ux(0, y) = ν(y), которые выполняются в силу нашего предположения, легко получаем условия (3.2). Рассматривая (3.7) как уравнение второго порядка относительно u(x, y) с правой частью v(x, y), легко убеждаемся в том, что решение уравнения (3.4), которое совпадает с (3.7), удовлетворяет условиям (3.5), т. е. является решением задачи G2.

  Пусть теперь u(x, y), v(x, y) являются решениями задач G2 и G1 соответственно. Тогда u(x, t) — решение (2.1). Покажем, что выполняются и условия (2.2)−(2.3). Очевидно, что u(x, 0) = φ(x), u(0, y) =

  = µ(y), так как u(x, t) —решение задачи G2. Положим в (3.7) x = 0. Учитывая введенные обозначения,

  получим

   

  Из (2.3) следует

  ∫ y

  v(0, y) = h(y) = uxy (0, y) +

  0

  ∫ y

  A(0, η)ux(0, η)dη.

   

  ∫ y

  uxy (0, y) +

  A(0, η)ux(0, η)dη = ν′(y) +

  0

  A(0, η)ν(η)dη.

  0

  Это равенство проинтегрируем по y и после несложных преобразований получим

  ux(0, y) − ux(0, 0) +

  Так как ux(0, 0) = ν(0), то

  ∫ y

  (y − η)A(0, η)ux(0, η)dη = ν(y) − ν(0) +

  0

  ∫ y

  (y − η)A(0, η)ν(η)dη.

  0

   

  ux(0, y) +

  ∫ y

  (y − η)A(0, η)ux(0, η)dη = ν(y) +

  0

  ∫ y

  (y − η)A(0, η)ν(η)dη.

  0

  Последнее равенство можно рассматривать как интегральное уравнение Вольтерра с ограниченным яд- ром, которое, как известно, имеет единственное решение. Но как нетрудно видеть, ux(0, y) = ν(y) удовле- творяет этому уравнению. Стало быть, это и есть единственное решение интегрального уравнения, а это означает, что выполняется второе из условий (2.3). Выполнение второго из условий (2.2) доказывается совершенно аналогично.

  Лемма доказана.

  Теперь можно приступить к доказательству теоремы. В силу леммы 1 для обоснования разрешимости задачи (2.1) − (2.3) достаточно доказать разрешимость задач G1 и G2.

  Разрешимость G1. Обоснование разрешимости задачи G1 не вызывает затруднений, так как это классическая задача Гурса для простейшего гиперболического уравнения, поэтому сразу выпишем ее единственное решение

  v(x, y) = p(x) + h(y) − h(0) +

  ∫ y ∫ x

  F (ξ, η)dξdη.

  0

  В терминах задачи (2.1) − (2.3) формула принимает вид

  ∫ y

  v(x, y) = ψ′(x) + ν′(y) − ν′(0) +

  0

  0

   

  A(0, η)ν(η)dη+

  Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 14–21

  Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 14–21 17

   

  ∫ x

  + B(ξ, 0)ψ(ξ)dξ +

  ∫ y ∫ x

   

  F (ξ, η)dξdη. (3.8)

  0 0 0

  Разрешимость G2. Уравнение (3.4) нагруженное, и мы не можем сделать прямую ссылку, напри- мер [20], на результат о разрешимости задачи Гурса для него. Не можем также использовать резуль- таты статьи [17], так как в этой статье рассматривается нагруженное уравнение другой структуры. Не воспользуемся мы и методом, изложенным в ней. Нам удалось реализовать идею доказательства разрешимости классической задачи Гурса [20] для случая нагруженного уравнения, получив нужные оценки.

  Пусть u(x, y) — решение задачи G2. Введем новые функции, положив в равенстве (3.4) ux = V, uy =

  = W. Тогда Vy = uxy, Wx = uxy , следовательно, справедливы равенства

  ∫ y

  Vy (x, y) = v(x, y) −

  AV dη −

  ∫ x

  BWdξ −

  ∫ y ∫ x

   

  Cudξdη,

  0 0 0 0

  ∫ y

  Wx(x, y) = v(x, y) −

  AV dη −

  ∫ x

  BWdξ −

  ∫ y ∫ x

   

  Cudξdη,

  0 0 0 0

  uy (x, y) = W (x, y).

  Интегрируя каждое из этих равенств по соответствующей переменной и учитывая, что из (3.5) следует

  W (0, y) = µ′(y), V (x, 0) = φ′(x), получим

  V (x, t) = φ′(x) + ∫ y [v − ∫ η AV dη′ − ∫ x BWdξ − ∫ η ∫ x Cudξdη′]dη,

  0 0 0 0 0

  0

   

  W (x, y) = µ′(y) + ∫ x[v − ∫ η AV dη′

• ∫ x BWdξ − ∫ η ∫ x Cudξdη′]dξ,

  (3.9)

  0

   

  u(x, y) = φ(x) + ∫ y W

  0 0 0 0

  dη.

  Таким образом, если u(x, y) — решение задачи G2, то тройка функций u, V, W — решение системы (3.9).

  Пусть теперь известно, что u, V, W — решение системы (3.9). Из последнего равенства (3.9), учитывая условия согласования, получаем

  ∫ y

  u(x, 0) = φ(x), u(0, y) = φ(0) +

  0

  ∫ y

  W (0, η)dη = φ(0) +

  0

   

  µ′(η)dη = µ(y),

  и условия (3.5) выполнены. Дифференцируя последнее равенство (3.9) по y, получим uy = W (x, y),

  а дифференцируя теперь по x, приходим к равенству

  ∫ y

  uxy = Wx = v −

  AV dη −

  ∫ x

  Buydξ −

  ∫ y ∫ x

   

  Cudξdη.

  0 0 0 0

  Дифференцируем последнее равенство (3.9) по x, а затем, учитывая результат дифференцирования вто- рого из равенств (3.9) по x и первого по y, получим

  ∫ y

  ux = φ′(x) +

  0

  ∫ y

  Wx(x, η)dη = φ′(x) +

  0

  Vηdη = φ′(x) + V (x, y) − V (x, 0).

  Так как V (x, 0) = φ′(x), что видно из первого равенства (3.9), то ux = V. Но тогда

  ∫ y

  uxy = v(x, y) −

  AV dη −

  ∫ x

  Buydξ −

  ∫ y ∫ x

   

  Cudξdη,

  0 0 0 0

  а это означает, что u(x, y) удовлетворяет и уравнению (3.4), следовательно, является решением зада- чи G2.

  Результаты проведенных рассуждений сформулируем в виде леммы.

  Лемма 2. Если выполнены условия теоремы, то задача G2 эквивалентна системе интегральных уравнений (3.9).

  Таким образом, для доказательства разрешимости задачи G2 достаточно убедиться в существовании единственного решения системы (3.9), к чему мы и переходим.

  Считая V0 = φ′(x), W0 = µ′(y) u0 = φ(x), будем искать приближенное решение системы (3.9) в виде

  n 0

   

  V (x, t) = φ′(x) + ∫ y [v − ∫ η

  x

   

  AVn−1dη′ − ∫

  η

   

  BWn−1dξ − ∫

  x

   

  ∫ Cun−1dξdη′]dη,

  x 0 η 0 x

  0 η 0 x

  0

   

  −

   

  Wn(x, y) = µ′(y) + ∫

  0

   

  [v − ∫

  0

   

  AVn−1dη′ ∫

  0

   

  BWn−1dξ − ∫0 ∫

  Cun−1dξdη′]dξ,

  (3.10)

  0

   

  n

   

  u (x, y) = φ(x) + ∫ y W

  n−1

  dη.

  Условия теоремы гарантируют существование числа L > 0 такого, что

  ∫ y

  |v| +

  |A||φ′|dη +

  ∫ x

  |B||µ′|dξ +

  ∫ y ∫ x

  |C||u|dξdη L.

  0 0 0 0

  Гилев А.В., Кечина О.М., Пулькина Л.С. Характеристическая задача для уравнения четвертого порядка...

  18 Gilev A.V., Kechina O.M., Pulkina L.S. Characteristic problem for a fourth-order equation with a dominant derivative

   

  Тогда |V1 − V0| bL, |W1 − W0| aL, |u1 − u0| bL. Обозначим q = max{a, b}. Пусть |A| + |B| + q|C| K,

  где K > 0, и такое число найдется в силу условий теоремы. Покажем, что справедливы оценки

  n−1 (x+y)n−1

  

  |Vn − Vn−1| LK

  |Wn − Wn−1| LK

  (n−1)! ,

  ,

   

  n−1 (x+y)n−1

  

  (n−1)!

   

  (3.11)

  |un − un−1| LK

  .

   

  n−1 (x+y)n−1

  

  (n−1)!

  Очевидно, оценки верны для n = 1. Непосредственными вычислениями нетрудно убедиться, что оценки верны и для n + 1. Полученные оценки гарантируют абсолютную и равномерную сходимость рядов

  ∞ ∞ ∞

  u0 + ∑(un − un−1), V0 + ∑(Vn − Vn−1), W0 + ∑(Wn − Wn−1), (3.12)

  n=1

  n=1

  n=1

  так они мажорируются равномерно и абсолютно сходящимся к функции L + LeK(x+y) рядом

  ∞ n−1

  L + L ∑ Kn−1 (x + y) .

  (n − 1)!

  n=1

  Следовательно, последовательности un, Vn, Wn, являясь последовательностями частичных сумм рядов (3.12), равномерно стремятся к пределам u, V, W. Переходя к пределу в (3.10), убеждаемся в том, что (u, V, W ) — решение системы (3.9), причем единственное, что следует из оценок (3.11), а это и озна-

  чает, что u(x, t) — решение задачи G2, что гарантирует лемма 2. Теперь благодаря лемме 1 можем утверждать, что u(x, t) является решением поставленной задачи (2.1) − (2.3).

About the authors

A. V. Gilev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: toshqaaa@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-6747-5826

postgraduate student of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

O. M. Kechina

Samara State University of Social Sciences and Education

Email: omka-83@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5560-8521

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of the Department of Physics, Mathematics and Teaching Methods

Russian Federation

L. S. Pulkina

Samara National Research University

Email: louise@samdiff.ru
ORCID iD: 0000-0001-7947-6121

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

References

Supplementary files