DECOMPOSITION OF ENZYME KINETICS SYSTEM WITH FAST AND SLOW VARIABLES IN SUICIDE SUBSTRATE PROBLEM

Full Text

Введение

Среди главных инструментов прикладного анализа особая роль отводится методам возмущений, идея которых заключается в выделении основной и детализирующей структур сложной системы. При этом детализирующая структура рассматривается как возмущение основной. Анализ основной структуры сво- дится к рассмотрению существенно более простых моделей и часто сопровождается понижением раз- мерности модели. Поведение исходной модели изучается путём композиции результатов раздельного ис- следования основной структуры и детализирующих факторов [1–10]. В моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы. Имеется значительное число публикаций по теории и приложени- ям как методов упрощения моделей макроскопической кинетики [11–13], так и моделирования крити-

Сметанников М.А. Декомпозиция систем энзимной кинетики с быстрыми и медленными переменными ...

84 Smetannikov M.A. Decomposition of enzyme kinetics system with fast and slow variables in suicide substrate problem

ческих явлений [14–16]. При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа и довольно распространенным мнением, что эти задачи не имеют ничего общего как по своей постановке, так и по методам решения. Понижение размерности моделей является основным приемом исследования сложных систем любой природы, а критические яв- ления исключительно важны и сами по себе, и как инструмент познания сложных процессов. Авторы книг [1] и [3], основываясь на геометрической теории сингулярных возмущений, предложили подход, позволяющий с единых позиций этой теории рассматривать и методы редукции кинетических систем, и методы математического моделирования критических явлений в таких системах. В энзимной кинети- ке важность субстратов смертников во многом определяется их возможностью нацелить специфичный фермент на инактивацию. Они особенно полезны при введении лекарственных средств, из соображения о том, что они не вредны в их общей форме и только обозначенный фермент может превратить их в их ингибирующую форму. В качестве примеров их важности субстраты смертников были исследованы для применения при лечении депрессии, эпилепсии и некоторых опухолей.

1. Постановка задачи

   Ферментная система [2] включает в себя переменные S, P, E, X и Y , обозначающие субстрат, про- дукт, ингибитор и промежуточные продукты фермента и субстрата, после обезразмеривания системы сменяющиеся на s, ei, ξ, ζ.

   Исходная система, рассматриваемая в данной статье, имеет вид:

    

   ds(t) dt

   = −s((ϵp + 1) − ϵpξ − (ϵp + 1)ζ −

   (ϵp + 1)(η − ϕζ) ) +

   ψ

   ρ

   ξ, (1.1)

   1 + ρ

   dη(t)

   

   =

   dt

   pϕ

    

   

   (1 + ϵp)(1 + ρ)

   ξ, (1.2)

   dξ(t)

   ϵ

   dt

   = s((ϵp + 1) − ϵpξ − (ϵp + 1)ζ −

   (ϵp + 1)(η − ϕζ)

   ψ

   ) − ξ, (1.3)

    

   с учётом замен:

    

   И с начальными условиями:

   dζ(t)

   

   ϵ

   dt

   ϵp

   

   =

   (1 + ϵp)(1 + ρ)

    

   σ = ϵp,

   η = ϕζ + ψei.

   ξ − ψζ (1.4)

    

   s(0) = 1, ξ(0) = 0, ζ(0) = 0, ei(0) = 0.

    

2. Исходная и конечная системы с числовыми коэффициентами

   

   

   

   При значениях коэффициентов ρ = 1 ,σ = 1 ,ψ = 3 ,p = 1 исходная система (1.1)–(1.4) выглядит

   следующим образом:

    

   ds(t)

   3 16

   4

    

   (ϵ + 1)(η − 0, 125ζ)

   dt = −s((ϵ + 1) − ϵξ − (ϵ + 1)ζ −

   0, 75

   ) + 0, 25ξ,

   dη(t)

   

   =

   dt

   0, 09375

   

   ξ,

   (1 + ϵ)

   dξ(t)

   ϵ

   dt

   = s((ϵ + 1) − ϵξ − (ϵ + 1)ζ −

   (ϵ + 1)(η − 0, 125ζ) 0, 75

   ) − ξ,

   dζ(t)

   

   ϵ =

   dt

   0, 75ϵ

    

   

   (1 + ϵ)

   ξ − ψζ.

   Вид системы после применения метода интегральных многообразий:

   3 5 13

   1 2 7 2

   21 2

   w˙ 1 = w1w2 − 4 w1 + ϵ( 6 w1w2 − 16 w1 + 3 w1w2 − 8 w1 w2 + 32 w1 ),

   1 3

   1 2 3

   9

   17 2

   17 2

   w˙ 2 = − 8 w1w2 + 32 w1 + ϵ( 8 w1w2 − 16 w1w2 + 128 w1 + 192 w1 w2 − 256 w1 ),

   ϵz˙ = B(w + ϵH(t, w, z, ϵ), t, ϵ)z.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 83–88

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 83–88 85

    

3. Численное сравнение решений

На рис. 3.1–3.4 приведено численное сравнение решений исходной и конечной систем переменных при значении малого параметра ϵ = 0.1.

Рис. 3.1. Сравнение решений для первого уравнения задачи до и после построения интегрального многообразия при ϵ = 0, 1

Fig. 3.1. Difference between results of the first equation before using and after two methods ϵ = 0, 1

Рис. 3.2. Сравнение решений для второго уравнения задачи до и после построения интегрального многообразия при ϵ = 0, 1

Fig. 3.2. Difference between results of the second equation before and after using two methods ϵ = 0, 1

Рис. 3.3. Сравнение решений для третьего уравнения задачи до и после построения интегрального многообразия при ϵ = 0, 1

Fig. 3.3. Difference between results of the third equation before and after using two methods ϵ = 0, 1

Сметанников М.А. Декомпозиция систем энзимной кинетики с быстрыми и медленными переменными ...

86 Smetannikov M.A. Decomposition of enzyme kinetics system with fast and slow variables in suicide substrate problem

Рис. 3.4. Сравнение решений для четвертого уравнения задачи до и после построения интегрального многообразия при ϵ = 0, 1

Fig. 3.4. Difference between results of the fourth equation before and after using two methods ϵ = 0, 1

Заключение

В данной статье рассмотрены математические модели задачи динамики суицидного субстрата. К представленной в безразмерной форме математической модели применяется метод интегральных многообразий, существенно упрощающий сложность вычислительных операций. Сравнение численных решений исходной задачи и задачи пониженной размерности при значении малого параметра ϵ = 0, 1 приводится графически.

About the authors

M. A. Smetannikov

Author for correspondence.
Email: ssmetannikoff@gmail.com

postgraduate student of the Department of Differential Equations and Control Theory

References

Supplementary files