DECOMPOSITION OF ENZYME KINETICS SYSTEM WITH FAST AND SLOW VARIABLES IN SUICIDE SUBSTRATE PROBLEM


Cite item

Abstract

In this paper an example of cooperative phenomenon, in which the substrate is known as suicide substrate, because it binds to the active enzyme as a substrate, inactivates because enzyme turns it into an inhibitor and provides an irreversible reaction is considered. In this case the substrate “commits suicide”. The aim of the work is to apply the method of integral manifolds to the reduction of the system of kinetics of suicide substrate. Work describes in detail the rationale for the decomposition algorithm of the enzyme kinetics problem for dynamical systems with fast and slow variables and the construction of integral manifolds for such systems, this article presents the results of applying the above methods to systems of the suicide substrate kinetics and compares solutions for four equations graphically. Comparisons of solutions for four equations are given graphically, the graphs are created using Microsoft Excel.

Full Text

Введение

Среди главных инструментов прикладного анализа особая роль отводится методам возмущений, идея которых заключается в выделении основной и детализирующей структур сложной системы. При этом детализирующая структура рассматривается как возмущение основной. Анализ основной структуры сво- дится к рассмотрению существенно более простых моделей и часто сопровождается понижением раз- мерности модели. Поведение исходной модели изучается путём композиции результатов раздельного ис- следования основной структуры и детализирующих факторов [1–10]. В моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы. Имеется значительное число публикаций по теории и приложени- ям как методов упрощения моделей макроскопической кинетики [11–13], так и моделирования крити-

Сметанников М.А. Декомпозиция систем энзимной кинетики с быстрыми и медленными переменными ...

84 Smetannikov M.A. Decomposition of enzyme kinetics system with fast and slow variables in suicide substrate problem

 

ческих явлений [14–16]. При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа и довольно распространенным мнением, что эти задачи не имеют ничего общего как по своей постановке, так и по методам решения. Понижение размерности моделей является основным приемом исследования сложных систем любой природы, а критические яв- ления исключительно важны и сами по себе, и как инструмент познания сложных процессов. Авторы книг [1] и [3], основываясь на геометрической теории сингулярных возмущений, предложили подход, позволяющий с единых позиций этой теории рассматривать и методы редукции кинетических систем, и методы математического моделирования критических явлений в таких системах. В энзимной кинети- ке важность субстратов смертников во многом определяется их возможностью нацелить специфичный фермент на инактивацию. Они особенно полезны при введении лекарственных средств, из соображения о том, что они не вредны в их общей форме и только обозначенный фермент может превратить их в их ингибирующую форму. В качестве примеров их важности субстраты смертников были исследованы для применения при лечении депрессии, эпилепсии и некоторых опухолей.

 

  1. Постановка задачи

    Ферментная система [2] включает в себя переменные S, P, E, X и Y , обозначающие субстрат, про- дукт, ингибитор и промежуточные продукты фермента и субстрата, после обезразмеривания системы сменяющиеся на s, ei, ξ, ζ.

    Исходная система, рассматриваемая в данной статье, имеет вид:

     

    ds(t) dt

    = s((ϵp + 1) ϵpξ (ϵp + 1)ζ

    (ϵp + 1)(η ϕζ) ) +

    ψ

    ρ

    ξ, (1.1)

    1 + ρ

    (t)

    image

    =

    dt

     

    image

    (1 + ϵp)(1 + ρ)

    ξ, (1.2)

    (t)

    ϵ

    dt

    = s((ϵp + 1) ϵpξ (ϵp + 1)ζ

    (ϵp + 1)(η ϕζ)

    ψ

    ) ξ, (1.3)

     

    с учётом замен:

     

    И с начальными условиями:

    (t)

    image

    ϵ

    dt

    ϵp

    image

    =

    (1 + ϵp)(1 + ρ)

     

    σ = ϵp,

    η = ϕζ + ψei.

    ξ ψζ (1.4)

     

    s(0) = 1, ξ(0) = 0, ζ(0) = 0, ei(0) = 0.

     

  2. Исходная и конечная системы с числовыми коэффициентами

    image

    image

    image

    При значениях коэффициентов ρ = 1 ,σ = 1 ,ψ = 3 ,p = 1 исходная система (1.1)–(1.4) выглядит

    следующим образом:

     

    ds(t)

    3 16

    4

     

    (ϵ + 1)(η 0, 125ζ)

    dt = s((ϵ + 1) ϵξ (ϵ + 1)ζ

    0, 75

    ) + 0, 25ξ,

    (t)

    image

    =

    dt

    0, 09375

    image

    ξ,

    (1 + ϵ)

    (t)

    ϵ

    dt

    = s((ϵ + 1) ϵξ (ϵ + 1)ζ

    (ϵ + 1)(η 0, 125ζ) 0, 75

    ) ξ,

    (t)

    image

    ϵ =

    dt

    0, 75ϵ

     

    image

    (1 + ϵ)

    ξ ψζ.

    Вид системы после применения метода интегральных многообразий:

    3 5 13

    1 2 7 2

    21 2

    w˙ 1 = w1w2 4 w1 + ϵ( 6 w1w2 16 w1 + 3 w1w2 8 w1 w2 + 32 w1 ),

    1 3

    1 2 3

    9

    17 2

    17 2

    w˙ 2 = 8 w1w2 + 32 w1 + ϵ( 8 w1w2 16 w1w2 + 128 w1 + 192 w1 w2 256 w1 ),

    ϵz˙ = B(w + ϵH(t, w, z, ϵ), t, ϵ)z.

    Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 83–88

    Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 83–88 85

     

  3. Численное сравнение решений

На рис. 3.1–3.4 приведено численное сравнение решений исходной и конечной систем переменных при значении малого параметра ϵ = 0.1.

 

image

Рис. 3.1. Сравнение решений для первого уравнения задачи до и после построения интегрального многообразия при ϵ = 0, 1

Fig. 3.1. Difference between results of the first equation before using and after two methods ϵ = 0, 1

 

image

Рис. 3.2. Сравнение решений для второго уравнения задачи до и после построения интегрального многообразия при ϵ = 0, 1

Fig. 3.2. Difference between results of the second equation before and after using two methods ϵ = 0, 1

 

image

Рис. 3.3. Сравнение решений для третьего уравнения задачи до и после построения интегрального многообразия при ϵ = 0, 1

Fig. 3.3. Difference between results of the third equation before and after using two methods ϵ = 0, 1

Сметанников М.А. Декомпозиция систем энзимной кинетики с быстрыми и медленными переменными ...

86 Smetannikov M.A. Decomposition of enzyme kinetics system with fast and slow variables in suicide substrate problem

 

image

Рис. 3.4. Сравнение решений для четвертого уравнения задачи до и после построения интегрального многообразия при ϵ = 0, 1

Fig. 3.4. Difference between results of the fourth equation before and after using two methods ϵ = 0, 1

 

Заключение

В данной статье рассмотрены математические модели задачи динамики суицидного субстрата. К представленной в безразмерной форме математической модели применяется метод интегральных многообразий, существенно упрощающий сложность вычислительных операций. Сравнение численных решений исходной задачи и задачи пониженной размерности при значении малого параметра ϵ = 0, 1 приводится графически.

×

About the authors

M. A. Smetannikov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: ssmetannikoff@gmail.com

postgraduate student of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

References

  1. Sobolev V.A., Shchepakina E.A. Model reduction and critical phenomena in macrokinetics. Мoscow: FIZMATLIT, 2010, 320 p. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=21326259. EDN: https://elibrary.ru/ryrtfh. (In Russ.)
  2. Murray J.D. Mathematical Biology I. An Introduction. Springer. New York, 2001. - 551 p. Available at: https://booksee.org/book/1008393.
  3. Voropaeva N.V., Sobolev V.A. Geometric decomposition of singularly perturbed systems. Мoscow: FIZMATLIT, 2009, 256 p. Available at: https://booksee.org/book/1500476. (In Russ.)
  4. Strygin V.V., Sobolev V.A. Separation of motions by the method of integral manifolds. Мoscow: Nauka, 1988, 256 p. Available at: https://booksee.org/book/483890. (In Russ.)
  5. Goldshtein V.M., Sobolev V.A. Qualitative analysis of singularly perturbed systems. Novosibirsk: In-t matematiki AN SSSR, Sib. otd-nie, 1988, 154 p. (In Russ.)
  6. Shchepakina E.A. Integral manifolds, duck trajectories and heat explosion. Vestnik of Samara State University, 1995, special issue. (In Russ.)
  7. Shchepakina E., Sobolev V. Integral manifolds, canards and black swans. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2001, vol. 44, issue 7, pp. 897–908. DOI: https://doi.org/10.1016/S0362-546X(99)00312-0.
  8. Sobolev V.A. Integral manifolds and decomposition of singulary perturbed system. Systems & Control Letters, 1984, vol. 5, issue 3, pp. 169–179. DOI: http://doi.org/10.1016/S0167-6911(84)80099-7.
  9. Mitropolskiy U.A., Lykova O.B. Integral manifolds in nonlinear mechanics. Moscow: Nauka, 1973. Available at: https://booksee.org/book/789024 (In Russ.)
  10. Knobloch H.-W., Aulbach B. Singular perturbations and integral manifolds. J. Math. Phys. Sci., 1984, vol. 18, no. 5, pp. 415–424.
  11. Seiler N., Jung M.J., Koch-Weser J. Enzyme-activated Irreversible Inhibitors. Oxford: Elsevier/North-Holland, 1978.
  12. Walsh C.T. Suicide substrates, mechanism-based enzyme inactivators: recent developments. Annu. Rev. Biochem., 1984, vol. 53, pp. 493-–535. DOI: http://doi.org/10.1146/annurev.bi.53.070184.002425.
  13. Berding C., Keymer A.E., Murray J.D., Slater A.F.G. The population dynamics of acquired immunity to helminth infections. Journal of Theoretical Biology, 1986, vol. 122, issue 4, pp. 459–471. DOI: http://doi.org/10.1016/s0022-5193(86)80186-2.
  14. Bobylev N.A., Emelyanov S.V., Korovin S.K. Geometric methods in variational problems. Moscow: Magistr, 1998, 658 p. (In Russ.)
  15. Emelyanov S.V., Korovin S.K., Mamedov I.V. Structural transformations and spatial decomposition of discrete controlled systems – quasi-splitting method. Tekhn. kibernetika, 1986, no. 6, pp. 118–128. (In Russ.)
  16. Korovin S.K., Mamedov I.G., Mamedova A.P. Uniform stability with respect to a small parameter and stabilization of discrete singularly perturbed dynamical systems. Tekhn. kibernetika, 1989, no. 1, pp. 21–29. (In Russ.)

Copyright (c) 2022 Smetannikov M.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies