Well-posedness of the main mixed problem for the multidimensional Lavrentiev — Bitsadze equation

Full Text

Введение

Основная смешанная задача для многомерных гиперболических уравнений в пространстве обобщен- ных функций хорошо изучена [1–4]. В [5–10] получены явные виды классических решений смешанных задач для многомерных гиперболических уравнений.

Насколько известно автору, эти задачи для многомерных эллиптических уравнений изучены только в [11], а для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений еще не исследованы.

Смешанная задача с граничными условиями для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе является некорректной.

В данной статье доказана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения основной смешанной задачи с граничными и начальными данными для многомерного уравнения Лав- рентьева — Бицадзе.

1. Постановка задачи и результат

   Пусть Ωαβ− цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точек (x1, ..., xm, t), ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : : |x| = 1}, плоскостями t = α > 0 и t = β < 0, где |x|− длина вектора x =

   = (x1, ..., xm).

   Обозначим через Ωα и Ωβ части области Ωαβ, а через Γα, Γβ – части поверхности Γ, лежащие в полупространствах t > 0 и t < 0; σα− верхнее, а σβ− нижнее основание области Ωαβ.

   Пусть далее S− общая часть границ области Ωα, Ωβ , представляющих собой множество {t = 0, 0 < |x| < 1} точек из Em.

   В области Ωαβ рассмотрим многомерное уравнение Лаврентьева — Бицадзе

   (sgnt)∆xu − utt = 0, (1)

   где ∆x — оператор Лапласа по переменным x1, ..., xm, m � 2.

   В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, ..., xm, t к сферическим

   r, θ1, ..., θm−1, t, r � 0, 0 � θ1 < 2π, 0 � θi � π, i = 2, 3, ..., m − 1, θ = (θ1, ..., θm−1).

   Рассмотрим следующую основную смешанную задачу с граничными и начальными данными [12]

   Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Ωαβ при t ̸= 0 из класса C(Ω¯ αβ ) ∩ C1(Ωαβ )∩

   ∩C2(Ωα ∪ Ωβ ), удовлетворяющее краевым условиям

    

   u

    

    

   Γα

   = ψ1(t, θ), (2)

    

   u

    

    

   Γβ

    

    

   = ψ2(t, θ), u

   σβ

    

    

   = τ (r, θ), ut

   σβ

    

   = ν(r, θ), (3)

   при этом ψ1(0, θ) = ψ2(0, θ), ψ2(β, θ) = τ (1, θ).

   n,m

    

   Пусть {Y k

   (θ)}− система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 � k � kn

   2

    

   (m − 2)!n!kn = (n + m − 3)!(2n + m − 2), Wl(S), l = 0, 1, ... пространства Соболева.

   Имеет место [13]

   2

    

   Лемма 1. Пусть f (r, θ) ∈ Wl(S). Если l � m − 1, то ряд

   ∞ kn

   f (r, θ) = ∑ ∑ fk (r)Y k

   (θ), (4)

   n

   n=0 k=1

   n,m

   а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p � l − m + 1, сходятся абсолютно и равномерно.

   2

    

   Лемма 2. Для того чтобы f (r, θ) ∈ Wl(S), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4)

   удовлетворяли неравенствам

    

   ∞ kn

   |f 1(r)| � c1, ∑ ∑ n2l|fk (r)|2 � c2, c1, c2 = const.

   0 n

   n=1 k=1

   Через ψk (t), τ¯k (r), ν¯k (r) обозначим коэффициенты разложения ряда (4) соответственно функций

   2n n n

   ψ2(t, θ), τ (r, θ), ν(r, θ).

   Тогда справедлива

   Теорема 1. Если ψ1(t, θ) ∈ Wl(Γα), ψ2(t, θ) ∈ Wl(Γβ ), τ (r, θ), ν(r, θ) ∈ Wl(S), l > 3m , то задача 1

   

   2 2 2 2

   имеет единственное решение.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 7–13

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 7–13 9

    

2. Доказательство теоремы 1

В сферических координатах уравнение (1) в области Ωβ имеет вид [13]

m − 1 1

m−1

r r2

urr +

(

ur − δu + utt = 0, (5)

)

δ ≡ − ∑

j=1 gj sin

1

m−j−1

∂

θj ∂θj

sinm−j−1 θj

∂

∂θj

, g1

= 1, gj

= (sin θ1... sin θ

j−1

)2, j > 1.

Известно [13], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n + m− −2), n = 0, 1, ...,

n,m

каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных функций Y k

(θ).

Так как искомое решение задачи 1 в области Ωβ принадлежит классу C(Ω¯ β ) ∩C2(Ωβ ), то его можно

искать в виде

∞ kn

u(r, θ, t) = ∑ ∑ u¯k (r, t)Y k

(θ), (6)

n

n=0 k=1

n

где u¯k (r, t)− функции, подлежащие определению.

n,m

n,m

Подставляя (6) в (5), используя ортогональность сферических функций Y k

(θ) [13], будем иметь

u¯k

−

k

m 1

+

k λn k

nrr

r u¯nr + u¯ntt − r2 u¯n = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, ... , (7)

при этом краевое условие (3) с учетом леммы 1 запишется в виде

u¯k (1, t) = ψk (t), u¯k (r, β) = τ¯k (r), u¯k (r, β) = ν¯k (t), k = 1, kn, n = 0, 1, ... . (8)

n 2n n

n nt n

В формулах (7), (8) произведя замену υ¯k (r, t) = u¯k (r, t) − ψk (t), получим

υ¯k

n

−

+ m 1 k

n 2n

λn k k k

nrr

n

r υ¯nr − r2 υ¯n + υ¯ntt = f¯ (r, t), (9)

υ¯k (1, t) = 0, υ¯k (r, β) = τk (r), υ¯k (r, β) = νk (r), k = 1, kn, n = 0, 1, ... , (10)

n

f¯k

n

λn k

n nt n

k k k k k k k

n (r, t) = r2 ψ2n(t) − ψ2ntt, τn (r) = τ¯n (r) − ψ2n(β), νn(r) = ν¯n(r) − ψ2nt(β).

(1−m)

n

Произведя замену υ¯k (r, t) = r

n

2 υk (r, t) задачу (9),(10) приведем к следующей задаче:

L1υk ≡ υk

λ¯n

+

υk + υk

= f˜k (r, t), (11)

n nrr

υk k

r2 n

k

ntt n

k k

n(1, t) = 0, υn(r, β) = τ˜n (r), υnt(r, β) = ν˜n(r), (12)

λ¯n =

[(m − 1)(3 − m) − 4λn]

, f˜k (r, t) = r

(m−1) 2

f¯k (r, t), τ˜k (r) = r

k k

m−1

2 τ (r), ν˜ (r) = r

k

m−1

2 ν (r).

2 n n n n n n

Решение задачи (11), (12) ищем в виде υk (r, t) = υk (r, t) + υk (r, t), где υk (r, t)− решение задачи

n 1n 2n 1n

Lυk

= f˜k (r, t), υk (1, t) = 0, υk (r, β) = υk

(r, β) = 0, (13)

1n n 1n

2n

а υk (r, t)− решение задачи

1n 1nt

Lυk

= 0, υk (1, t) = 0, υk (r, β) = τ˜k (r), υk

(r, β) = ν˜k (r), (14).

2n 2n

2n n

2nt n

Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде

при этом пусть

υk

n(r, t) =

∞

∑

s=1

Rs(r)Ts(t), (15)

f˜k

n (r, t) =

∞

∑

s=1

k

as,n

k

Rs(r), τ˜n (r) =

∞

∑

s=1

k

bs,n

k

Rs(r), ν˜n (r) =

∞

∑

s=1

k

es,n

(t)Rs(r). (16)

Подставляя (15) в (13), с учетом (16) получим

Rsrr +

( λn )

r2 + µ

Rs = 0, 0 < r < 1, Rs(1) = 0, |Rs(0)| < ∞, (17)

s,n

Tstt − µTs(t) = ak

(t), β < t < 0, Ts(β) = 0, Tst(β) = 0. (18)

Алдашев С.А. Корректность основной смешанной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе

10Aldashev S.A. Well-posedness of the main mixed problem for the multidimensional Lavrentiev — Bitsadze equation

Ограниченным решением задачи (17) является [14, с. 404]

Rs(r) = √rJν (µs,nr), (19)

где ν = n + (m−2) , µs,n− нули функций Бесселя первого рода Jν (z), µ = µ2 .

2 s,n

Задача (18) сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно Ts,n(t) [12,

c. 49]

s,n

Ts,n(t) − µ2

t

∫

(t − ξ)Ts,n(ξ)dξ =

β

t

∫

(t − ξ)as,n(ξ)dξ, (20)

β

которое имеет решение и притом единственное.

Подставляя (19) в (16), получим

r− 2 f˜k

1

n (r, t) =

∑∞

s=1

1

s,n

1

ak (t)Jν (µs,nr), r− 2

∑∞

k

τ˜n (r) =

∑∞

s=1

k

bs,n

Jν (µs,nr),

(21)

n

e

r− 2 ν˜k (r) =

s=1

k s,n

Jν (µs,nr), 0 < r < 1.

Ряды (21) — разложение в ряды Фурье — Бесселя [15, c. 83], если

1

∫

ak −2 √ k

n

s,n(t) = 2[Jν+1(µs,n)]

0

ξf˜ (ξ, t)Jν (µs,nξ)dξ, (22)

1

bk −2 ∫ √ k

s,n = 2[Jν+1(µs,n)]

ξτ˜n (ξ)Jν (µs,nξ)dξ,

0

(23)

1

ek −2 ∫ √ k

s,n = 2[Jν+1(µs,n)]

ξν˜n (ξ)Jν (µs,nξ)dξ,

0

где µs,n, s = 1, 2, ...− положительные нули функций Бесселя Jν (z), расположенные в порядке возрастания

их величины.

Из (19),(20) получим решение задачи (13) в виде

∞

s,n

где ak

(t) определяются из (22).

υk

1n(r, t) =

∑ √

rTs,n(t)Jν (µs,nr), (24)

s=1

Далее, под%

About the authors

S. A. Aldashev

Author for correspondence.
Email: aldash51@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8223-6900

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, Department of Mathematics and Mathematical Modelling

References

Supplementary files