Корректность основной смешанной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе
- Авторы: Алдашев С.А.1
-
Учреждения:
- Казахский национальный педагогический университет имени Абая
- Выпуск: Том 27, № 3 (2021)
- Страницы: 7-13
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/10469
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2021-27-3-7-13
- ID: 10469
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Известно, что колебания упругих мембран в пространстве моделируются уравнениями в частных производных. Если прогиб мембраны считать функцией u(x; t); x = (x1; :::; xm);m > 2; то по принципу Гамильтона приходим к многомерному волновому уравнению.
Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем многомерное уравнение Лапласа.
Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе.
Основная смешанная задача в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений в пространстве обобщенных функций хорошо исследована. В работах автора доказана корректность этой задачи для многомерных гиперболических и эллиптических уравнений, а также получены явные виды классических решений.
Насколько известно, эти вопросы для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений не изучены.
Смешанная задача с граничными условиями для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе является некорректной.
В данной статье доказана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения основной смешанной задачи с граничными и начальными данными для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе.
Ключевые слова
Полный текст
Введение
Основная смешанная задача для многомерных гиперболических уравнений в пространстве обобщен- ных функций хорошо изучена [1–4]. В [5–10] получены явные виды классических решений смешанных задач для многомерных гиперболических уравнений.
Насколько известно автору, эти задачи для многомерных эллиптических уравнений изучены только в [11], а для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений еще не исследованы.
Смешанная задача с граничными условиями для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе является некорректной.
В данной статье доказана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения основной смешанной задачи с граничными и начальными данными для многомерного уравнения Лав- рентьева — Бицадзе.
Постановка задачи и результат
Пусть Ωαβ− цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точек (x1, ..., xm, t), ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : : |x| = 1}, плоскостями t = α > 0 и t = β < 0, где |x|− длина вектора x =
= (x1, ..., xm).
Обозначим через Ωα и Ωβ части области Ωαβ, а через Γα, Γβ – части поверхности Γ, лежащие в полупространствах t > 0 и t < 0; σα− верхнее, а σβ− нижнее основание области Ωαβ.
Пусть далее S− общая часть границ области Ωα, Ωβ , представляющих собой множество {t = 0, 0 < |x| < 1} точек из Em.
В области Ωαβ рассмотрим многомерное уравнение Лаврентьева — Бицадзе
(sgnt)∆xu − utt = 0, (1)
где ∆x — оператор Лапласа по переменным x1, ..., xm, m � 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, ..., xm, t к сферическим
r, θ1, ..., θm−1, t, r � 0, 0 � θ1 < 2π, 0 � θi � π, i = 2, 3, ..., m − 1, θ = (θ1, ..., θm−1).
Рассмотрим следующую основную смешанную задачу с граничными и начальными данными [12]
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Ωαβ при t ̸= 0 из класса C(Ω¯ αβ ) ∩ C1(Ωαβ )∩
∩C2(Ωα ∪ Ωβ ), удовлетворяющее краевым условиям
u
Γα
= ψ1(t, θ), (2)
u
Γβ
= ψ2(t, θ), u
σβ
= τ (r, θ), ut
σβ
= ν(r, θ), (3)
при этом ψ1(0, θ) = ψ2(0, θ), ψ2(β, θ) = τ (1, θ).
n,m
Пусть {Y k
(θ)}− система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 � k � kn
2
(m − 2)!n!kn = (n + m − 3)!(2n + m − 2), Wl(S), l = 0, 1, ... пространства Соболева.
Имеет место [13]
2
Лемма 1. Пусть f (r, θ) ∈ Wl(S). Если l � m − 1, то ряд
∞ kn
f (r, θ) = ∑ ∑ fk (r)Y k
(θ), (4)
n
n=0 k=1
n,m
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p � l − m + 1, сходятся абсолютно и равномерно.
2
Лемма 2. Для того чтобы f (r, θ) ∈ Wl(S), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4)
удовлетворяли неравенствам
∞ kn
|f 1(r)| � c1, ∑ ∑ n2l|fk (r)|2 � c2, c1, c2 = const.
0 n
n=1 k=1
Через ψk (t), τ¯k (r), ν¯k (r) обозначим коэффициенты разложения ряда (4) соответственно функций
2n n n
ψ2(t, θ), τ (r, θ), ν(r, θ).
Тогда справедлива
Теорема 1. Если ψ1(t, θ) ∈ Wl(Γα), ψ2(t, θ) ∈ Wl(Γβ ), τ (r, θ), ν(r, θ) ∈ Wl(S), l > 3m , то задача 1
2 2 2 2
имеет единственное решение.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 7–13
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 7–13 9
Доказательство теоремы 1
В сферических координатах уравнение (1) в области Ωβ имеет вид [13]
m − 1 1
m−1
r r2
urr +
(
ur − δu + utt = 0, (5)
)
δ ≡ − ∑
j=1 gj sin
1
m−j−1
∂
θj ∂θj
sinm−j−1 θj
∂
∂θj
, g1
= 1, gj
= (sin θ1... sin θ
j−1
)2, j > 1.
Известно [13], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n + m− −2), n = 0, 1, ...,
n,m
каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных функций Y k
(θ).
Так как искомое решение задачи 1 в области Ωβ принадлежит классу C(Ω¯ β ) ∩C2(Ωβ ), то его можно
искать в виде
∞ kn
u(r, θ, t) = ∑ ∑ u¯k (r, t)Y k
(θ), (6)
n
n=0 k=1
n
где u¯k (r, t)− функции, подлежащие определению.
n,m
n,m
Подставляя (6) в (5), используя ортогональность сферических функций Y k
(θ) [13], будем иметь
u¯k
−
k
m 1
+
k λn k
nrr
r u¯nr + u¯ntt − r2 u¯n = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, ... , (7)
при этом краевое условие (3) с учетом леммы 1 запишется в виде
u¯k (1, t) = ψk (t), u¯k (r, β) = τ¯k (r), u¯k (r, β) = ν¯k (t), k = 1, kn, n = 0, 1, ... . (8)
n 2n n
n nt n
В формулах (7), (8) произведя замену υ¯k (r, t) = u¯k (r, t) − ψk (t), получим
υ¯k
n
−
+ m 1 k
n 2n
λn k k k
nrr
n
r υ¯nr − r2 υ¯n + υ¯ntt = f¯ (r, t), (9)
υ¯k (1, t) = 0, υ¯k (r, β) = τk (r), υ¯k (r, β) = νk (r), k = 1, kn, n = 0, 1, ... , (10)
n
f¯k
n
λn k
n nt n
k k k k k k k
n (r, t) = r2 ψ2n(t) − ψ2ntt, τn (r) = τ¯n (r) − ψ2n(β), νn(r) = ν¯n(r) − ψ2nt(β).
(1−m)
n
Произведя замену υ¯k (r, t) = r
n
2 υk (r, t) задачу (9),(10) приведем к следующей задаче:
L1υk ≡ υk
λ¯n
+
υk + υk
= f˜k (r, t), (11)
n nrr
υk k
r2 n
k
ntt n
k k
n(1, t) = 0, υn(r, β) = τ˜n (r), υnt(r, β) = ν˜n(r), (12)
λ¯n =
[(m − 1)(3 − m) − 4λn]
, f˜k (r, t) = r
(m−1) 2
f¯k (r, t), τ˜k (r) = r
k k
m−1
2 τ (r), ν˜ (r) = r
k
m−1
2 ν (r).
2 n n n n n n
Решение задачи (11), (12) ищем в виде υk (r, t) = υk (r, t) + υk (r, t), где υk (r, t)− решение задачи
n 1n 2n 1n
Lυk
= f˜k (r, t), υk (1, t) = 0, υk (r, β) = υk
(r, β) = 0, (13)
1n n 1n
2n
а υk (r, t)− решение задачи
1n 1nt
Lυk
= 0, υk (1, t) = 0, υk (r, β) = τ˜k (r), υk
(r, β) = ν˜k (r), (14).
2n 2n
2n n
2nt n
Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде
при этом пусть
υk
n(r, t) =
∞
∑
s=1
Rs(r)Ts(t), (15)
f˜k
n (r, t) =
∞
∑
s=1
k
as,n
k
Rs(r), τ˜n (r) =
∞
∑
s=1
k
bs,n
k
Rs(r), ν˜n (r) =
∞
∑
s=1
k
es,n
(t)Rs(r). (16)
Подставляя (15) в (13), с учетом (16) получим
Rsrr +
( λn )
r2 + µ
Rs = 0, 0 < r < 1, Rs(1) = 0, |Rs(0)| < ∞, (17)
s,n
Tstt − µTs(t) = ak
(t), β < t < 0, Ts(β) = 0, Tst(β) = 0. (18)
Алдашев С.А. Корректность основной смешанной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе
10Aldashev S.A. Well-posedness of the main mixed problem for the multidimensional Lavrentiev — Bitsadze equation
Ограниченным решением задачи (17) является [14, с. 404]
Rs(r) = √rJν (µs,nr), (19)
где ν = n + (m−2) , µs,n− нули функций Бесселя первого рода Jν (z), µ = µ2 .
2 s,n
Задача (18) сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно Ts,n(t) [12,
c. 49]
s,n
Ts,n(t) − µ2
t
∫
(t − ξ)Ts,n(ξ)dξ =
β
t
∫
(t − ξ)as,n(ξ)dξ, (20)
β
которое имеет решение и притом единственное.
Подставляя (19) в (16), получим
r− 2 f˜k
1
n (r, t) =
∑∞
s=1
1
s,n
1
ak (t)Jν (µs,nr), r− 2
∑∞
k
τ˜n (r) =
∑∞
s=1
k
bs,n
Jν (µs,nr),
(21)
n
e
r− 2 ν˜k (r) =
s=1
k s,n
Jν (µs,nr), 0 < r < 1.
Ряды (21) — разложение в ряды Фурье — Бесселя [15, c. 83], если
1
∫
ak −2 √ k
n
s,n(t) = 2[Jν+1(µs,n)]
0
ξf˜ (ξ, t)Jν (µs,nξ)dξ, (22)
1
bk −2 ∫ √ k
s,n = 2[Jν+1(µs,n)]
ξτ˜n (ξ)Jν (µs,nξ)dξ,
0
(23)
1
ek −2 ∫ √ k
s,n = 2[Jν+1(µs,n)]
ξν˜n (ξ)Jν (µs,nξ)dξ,
0
где µs,n, s = 1, 2, ...− положительные нули функций Бесселя Jν (z), расположенные в порядке возрастания
их величины.
Из (19),(20) получим решение задачи (13) в виде
∞
s,n
где ak
(t) определяются из (22).
υk
1n(r, t) =
∑ √
rTs,n(t)Jν (µs,nr), (24)
s=1
Далее, под%
Об авторах
С. А. Алдашев
Казахский национальный педагогический университет имени Абая
Автор, ответственный за переписку.
Email: aldash51@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8223-6900
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и математического моделирования
КазахстанСписок литературы
- [1] Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. Москва: Гостехиздат, 1953. 279 с. URL: https://booksee.org/book/579384.
- [2] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. Москва: Наука, 1973. 407 с. URL: https://booksee.org/book/442669.
- [3] Краснов М.Л. Смешанные задачи для вырождающихся линейных гиперболических дифференциальных уравнений второго порядка // Матем. сб., 1959. T. 49(91). C. 29–84. URL: http://mi.mathnet.ru/msb4910
- [4] Барановский Ф.Т. Смешанная задача для линейного гиперболического уравнения // Ученые записки Ленингр. пед. ин-та, 1958. T. 183. C. 23–58.
- [5] Алдашев С.А. Корректность смешанной задачи для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором // Укр. матем. журнал, 2017. T. 69, Вып. 7. C. 992–999.
- [6] Aldashev S.A. Well-Posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with wave operator // Ukrainian Mathematical Journal, 2017. Vol. 69, 7. P. 1154–1163. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-017-1422-7.
- [7] Aldashev S.A. Well-Posedness of the mixed problems for generate multidimensional hyperbolic equations // Modern Problems of Mathematical Modeling, Computational methods and Information: материалы конф. Киев: КНУ им. Т. Шевченко, 2018. C. 14–15.
- [8] Алдашев С.А. Корректность смешанной задачи для одного класса вырождающихся многомерных гиперболических уравнений // Вычислительная и прикладная математика, 2019. 2(131). C. 5–14.
- [9] Алдашев С.А., Канапьянова З.Н. Корректность смешанной задачи для вырождающихся трехмерных гиперболических уравнений // Теория управления и матем. моделирование: материалы Всерос. конф. Ижевск: Удм. гос. ун-т, 2020. C. 24–26
- [10] Алдашев С.А., Канапьянова З.Н. Смешанная задача для трехмерных гиперболических уравнений с вырождением типа и порядка // Известия НАН РК. Cер.: Физико-математическая, 2020. № 6 (334). C. 13–18. URL: https://journals.nauka-nanrk.kz/physics-mathematics/article/view/632.
- [11] Алдашев С.А. Корректность смешанной задачи для одного класса вырождающихся многомерных эллиптических уравнений // Научные ведомости БелГУ. Сер.: Математика. Физика, 2019. T. 51, № 2. C. 174–182. URL: http://dspace.bsu.edu.ru/handle/123456789/26603.
- [12] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва: Наука, 1981. 448 с. URL: https://knigogid.ru/books/1954660-nekotorye-klassy-uravneniy-v-chastnyh-proizvodnyh/toread.
- [13] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Москва: Физматгиз, 1962. 254 с. URL: https://booksee.org/book/578442.
- [14] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва: Наука, 1965. 703 с. URL: https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Kamke_ODE_1971ru.pdf.
- [15] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Москва: Наука, 1973. T. 1. 292 с. URL:http://ega-math.narod.ru/Books/Bateman.htm.
- [16] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1966. 724 с. URL: http://alexandr4784.narod.ru/tihonov.html.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)