DECOMPOSITION OF TRAVELING WAVES PROBLEMS

Full Text

• 1. Предварительные сведения

     Известно, что бегущие волны играют фундаментальную роль при исследовании широкого круга ма- тематических и прикладных задач. Рассмотрим следующий класс систем полулинейных параболических уравнений:

     ∂u

     

     = εΛ

     ∂t

     ∂2u

     

     ∂χ2

     + Υ(u), (1.1)

     где u ∈ Rn, χ ∈ R, t � 0, ε – положительный малый параметр. Здесь Λ – постоянная диагональная мат-

     рица с положительными элементами на главной диагонали (Λ1, Λ2, ..., Λn), а Υ(u) – достаточно гладкая

     и ограниченная по норме векторная функция.

     Системы такого типа широко применяются в качестве математических моделей в физике, химии и биологии, и известно много примеров бегущих волн в таких моделях, см., например, [1–4].

     Напомним, что решение типа бегущей волны представимо в виде u(x, t) = u(ζ), ζ = x − ct для некоторого значения c ∈ R скорости волны и удовлетворяет следующей системе обыкновенных диффе-

     ренциальных уравнений

     −cu′ = εΛu′′ + Υ(u), (1.2)

     где символ ()′ соответствует дифференцированию по ζ. Наша первоочередная цель состоит в понижении размерности системы (1.2), используя расщепляющее преобразование [5; 6].

      

  2. Расщепляющее преобразование

     Рассмотрим сингулярно возмущенную дифференциальную систему, линейную по y:

     x˙ = ξ(x, ε) + Ξ(x, ε)y, (2.1)

     εy˙ = θ(x, ε) + Θ(x, ε)y, (2.2)

     где x ∈ Rm, y ∈ Rn, t ∈ R.

     Будем предполагать, что собственные значения λi(x) матрицы Θ(x, 0) подчиняются неравенству Re λi(x) � −2γ < 0, при t ∈ R, x ∈ Rm, и что матричные и векторные функции ξ, θ, Ξ и Θ непрерывны и ограничены вместе со своими частными производными по переменным t ∈ R, x ∈ Rm, ε ∈ [0, ε0].

     При этих предположениях система (2.1), (2.2) имеет медленное инвариантное многообразие

     y = φ(x, ε) = φ0(x) + εφ1(x) + . . . .

     Используя равенство

      

     dy ∂φ

     

     

     =

     dt ∂x

      

     (ξ + Ξφ),

     которое следует из (2.1), получим, что функция φ может быть найдена из так называемого уравнения инвариантности [7]

     ∂φ

     

     o (ξ + Ξφ) = θ + Θφ.

     ∂x

     Предположим, что справедливы следующие представления:

      

     Ξ(x, ε)	=	Ξ0(x) + εΞ1(x) + . . . ,
     ξ(x, ε)	=	ξ0(x) + εξ1(x) + . . . ,
     Θ(x, ε)	=	Θ0(x) + εΘ1(x) + . . . ,
     θ(x, ε)	=	θ0(x) + εθ1(x) + . . . .

     Соболев В.А., Тропкина Е.А., Щепакина Е.А., Zhang L. Декомпозиция задач о бегущих волнах

     24Sobolev V.A., Tropkina E.A., Shchepakina E.A., Zhang L. Decomposition of traveling waves problems

      

     Тогда формулы для коэффициентов асимптотического разложения медленного инвариантного мно- гообразия φ = φ(x, ε) принимают вид

     0

      

     φ0 = −Θ−1θ0,

     0

      

     φ1 = Θ−1

     [ ∂φ0

     

     ∂x

     ]

     (ξ0 + Ξ0φ0) − θ1 − Θ1φ0 .

     (2.3)

     Уравнение инвариантности для быстрого инвариантного многообразия Ψ = Ψ(v, z, ε) [5; 6] имеет вид

     ε∂Ψ[

     ∂v

     ξ(v, ε) + Ξ(v, ε)φ(v, ε)] +

     ∂Ψ [

     ∂z

     Θ(v + εΨ, ε) − ε

     ∂φ ]

     (v + εΨ, ε)Ξ(v + εΨ, ε) z =

     ∂x

     = ξ(v + εΨ, ε) − ξ(v, ε) + Ξ(v + εΨ, ε)(z + φ(v + εΨ, ε)) − Ξ(v, ε)φ(v, ε).

     Полагая ε = 0, получим

     ∂Ψ0 Θ (v)z = Ξ (v)z.

     

     ∂z 0 0

     Для Ψ0(v, z) справедливо представление Ψ0(v, z) = D0(v)z, где матрица D0(v) удовлетворяет уравнению

     D0(v)Θ0(v) = φ0(v),

     и, следовательно,

      

     0

      

     Ψ0(v, z) = Ξ0(v)Θ−1(v)z.

     Перейдем к построению расщепляющего преобразования

     x = v + εΨ(v, z, ε), (2.4)

     y = z + φ(x, ε), (2.5)

     которое приводит систему (2.1), (2.2) к виду

     v˙ = V (v, ε), (2.6)

     εz˙ = Z(v, z, ε). (2.7)

     Пусть (x(t), y(t)) является решением (2.1), (2.2) с начальным условием x(t0) = x0, y(t0) = y0. Тогда существует такое решение (v(t), z(t)) для (2.6), (2.7) с начальным условием v(t0) = v0, z(t0) = z0, что

     x(t) = v(t) + εΨ(v(t), z(t), ε), (2.8)

     y(t) = z(t) + φ(x(t), ε). (2.9)

     Достаточно показать, что (2.8), (2.9) имеет место при t = t0. Полагая t = t0 в (2.8), получим

     x0 = v0 + εΨ(v0, z0, ε), y0 = z0 + φ(x0, ε)

     и, следовательно, z0 = y0 − φ(x0, ε).

     Для v0 имеем уравнение

      

     v0 = x0 − εΨ(v0, z0, ε), (2.10)

     которое имеет единственное решение для любого x0 ∈ Rm и фиксированных значений z0 и t0,

     где

      

     для некоторого ρ1.

     ∥z0∥ = ∥y0 − φ(x0, ε)∥ � ρ1

     Справедливо следующее утверждение.

      

     Теорема 2.1 Любое решение x = x(t, ε), y = y(t, ε) системы (2.1), (2.2) с начальным условием

     x(t0, ε) = x0, y(t0, ε) = y0 можно представить в форме (2.8).

      

     Эта теорема означает, что система (2.1), (2.2) может быть приведена к виду (2.6), (2.7) при помощи расщепляющего преобразования (2.4), (2.5). Таким образом, преобразование (2.4), (2.5) осуществляет де- композицию на две подсистемы, первая из которых независима и содержит малый параметр регулярным образом. Заметим, что начальное значение v0 может быть найдено из (2.10) в виде асимптотического разложения

     v0 = v00 + εv01 + ε2v02 + . . . .

     Например, v00 = z0, v01 = −Ψ(x0, z00, 0), где z00 = y0 − φ0(x0).

     Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 22–30

     Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 22–30 25

      

     Важно отметить существование такого числа K, K > 1, что справедливо неравенство

     ∥z(t, ε)∥ � K exp(−γt/ε)∥z0∥, t � 0.

     Это означает, что решение x = x(t, ε), y = y(t, ε) исходной системы (2.1), (2.2) с начальным условием

     x(t0, ε) = x0, y(t0, ε) = y0 представимо в виде

     x(t, ε) = v(t, ε) + εψ1(t, ε),

     y(t, ε) = φ(v(t, ε), ε) + ψ2(t, ε).

     Таким образом, это решение представимо в виде суммы решения, траектория которого принадлежит медленному инвариантному многообразию, т. е.

     x(t, ε) = v(t, ε),

     y(t, ε) = φ(v(t, ε), ε),

     и экспоненциально убывающей добавки

     εψ1 = εΨ(v(t, ε), z(t, ε), ε),

     ψ2(t, ε) = z(t, ε) + φ (v(t, ε) + εΨ(v(t, ε), z(t, ε), ε), ε) − φ(v(t, ε), ε).

     Пренебрегая членами порядка o(ε), применим преобразование

     x = v + εΨ0(v, z),

     y = z + φ0(x) + εφ1(x),

     чтобы свести (2.1), (2.2) к нелинейной блочно-треугольной форме

     ε

      

     v˙ = ξ0(v) + Ξ0(v)φ0(v) + [ξ1(v) + Ξ0(v, t)φ1(x) + Ξ1(v, t)φ0(v)]

     + O (ε2) ,

      

      

     εz˙ =

     [

     Θ0(v) + ε

     (

     Θ1(v) −

     

     ∂φ0 (v)Ξ (v))]

     ∂v 0

     z + O (ε2∥z∥) .

      

  3. Декомпозиция задачи о бегущих волнах

     Предположим, что скорость бегущей волны является величиной порядка единицы, т. е. c = O(1) при

     o → 0. Тогда можно переписать (1.2) в форме (2.1), (2.2) с

     ξ = 0, Ξ = I, θ = −Λ−1Υ, Θ = −cΛ−1,

     где I — единичная матрица.

     Из этих формул и (2.3) следует

      

     v˙ = φ0(v) + εφ1(v) + O(ε2), (3.1)

     где

      

     и

      

     φ0 = −Θ−1θ = −c−1Υ(v)

     ∂φ0(v)

      

     или

     φ1 = Θ−1

     ∂v φ0(v),

      

     где Υv (v) =

      

     ∂Υ(v)

     

     .

     ∂v

     φ1 = −c−3ΛΥv (v)Υ(v),

     Таким образом, если мы найдем периодическое решение (3.1), то получим периодическую бегущую

     волну для исходной системы (1.1). Аналогичная ситуация имеет место для гомоклинических и гетеро- клинических траекторий системы (3.1).

     Заметим, что уравнение для z принимает вид

      

     εz˙ =

     

     [

      

     ]

      

     −cΛ−1 + ε ∂Υ(v)

     z + O(ε2∥z∥).

     c ∂v

     Соболев В.А., Тропкина Е.А., Щепакина Е.А., Zhang L. Декомпозиция задач о бегущих волнах

     26Sobolev V.A., Tropkina E.A., Shchepakina E.A., Zhang L. Decomposition of traveling waves problems

      

  4. Модель типа ”реакция–диффузия”

  Полагая u = (u1, u2), рассмотрим систему, состоящую из двух уравнений параболического типа

  ∂u1 ∂ 2u1

  = ε

  ∂t ∂χ2 + f (u),

  2

  ∂u2 = ε ∂ u2

   

  где

  ∂t κ ∂χ2 + g(u),

  1

   

  α(ν0 + uγ )

  f = −u1(1 + u2) +

  

  1

   

  1 + uγ ,

  g = u1(β + u2) − δu2.

  Если эту систему рассматривать как модель реакции типа Белоусова–Жаботинского, то u1 и u2 рассмат- риваются как безразмерные концентрации реагентов; α, β, γ, δ и ν0 — безразмерные положительные параметры и при этом β > 1 и γ > 1 [8]. Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.2) принимает вид

   

  εu′′ ′

  1

   

  α(ν0 + uγ )

  

  1 = −cu1 + u1(1 + u2) −

  ε

  1

   

  1 + uγ

  , (4.1)

  

  κ 2 = −cu2 − u1(β + u2) + δu2. (4.2)

  u′′ ′

  При ε = 0 получаем вырожденную систему

   

  1

   

  α(ν0 + uγ )

  1

   

  0 = −cu′ + u1(1 + u2) −

  

  1

   

  1 + uγ ,

  (4.3)

   

  В этом случае имеем

  2

   

  0 = −cu′ − u1(β + u2) + δu2.

  x = ( u1

  u2

  u

   

  ( ′

  u

   

  y = 1

  ′

  2

  ) = ( x1 ) ,

  x2

  ) = ( y1 ) ,

  y2

  ( 1 0 )

  Λ = 0 1/κ ,

  

  Υ =  −u1(1 + u2) +

  

  1

   

  α(ν0 + uγ ) 

  

  1

   

  

   

  ,

   

  1 + uγ

  

  u1(β + u2) − δu2

   α(ν0 + uγ ) 

  θ = 

  

  u1(1 + u2) −

  1

  

  1

   

  

   

  ,

   

  1 + uγ

  

  κ[−u1(β + u2) + δu2]

   

  Следовательно,

  ( −c 0 )

  Θ = .

  0 −cκ

  

   

  α(ν0 + vγ ) 

  

  1

   

  φ0 = −Θ−1θ = −

  1

  

  Υ(v) = 

  v1(1 + v2) −

  1

  

  1

   

  1 + vγ  ,

  c c 

   

  и

  ∂φ0(v)

  

  −v1(β + v2) + δv2

  ( φ11(v) )

   

  Здесь

  φ1 = Θ−1

  ∂v φ0(v) =

   1

  .

  φ12(v)

  

   

  

  Θ−1 =  c

  

  −

   

  0

  

   

  1  ,

  

  0 − cκ

  Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 22–30

  Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 22–30 27

   

  и

  

  ∂φ0(v) = 1  1 + v2 −

  αγvγ−1

   

  1 (1 − ν0) 

  

  (1 + vγ 2 v1 

  ∂v c 

  1 )  .

  −β − v2 δ − v1

  В результате система (4.1), (4.2) сводится к независимой подсистеме на медленном инвариантном многообразии

  dv1

  α(ν0 + vγ ) 1

  = − 1

  

  1

   

  dζ c(1 + vγ ) + c v1(1 + v2)−

  1

   

  ε [( αγvγ−1(1 − ν0)

  2 − 1 − v2

   

  1

   

  ) ( α(ν0 + vγ )

   

  )

  − v1(1 + v2)

   

  ]

  2

   

  − v1 (β + v2) + δv1v2

   

  + O (ε2) ,

  

  1

   

  − c3

  (1 + vγ )

  

  1

   

  1 + vγ

  dv2

  1 δ

  = − v (β + v ) + v −

  

  

  

  dζ c 1

  2 c 2

  ε

  − c3k

  [

  (β + v2)

  1

   

  ( α(ν0 + vγ )

  

  1 + vγ

  )

  − v1(1 + v2)

  ]

  + (v1 − δ)(v1(β + v2) − δv1)

  + O (ε2)

  1

   

  и подсистеме для быстрых переменных z1 и z2

  ε [( αγvγ−1(1 − ν0) ) ] )

  (4.4)

  

  1

   

  εz′

  = −cz1 + c

  1

  1

   

  (1 + vγ

  )2 − 1 − v2

  z1 − v1z2

  + O (ε2∥z∥ ,

  o 2 )

  2

   

  εz′

  = −cκz2 + c [(β + v2)z1 + (v1 − δ)z2] + O (ε ∥z∥ .

  Подсистема (4.4) не содержит сингулярных возмущений, и ее порядок вдвое меньше по сравнению с (4.1), (4.2), что существенно упрощает анализ.

  Заметим, что особые точки исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений опреде-

  ляются равенствами u′ = 0, u′ = 0 и f (u1, u2) = 0, g(u1, u2) = 0, в то время как для определения особых

  1 2

  точек на медленном инвариантном многообразии достаточно рассматривать только два уравнения, т. е.

  f (u1, u2) = 0, g(u1, u2) = 0.

  В качестве примера рассмотрим случай следующих численных значений параметров: α = 12, β = 1.5, γ = 3, δ = 1.7 и ν0 = 0.01. В этом случае система (4.3) имеет три особые точки: неустойчивый узел P1, седло P2 и неустойчивый фокус P3 (рис. 4.1). Заметим, что эти особые точки являются проекциями

  особых точек P˜1,

  P˜2 и P˜3 полной системы (4.1), (4.2) на медленную поверхность.

  Анализ системы (4.3) дает наличие гетероклинической траектории, соединяющей особые точки P1

  и P2 (рис. 4.2). Более того, система (4.1), (4.2) имеет решение, стремящееся к неустойчивой особой точке P˜1 при ζ → −∞ и к P˜2 при ζ → +∞. Это решение определяет профиль бегущей волны системы

  параболических уравнений, распространяющейся с постоянной скоростью c > 0.

   

   

  

  

  g = 0

   

  P3

  P2

  u2 u2

  f = 0

   

  P1

   

  P1

  P2

   

  

  u1

  Рис. 4.1. Нуль-кривые и особые точки систе- мы (4.3)

  Fig. 4.1. Zero-curves and singular points of the system (4.3)

   

  

  u1 u

  Рис. 4.2. P1–P2 гетероклиническая траекто- рия системы (4.3)

  Fig. 4.2. P1–P2 heteroclinic trajectory of the system (4.3)

  Соболев В.А., Тропкина Е.А., Щепакина Е.А., Zhang L. Декомпозиция задач о бегущих волнах

  28Sobolev V.A., Tropkina E.A., Shchepakina E.A., Zhang L. Decomposition of traveling waves problems

   

  

  

  P2

  u2

  u1, u2

  P1

   

  

  u1

  Рис. 4.3. Гетероклиническая траекто- рии системы (4.3) (сплошная линия) и (v1, v2)-проекция соответствующей гетеро- клинической траектории системы (4.1), (4.2) (штрих-пунктирная линия)

  Fig. 4.3. Heteroclinical trajectory of the system (4.3) (solid line) and (v1, v2)-projection of the appropriate heteroclinic trajectory of the system (4.1), (4.2) (dashed-dotted line)

   

  ζ

   

  Рис. 4.4. Графики функций u1 = u1(ζ) (сплошная линия) и u2 = u2(ζ) (пунктирная линия) для P˜1–P˜2 гетероклинической траекто-

  рии системы (4.1), (4.2)

  Fig. 4.4. The graphs of the functions u1 = u1(ζ)

  (solid line) and u2 = u2(ζ) (dashed line) for P˜1–P˜2 heteroclinical trajectory of the system (4.1), (4.2)

   

  Рисунок 4.3 демонстрирует гетероклиническую траекторию системы (4.3) (сплошная линия) вместе с (v1, v2)-проекцией соответствующей траектории системы (4.1), (4.2) (пунктирная линия). Эти линии близки друг к другу, это означает, что редуцированная система наследует существенные черты поведе- ния исходной системы. Следует отметить, что соответствующие гетероклинические траектории систем (4.3) и (4.4) практически совпадают [9].

  На рис. 4.4 приводятся графики функций u1 = u1(ζ) и u2 = u2(ζ) для траектории системы (4.1), (4.2).

  P˜1 –

  P˜2 гетероклинической

  Понятно, что изменение значений параметров может приводить не только к бифуркации состояний равновесия, но и к бифуркациям решений типа бегущих волн. При этом наиболее интересны бифурка- ции, при которых возникают траектории-утки как периодические, так и гетероклинические или гомо- клинические траектории-утки. Такие траектории соответствуют так называемым критическим бегущим волнам [10–12]. Интересные примеры бегущих волн, соответствующих траекториям-уткам, можно найти в работах и других авторов, см., например, [13; 14].

   

About the authors

V. A. Sobolev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: v.sobolev@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-7327-7340

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

E. A. Tropkina

Samara National Research University

Email: elena_a.85@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5970-6740

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

E. A. Shchepakina

Samara National Research University

Email: shchepakina@yahoo.com
ORCID iD: 0000-0002-2898-2865

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

L. Zhang

Shandong University of Science and Technology

Email: li-jun0608@163.com
ORCID iD: 0000-0001-5697-4611
Taiwan, Province of China

References

Supplementary files