О ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Аннотация

Основная цель данной статьи—исследование потенциальности дискретной системы, полученной из
системы вида C(t, u)u_ (t) + E(t, u) = 0 с непрерывным временем. Введено определение потенциальности
соответствующей дискретной системы. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности
относительно заданной билинейной формы. Изложен алгоритм построения соответствующего функционала—аналога действия по Гамильтону. Дан иллюстрирующий пример.

Полный текст

1. Предварительные сведения

   Рассмотрим следующую краевую задачу:

   N (u) ≡ C (t, u) u˙ (t) + E (t, u) = 0, 0 < t < l, (1.1)

   u (0) = a1, u (l) = a2, (1.2)

   ( 1 2

   2n)T

   где C (t, u) — заданная матрица [Cµν (t, u)]2n×2n; u =

   T

   u , u , · · · , u

   — неизвестная вектор-функция;

   E (t, u) = (E1 (t, u) , E2 (t, u) , · · · , E2n (t, u))

   ; a1, a2 ∈ R2n.

   Предположим, что Cµν (t, u) : [0, l] × R2n → R и Eµ (t, u) : [0, l] × R2n → R — заданные непрерывнo

   дифференцируемые функции.

   Запишем систему (1.1) в виде

   A (u) + E (t, u) = 0,

   

   1Публикация выполнена при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 74–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 74–82 75

   где A — оператор, определяемый дифференциальными выражением

   A (u) ≡ C (t, u) u˙ (t) .

   Пусть область определения D (A) оператора A состоит из непрерывно дифференцируемых вектор-

   функций на (0, l) — пространство X, удовлетворяющих граничным условиям (1.2).

   Разобьем [0, l] на m равных частей узлами tk = kτ (k = 0, 1, · · · , m), где τ = m−1l. Введем операторы сужения [1]

   Tpu (t) = (u1 (t1) , · · · , u2n (t1) , u1 (t2) , · · · , u2n (t2) , · · · ,

   T

   −

   · · · , u1 (tm

   1) , · · · , u2n (t

   m−1) )

   (столбец высоты p = 2n (m − 1)). Такие столбцы образуют линейное пространство, которое будем обо-

   значать Xp. Для up = Tpu (t) зададим сферическую норму

   1

   (

   l m−1 2n ) 2

   k

   где uµ = uµ (tk ).

   u

   ∥up∥ =

   ∑ ∑

   m

   k=1 µ=1

   

   µ 2

   | k |

   , (1.3)

   Заменим в дифференциальном операторе A

   1

   

   C (t, u) u˙ (t) ∼ τ C

   1,k

   1

   

   (uk+1 − uk ) + τ C

   2,k

   (uk − uk−1) ,

   где uk = u (tk ); C1,k = C1,k (tk , uk ) , C2,k = C2,k (tk , uk , uk

   µν

   −

   1) — матрицы [C1,k ]

   2n×2n

   , C

   [ 2,k ]

   µν

   2n×2n,

   удовлетворяющие равенству C1,k + C2,k = C (tk , u (tk )) + o (τ ). Дифференцируемые функции

   C1,k

   2,k

   1,k

   2,k

   = (1−γµν )

   µν и Cµν можно выбрать разными способами, например, Cµν = γµν Cµν (tk , uk ); Cµν =

   2 (Cµν (tk , uk ) + Cµν (tk , uk−1)), а γµν — некоторое число из [0, 1].

   1

   1

   Тогда можем записать в Xp следующую последовательность приближенных задач, или разностную схему:

   

   τ

   C1,k (uk+1 − uk ) +

   

   τ

   C2,k (uk − uk

   

   −

   1) + Ek = 0, k = 1, m − 1; (1.4)

   ∑

   Здесь Ek = E(tk , uk ). Обозначим

   u0 = a1, um = a2. (1.5)

   2n [ 1

   N k

   1,k ν

   ν 1

   ]

   1,k ν ν k

   τ τ

   µ =

   ν=1

   и

   Cµν (uk+1 − uk ) + Cµν (uk − uk−1)

   + Eµ

   T

   

   

   N p (up) ≡ (N 1, N 2, · · · , N m−1, N 1, · · · , N m−1) .

   1 1 1 2 2n

   В книге [2] получены необходимые и достаточные условия самосопряженности системы дифференци- альных уравнений вида (1.1) с непрерывным временем, а также разработаны методы приведения этой системы к форме уравнений Биркгофа с непрерывным временем.

   В работах [3; 4] получены дискретные аналогии уравнения Биркгофа путем дискретизации пфаф- фиана. Однако вопрос о необходимых и достаточных условиях потенциальности дискретных систем и построении соответствующих функционалов в литературе, насколько нам известно, пока не исследовал- ся. Рассматриваемые в настоящей статье вопросы восходят к идеям монографии [5].

   Для дальнейшего нам понадобится понятие потенциальности дискретного оператора.

2. Критерий потенциальности дискретного оператора

   

   p

   Обозначим через N′

   

   

   первую производную Гато оператора N p и положим D (N p) =

   

   

   

   

   

   p

   = {up ∈ Xp; u0 = a1, um = a2} , D (N′ ) = {hp ∈ Xp; h0 = hm = 0}.

   

   

   Определение 2.1. Дискретный оператор N p : D (N p) → Rp называется потенциальным в области

   

   p

   D (N p) относительно билинейной формы ⟨·, ·⟩ : Xp ×Xp → R, если существует функционал FN

   такой, что

   : Xp → R,

   [

   ]

   FNp

   up + εhp

   — FNp [up]

   ( ) ( )

   

   lim

   ε→0 ε

   

   

   

   

   

   N

   p

   = ⟨N p (up) , hp⟩, ∀ up ∈ D N p

   , ∀ hp ∈ D ′ .

   

   При этом будем говорить, что система (1.4), (1.5) является потенциальной в области D (N p) отно-

   

   

   

   

   сительно заданной билинейной формы, а FNp [up] — потенциал оператора N p (up).

   Савчин В.М., Чинь Ф.Т. О потенциальности дискретных систем

   76Savchin V.M., Trinh P.T.On discrete systems with potential operators

   Теорема 2.1(критерий потенциальности оператора). Пусть дифференцируемый по Гато оператора

   

   

   

   

   N p : D (N p) → Rp и билинейная форма

   ⟨·, ·⟩ : Xp × Xp → R

   ( )

   

   

   

   N

   p

   такие, что для любых фиксированных элементов up ∈ D (N p) , hp, gp ∈ D ′

   функция φ (ε) ≡

   

   

   

   

   

   

   ≡ ⟨N p (up + εhp) , gp⟩ ∈ C1[0, 1]. Тогда для потенциальности оператора N p в односвязной области D (N p)

   относительно заданной билинейной формы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

   

   

   

   

   

   

   ⟨N′ hp, g ⟩ = ⟨N′ g , hp⟩. (2.1)

   При этом

   p p p p

   ∫ 1

   ( 0

   0

   0

   ( ))

   FNp [up] =

   ⟨N p

   0

   up + λ

   up − up

   , up − up⟩dλ, (2.2)

   

   

   p

   где u0 ∈ D (N p) — фиксированный элемент.

   Доказательство можно получить, используя общий критерий потенциальности оператора [6].

   

   Для дальнейшего изложения введем в Xp скалярное произведение

   l

   m−1 2n

   ∑ ∑ µ µ

   (up, vp) = m

   k=1 µ=1

   uk vk . (2.3)

   

   

   

   

   ∥

   Теперь Xp превращено в евклидово пространство, причем (up, up) = ∥up 2.

   µ

   Сначала найдем первую производную Гато оператора N k

   ′

   ( )k

   N hp

   ∑

   2n { 1

   1,k (hν

   ν ) +

   1 C2,k (hν

   ν ) +

   p =

   µ

   ν=1

   Cµν

   τ

   k+1 − hk

   

   τ µν

   k − hk−1

   2n [ 1 ∂C1,k

   ∂C2,k

   + ∑ µν hσ (uν

   − uν ) + 1

   µν hσ (uν − uν ) +

   σ=1

   

   k

   τ ∂uσ k

   

   k+1 k

   k

   τ ∂uσ k k

   k−1

   µν

   1 ∂C2,k

   + hσ

   (uν − uν

   ]} 2n

   ) + ∑

   ∂Ek

   µ hσ .

   Обозначим

   

   k 1

   τ ∂uσ

   −

   k−1 k

   k−1

   σ=1

   

   k

   ∂uσ k

   N′ hp =

   ( ( )1

   N′ hp

   ( )2

   , N′ hp

   , · · · ,

   ( )m−1

   N′ hp

   ( )1

   , N′ hp

   , · · ·

   p p 1 p 1

   p 1 p 2

   · · · ,

   ( )m−1 )T

   N′ hp .

   Используя формулу (2.3), получаем

   p 2n

   l

   m−1 2n

   k

   m−1 2n

   

   (N′ hp, g ) =

   ∑ ∑ (N′ hp)

   gµ = ∑

   ∑ [W 1,k + W 2,k ] ,

   

   p p m

   p

   k=1 µ=1

   µ k µν

   k=1 µ,ν,σ=1

   µνσ

   l

   m−1 2n

   k

   m−1 2n

   

   (N′ g , hp) =

   ∑ ∑ (N′ g )

   hµ = ∑

   ∑ [W 3,k + W 4,k ] ,

   где

   

   p p m

   k=1 µ=1

   p p µ k

   µν

   k=1 µ,ν,σ=1

   µνσ

   µν = Cµν (hk+1 − hk ) gk + Cµν (hk − hk−1) gk ,

   1,k

   W 1,k

   1,k ν

   2,k

   ν µ 2,k

   ν ν µ

   2,k k

   W 2,k

   ∂Cµν hσ ν

   ν µ ∂Cµν hσ ν ν

   µ ∂Cµν hσ ν ν

   µ l ∂Eµ hσ µ

   

   u − u g +

   µνσ =

   k

   ∂uσ

   ( )

   

   k k k−1 k ∂uσ

   k k+1 k k

   k

   ∂uσ

   

   k−1 k k−1 k m ∂uσ

   (u − u ) g +

   k−1

   

   (u − u ) g +

   k

   k gk ,

   µν = Cµν (gk+1 − gk ) hk + Cµν (gk − gk−1) hk ,

   1,k

   W 3,k

   1,k ν

   2,k

   ν µ 2,k

   ν ν µ

   2,k k

   W 4,k

   ∂Cµν gσ ν

   ν µ ∂Cµν gσ ν ν

   µ ∂Cµν gσ ν ν

   µ l ∂Eµ gσ µ

   

   u − u h +

   µνσ =

   k

   ∂uσ

   u − u h +

   ( )

   

   k k+1 k k

   k

   ∂uσ

   ( )

   

   k−1

   k−1 k k−1 k m ∂uσ

   k k k−1 k ∂uσ

   ( )

   

   (u − u ) h +

   k

   k hk .

   

   

   N

   Здесь hp, gp — произвольные элементы из D

   p

   ′ . Поскольку

   W 1,k

   1,k 2

   2,k

   4,k

   4,k

   µν = Wνµ , Wµνσ = Wνσµ, Wµνσ = Wµσν ,

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 74–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 74–82 77

   то

   m−1 2n

   m−1 2n [

   

   

   (N′ hp, g ) = ∑

   ∑ [W 1,k + W 2,k ] = ∑ ∑

   C1,k (hµ

   − hµ) gν + C2,k (hµ − hµ

   ) gν +

   p p

   ∂C1,k

   k=1 µ,ν,σ=1

   νµ

   ∂C2,k

   νσµ

   k=1 µ,ν,σ=1

   νµ

   ∂C2,k

   k+1 k k

   νµ k

   l

   k−1 k

   ∂Ek ]

   + νσ hµ (uσ

   k k k−1 k ∂uµ

   o ν νσ hµ σ σ

   −

   ν νσ hµ

   1 k k−1 k m ∂uµ

   o σ ν

   ν hµ ν ,

   k

   ∂uµ k

   k+1 − uk ) gk +

   k

   ∂uµ

   (u − u ) g +

   k−1

   k (u − u ) g +

   k

   k gk

   m−1 2n

   m−1 2n [

   

   

   (N′ g , hp) = ∑

   ∑ [W 3,k + W 4,k ] = ∑

   ∑ hµ

   C1,k (gν

   — gν ) + C2,k (gν − gν ) +

   p p µν

   k=1 µ,ν,σ=1

   µσν

   k µν

   k=1 µ,ν,σ=1

   k+1 k

   µν k

   k−1

   ∂C1,k

   + µσ gν (uσ

   — uσ ) +

   ∂C2,k

   µσ gν (uσ − uσ

   ∂C2,k

   ) + µσ gν

   (uσ − uσ

   ) + l

   ∂Ek ]

   µ gν .

   

   k

   ∂uν k

   k+1 k

   

   k

   ∂uν k k

   ∂u

   k−1

   

   ν k−1

   k−1 k

   k−1

   

   k

   m ∂uν k

   k

   Ввиду произвольности элементов hµ

   из критерия потенциальности (2.1) получаем

   2n [

   ∑

   C1,k−1 ν

   1,k ν

   2,k ν

   2,k+1 ν

   ∂C

   1,k

   

   νσ

   (uσ

   ∂C

   2,k

   

   • ν νσ

     (uσ σ ν

     ν,σ=1

     νµ gk−1 − Cνµ gk + Cνµ gk − Cνµ gk+1 +

     k

     ∂uµ

     k+1 − uk ) gk +

     k

     ∂uµ

     k − uk−1) gk +

     ∂C2,k+1

     l ∂Ek ]

     2n [

     + νσ (uσ

   • ν ν ν

   ∑ 1,k ν

   ν 2,k ν ν

   k

   ∂uµ

   k

   k+1 − uk ) gk+1 + m ∂uµ gk

   =

   ν,σ=1

   Cµν (gk+1 − gk ) + Cµν (gk − gk−1) +

   ∂C1,k

   + µσ gν (uσ

   — uσ ) +

   ∂C2,k

   µσ gν (uσ − uσ

   ∂C2,k

   ) + µσ gν

   (uσ − uσ

   ) + l

   ∂Ek ]

   µ gν ,

   

   k

   ∂uν k

   k+1 k

   

   k

   ∂uν k k

   ∂u

   k−1

   

   ν k−1

   k−1 k

   k−1

   

   k

   m ∂uν k

   2n [

   ∑

   ∂C1,1

   

   

   k = 2, m − 2, µ = 1, 2n,

   ∂C2,1

   − C1,1 ν

   2,1 ν

   2,2 ν

   νσ (uσ

   • ν νσ

     (uσ σ ν

     ν,σ=1

     

     νµ g1 + Cνµ g1 − Cνµ g2 +

     1

     ∂uµ

     

     2 − u1 ) g1 +

     1

     ∂uµ

     1 − u0 ) g1 +

     ∂C

     2,2

     + νσ

     (uσ − uσ ) gν + l

     ∂E1 ]

     ν gν =

     2n [

     ∑

     C1,1 (gν − gν ) + C2,1gν +

     

     1

     ∂uµ 2

     

     1

     1 2 m ∂uµ 1

     ν,σ=1

     µν 2 1

     µν 1

     ∂C1,1

     ∂C2,1

     l ∂E1 ]

     + µσ gν σ

   • µσ ν σ

   • µ ν

   1

   ∂uν

   2n

   1 (u2 − u1 ) +

   [

   1

   ∂uν

   1

   g1 (u1 − u0 ) + m ∂uν g1

   , µ = 1, 2n,

   ∑ C1,m−2 ν

   1,m−1 ν

   2,m−1 ν

   ∂C1,m−1

   ν,σ=1

   νµ gm−2 − Cνµ gm−1 + Cνµ gm−1+

   ∂C2,m−1

   l ∂Em−1 ]

   

   ∂uµ

   

   m − um−1) gm−1 +

   ∂uµ

   (um−1 − um−2) gm−1 + m ∂uµ

   gm−1 =

   + νσ

   (uσ

   =

   σ

   2n [

   ∑

   ν νσ

   1

   − C1,m−1 ν

   o σ ν

   2,m−1 ν ν

   ν ν

   

   m−1

   ν,σ=1

   ∂C1,m−1

   µν gm−1 + Cµν (gm−1 − gm−2) +

   ∂C2,m−1

   g

   +

   µσ

   

   ∂u

   ν m−1

   u

   — u

   g

   u

   — u

   +

   +

   ν ( σ

   m−1 m

   o )

   m−1

   µσ

   

   ∂u

   ν m−1

   ν m−1

   ( σ

   m−1

   o )

   m−2

   ∂C

   2,m−1

   + µσ gν

   (uσ

   — uσ

   ) + l

   µ

   ∂Em−1

   gν

   ]

   , µ = 1, 2n.

   

   ν m−2

   ∂u

   m−2

   m−1

   m−2

   

   m 1

   m ∂uν

   −

   m−1

   k

   Ввиду произвольности элементов gν

   2n

   отсюда находим условия

   2,k

   C1,k−1

   2,k

   ∑ ∂Cνσ

   (uσ σ

   

   νµ + Cµν =

   σ=1

   ∂u

   µ k−1

   

   

   k

   k − uk−1) (k = 2, m − 1, µ, ν = 1, 2n) , (2.4)

   −C1,k

   2,k

   1,k

   2,k

   l ∂Ek

   l ∂Eµ

   

   ν

   k

   νµ + Cνµ + Cµν − Cµν + m ∂uµ − m ∂uν =

   k

   [( ∂C2,k

   2,k ) ( σ

   σ )] (

   )

   (2.5)

   =

   ∑2n

   σ=1

   µσ

   

   ∂uν

   k −

   ∂Cνσ

   k

   ∂uµ

   uk − uk−1

   k = 1, m − 1, µ, ν = 1, 2n ,

   2n ( ∂C1,k

   ∂C1,k )

   ∑

   σ=1

   µσ

   k

   ∂uν

   

   νσ

   k

   − ∂uµ

   = 0 (k = 1, m − 1, µ, ν = 1, 2n) . (2.6)

   Савчин В.М., Чинь Ф.Т. О потенциальности дискретных систем

   78Savchin V.M., Trinh P.T.On discrete systems with potential operators

   Таким образом, выше доказана следующая теорема.

   

   Теорема 2.2. Система (1.4) является потенциальной в области D (N p) относительно билинейной

   формы (2.3) тогда и только тогда, когда выполняются условия (2.4) – (2.6).

   

   Остается вопрос построения функционала — потенциала оператора N p — аналога действия по Гамиль- тону.

3. Построение действия по Гамильтону

   

   

   При выполнений условий (2.4) – (2.6) искомый функционал FNp может быть построен по формуле (2.2). К этому вопросу можно подойти по-другому. Ищем потенциал оператора N p в виде

   l

   m−1 ( 2n uν ν

   FNp [up] = m

   R

   ∑

   k=0

   ∑ k

   ν

   ν=1

   

   k+1 − uk k )

   τ − B

   , (3.1)

   

   где Rν (t, u) : [0, l] × R2n → R (ν = 1, 2n), B (t, u) : [0, l] × R2n → R — неизвестные непрерывно дифференци-

   руемые функции, a Rk = Rν (tk , uk ), Rk = (Rk , Rk , . . . , Rk

   ) , Bk = B (tk , uk ) (k = 1, m − 1).

   ν 1 2 2n

   Из определения потенциальности имеем

   [

   ]

   m−1 2n

   k ν ν

   ν ν k

   FNp

   up + εhp

   — FNp [up]

   l ∑ ∑

   ( ∂Rν

   u − u

   hk+1 − hk µ)

   

   

   lim =

   ε→0 ε m

   k=0 µ,ν=1

   h

   µ

   

   k

   ∂uµ k

   k+1

   τ

   

   ν

   k + Rk

   τ

   ∂B

   k

   — ∂uµ hk =

   l m−1

   2n ( ∂Rk uν

   ν Rk

   k−1

   ∂Bk )

   

   = ∑ ∑

   m

   ν

   ∂uµ

   k+1 − uk

   

   τ −

   µ − Rµ

   

   hµ

   τ − ∂uµ k =

   k=1 µ,ν=1 k k

   l

   m−1

   2n ( uν uν

   uν uν )

   = (N m(um), hm) = ∑ ∑

   C1,k

   k+1 −

   k + C2,k k −

   k−1

   k hµ

   

   

   m

   k=1 µ,ν=1

   

   µν τ

   

   τ

   µν + Eµ k .

   k

   Считая, что элементы hµ

   произвольные, отсюда получаем

   2n k ν ν

   k k−1

   2n ν ν ν ν

   ∑ ∂Rν uk+1 −uk

   Rµ −Rµ

   ∂Bk

   ∑ ( 1,k uk+1 −uk

   2,k uk −uk−1 ) + Ek

   

   ∂uµ

   

   

   

   τ − τ − ∂uµ =

   Cµν

   

   τ + Cµν τ µ

   ν=1 k

   k ν=1

   (3.2)

   

   (k = 1, m − 1, µ = 1, 2n) .

   Сравнивая левую и правую части тождеств (3.2), находим

   C1,k

   ν

   ∂Rk

   

   

   (k = 1, m − 1, µ, ν = 1, 2n) , (3.3)

   Rk k−1

   

   k

   µν = ∂uµ

   2n ν ν

   µ − Rµ

   ∂Bk

   ∑ 2,k uk − uk 1

   − τ − ∂uµ =

   Cµν

   + Eµ (k = 1, m − 1, µ = 1, 2n) . (3.4)

   

   

   τ

   — k

   

   k ν=1

   µ

   Если существуют функции Rk , удовлетворяющие этим условиям, то отсюда следует, что

   ( Rk

   k−1

   ) ∂Rk−1

   ∂

   µ −Rµ

   ∂Bk

   µ

   ∂uσ

   k−1

   

   

   k

   − τ − ∂uµ

   = ∂uσ =

   k−1

   = ∂ (∑2n

   2,k u −uk−1 + Ek )

   1 2,k

   2n ∂Cµν

   .

   u −u

   ∂uσ

   k−1

   В силу условий (2.4) имеем

   ν ν

   

   k

   ν=1 Cµν τ

   µ = − τ Cµσ

   2,k

   + ∑ν=1 ∂uσ

   k−1

   ν ν

   k k−1

   

   τ

   2n ∂C2,k

   −C2,k

   ∑ µν (uν ν

   1,k−1

   ∂u

   µσ +

   ν=1

   σ k−1

   k

   k − uk−1) = Cσµ .

   Таким образом, получаем C1,k = ∂Rν . Значит, условия (3.3) являются следствием условий (3.4).

   

   k

   µν ∂uµ

   Итак, чтобы определить функции Rk , Bk , нужно решить следующую систему уравнений:

   Rk k−1

   2n ν ν

   µ − Rµ

   ∂Bk

   ∑ 2,k uk − uk 1

   − τ − ∂uµ =

   Cµν

   + Eµ , (k = 1, m − 1, µ = 1, 2n) .

   

   

   τ

   — k

   

   k ν=1

   Укажем некоторые частные случаи, для которых можно решить эти уравнения относительно Rk , Bk .

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 74–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 74–82 79

   • Путь существуют функции Φ1 (tk , uk ) , Φ2 (tk , uk ) такие, что

     µ µ

     2n

     ∑ C2,k (uν ν 1 2

     Тогда

     µν

     ν=1

     k − uk−1) = Φµ (tk , uk ) + Φµ (tk−1, uk−1) .

     

      Rk = Φ2 (tk , uk ) , µ = 1, 2n,

      µ

     µ

     2n ∫ 1 [

     Φ1 (k, λuk ) + Φ2 (k, λuk )]

     k

     

     Bk = − ∑ uµ

     µ=1 0

     

     µ

     Ek (tk , λuk ) + µ µ

     τ

     dλ.

     µν

   • Путь C2,k

   зависят только от k. Тогда

   2n

   ∑ C2,k (uν ν

   [

   2n

   ∑ ( 2,k+1 ν

   2,k ν

   ν 2,k+1

   ]

   2,k .

   Получаем

   µν

   ν=1

   

   k − uk−1) =

   2n

   ν=1

   Cµν uk − Cµν uk−1) − uk (Cµν − Cµν )

    Rk

   

   ∑ 2,k+1 ν

    µ = −

   ν=1 2n

   Cµν uk , µ = 1, 2n,

   ∫ 1 [ 2n

   C2,k+1

   C2,k ]

    Bk = − ∑ uµ

   Ek (tk , λuk ) − ∑ λuν

   µν − µν

   dλ.

   

   0

    k µ

   µ=1

   

   k τ

   ν=1

   

   Таким образом, приходим к действию по Гамильтону FNp .

4. Пример

Рассмотрим систему уравнений движения точки единичной массы в среде с сопротивлением, про- порциональным квадрату скорости [7]

 ( 0 −1 ) ( x˙



2

) + ( −Ky

)

= 0,

 1 0 y˙ −y

(4.1)

(x (0) , y (0)) = (ϕ1, ϕ2) ,



 (x (1) , y (1)) = (ϕ3, ϕ4) ,

где x˙ = y скорость частицы, K — постоянный коэффициент.

Запишем разностную схему этой системы

)

( 0 0 ) ( xk+1 −xk

0 −

( yk

) ( xk −xk−1 )

N p (up) ≡ 1 0

y τ y +

yk−1 y τ +

τ

k+1 − k 0 0

k −yk−1

τ

( −Ky2 )

где uk = (xk , yk )T . Поскольку

u0 = (ϕ1, ϕ2)T , um = (ϕ3, ϕ4)T ,

+ k

−yk

= 0,

C1,k−1

2,k

∂C

2,k

11

∂C

2,k

12

12 + C21 ̸= ∂y

то разностная схема непотенциальная.

k−1

(xk − xk−1) + ∂y

k−1

(yk − yk−1) ,

С помощью условий (2.4) – (2.6) можно найти матричный вариационный множитель

0

( 1 )

2

Тогда

Mk =

yk .

y2

0 1

k

(

0 0 ) ( xk+1 −xk )

( 0 − 1

) ( xk −xk−1 )

( −K )

Mk N p (up) =

1 0

y τ y +

ykyk−1 y τ

+ 1 ,

y

2

k

потенциальный оператор и

τ

k+1 − k 0 0

k −yk−1

τ

− yk

 k k−1

1

1 1 k 1

 1 1 − k k−1 k

R − R = ykyk 1 (yk − yk−1) = − y + y ⇒ R1 = − y ,

 Rk

2 = 0 ⇒ R2 = 0,

 2 − Rk−1 k

 ∂B k

∂B k

1 k



 ∂xk + ∂yk = K + yk ⇒ B

= Kxk + ln yk .

Савчин В.М., Чинь Ф.Т. О потенциальности дискретных систем

80Savchin V.M., Trinh P.T.On discrete systems with potential operators

Искомый функционал равен

l m−1 ( x − x )

FMk Np [up] = − m

∑

k=0

k+1

τyk

k + Kxk + ln yk .

В случае непрервыного времени он имеет вид [7]

∫ 1 ( 1 x )

Обозначим

J = −

0

x˙ + y˙ + Kx + ln y

2y 2y2

dt.

• u1 = (x1 , y1 )T — точное решение задачи (4.1),

  p p p

  

• u2

  

  

  = (x2 , y2 )T — решение, полученное при переходе к вариационному множителю и дальнейшей

  p p p

  дискретизации функционала,

  

  

  

• u3 = (x2 , y3 )T — решение, полученное при прямом использовании метода Рунге — Кутта.

p p p

p

1

1 p p

Для оценки погрешности решений ui

(i = 2, 3) используем норму 1ui − u11 по формуле (1.3).

T

2

Положим m = 4, K = 1, u0 = (0, 1)T , um = ( 1 , ln 2)

, находим

u1(tk ) =

(

ln (1 + tk ),

1 )T

.

1 + tk

С помощью Matlab получаем таблицу значений и графики вышеперечисленных решений (рис. 4.1, 4.2).

Решение	k = 1 (t = 0, 25)	k = 2 (t = 0, 5)	k = 3 (t = 0, 75)	Погрешность
u1 6	( 0, 2231 ) 0, 8000	( 0, 4055 ) 0, 6667	( 0, 5596 ) 0, 5714	0
u2 6	( 0, 2000 ) 0, 8333	( 0, 3667 ) 0, 7143	( 0, 5095 ) 0, 6250	0, 0329
u3 6	( 0, 1800 ) 0, 7867	( 0, 3248 ) 0, 6528	( 0, 4467 ) 0, 5597	0, 0418

Значения решений в точках и погрешности решений Solution values at points and solution errors

Таблица

Table

Рис. 4.1. Графики решений u1, u2, u3

6 6 6

Fig. 4.1. Graph of solutions u1, u2, u3

6 6 6

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 74–82

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 74–82 81

Рис. 4.2. Зависимость погрешности от количества узлов m

Fig. 4.2. Dependence of the error on the number of nodes m

Выводы

Получены разностные уравнения, соответствующие системе вида C(t, u)u˙ (t) + E(t, u) = 0 с непре- рывным временем. Введено понятие потенциальности дискретной системы. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности рассматриваемой разностной системы относительно заданной би- линейной формы. Представлен алгоритм построения соответствующего действия по Гамильтону. Дан иллюстрирующий пример.