ON DISCRETE SYSTEMS WITH POTENTIAL OPERATORS

Abstract

The main purpose of this work is to study the potentiality of a discrete system obtained from the system of the form C(t, u)u_ (t)+E(t, u) = 0 with continuous time. The definition of potentiality of the corresponding discrete system is introduced. Necessary and sufficient conditions for its potentiality with respect to a given bilinear form are obtained. The algorithm for the construction of the corresponding functional—the analogue of the Hamiltonian action—is presented. The illustrative example is given.

Full Text

1. Предварительные сведения

   Рассмотрим следующую краевую задачу:

   N (u) ≡ C (t, u) u˙ (t) + E (t, u) = 0, 0 < t < l, (1.1)

   u (0) = a1, u (l) = a2, (1.2)

   ( 1 2

   2n)T

   где C (t, u) — заданная матрица [Cµν (t, u)]2n×2n; u =

   T

   u , u , · · · , u

   — неизвестная вектор-функция;

   E (t, u) = (E1 (t, u) , E2 (t, u) , · · · , E2n (t, u))

   ; a1, a2 ∈ R2n.

   Предположим, что Cµν (t, u) : [0, l] × R2n → R и Eµ (t, u) : [0, l] × R2n → R — заданные непрерывнo

   дифференцируемые функции.

   Запишем систему (1.1) в виде

   A (u) + E (t, u) = 0,

   

   1Публикация выполнена при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 74–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 74–82 75

   где A — оператор, определяемый дифференциальными выражением

   A (u) ≡ C (t, u) u˙ (t) .

   Пусть область определения D (A) оператора A состоит из непрерывно дифференцируемых вектор-

   функций на (0, l) — пространство X, удовлетворяющих граничным условиям (1.2).

   Разобьем [0, l] на m равных частей узлами tk = kτ (k = 0, 1, · · · , m), где τ = m−1l. Введем операторы сужения [1]

   Tpu (t) = (u1 (t1) , · · · , u2n (t1) , u1 (t2) , · · · , u2n (t2) , · · · ,

   T

   −

   · · · , u1 (tm

   1) , · · · , u2n (t

   m−1) )

   (столбец высоты p = 2n (m − 1)). Такие столбцы образуют линейное пространство, которое будем обо-

   значать Xp. Для up = Tpu (t) зададим сферическую норму

   1

   (

   l m−1 2n ) 2

   k

   где uµ = uµ (tk ).

   u

   ∥up∥ =

   ∑ ∑

   m

   k=1 µ=1

   

   µ 2

   | k |

   , (1.3)

   Заменим в дифференциальном операторе A

   1

   

   C (t, u) u˙ (t) ∼ τ C

   1,k

   1

   

   (uk+1 − uk ) + τ C

   2,k

   (uk − uk−1) ,

   где uk = u (tk ); C1,k = C1,k (tk , uk ) , C2,k = C2,k (tk , uk , uk

   µν

   −

   1) — матрицы [C1,k ]

   2n×2n

   , C

   [ 2,k ]

   µν

   2n×2n,

   удовлетворяющие равенству C1,k + C2,k = C (tk , u (tk )) + o (τ ). Дифференцируемые функции

   C1,k

   2,k

   1,k

   2,k

   = (1−γµν )

   µν и Cµν можно выбрать разными способами, например, Cµν = γµν Cµν (tk , uk ); Cµν =

   2 (Cµν (tk , uk ) + Cµν (tk , uk−1)), а γµν — некоторое число из [0, 1].

   1

   1

   Тогда можем записать в Xp следующую последовательность приближенных задач, или разностную схему:

   

   τ

   C1,k (uk+1 − uk ) +

   

   τ

   C2,k (uk − uk

   

   −

   1) + Ek = 0, k = 1, m − 1; (1.4)

   ∑

   Здесь Ek = E(tk , uk ). Обозначим

   u0 = a1, um = a2. (1.5)

   2n [ 1

   N k

   1,k ν

   ν 1

   ]

   1,k ν ν k

   τ τ

   µ =

   ν=1

   и

   Cµν (uk+1 − uk ) + Cµν (uk − uk−1)

   + Eµ

   T

   

   

   N p (up) ≡ (N 1, N 2, · · · , N m−1, N 1, · · · , N m−1) .

   1 1 1 2 2n

   В книге [2] получены необходимые и достаточные условия самосопряженности системы дифференци- альных уравнений вида (1.1) с непрерывным временем, а также разработаны методы приведения этой системы к форме уравнений Биркгофа с непрерывным временем.

   В работах [3; 4] получены дискретные аналогии уравнения Биркгофа путем дискретизации пфаф- фиана. Однако вопрос о необходимых и достаточных условиях потенциальности дискретных систем и построении соответствующих функционалов в литературе, насколько нам известно, пока не исследовал- ся. Рассматриваемые в настоящей статье вопросы восходят к идеям монографии [5].

   Для дальнейшего нам понадобится понятие потенциальности дискретного оператора.

2. Критерий потенциальности дискретного оператора

   

   p

   Обозначим через N′

   

   

   первую производную Гато оператора N p и положим D (N p) =

   

   

   

   

   

   p

   = {up ∈ Xp; u0 = a1, um = a2} , D (N′ ) = {hp ∈ Xp; h0 = hm = 0}.

   

   

   Определение 2.1. Дискретный оператор N p : D (N p) → Rp называется потенциальным в области

   

   p

   D (N p) относительно билинейной формы ⟨·, ·⟩ : Xp ×Xp → R, если существует функционал FN

   такой, что

   : Xp → R,

   [

   ]

   FNp

   up + εhp

   — FNp [up]

   ( ) ( )

   

   lim

   ε→0 ε

   

   

   

   

   

   N

   p

   = ⟨N p (up) , hp⟩, ∀ up ∈ D N p

   , ∀ hp ∈ D ′ .

   

   При этом будем говорить, что система (1.4), (1.5) является потенциальной в области D (N p) отно-

   

   

   

   

   сительно заданной билинейной формы, а FNp [up] — потенциал оператора N p (up).

   Савчин В.М., Чинь Ф.Т. О потенциальности дискретных систем

   76Savchin V.M., Trinh P.T.On discrete systems with potential operators

   Теорема 2.1(критерий потенциальности оператора). Пусть дифференцируемый по Гато оператора

   

   

   

   

   N p : D (N p) → Rp и билинейная форма

   ⟨·, ·⟩ : Xp × Xp → R

   ( )

   

   

   

   N

   p

   такие, что для любых фиксированных элементов up ∈ D (N p) , hp, gp ∈ D ′

   функция φ (ε) ≡

   

   

   

   

   

   

   ≡ ⟨N p (up + εhp) , gp⟩ ∈ C1[0, 1]. Тогда для потенциальности оператора N p в односвязной области D (N p)

   относительно заданной билинейной формы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

   

   

   

   

   

   

   ⟨N′ hp, g ⟩ = ⟨N′ g , hp⟩. (2.1)

   При этом

   p p p p

   ∫ 1

   ( 0

   0

   0

   ( ))

   FNp [up] =

   ⟨N p

   0

   up + λ

   up − up

   , up − up⟩dλ, (2.2)

   

   

   p

   где u0 ∈ D (N p) — фиксированный элемент.

   Доказательство можно получить, используя общий критерий потенциальности оператора [6].

   

   Для дальнейшего изложения введем в Xp скалярное произведение

   l

   m−1 2n

   ∑ ∑ µ µ

   (up, vp) = m

   k=1 µ=1

   uk vk . (2.3)

   

   

   

   

   ∥

   Теперь Xp превращено в евклидово пространство, причем (up, up) = ∥up 2.

   µ

   Сначала найдем первую производную Гато оператора N k

   ′

   ( )k

   N hp

   ∑

   2n { 1

   1,k (hν

   ν ) +

   1 C2,k (hν

   ν ) +

   p =

   µ

   ν=1

   Cµν

   τ

   k+1 − hk

   

   τ µν

   k − hk−1

   2n [ 1 ∂C1,k

   ∂C2,k

   + ∑ µν hσ (uν

   − uν ) + 1

   µν hσ (uν − uν ) +

   σ=1

   

   k

   τ ∂uσ k

   

   k+1 k

   k

   τ ∂uσ k k

   k−1

   µν

   1 ∂C2,k

   + hσ

   (uν − uν

   ]} 2n

   ) + ∑

   ∂Ek

   µ hσ .

   Обозначим

   

   k 1

   τ ∂uσ

   −

   k−1 k

   k−1

   σ=1

   

   k

   ∂uσ k

   N′ hp =

   ( ( )1

   N′ hp

   ( )2

   , N′ hp

   , · · · ,

   ( )m−1

   N′ hp

   ( )1

   , N′ hp

   , · · ·

   p p 1 p 1

   p 1 p 2

   · · · ,

   ( )m−1 )T

   N′ hp .

   Используя формулу (2.3), получаем

   p 2n

   l

   m−1 2n

   k

   m−1 2n

   

   (N′ hp, g ) =

   ∑ ∑ (N′ hp)

   gµ = ∑

   ∑ [W 1,k + W 2,k ] ,

   

   p p m

   p

   k=1 µ=1

   µ k µν

   k=1 µ,ν,σ=1

   µνσ

   l

   m−1 2n

   k

   m−1 2n

   

   (N′ g , hp) =

   ∑ ∑ (N′ g )

   hµ = ∑

   ∑ [W 3,k + W 4,k ] ,

   где

   

   p p m

   k=1 µ=1

   p p µ k

   µν

   k=1 µ,ν,σ=1

   µνσ

   µν = Cµν (hk+1 − hk ) gk + Cµν (hk − hk−1) gk ,

   1,k

   W 1,k

   1,k ν

   2,k

   ν µ 2,k

   ν ν µ

   2,k k

   W 2,k

   ∂Cµν hσ ν

   ν µ ∂Cµν hσ ν ν

   µ ∂Cµν hσ ν ν

   µ l ∂Eµ hσ µ

   

   u − u g +

   µνσ =

   k

   ∂uσ

   ( )

   

   k k k−1 k ∂uσ

   k k+1 k k

   k

   ∂uσ

   

   k−1 k k−1 k m ∂uσ

   (u − u ) g +

   k−1

   

   (u − u ) g +

   k

   k gk ,

   µν = Cµν (gk+1 − gk ) hk + Cµν (gk − gk−1) hk ,

   1,k

   W 3,k

   1,k ν

   2,k

   ν µ 2,k

   ν ν µ

   2,k k

   W 4,k

   ∂Cµν gσ ν

   ν µ ∂Cµν gσ ν ν

   µ ∂Cµν gσ ν ν

   µ l ∂Eµ gσ µ

   

   u − u h +

   µνσ =

   k

   ∂uσ

   u − u h +

   ( )

   

   k k+1 k k

   k

   ∂uσ

   ( )

   

   k−1

   k−1 k k−1 k m ∂uσ

   k k k−1 k ∂uσ

   ( )

   

   (u − u ) h +

   k

   k hk .

   

   

   N

   Здесь hp, gp — произвольные элементы из D

   p

   ′ . Поскольку

   W 1,k

   1,k 2

   2,k

   4,k

   4,k

   µν = Wνµ , Wµνσ = Wνσµ, Wµνσ = Wµσν ,

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 74–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 74–82 77

   то

   m−1 2n

   m−1 2n [

   

   

   (N′ hp, g ) = ∑

   ∑ [W 1,k + W 2,k ] = ∑ ∑

   C1,k (hµ

   − hµ) gν + C2,k (hµ − hµ

   ) gν +

   p p

   ∂C1,k

   k=1 µ,ν,σ=1

   νµ

   ∂C2,k

   νσµ

   k=1 µ,ν,σ=1

   νµ

   ∂C2,k

   k+1 k k

   νµ k

   l

   k−1 k

   ∂Ek ]

   + νσ hµ (uσ

   k k k−1 k ∂uµ

   o ν νσ hµ σ σ

   −

   ν νσ hµ

   1 k k−1 k m ∂uµ

   o σ ν

   ν hµ ν ,

   k

   ∂uµ k

   k+1 − uk ) gk +

   k

   ∂uµ

   (u − u ) g +

   k−1

   k (u − u ) g +

   k

   k gk

   m−1 2n

   m−1 2n [

   

   

   (N′ g , hp) = ∑

   ∑ [W 3,k + W 4,k ] = ∑

   ∑ hµ

   C1,k (gν

   — gν ) + C2,k (gν − gν ) +

   p p µν

   k=1 µ,ν,σ=1

   µσν

   k µν

   k=1 µ,ν,σ=1

   k+1 k

   µν k

   k−1

   ∂C1,k

   + µσ gν (uσ

   — uσ ) +

   ∂C2,k

   µσ gν (uσ − uσ

   ∂C2,k

   ) + µσ gν

   (uσ − uσ

   ) + l

   ∂Ek ]

   µ gν .

   

   k

   ∂uν k

   k+1 k

   

   k

   ∂uν k k

   ∂u

   k−1

   

   ν k−1

   k−1 k

   k−1

   

   k

   m ∂uν k

   k

   Ввиду произвольности элементов hµ

   из критерия потенциальности (2.1) получаем

   2n [

   ∑

   C1,k−1 ν

   1,k ν

   2,k ν

   2,k+1 ν

   ∂C

   1,k

   

   νσ

   (uσ

   ∂C

   2,k

   

   • ν νσ

     (uσ σ ν

     ν,σ=1

     νµ gk−1 − Cνµ gk + Cνµ gk − Cνµ gk+1 +

     k

     ∂uµ

     k+1 − uk ) gk +

     k

     ∂uµ

     k − uk−1) gk +

     ∂C2,k+1

     l ∂Ek ]

     2n [

     + νσ (uσ

   • ν ν ν

   ∑ 1,k ν

   ν 2,k ν ν

   k

   ∂uµ

   k

   k+1 − uk ) gk+1 + m ∂uµ gk

   =

   ν,σ=1

   Cµν (gk+1 − gk ) + Cµν (gk − gk−1) +

   ∂C1,k

   + µσ gν (uσ

   — uσ ) +

   ∂C2,k

   µσ gν (uσ − uσ

   ∂C2,k

   ) + µσ gν

   (uσ − uσ

   ) + l

   ∂Ek ]

   µ gν ,

   

   k

   ∂uν k

   k+1 k

   

   k

   ∂uν k k

   ∂u

   k−1

   

   ν k−1

   k−1 k

   k−1

   

   k

   m ∂uν k

   2n [

   ∑

   ∂C1,1

   

   

   k = 2, m − 2, µ = 1, 2n,

   ∂C2,1

   − C1,1 ν

   2,1 ν

   2,2 ν

   νσ (uσ

   • ν νσ

     (uσ σ ν

     ν,σ=1

     

     νµ g1 + Cνµ g1 − Cνµ g2 +

     1

     ∂uµ

     

     2 − u1 ) g1 +

     1

     ∂uµ

     1 − u0 ) g1 +

     ∂C

     2,2

     + νσ

     (uσ − uσ ) gν + l

     ∂E1 ]

     ν gν =

     2n [

     ∑

     C1,1 (gν − gν ) + C2,1gν +

     

     1

     ∂uµ 2

     

     1

     1 2 m ∂uµ 1

     ν,σ=1

     µν 2 1

     µν 1

     ∂C1,1

     ∂C2,1

     l ∂E1 ]

     + µσ gν σ

   • µσ ν σ

   • µ ν

   1

   ∂uν

   2n

   1 (u2 − u1 ) +

   [

   1

   ∂uν

   1

   g1 (u1 − u0 ) + m ∂uν g1

   , µ = 1, 2n,

   ∑ C1,m−2 ν

   1,m−1 ν

   2,m−1 ν

   ∂C1,m−1

   ν,σ=1

   νµ gm−2 − Cνµ gm−1 + Cνµ gm−1+

   ∂C2,m−1

   l ∂Em−1 ]

   

   ∂uµ

   

   m − um−1) gm−1 +

   ∂uµ

   (um−1 − um−2) gm−1 + m ∂uµ

   gm−1 =

   + νσ

   (uσ

   =

   σ

   2n [

   ∑

   ν νσ

   1

   − C1,m−1 ν

   o σ ν

   2,m−1 ν ν

   ν ν

   

   m−1

   ν,σ=1

   ∂C1,m−1

   µν gm−1 + Cµν (gm−1 − gm−2) +

   ∂C2,m−1

   g

   +

   µσ

   

   ∂u

   ν m−1

   u

   — u

   g

   u

   — u

   +

   +

   ν ( σ

   m−1 m

   o )

   m−1

   µσ

   

   ∂u

   ν m−1

   ν m−1

   ( σ

   m−1

   o )

   m−2

   ∂C

   2,m−1

   + µσ gν

   (uσ

   — uσ

   ) + l

   µ

   ∂Em−1

   gν

   ]

   , µ = 1, 2n.

   

   ν m−2

   ∂u

   m−2

   m−1

   m−2

   

   m 1

   m ∂uν

   −

   m−1

   k

   Ввиду произвольности элементов gν

   2n

   отсюда находим условия

   2,k

   C1,k−1

   2,k

   ∑ ∂Cνσ

   (uσ σ

   

   νµ + Cµν =

   σ=1

   ∂u

   µ k−1

   

   

   k

   k − uk−1) (k = 2, m − 1, µ, ν = 1, 2n) , (2.4)

   −C1,k

   2,k

   1,k

   2,k

   l ∂Ek

   l ∂Eµ

   

   ν

   k

   νµ + Cνµ + Cµν − Cµν + m ∂uµ − m ∂uν =

   k

   [( ∂C2,k

   2,k ) ( σ

   σ )] (

   )

   (2.5)

   =

   ∑2n

   σ=1

   µσ

   

   ∂uν

   k −

   ∂Cνσ

   k

   ∂uµ

   uk − uk−1

   k = 1, m − 1, µ, ν = 1, 2n ,

   2n ( ∂C1,k

   ∂C1,k )

   ∑

   σ=1

   µσ

   k

   ∂uν

   

   νσ

   k

   − ∂uµ

   = 0 (k = 1, m − 1, µ, ν = 1, 2n) . (2.6)

   Савчин В.М., Чинь Ф.Т. О потенциальности дискретных систем

   78Savchin V.M., Trinh P.T.On discrete systems with potential operators

   Таким образом, выше доказана следующая теорема.

   

   Теорема 2.2. Система (1.4) является потенциальной в области D (N p) относительно билинейной

   формы (2.3) тогда и только тогда, когда выполняются условия (2.4) – (2.6).

   

   Остается вопрос построения функционала — потенциала оператора N p — аналога действия по Гамиль- тону.

3. Построение действия по Гамильтону

   

   

   При выполнений условий (2.4) – (2.6) искомый функционал FNp может быть построен по формуле (2.2). К этому вопросу можно подойти по-другому. Ищем потенциал оператора N p в виде

   l

   m−1 ( 2n uν ν

   FNp [up] = m

   R

   ∑

   k=0

   ∑ k

   ν

   ν=1

   

   k+1 − uk k )

   τ − B

   , (3.1)

   

   где Rν (t, u) : [0, l] × R2n → R (ν = 1, 2n), B (t, u) : [0, l] × R2n → R — неизвестные непрерывно дифференци-

   руемые функции, a Rk = Rν (tk , uk ), Rk = (Rk , Rk , . . . , Rk

   ) , Bk = B (tk , uk ) (k = 1, m − 1).

   ν 1 2 2n

   Из определения потенциальности имеем

   [

   ]

   m−1 2n

   k ν ν

   ν ν k

   FNp

   up + εhp

   — FNp [up]

   l ∑ ∑

   ( ∂Rν

   u − u

   hk+1 − hk µ)

   

   

   lim =

   ε→0 ε m

   k=0 µ,ν=1

   h

   µ

   

   k

   ∂uµ k

   k+1

   τ

   

   ν

   k + Rk

   τ

   ∂B

   k

   — ∂uµ hk =

   l m−1

   2n ( ∂Rk uν

   ν Rk

   k−1

   ∂Bk )

   

   = ∑ ∑

   m

   ν

   ∂uµ

   k+1 − uk

   

   τ −

   µ − Rµ

   

   hµ

   τ − ∂uµ k =

   k=1 µ,ν=1 k k

   l

   m−1

   2n ( uν uν

   uν uν )

   = (N m(um), hm) = ∑ ∑

   C1,k

   k+1 −

   k + C2,k k −

   k−1

   k hµ

   

   

   m

   k=1 µ,ν=1

   

   µν τ

   

   τ

   µν + Eµ k .

   k

   Считая, что элементы hµ

   произвольные, отсюда получаем

   2n k ν ν

   k k−1

   2n ν ν ν ν

   ∑ ∂Rν uk+1 −uk

   Rµ −Rµ

   ∂Bk

   ∑ ( 1,k uk+1 −uk

   2,k uk −uk−1 ) + Ek

   

   ∂uµ

   

   

   

   τ − τ − ∂uµ =

   Cµν

   

   τ + Cµν τ µ

   ν=1 k

   k ν=1

   (3.2)

   

   (k = 1, m − 1, µ = 1, 2n) .

   Сравнивая левую и правую части тождеств (3.2), находим

   C1,k

   ν

   ∂Rk

   

   

   (k = 1, m − 1, µ, ν = 1, 2n) , (3.3)

   Rk k−1

   

   k

   µν = ∂uµ

   2n ν ν

   µ − Rµ

   ∂Bk

   ∑ 2,k uk − uk 1

   − τ − ∂uµ =

   Cµν

   + Eµ (k = 1, m − 1, µ = 1, 2n) . (3.4)

   

   

   τ

   — k

   

   k ν=1

   µ

   Если существуют функции Rk , удовлетворяющие этим условиям, то отсюда следует, что

   ( Rk

   k−1

   ) ∂Rk−1

   ∂

   µ −Rµ

   ∂Bk

   µ

   ∂uσ

   k−1

   

   

   k

   − τ − ∂uµ

   = ∂uσ =

   k−1

   = ∂ (∑2n

   2,k u −uk−1 + Ek )

   1 2,k

   2n ∂Cµν

   .

   u −u

   ∂uσ

   k−1

   В силу условий (2.4) имеем

   ν ν

   

   k

   ν=1 Cµν τ

   µ = − τ Cµσ

   2,k

   + ∑ν=1 ∂uσ

   k−1

   ν ν

   k k−1

   

   τ

   2n ∂C2,k

   −C2,k

   ∑ µν (uν ν

   1,k−1

   ∂u

   µσ +

   ν=1

   σ k−1

   k

   k − uk−1) = Cσµ .

   Таким образом, получаем C1,k = ∂Rν . Значит, условия (3.3) являются следствием условий (3.4).

   

   k

   µν ∂uµ

   Итак, чтобы определить функции Rk , Bk , нужно решить следующую систему уравнений:

   Rk k−1

   2n ν ν

   µ − Rµ

   ∂Bk

   ∑ 2,k uk − uk 1

   − τ − ∂uµ =

   Cµν

   + Eµ , (k = 1, m − 1, µ = 1, 2n) .

   

   

   τ

   — k

   

   k ν=1

   Укажем некоторые частные случаи, для которых можно решить эти уравнения относительно Rk , Bk .

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 74–82

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 74–82 79

   • Путь существуют функции Φ1 (tk , uk ) , Φ2 (tk , uk ) такие, что

     µ µ

     2n

     ∑ C2,k (uν ν 1 2

     Тогда

     µν

     ν=1

     k − uk−1) = Φµ (tk , uk ) + Φµ (tk−1, uk−1) .

     

      Rk = Φ2 (tk , uk ) , µ = 1, 2n,

      µ

     µ

     2n ∫ 1 [

     Φ1 (k, λuk ) + Φ2 (k, λuk )]

     k

     

     Bk = − ∑ uµ

     µ=1 0

     

     µ

     Ek (tk , λuk ) + µ µ

     τ

     dλ.

     µν

   • Путь C2,k

   зависят только от k. Тогда

   2n

   ∑ C2,k (uν ν

   [

   2n

   ∑ ( 2,k+1 ν

   2,k ν

   ν 2,k+1

   ]

   2,k .

   Получаем

   µν

   ν=1

   

   k − uk−1) =

   2n

   ν=1

   Cµν uk − Cµν uk−1) − uk (Cµν − Cµν )

    Rk

   

   ∑ 2,k+1 ν

    µ = −

   ν=1 2n

   Cµν uk , µ = 1, 2n,

   ∫ 1 [ 2n

   C2,k+1

   C2,k ]

    Bk = − ∑ uµ

   Ek (tk , λuk ) − ∑ λuν

   µν − µν

   dλ.

   

   0

    k µ

   µ=1

   

   k τ

   ν=1

   

   Таким образом, приходим к действию по Гамильтону FNp .

4. Пример

Рассмотрим систему уравнений движения точки единичной массы в среде с сопротивлением, про- порциональным квадрату скорости [7]

 ( 0 −1 ) ( x˙



2

) + ( −Ky

)

= 0,

 1 0 y˙ −y

(4.1)

(x (0) , y (0)) = (ϕ1, ϕ2) ,



 (x (1) , y (1)) = (ϕ3, ϕ4) ,

где x˙ = y скорость частицы, K — постоянный коэффициент.

Запишем разностную схему этой системы

)

( 0 0 ) ( xk+1 −xk

0 −

( yk

) ( xk −xk−1 )

N p (up) ≡ 1 0

y τ y +

yk−1 y τ +

τ

k+1 − k 0 0

k −yk−1

τ

( −Ky2 )

где uk = (xk , yk )T . Поскольку

u0 = (ϕ1, ϕ2)T , um = (ϕ3, ϕ4)T ,

+ k

−yk

= 0,

C1,k−1

2,k

∂C

2,k

11

∂C

2,k

12

12 + C21 ̸= ∂y

то разностная схема непотенциальная.

k−1

(xk − xk−1) + ∂y

k−1

(yk − yk−1) ,

С помощью условий (2.4) – (2.6) можно найти матричный вариационный множитель

0

( 1 )

2

Тогда

Mk =

yk .

y2

0 1

k

(

0 0 ) ( xk+1 −xk )

( 0 − 1

) ( xk −xk−1 )

( −K )

Mk N p (up) =

1 0

y τ y +

ykyk−1 y τ

+ 1 ,

y

2

k

потенциальный оператор и

τ

k+1 − k 0 0

k −yk−1

τ

− yk

 k k−1

1

1 1 k 1

 1 1 − k k−1 k

R − R = ykyk 1 (yk − yk−1) = − y + y ⇒ R1 = − y ,

 Rk

2 = 0 ⇒ R2 = 0,

 2 − Rk−1 k

 ∂B k

∂B k

1 k



 ∂xk + ∂yk = K + yk ⇒ B

= Kxk + ln yk .

Савчин В.М., Чинь Ф.Т. О потенциальности дискретных систем

80Savchin V.M., Trinh P.T.On discrete systems with potential operators

Искомый функционал равен

l m−1 ( x − x )

FMk Np [up] = − m

∑

k=0

k+1

τyk

k + Kxk + ln yk .

В случае непрервыного времени он имеет вид [7]

∫ 1 ( 1 x )

Обозначим

J = −

0

x˙ + y˙ + Kx + ln y

2y 2y2

dt.

• u1 = (x1 , y1 )T — точное решение задачи (4.1),

  p p p

  

• u2

  

  

  = (x2 , y2 )T — решение, полученное при переходе к вариационному множителю и дальнейшей

  p p p

  дискретизации функционала,

  

  

  

• u3 = (x2 , y3 )T — решение, полученное при прямом использовании метода Рунге — Кутта.

p p p

p

1

1 p p

Для оценки погрешности решений ui

(i = 2, 3) используем норму 1ui − u11 по формуле (1.3).

T

2

Положим m = 4, K = 1, u0 = (0, 1)T , um = ( 1 , ln 2)

, находим

u1(tk ) =

(

ln (1 + tk ),

1 )T

.

1 + tk

С помощью Matlab получаем таблицу значений и графики вышеперечисленных решений (рис. 4.1, 4.2).

Решение	k = 1 (t = 0, 25)	k = 2 (t = 0, 5)	k = 3 (t = 0, 75)	Погрешность
u1 6	( 0, 2231 ) 0, 8000	( 0, 4055 ) 0, 6667	( 0, 5596 ) 0, 5714	0
u2 6	( 0, 2000 ) 0, 8333	( 0, 3667 ) 0, 7143	( 0, 5095 ) 0, 6250	0, 0329
u3 6	( 0, 1800 ) 0, 7867	( 0, 3248 ) 0, 6528	( 0, 4467 ) 0, 5597	0, 0418

Значения решений в точках и погрешности решений Solution values at points and solution errors

Таблица

Table

Рис. 4.1. Графики решений u1, u2, u3

6 6 6

Fig. 4.1. Graph of solutions u1, u2, u3

6 6 6

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 74–82

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 74–82 81

Рис. 4.2. Зависимость погрешности от количества узлов m

Fig. 4.2. Dependence of the error on the number of nodes m

Выводы

Получены разностные уравнения, соответствующие системе вида C(t, u)u˙ (t) + E(t, u) = 0 с непре- рывным временем. Введено понятие потенциальности дискретной системы. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности рассматриваемой разностной системы относительно заданной би- линейной формы. Представлен алгоритм построения соответствующего действия по Гамильтону. Дан иллюстрирующий пример.