Passage of an electromagnetic wave through a rectangular von guide with a section of a semiconductor film

Full Text

Введение

В предлагаемой статье рассматривается волноведущая электромагнитная система, представляющая собой прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. На узкую стенку волновода (y = 0) в интервале z от -L до L помещается отрезок активной полупроводниковой пленки (например, GаAs) с отрицательной дифференциальной проводимостью, как показано на рис. 1. Будем считать, что в прямоугольном волноводе в отсутствии полупроводниковой пленки распространяется только волна H₁₀, а остальные высшие моды являются запредельными.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу дифракции основной моды на такой неоднородности. Представим электрическое поле в волноводе в виде суперпозиции поля основной моды и поля, созданного токами на неоднородности [1]:

$E_x=A_0\sin r_0(a-y)e^{-i{\gamma }_{0}z}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}A\left(\gamma \right)\sin r(a-y)e^{-i\gamma z}d\gamma ,$                                    (1)

где  $r=\sqrt{k^2\epsilon \mu -{\gamma }^2}; r_0=\sqrt{k^2\epsilon \mu -{{\gamma }_0}^2}; k=\frac{{\displaystyle \omega }}{c};$

ε, µ    – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, заполняющей прямоугольный волновод;  

γ₀ – продольное волновое число для волны H₁₀

Полагая, что зависимость поля вдоль оси x отсутствует $\left(\frac{\partial }{\partial x}\equiv 0\right),$ из уравнений Максвелла получаем [2]:

Подставляя в последнее соотношение выражение (1), получим:

$H_z=\frac{1}{ik\mu }\frac{\partial E_x}{\partial y}.$                                                                                                  

$H_z=$$\frac{1}{ik\mu }\begin{array}{c}\\ \end{array}(-A_0{r}_0\cos r_0(a-y)e^{-i{\gamma }_{0}z}-$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}$$A\left(\gamma \right)r\cos r(a-y)e^{-i\gamma z}d\gamma ).$        (2)

Полупроводниковый слой в активных волноведущих структурах с поперечным дрейфом носителей имеет малую толщину: δ ≪ t, k_nδ ≪ 1,  где k_n – волновое число в полупроводниковом слое; t – характерный поперечный размер волноведущей структуры; δ – толщина полупроводниковой пленки. Дифференциальная проводимость полупроводника при приложении сильного статического электрического поля E₀ вдоль оси x становится отрицательной и появляется возможность усиления электромагнитных волн.

Полупроводниковую пленку в линейном приближении будем описывать с помощью двухсторонних граничных условий (1) при y = 0. Учитывая, что E_x⁽¹⁾ = 0 (касательное поле на металле) и отсутствует вариация поля вдоль оси x, из них следует (µ_n = 1)

$E_x^{\left(2\right)}-\frac{ik\delta }{2}\left[H_z^{\left(1\right)}+H_z^{\left(2\right)}\right]=\mathrm{0,}$                                                                                 (3)

$H_z^{\left(2\right)}-H_z^{\left(1\right)}-\frac{i\delta }{2k}\left[\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+k^2{\epsilon }_{\Pi }\right]E_x^{\left(2\right)}=\mathrm{0,}$                                                               (4)

где  – комплексная диэлектрическая проницаемость пленки, верхние индексы «1» и «2» указывают на принадлежность составляющих поля к той или иной области вне пленки (индекс «1» соответствует металлу, индекс «2» соответствует волноводу).

При выводе граничных условий (3), (4) были использованы следующие соотношения: (k = 1,2)

${\mu }^{\left(k\right)}{H}_y^{\left(k\right)}=\frac{i}{k}\left(\frac{\partial E_x^{\left(k\right)}}{\partial z}-\frac{\partial E_z^{\left(k\right)}}{\partial x}\right),$                                                                           (5)

${\epsilon }^{\left(k\right)}{E}_y^{\left(k\right)}=-\frac{i}{k}\left(\frac{\partial H_x^{\left(k\right)}}{\partial z}-\frac{\partial H_z^{\left(k\right)}}{\partial x}\right),$

которые следуют непосредственно из уравнений Максвелла.

Из уравнения (3) получаем, что $H_z^{\left(1\right)}=-H_z^{\left(2\right)}+\frac{2}{ik\delta }{E}_x^{\left(2\right)}.$

 

 

Рис. 1. Прямоугольный волновод с полупроводниковой пленкой конечной длины, расположенной вдоль узкой стенки

Fig. 1. Rectangular waveguide with a semiconductor film of finite length along a narrow wall

 

Подставим последнее выражение для $H_z^{\left(1\right)}$ в уравнение (4):

$2H_z^{\left(2\right)}-\frac{2}{ik\delta }{E}_x^{\left(2\right)}-\frac{i\delta }{2k}\left[\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+k^2{\epsilon }_{\Pi }\right]E_x^{\left(2\right)}=\mathrm{0,}$

которое, после несложных преобразований приводит к следующему приближенному граничному условию для полупроводниковой пленки, лежащей на металле $(z\in [-L,L\left]\right)\text{:}$

$E_x^{\left(2\right)}-ik\delta H_z^{\left(2\right)}-\frac{{\delta }^2}{4}\left[\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+k^2{\epsilon }_{\Pi }\right]E_x^{\left(2\right)}=0.$                                                           (6)

Вводя обозначения: $E_x\equiv E_x^{\left(2\right)}, H_z\equiv H_z^{\left(2\right)},$

перепишем граничное условие (6) в более удобном для нас виде:

$E_x^{}-ik\delta H_z^{}-\frac{{\delta }^2}{4}\left[\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+k^2{\epsilon }_{\Pi }\right]E_x^{}=0.$                                                           (7)

Будем считать, что в силу малости толщины полупроводниковой пленки  $\delta (k_n\delta \ll 1)\text{:}$

$\frac{{\partial }^2{U}_i}{\partial z^2}=-{\gamma }_0^2{U}_i,$

где U_i – какая-либо составляющая электромагнитного поля в структуре с отрезком полупроводниковой пленки. Тогда граничное условие (7) можно переписать в виде:

$E_x^{}-ik\delta H_z^{}-\frac{{\delta }^2}{4}{r}_{\Pi {\rm O}}^2{E}_x^{}=\mathrm{0,}$

где    $r_{\Pi {\rm O}}^2=k^2{\epsilon }_{\Pi }-{\gamma }_0^2.$

Группируя члены с E_x в последнем соотношении и, проведя элементарные преобразования, получаем:

$E_x=i\eta H_z,$                                                                                           (8)

где

$\eta =\frac{k\delta }{1-\frac{{\delta }^2}{4}{r}_{\Pi {\rm O}}^2}.$                                                                                   (9)

Формула (8) является приближенным эквивалентным граничным условием для полупроводниковой пленки толщины δ с диэлектрической проницаемостью ${\epsilon }_{\text{П}},$ лежащей на металле. Что касается волноведущей структуры с отрезком активной пленки (см. рис. 1), то для нее это граничное условие справедливо для плоскости y = 0 при $z\in [-L,L].$

Таким образом, задача дифракции волны прямоугольного волновода на отрезке полупроводниковой пленки малой толщины δ мы свели к задаче дифракции волны H₁₀ на отрезке прямоугольного волновода, для одной из узких стенок которого справедливо импедансное граничное условие (8). Поэтому, развиваемый ниже метод расчета тонкослоистых полупроводниковых неоднородностей справедлив для всех тех неоднородностей в прямоугольном волноводе, для которых можно записать соответствующие эквивалентные граничные условия типа (8).

2. Аналитический метод расчета продольных тонкослоистых неоднородностей в волноводных структурах

Определим функцию A(γ) которая фигурирует в интегральном представлении (1). Для этого подставим выражения (1) и (2) в уравнение (8) при y = 0; тогда мы можно записать следующее равенство $(z\in [-L,L\left]\right)\text{:}$

$A_0\left(\sin r_{0}a+\frac{\eta r_0}{k\mu }\cos r_{0}a\right)e^{-i{\gamma }_{0}z}+$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}A\left(\gamma \right)\left(\sin ra+\frac{\eta r}{k\mu }\cos ra\right)e^{-i\gamma z}d\gamma =0.$                                       (10)

Введем обозначения при  y = 0, $z\in \left[-L,L\right]\text{:}$

и перепишем соотношение (10) в виде:

$e_x=E_x,e_x=\left\{\begin{array}{l}{E}_x,z\in [-L,L],\\ \mathrm{0,}z\notin [-L,L],\end{array}\right.$  

$e_x+e_{x0}=$$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}A\left(\gamma \right)\sin ra{e}^{-i\gamma z}d\gamma +A_0\sin r_{o}a{e}^{-i{\gamma }_{0}z}.$                        (11)

Умножим обе части равенства (11) на $e^{i\gamma z}$ и проинтегрируем по переменной z от -L до +L в результате можно записать следующее выражение:

$\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}_x\left(z\right)e^{i\gamma z}dz+\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}_{x0}\left(z\right)e^{i\gamma z}dz=$$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-L}{\overset{L}{\int }}A\left(\gamma \right)\sin rad\gamma \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{i\left(\gamma -{\gamma }^{\text{'}}\right)z}dz+$$A_0\sin r_{0}a\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}^{i\left(\gamma -{\gamma }_0\right)z}dz.$          (12)

С учетом известного соотношения для дельта-функции δ(α):

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{i\left(\gamma -{\gamma }^{\text{'}}\right)z}dz=2\pi \delta \left(\gamma -{\gamma }^{\text{'}}\right),$

из (12) нетрудно получить выражение для коэффициента A(γ):

$A\left(\gamma \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sin ra}\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}_x\left(z\right)e^{i\gamma z}dz.$

Для улучшения сходимости интеграла в последней формуле перейдем от функции e_x(z) к ее производной по координате z   ${e^{\text{'}}}_x\left(z\right)\equiv \frac{\partial e_x}{\partial z}.$ Для этого воспользуемся формулой интегрирования по частям, считая, что $e_x\left(z=-L\right)=e_x\left(z=L\right)=0\text{:}$

$\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}_x\left(z\right)e^{i\gamma z}dz=-\frac{1}{i\gamma }\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e_x}^{\text{'}}\left(z\right)e^{i\gamma z}dz.$                                                        (13)

Тогда, окончательно имеем:

$A\left(\gamma \right)=\frac{i}{\sqrt{2\pi }\gamma \sin ra}\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e_x}^{\text{'}}\left(z\right)e^{i\gamma z}dz.$

Подставим выражение (13) для A(γ) в уравнение (10) и произведем элементарные преобразования. Тогда его можно записать следующим образом:

$\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e_x}^{\text{'}}\left(z^{\text{'}}\right)T\left(z^{\text{'}},z\right)d{z}^{\text{'}}+A_0{\alpha }_0{e}^{-i{\gamma }_{0}z}=\mathrm{0,}$                                                        (14)

где  ${\alpha }_0=\sin r_{0}a+\frac{\eta r_0}{k\mu }\cos r_{0}a,$

$T\left(z^{\text{'}},z\right)=\frac{i}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\left[1+\frac{\eta r}{k\mu }\text{ctg\hspace{0.17em}}ra\right]\frac{e^{i\gamma \left(z^{\text{'}}-z\right)}}{\gamma }d\gamma .$

Нетрудно показать, что:

$\underset{\gamma \to 0}{\lim }\left[\frac{\eta r}{k\mu }\text{ctg}\frac{ra}{\gamma }\right]=\frac{\eta }{k\mu }\mathrm{sgn}\left(\gamma \right),$

где:    $\mathrm{sgn}\left(\gamma \right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,}\gamma >\mathrm{0,}\\ -\mathrm{1,}\gamma <0.\end{array}\right.$

Прибавляя и отнимая в квадратных скобках формулы для ядра T(z, z′) (14) выражение $\frac{\eta }{k\mu }\mathrm{sgn}\left(\gamma \right),$ произведя перегруппировку и воспользовавшись известным соотношением:

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\mathrm{sgn}\left(\gamma \right)e^{i\gamma \left(z^{\text{'}}-z\right)}d\gamma =\frac{2i}{z^{\text{'}}-z},$

из (14) окончательно получим следующее интегральное уравнение:

$\frac{1}{\pi }\frac{\eta }{k\mu }\underset{-L}{\overset{L}{\int }}\frac{{e_x}^{\text{'}}\left(z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}}}{z^{\text{'}}-z}=\frac{i}{2\pi }\underset{-L}{\overset{L}{\int }}d{z}^{\text{'}}{e_x}^{\text{'}}\left(z^{\text{'}}\right)$$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\alpha \left(\gamma \right)e^{i\gamma \left(z^{\text{'}}-z\right)}d\gamma +A_0{\alpha }_0{e}^{-i{\gamma }_{0}z},$             (15)

где

$\alpha \left(\gamma \right)=\left[\frac{1}{\gamma }+\frac{\eta }{k\mu }\Delta \left(\gamma \right)\right],$ $\Delta \left(\gamma \right)=\frac{r\text{ctg\hspace{0.17em}}ra}{\gamma }-\mathrm{sgn}\left(\gamma \right).$                                                 (16)

Упростим уравнение (16) путем введения новых переменных

$z=Lt, z^{\text{'}}=L{t}^{\text{'}}.$

В этих переменных интегральное уравнение (15) принимает вид

$\frac{\eta }{k\mu }\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{{e_x}^{\text{'}}\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}}{t^{\text{'}}-t}=\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d{t}^{\text{'}}{e_x}^{\text{'}}\left(t^{\text{'}}\right)$$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\alpha \left(\gamma \right)e^{i\gamma L\left(t^{\text{'}}-t\right)}d\gamma +A_0{\alpha }_0\pi e^{-i{\gamma }_{0}Lt}.$

Ядро интегрального уравнения (16) является сингулярным с особенностью типа Коши. Для его решения воспользуемся формулой обращения интеграла Коши [3]:

$\frac{1}{\pi }\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}}{t^{\text{'}}-t}=f\left(t\right),$                                                                                        (17)

$e^{\text{'}}\left(t\right)=-\frac{1}{\pi \sqrt{1-t^2}}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}f\left(t^{\text{'}}\right)}{t^{\text{'}}-t}d{t}^{\text{'}}+\frac{a_0}{\sqrt{1-t^2}},$

где a₀ – неизвестная постоянная, определяемая из дополнительных условий. Считая функцией ƒ(t) правую часть уравнения (16), нетрудно записать

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=-\frac{1}{{\pi }^2\sqrt{1-t^2}}\times$                                                                    (18)

$\times \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-{\nu }^2}}{\nu -t}$$\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\alpha \left(t\right)e^{i\gamma L\left(t^{\text{'}}-\nu \right)}d\gamma +$$A_0{\alpha }_0\pi e^{-i{\gamma }_{0}L\nu }\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}d\nu +\frac{D_0}{\sqrt{1-t^2}},$

где D₀ – некоторая неизвестная постоянная.

Преобразуем уравнение (18) к более простому виду:

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=$                                                                                         (19)

$=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)S\left(t^{\text{'}},t\right)dt+$$A_0{\alpha }_0\pi I\left({\gamma }_{0}t\right)+D_0\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\},$

где введены обозначения

$I\left(\gamma ,t\right)=\frac{1}{{\pi }^2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-{\nu }^2}}{\left(\nu -t\right)}{e}^{-i\gamma L\nu }d\nu ,$

$S\left(t^{\text{'}},t\right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\alpha \left(\gamma \right)I\left(\gamma ,t\right)e^{i\gamma L{t}^{\text{'}}}d\gamma .$

Функция I(γ₀, t) получается заменой в выражении для I(γ, t)  переменный γ на γ₀

В дальнейшем нам потребуется следующее разложение показательной функции [4]:

$e^{i\gamma t}=2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(i\right)}^n{J}_n\left(\gamma \right)T_n\left(t\right)}{1+{\delta }_{n0}},$                                                                       (20)

где T_n(t) – полиномы Чебышева первого рода, J_n(α) – функции Бесселя первого рода.

Полиномы Чебышева 1-го рода связаны с полиномами Чебышева 2-го рода U_n(t) следующими соотношениями для n  > 1 [4]:

$T_n\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[U_n\left(t\right)-U_{n-2}\left(t\right)\right],$                                                                    (21)

$U_0=T_0=\mathrm{1,}$

$T_1\left(t\right)=t,T_1\left(t\right)=\frac{U_1\left(t\right)}{2}.$

С учетом формул (20) перепишем разложение (21) в удобном для нас виде:

$e^{i\gamma t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(i\right)}^n\left[J_n\left(\gamma \right)-J_{n+2}\left(\gamma \right)\right]U_n\left(t\right).$                                                       (22)

С учетом того, что  $2J_{k+1}=J_k-J_{k+2}$

бесконечный ряд (22) можно записать в более простом виде[5]:

$e^{i\gamma t}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\left(i\right)}^n{J}_{n+1}\left(\gamma \right)U_n\left(t\right).$                                                                  (23)

Так как   $U_n\left(-t\right)={\left(-1\right)}^n{U}_n\left(t\right),$

то

$e^{-i\gamma t}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\left(i\right)}^n{J}_{n+1}\left(\gamma \right)U_n\left(-t\right)=$$2\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-i\right)}^n{J}_{n+1}\left(\gamma \right)U_n\left(t\right).$                       (24)

Используя равенство (23) и интегральные представления для полиномов Чебышева [6]:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-y^2}}{y-x}{U}_{n-1}\left(y\right)dy=-\pi T_n\left(x\right),$                                                       (25)

нетрудно получить следующее выражение для I(γ, t):

$I\left(\gamma ,t\right)=-2\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-i\right)}^n{J}_{n+1}\left(\gamma L\right)T_{n+1}\left(t\right).$                                                   (26)

С учетом выражения (25), интегральное уравнение (19) можно записать в следующем виде:

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=$                                                                                         (27)

$=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$$\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-i\right)}^n\right.\left[\frac{iL}{2}\right.\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)L_{n+1}\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+$$2\pi A_0{\alpha }_0{J}_{n+1}\left({\gamma }_{0}L\right)\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]$$T_{n+1}\left(t\right)+D_0\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}.$

Воспользовавшись известным выражением для интеграла [4]:

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{J_{n+1}\left(x\right)}{x}{e}^{ix{t}^{\text{'}}}dx=\frac{2i{(-1)}^n}{(n+1)}{(-i)}^{n+1}\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_n\left(t^{\text{'}}\right),$                            (28)

Откуда можно получить:

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{J_{n+1}\left(\gamma L\right)}{\gamma L}{e}^{i{t}^{\text{'}}\gamma L}d\left(\gamma L\right)=\frac{2}{(n+1)}{\left(i\right)}^n\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_n\left(t^{\text{'}}\right).$                                (29)

Запишем уравнение (27) в более удобном для нас виде:

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=$$\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$$\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-i\right)}^n\right.$$\left[\frac{L{\left(i\right)}^{n+1}}{n+1}\right.\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_n\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+$ $\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)N_{n+1}\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+$   (30)

$+2\pi A_0{\alpha }_0{J}_{n+1}\left({\gamma }_{0}L\right)$$\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]T_{n+1}\left(t\right)+D_0\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\},$

где:   $N_{n+1}\left(t^{\text{'}}\right)=\frac{\eta }{k\mu }\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma \right)J_{n+1}\left(\gamma L\right)e^{i\gamma L{t}^{\text{'}}}d\gamma .$

Будем искать решение интегрального уравнения (30) в виде разложения по полиномам Чебышева:

${e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\sum _{n=0}^N{a}_n{T}_n\left(t\right),$                                                                    (31)

где  – неизвестные постоянные, подлежащие определению.

Получим решение уравнения (30) при учете в разложении (31) для первых трех слагаемых:

${e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\left(a_0{T}_0\right(t)+a_1{T}_1(t)+a_2{T}_2(t\left)\right).$                                              (32)

С учетом первых трех слагаемых в сумме в интегральном уравнении, оно принимает более простой вид:

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=$                                                                                         (33)

$\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$$\left\{\left[\begin{array}{c}\\ \end{array}\right.\right.iL\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_0\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+$$\frac{iL}{2}$$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)M_1\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+2\pi A_0{\alpha }_0{J}_1\left({\gamma }_{0}L\right)$$\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]T_1\left(t\right)+$

$+\left[\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_1\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+\frac{L}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)M_2\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}\right.+$$2\pi A_0{\alpha }_0{J}_2\left({\gamma }_{0}L\right)\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]T_2\left(t\right)+D_0\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\},$

где

$M_{n+1}=\frac{2\eta }{k\mu }\sum _{m=0}^{\infty }{\left(i\right)}^m{U}_m\left(t^{\text{'}}\right)\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma L\right)J_{n+1}\left(\gamma L\right)J_m\left(\gamma L\right)d\gamma$     (n = 0,1)

В дальнейшем нам потребуются следующие равенства:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_0\left(t\right)T_0\left(t\right)dt=\mathrm{2,}$                                                                                             (34)

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_0\left(t\right)T_1\left(t\right)dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_1\left(t\right)T_0\left(t\right)dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_1\left(t\right)T_1\left(t\right)dt=\mathrm{0,}$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_0\left(t\right)T_2\left(t\right)dt=-\frac{2}{3},$  $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_1\left(t\right)T_1\left(t\right)dt=\frac{4}{3},$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_m\left(t\right)M_{n+1}\left(t\right)dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{\pi }{2}\left(1+{\delta }_{m0}\right)\frac{2\eta }{k\mu }{\left(i\right)}^m$$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma \right)J_{n+1}\left(\gamma L\right)J_m\left(\gamma L\right)d\gamma .$

Учитывая, что на границах ступеньки при z = ±Le_x(z) =0, запишем следующее граничное условие:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)dt=0.$                                                                                       (35)

Подставим решение (33) в граничное условие (35):

$a_0\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{d{t}^{\text{'}}}{\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}}+$$a_1\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_1\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}}{\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}}+$$a_2\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_2\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}}{\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}}=0.$                               (36)

Так как второй и третий интегралы в равенстве (36) равны нулю, то отсюда следует, что a₀ = 0. Поэтому из соотношения (33) нетрудно записать следующую систему алгебраических уравнений относительно a₁ и a₂:

$\frac{\eta }{k\mu }(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{11})a_1+iL(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{12})a_2=$$2\pi A_0{\alpha }_0{J}_1\left({\gamma }_{0}L\right),$                (37)

$-iL(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{21})a_1+\frac{\eta }{k\mu }(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{22})a_2=$$2\pi A_0{\alpha }_0{J}_2\left({\gamma }_{0}L\right),$

где 

$K_{ij}=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma \right)J_{i+1}\left(\gamma L\right)J_j\left(\gamma L\right)d\gamma .$                                                             (38)

Заметим, что при выводе системы (37) мы воспользовались свойством ортогональности системы функций $\left\{T_n\left(t\right)\right\}$ на отрезке $\left[-\mathrm{1,1}\right].$ Используя метод Краммера, выражения для коэффициентов  a₁ и a₂ имеют следующий вид:

$a_1=\frac{1}{\Delta }2\pi A_0{\alpha }_0$$\left\{\left(\frac{\eta }{k\mu }(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{22})J_1\left({\gamma }_{0}L\right)\right.\right.$$\left.\left.- iL(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{21})J_2\left({\gamma }_{0}L\right)\right)\right\},$

$a_2=\frac{1}{\Delta }2\pi A_0{\alpha }_0$$\left\{\left(iL(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{21})J_1\left({\gamma }_{0}L\right) +\right.\right.$$\left.\left.\frac{\eta }{k\mu }(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{11})J_2\left({\gamma }_{0}L\right)\right)\right\},$

где

$\Delta ={\left(\frac{\eta }{k\mu }\right)}^2\left(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{11}\right)\left(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{22}\right) -$$L^2{\left(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{12}\right)}^2.$

3. Вычисление вспомогательных интегралов K_ij с помощью теории вычетов

Вычислим интегралы  K_ij   (ij = 01,2), входящие в формулы (37) для нахождения коэффициентов  a₁ и a₂:

$K_{ij}=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma \right)J_{i+1}\left(\gamma L\right)J_j\left(\gamma L\right)d\gamma ,$                                                             (39)

где

$\Delta \left(\gamma \right)=\frac{r\text{\hspace{0.05em}ctg\hspace{0.17em}}ra}{\gamma }-\mathrm{sgn} \gamma .$

Запишем множитель Δ(γ) в несколько другой форме:

$\Delta \left(\gamma \right)=\frac{1}{\gamma }\left[\frac{r\cos ra-\left|\gamma \right|\sin ra}{\sin ra}\right].$

Полюса подынтегрального выражения определяются нулями знаменателя множителя Δ(γ):

$r_m=\frac{\pi m}{a},m=\overline{\mathrm{1,}\infty }.$

В этих особых точках :

${\gamma }_m=\pm \sqrt{k^2-{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2}.$

Для больших  $m (m\to \infty )$ можно положить, что ${\gamma }_m\approx i\frac{m\pi }{a}.$

Если ввести обозначение:

$f=\frac{1}{\gamma }$$\left[\frac{r\cos ra-\left|\gamma \right|\sin ra}{\sin ra}\right]$$J_{i+1}\left(\gamma L\right)J_j\left(\gamma L\right),$

то по теореме о вычетах имеем:

$K_{ij}=-2\pi i\left\{\underset{\gamma =0}{\mathrm{Re}sf}+\sum _{\pm {\gamma }_m}\underset{{\gamma }_m}{\mathrm{Re}sf}\right\},$

$\underset{\gamma =0}{\mathrm{Re}sf}=\frac{k\cos ka}{\sin ka}{J}_i\left(0\right)J_j\left(0\right)=k\text{\hspace{0.17em}ctg\hspace{0.17em}}ka{\delta }_{i0}{\delta }_{j0},$

$\underset{{\gamma }_m}{\mathrm{Re}sf}=\frac{r_m^2{J}_i\left({\gamma }_{m}L\right)J_j\left({\gamma }_{m}L\right)}{-{\gamma }_m^{2}a}=$$-\frac{1}{a}{\left(\frac{r_m}{{\gamma }_m}\right)}^2{J}_i\left({\gamma }_{m}L\right)J_j\left({\gamma }_{m}L\right).$

Выше мы воспользовались следующими формулами [4]:

$\mathrm{Re}s=\frac{f\left(a\right)}{g^{\text{'}}\left(a\right)},$  $(\sin ra{)}^{\text{'}}=-\frac{a\gamma \cos ra}{r}.$                                                    (40)

Тогда, учитывая, что $r_m=\frac{\pi m}{a},$ формулу для нахождения K_ij можно переписать в виде:

$K_{ij}=-2i\pi \left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.k\text{\hspace{0.17em}ctg\hspace{0.17em}}ka{\delta }_{i0}{\delta }_{j0}-$$\frac{{\pi }^2}{a^3}\sum _{m=1}^{\infty }\left(\frac{m^2}{{\gamma }_m^2}\right)$$J_i\left({\gamma }_{m}L\right)J_j\left({\gamma }_{m}L\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}=$        (41)

$=2\pi \left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.-ik\text{\hspace{0.17em}ctg\hspace{0.17em}}ka{\delta }_{i0}{\delta }_{j0}+$$\frac{i{\pi }^2}{a^3}\frac{1}{{\gamma }_1^2}{J}_i\left({\gamma }_{1}L\right)J_j\left({\gamma }_{1}L\right)+$

$+\frac{1}{a}\sum _{m=2}^{\infty }{J}_i$$\left(i\frac{\pi }{a}Lm\right)$$J_j\left(i\frac{\pi }{a}Lm\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}.$

Так как в нашем случае i, j  ≠ 0 (для K_ij в формулах (38) i, j = 1,2). то первый член в равенстве (41) равен нулю. Ограничиваясь в выражении (41) вторым членом, в первом приближении интегралы K_ij можно вычислять по формулам i, j = 1,2

$K_{ij}=\frac{2i{\pi }^3}{{\gamma }_1^2{a}_{}^3}{J}_i\left({\gamma }_{1}L\right)J_j\left({\gamma }_{1}L\right).$                                                                      (42)

4. Дифракция основной волны прямоугольного волновода на отрезке активной полупроводниковой пленки с отрицательной дифференциальной проводимостью, расположенной на узкой стенке

Из выражения (13) с учетом соотношения (32) для функции ${e^{\text{'}}}_x\left(t\right)$ найдем коэффициент A(γ)

$A\left(\gamma \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\gamma }\frac{iL}{\sin ra}\times$                                                                                       (43)

$\times \left\{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{a_1{T}_1\left(t\right)e^{i\gamma Lt}}{\sqrt{1-t^2}}dt+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{a_2{T}_2\left(t\right)e^{i\gamma Lt}}{\sqrt{1-t^2}}dt\right\}.$

Учитывая, что T₁(t) = t, а T₂(t) = 2t² - 1 вычислим интегралы в формуле (43):

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_1\left(t\right)e^{i\gamma Lt}}{\sqrt{1-t^2}}dt=i\pi J_1\left(\gamma L\right),$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_2\left(t\right)e^{i\gamma Lt}}{\sqrt{1-t^2}}dt=$$2\pi \left\{\frac{J_1\left(\gamma L\right)}{\gamma L}-J_2\left(\gamma L\right)\right\}-\pi J_0\left(\gamma L\right).$

Подставляя значения вычисленных выше интегралов в соотношение (43) получим, что:

$A\left(\gamma \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{i\pi L}{\gamma \sin ra}\times$                                                                         (44)

$\left\{i{a}_1{J}_1\left(\gamma L\right)+a_2\left(\frac{2J_1\left(\gamma L\right)}{\gamma L}-2J_2\left(\gamma L\right)-J_0\left(\gamma L\right)\right)\right\}.$

С учетом выражения (344) для A(γ) электрическое поле в волноводе определяется следующим образом:

$E_x=A_0\sin \left(r_1\right(a-y\left)\right)e^{-i{\gamma }_{1}z}+\frac{iL}{2}\times$                                                         (45)

$\times \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{1}{\gamma \sin ra}\left\{i{a}_1{J}_1\left(\gamma L\right)+a_2\left(\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.\frac{2J_1\left(\gamma L\right)}{\gamma L}-\right.$

$-2J_2\left(\gamma L\right)-J_0\left(\gamma L\right)\left.\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right)\right\}\sin r(a-y)e^{-i\gamma z}d\gamma .$

Интеграл в (45) будем вычислять по формуле вычетов. Используя соотношения (40) и равенство:

${\left(\sin ra\gamma \right)}^{\text{'}}=-{\gamma }^{2}a\frac{\cos ra}{r},$

а так же тот факт, что в волноводе распространяется только основная мода, то есть:

${\gamma }_1=\sqrt{k^2-{\left(\frac{\pi }{a}\right)}^2},$

получаем выражение для составляющей электрического поля в прямоугольном волноводе с отрезком полупроводниковой пленки:

$E_x=A_0+\frac{L{\pi }^2}{{\gamma }_1^2{a}^2}\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.i{a}_1{J}_1\left({\gamma }_{1}L\right)+$$a_2\left(\frac{2J_1\left({\gamma }_{1}L\right)}{{\gamma }_{1}L}-2J_2\left({\gamma }_{1}L\right)-J_0\left({\gamma }_{1}L\right)\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}\times$$\sin r_1(a-y)e^{-i\gamma z}.$

Так как, по определению коэффициент прохождения основной волны в прямоугольном волноводе определяется следующим образом:

$T=\underset{z\to \infty }{\lim }\left\{\frac{E_x({\gamma }_1,z)}{\sin r_1(a-y)e^{-i{\gamma }_{1}z}}\right\},$

то окончательно, для него получаем простую формулу:

$T=1+\frac{L{\pi }^2}{{\gamma }_1^2{a}^2}\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.i{a}_1{J}_1\left({\gamma }_{1}L\right)+\left(\frac{2J_1\left({\gamma }_{1}L\right)}{{\gamma }_{1}L}-2J_2\left({\gamma }_{1}L\right)-J_0\left({\gamma }_{1}L\right)\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}$           (46)

Для вычисления модуля коэффициента прохождения T(α) в дальнейшем обозначаемом |T(α)| где α = γ₁L, и фазы коэффициента прохождения argT(α) необходимо вычислить коэффициенты a₁ и a₂ Вспомним, что

$\eta =\frac{k\delta }{1-\frac{{\delta }^2}{4}{r}_{\Pi {\rm O}}^2},$

Где $r_{\Pi {\rm O}}^2=k^2{\epsilon }_{\Pi }-{\gamma }_1^2,$ а комплексная проницаемость пленки ${\epsilon }_{\mathrm{\Pi }}=\epsilon -i4\pi \sigma /\mathrm{\omega }.$ Тогда для коэффициента η получим следующее выражение:

$\mathrm{\eta }={\mathrm{\eta }}_1-i{\mathrm{\eta }}_2,$                                                                                            (47)

${\mathrm{\eta }}_1=\frac{k\mathrm{\delta }c}{\left(c^2-{\left(\pi k^2{\delta }^2\frac{\sigma }{\mathrm{\omega }}\right)}^2\right)},$                                                                         (48)

${\eta }_2=$$\frac{\pi {\left(k\delta \right)}^3\frac{\sigma }{\omega }}{\left(c^2-{\left(\pi k^2{\delta }^2\frac{\sigma }{\omega }\right)}^2\right)},$

с = 1 + γ₁δ² + δ²k²ε.

Оценим значения коэффициентов ₁ и  η₂ при ε = 10, σ/ɷ = 1, частоте ƒ = 40 ГГц. Нетрудно показать, что при kδ = 0.01 – η₁ = 0.02, η₂ = 0.00002; при kδ = 0.1 –  η₁ = 0.24, η₂ = 0.03; при kδ = 0.3 –  η₁ = 0.8, η₂ = 1.5.

На рис. 2 и 3 приведены результаты расчета |T| и arg(T) для разных значений γ₁L и разных значений параметров пленки. Штриховые линии на этих рисунках соответствуют случаю σ = 0. Из анализа кривых, изображенных на рис. 2 и 3 следует, что функции |T| и arg(T) имеют резонансный характер, причем минимальному |T| соответствует максимальное значение arg(T). Можно сделать вывод, что при малых значениях kδ  (kδ = 0.01) |T| и arg(T) изменяются мало и кривая 1 (соответствующая случаю kδ = 0.01) близка к штриховой линии (случай σ = 0).  При увеличении kδ увеличиваются пределы изменения |T|  и arg(T). Из рисунка следует, что существуют такие интервалы γ₁L (при kδ ≥ 0,1), где коэффициент |T|  становится больше 1, что соответствует случаю усиления электромагнитной волны в активной полупроводниковой пленке с отрицательной дифференциальной проводимостью.

 

Рис. 2. Зависимость модуля коэффициента прохождения T от длины полупроводниковой пленки γ₁L:  ε = 10; σ/ɷ = 1, ƒ = 40 ГГц, 1 – kδ = 0,01;  2 – kδ = 0,1;  3 – kδ = 0,3

Fig. 2. Dependence of the modulus of the transmission coefficient T on the length of the semiconductor film γ₁L:  ε = 10; σ/ɷ = 1, ƒ = 40 ГГц, 1 – kδ = 0,01;  2 – kδ = 0,1;  3 – kδ = 0,3

 

Рис. 3. Зависимость аргумента коэффициента прохождения T от длины полупроводниковой пленки  γ1L:  ε = 10; σ/ɷ = 1, ƒ = 40 ГГц, 1 – kδ = 0,01;  2 – kδ = 0,1;  3 – kδ = 0,3

Fig. 3. Dependence of the transmission coefficient argument T on the length of the semiconductor film γ₁L:  ε = 10; σ/ɷ = 1, ƒ = 40 ГГц, 1 – kδ = 0,01;  2 – kδ = 0,1;  3 – kδ = 0,3

About the authors

Andrey A. Voronoi

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: arminvanburn@yandex.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, deputy head of the Department of Radio Electronic Systems

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

Alexander A. Soldatov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: solger259145@yandex.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Radio Electronic Systems

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

Victor P. Kubanov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: kubanov@psati.ru

Doctor of Technical Sciences, professor of the Department of Radio Electronic Systems

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

References

Supplementary files