Прохождение электромагнитной волны через прямоугольный волновод с отрезком полупроводниковой пленки

Полный текст

Введение

В предлагаемой статье рассматривается волноведущая электромагнитная система, представляющая собой прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. На узкую стенку волновода (y = 0) в интервале z от -L до L помещается отрезок активной полупроводниковой пленки (например, GаAs) с отрицательной дифференциальной проводимостью, как показано на рис. 1. Будем считать, что в прямоугольном волноводе в отсутствии полупроводниковой пленки распространяется только волна H₁₀, а остальные высшие моды являются запредельными.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу дифракции основной моды на такой неоднородности. Представим электрическое поле в волноводе в виде суперпозиции поля основной моды и поля, созданного токами на неоднородности [1]:

$E_x=A_0\sin r_0(a-y)e^{-i{\gamma }_{0}z}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}A\left(\gamma \right)\sin r(a-y)e^{-i\gamma z}d\gamma ,$                                    (1)

где  $r=\sqrt{k^2\epsilon \mu -{\gamma }^2}; r_0=\sqrt{k^2\epsilon \mu -{{\gamma }_0}^2}; k=\frac{{\displaystyle \omega }}{c};$

ε, µ    – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, заполняющей прямоугольный волновод;  

γ₀ – продольное волновое число для волны H₁₀

Полагая, что зависимость поля вдоль оси x отсутствует $\left(\frac{\partial }{\partial x}\equiv 0\right),$ из уравнений Максвелла получаем [2]:

Подставляя в последнее соотношение выражение (1), получим:

$H_z=\frac{1}{ik\mu }\frac{\partial E_x}{\partial y}.$                                                                                                  

$H_z=$$\frac{1}{ik\mu }\begin{array}{c}\\ \end{array}(-A_0{r}_0\cos r_0(a-y)e^{-i{\gamma }_{0}z}-$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}$$A\left(\gamma \right)r\cos r(a-y)e^{-i\gamma z}d\gamma ).$        (2)

Полупроводниковый слой в активных волноведущих структурах с поперечным дрейфом носителей имеет малую толщину: δ ≪ t, k_nδ ≪ 1,  где k_n – волновое число в полупроводниковом слое; t – характерный поперечный размер волноведущей структуры; δ – толщина полупроводниковой пленки. Дифференциальная проводимость полупроводника при приложении сильного статического электрического поля E₀ вдоль оси x становится отрицательной и появляется возможность усиления электромагнитных волн.

Полупроводниковую пленку в линейном приближении будем описывать с помощью двухсторонних граничных условий (1) при y = 0. Учитывая, что E_x⁽¹⁾ = 0 (касательное поле на металле) и отсутствует вариация поля вдоль оси x, из них следует (µ_n = 1)

$E_x^{\left(2\right)}-\frac{ik\delta }{2}\left[H_z^{\left(1\right)}+H_z^{\left(2\right)}\right]=\mathrm{0,}$                                                                                 (3)

$H_z^{\left(2\right)}-H_z^{\left(1\right)}-\frac{i\delta }{2k}\left[\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+k^2{\epsilon }_{\Pi }\right]E_x^{\left(2\right)}=\mathrm{0,}$                                                               (4)

где  – комплексная диэлектрическая проницаемость пленки, верхние индексы «1» и «2» указывают на принадлежность составляющих поля к той или иной области вне пленки (индекс «1» соответствует металлу, индекс «2» соответствует волноводу).

При выводе граничных условий (3), (4) были использованы следующие соотношения: (k = 1,2)

${\mu }^{\left(k\right)}{H}_y^{\left(k\right)}=\frac{i}{k}\left(\frac{\partial E_x^{\left(k\right)}}{\partial z}-\frac{\partial E_z^{\left(k\right)}}{\partial x}\right),$                                                                           (5)

${\epsilon }^{\left(k\right)}{E}_y^{\left(k\right)}=-\frac{i}{k}\left(\frac{\partial H_x^{\left(k\right)}}{\partial z}-\frac{\partial H_z^{\left(k\right)}}{\partial x}\right),$

которые следуют непосредственно из уравнений Максвелла.

Из уравнения (3) получаем, что $H_z^{\left(1\right)}=-H_z^{\left(2\right)}+\frac{2}{ik\delta }{E}_x^{\left(2\right)}.$

 

 

Рис. 1. Прямоугольный волновод с полупроводниковой пленкой конечной длины, расположенной вдоль узкой стенки

Fig. 1. Rectangular waveguide with a semiconductor film of finite length along a narrow wall

 

Подставим последнее выражение для $H_z^{\left(1\right)}$ в уравнение (4):

$2H_z^{\left(2\right)}-\frac{2}{ik\delta }{E}_x^{\left(2\right)}-\frac{i\delta }{2k}\left[\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+k^2{\epsilon }_{\Pi }\right]E_x^{\left(2\right)}=\mathrm{0,}$

которое, после несложных преобразований приводит к следующему приближенному граничному условию для полупроводниковой пленки, лежащей на металле $(z\in [-L,L\left]\right)\text{:}$

$E_x^{\left(2\right)}-ik\delta H_z^{\left(2\right)}-\frac{{\delta }^2}{4}\left[\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+k^2{\epsilon }_{\Pi }\right]E_x^{\left(2\right)}=0.$                                                           (6)

Вводя обозначения: $E_x\equiv E_x^{\left(2\right)}, H_z\equiv H_z^{\left(2\right)},$

перепишем граничное условие (6) в более удобном для нас виде:

$E_x^{}-ik\delta H_z^{}-\frac{{\delta }^2}{4}\left[\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+k^2{\epsilon }_{\Pi }\right]E_x^{}=0.$                                                           (7)

Будем считать, что в силу малости толщины полупроводниковой пленки  $\delta (k_n\delta \ll 1)\text{:}$

$\frac{{\partial }^2{U}_i}{\partial z^2}=-{\gamma }_0^2{U}_i,$

где U_i – какая-либо составляющая электромагнитного поля в структуре с отрезком полупроводниковой пленки. Тогда граничное условие (7) можно переписать в виде:

$E_x^{}-ik\delta H_z^{}-\frac{{\delta }^2}{4}{r}_{\Pi {\rm O}}^2{E}_x^{}=\mathrm{0,}$

где    $r_{\Pi {\rm O}}^2=k^2{\epsilon }_{\Pi }-{\gamma }_0^2.$

Группируя члены с E_x в последнем соотношении и, проведя элементарные преобразования, получаем:

$E_x=i\eta H_z,$                                                                                           (8)

где

$\eta =\frac{k\delta }{1-\frac{{\delta }^2}{4}{r}_{\Pi {\rm O}}^2}.$                                                                                   (9)

Формула (8) является приближенным эквивалентным граничным условием для полупроводниковой пленки толщины δ с диэлектрической проницаемостью ${\epsilon }_{\text{П}},$ лежащей на металле. Что касается волноведущей структуры с отрезком активной пленки (см. рис. 1), то для нее это граничное условие справедливо для плоскости y = 0 при $z\in [-L,L].$

Таким образом, задача дифракции волны прямоугольного волновода на отрезке полупроводниковой пленки малой толщины δ мы свели к задаче дифракции волны H₁₀ на отрезке прямоугольного волновода, для одной из узких стенок которого справедливо импедансное граничное условие (8). Поэтому, развиваемый ниже метод расчета тонкослоистых полупроводниковых неоднородностей справедлив для всех тех неоднородностей в прямоугольном волноводе, для которых можно записать соответствующие эквивалентные граничные условия типа (8).

2. Аналитический метод расчета продольных тонкослоистых неоднородностей в волноводных структурах

Определим функцию A(γ) которая фигурирует в интегральном представлении (1). Для этого подставим выражения (1) и (2) в уравнение (8) при y = 0; тогда мы можно записать следующее равенство $(z\in [-L,L\left]\right)\text{:}$

$A_0\left(\sin r_{0}a+\frac{\eta r_0}{k\mu }\cos r_{0}a\right)e^{-i{\gamma }_{0}z}+$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}A\left(\gamma \right)\left(\sin ra+\frac{\eta r}{k\mu }\cos ra\right)e^{-i\gamma z}d\gamma =0.$                                       (10)

Введем обозначения при  y = 0, $z\in \left[-L,L\right]\text{:}$

и перепишем соотношение (10) в виде:

$e_x=E_x,e_x=\left\{\begin{array}{l}{E}_x,z\in [-L,L],\\ \mathrm{0,}z\notin [-L,L],\end{array}\right.$  

$e_x+e_{x0}=$$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}A\left(\gamma \right)\sin ra{e}^{-i\gamma z}d\gamma +A_0\sin r_{o}a{e}^{-i{\gamma }_{0}z}.$                        (11)

Умножим обе части равенства (11) на $e^{i\gamma z}$ и проинтегрируем по переменной z от -L до +L в результате можно записать следующее выражение:

$\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}_x\left(z\right)e^{i\gamma z}dz+\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}_{x0}\left(z\right)e^{i\gamma z}dz=$$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-L}{\overset{L}{\int }}A\left(\gamma \right)\sin rad\gamma \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{i\left(\gamma -{\gamma }^{\text{'}}\right)z}dz+$$A_0\sin r_{0}a\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}^{i\left(\gamma -{\gamma }_0\right)z}dz.$          (12)

С учетом известного соотношения для дельта-функции δ(α):

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{i\left(\gamma -{\gamma }^{\text{'}}\right)z}dz=2\pi \delta \left(\gamma -{\gamma }^{\text{'}}\right),$

из (12) нетрудно получить выражение для коэффициента A(γ):

$A\left(\gamma \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sin ra}\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}_x\left(z\right)e^{i\gamma z}dz.$

Для улучшения сходимости интеграла в последней формуле перейдем от функции e_x(z) к ее производной по координате z   ${e^{\text{'}}}_x\left(z\right)\equiv \frac{\partial e_x}{\partial z}.$ Для этого воспользуемся формулой интегрирования по частям, считая, что $e_x\left(z=-L\right)=e_x\left(z=L\right)=0\text{:}$

$\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e}_x\left(z\right)e^{i\gamma z}dz=-\frac{1}{i\gamma }\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e_x}^{\text{'}}\left(z\right)e^{i\gamma z}dz.$                                                        (13)

Тогда, окончательно имеем:

$A\left(\gamma \right)=\frac{i}{\sqrt{2\pi }\gamma \sin ra}\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e_x}^{\text{'}}\left(z\right)e^{i\gamma z}dz.$

Подставим выражение (13) для A(γ) в уравнение (10) и произведем элементарные преобразования. Тогда его можно записать следующим образом:

$\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{e_x}^{\text{'}}\left(z^{\text{'}}\right)T\left(z^{\text{'}},z\right)d{z}^{\text{'}}+A_0{\alpha }_0{e}^{-i{\gamma }_{0}z}=\mathrm{0,}$                                                        (14)

где  ${\alpha }_0=\sin r_{0}a+\frac{\eta r_0}{k\mu }\cos r_{0}a,$

$T\left(z^{\text{'}},z\right)=\frac{i}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\left[1+\frac{\eta r}{k\mu }\text{ctg\hspace{0.17em}}ra\right]\frac{e^{i\gamma \left(z^{\text{'}}-z\right)}}{\gamma }d\gamma .$

Нетрудно показать, что:

$\underset{\gamma \to 0}{\lim }\left[\frac{\eta r}{k\mu }\text{ctg}\frac{ra}{\gamma }\right]=\frac{\eta }{k\mu }\mathrm{sgn}\left(\gamma \right),$

где:    $\mathrm{sgn}\left(\gamma \right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,}\gamma >\mathrm{0,}\\ -\mathrm{1,}\gamma <0.\end{array}\right.$

Прибавляя и отнимая в квадратных скобках формулы для ядра T(z, z′) (14) выражение $\frac{\eta }{k\mu }\mathrm{sgn}\left(\gamma \right),$ произведя перегруппировку и воспользовавшись известным соотношением:

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\mathrm{sgn}\left(\gamma \right)e^{i\gamma \left(z^{\text{'}}-z\right)}d\gamma =\frac{2i}{z^{\text{'}}-z},$

из (14) окончательно получим следующее интегральное уравнение:

$\frac{1}{\pi }\frac{\eta }{k\mu }\underset{-L}{\overset{L}{\int }}\frac{{e_x}^{\text{'}}\left(z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}}}{z^{\text{'}}-z}=\frac{i}{2\pi }\underset{-L}{\overset{L}{\int }}d{z}^{\text{'}}{e_x}^{\text{'}}\left(z^{\text{'}}\right)$$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\alpha \left(\gamma \right)e^{i\gamma \left(z^{\text{'}}-z\right)}d\gamma +A_0{\alpha }_0{e}^{-i{\gamma }_{0}z},$             (15)

где

$\alpha \left(\gamma \right)=\left[\frac{1}{\gamma }+\frac{\eta }{k\mu }\Delta \left(\gamma \right)\right],$ $\Delta \left(\gamma \right)=\frac{r\text{ctg\hspace{0.17em}}ra}{\gamma }-\mathrm{sgn}\left(\gamma \right).$                                                 (16)

Упростим уравнение (16) путем введения новых переменных

$z=Lt, z^{\text{'}}=L{t}^{\text{'}}.$

В этих переменных интегральное уравнение (15) принимает вид

$\frac{\eta }{k\mu }\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{{e_x}^{\text{'}}\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}}{t^{\text{'}}-t}=\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d{t}^{\text{'}}{e_x}^{\text{'}}\left(t^{\text{'}}\right)$$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\alpha \left(\gamma \right)e^{i\gamma L\left(t^{\text{'}}-t\right)}d\gamma +A_0{\alpha }_0\pi e^{-i{\gamma }_{0}Lt}.$

Ядро интегрального уравнения (16) является сингулярным с особенностью типа Коши. Для его решения воспользуемся формулой обращения интеграла Коши [3]:

$\frac{1}{\pi }\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}}{t^{\text{'}}-t}=f\left(t\right),$                                                                                        (17)

$e^{\text{'}}\left(t\right)=-\frac{1}{\pi \sqrt{1-t^2}}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}f\left(t^{\text{'}}\right)}{t^{\text{'}}-t}d{t}^{\text{'}}+\frac{a_0}{\sqrt{1-t^2}},$

где a₀ – неизвестная постоянная, определяемая из дополнительных условий. Считая функцией ƒ(t) правую часть уравнения (16), нетрудно записать

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=-\frac{1}{{\pi }^2\sqrt{1-t^2}}\times$                                                                    (18)

$\times \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-{\nu }^2}}{\nu -t}$$\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\alpha \left(t\right)e^{i\gamma L\left(t^{\text{'}}-\nu \right)}d\gamma +$$A_0{\alpha }_0\pi e^{-i{\gamma }_{0}L\nu }\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}d\nu +\frac{D_0}{\sqrt{1-t^2}},$

где D₀ – некоторая неизвестная постоянная.

Преобразуем уравнение (18) к более простому виду:

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=$                                                                                         (19)

$=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)S\left(t^{\text{'}},t\right)dt+$$A_0{\alpha }_0\pi I\left({\gamma }_{0}t\right)+D_0\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\},$

где введены обозначения

$I\left(\gamma ,t\right)=\frac{1}{{\pi }^2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-{\nu }^2}}{\left(\nu -t\right)}{e}^{-i\gamma L\nu }d\nu ,$

$S\left(t^{\text{'}},t\right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\alpha \left(\gamma \right)I\left(\gamma ,t\right)e^{i\gamma L{t}^{\text{'}}}d\gamma .$

Функция I(γ₀, t) получается заменой в выражении для I(γ, t)  переменный γ на γ₀

В дальнейшем нам потребуется следующее разложение показательной функции [4]:

$e^{i\gamma t}=2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(i\right)}^n{J}_n\left(\gamma \right)T_n\left(t\right)}{1+{\delta }_{n0}},$                                                                       (20)

где T_n(t) – полиномы Чебышева первого рода, J_n(α) – функции Бесселя первого рода.

Полиномы Чебышева 1-го рода связаны с полиномами Чебышева 2-го рода U_n(t) следующими соотношениями для n  > 1 [4]:

$T_n\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[U_n\left(t\right)-U_{n-2}\left(t\right)\right],$                                                                    (21)

$U_0=T_0=\mathrm{1,}$

$T_1\left(t\right)=t,T_1\left(t\right)=\frac{U_1\left(t\right)}{2}.$

С учетом формул (20) перепишем разложение (21) в удобном для нас виде:

$e^{i\gamma t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(i\right)}^n\left[J_n\left(\gamma \right)-J_{n+2}\left(\gamma \right)\right]U_n\left(t\right).$                                                       (22)

С учетом того, что  $2J_{k+1}=J_k-J_{k+2}$

бесконечный ряд (22) можно записать в более простом виде[5]:

$e^{i\gamma t}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\left(i\right)}^n{J}_{n+1}\left(\gamma \right)U_n\left(t\right).$                                                                  (23)

Так как   $U_n\left(-t\right)={\left(-1\right)}^n{U}_n\left(t\right),$

то

$e^{-i\gamma t}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\left(i\right)}^n{J}_{n+1}\left(\gamma \right)U_n\left(-t\right)=$$2\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-i\right)}^n{J}_{n+1}\left(\gamma \right)U_n\left(t\right).$                       (24)

Используя равенство (23) и интегральные представления для полиномов Чебышева [6]:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-y^2}}{y-x}{U}_{n-1}\left(y\right)dy=-\pi T_n\left(x\right),$                                                       (25)

нетрудно получить следующее выражение для I(γ, t):

$I\left(\gamma ,t\right)=-2\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-i\right)}^n{J}_{n+1}\left(\gamma L\right)T_{n+1}\left(t\right).$                                                   (26)

С учетом выражения (25), интегральное уравнение (19) можно записать в следующем виде:

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=$                                                                                         (27)

$=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$$\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-i\right)}^n\right.\left[\frac{iL}{2}\right.\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)L_{n+1}\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+$$2\pi A_0{\alpha }_0{J}_{n+1}\left({\gamma }_{0}L\right)\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]$$T_{n+1}\left(t\right)+D_0\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}.$

Воспользовавшись известным выражением для интеграла [4]:

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{J_{n+1}\left(x\right)}{x}{e}^{ix{t}^{\text{'}}}dx=\frac{2i{(-1)}^n}{(n+1)}{(-i)}^{n+1}\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_n\left(t^{\text{'}}\right),$                            (28)

Откуда можно получить:

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{J_{n+1}\left(\gamma L\right)}{\gamma L}{e}^{i{t}^{\text{'}}\gamma L}d\left(\gamma L\right)=\frac{2}{(n+1)}{\left(i\right)}^n\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_n\left(t^{\text{'}}\right).$                                (29)

Запишем уравнение (27) в более удобном для нас виде:

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=$$\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$$\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-i\right)}^n\right.$$\left[\frac{L{\left(i\right)}^{n+1}}{n+1}\right.\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_n\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+$ $\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)N_{n+1}\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+$   (30)

$+2\pi A_0{\alpha }_0{J}_{n+1}\left({\gamma }_{0}L\right)$$\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]T_{n+1}\left(t\right)+D_0\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\},$

где:   $N_{n+1}\left(t^{\text{'}}\right)=\frac{\eta }{k\mu }\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma \right)J_{n+1}\left(\gamma L\right)e^{i\gamma L{t}^{\text{'}}}d\gamma .$

Будем искать решение интегрального уравнения (30) в виде разложения по полиномам Чебышева:

${e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\sum _{n=0}^N{a}_n{T}_n\left(t\right),$                                                                    (31)

где  – неизвестные постоянные, подлежащие определению.

Получим решение уравнения (30) при учете в разложении (31) для первых трех слагаемых:

${e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\left(a_0{T}_0\right(t)+a_1{T}_1(t)+a_2{T}_2(t\left)\right).$                                              (32)

С учетом первых трех слагаемых в сумме в интегральном уравнении, оно принимает более простой вид:

$\frac{\eta }{k\mu }{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)=$                                                                                         (33)

$\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$$\left\{\left[\begin{array}{c}\\ \end{array}\right.\right.iL\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_0\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+$$\frac{iL}{2}$$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)M_1\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+2\pi A_0{\alpha }_0{J}_1\left({\gamma }_{0}L\right)$$\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]T_1\left(t\right)+$

$+\left[\frac{iL}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}{U}_1\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}+\frac{L}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t^{\text{'}}\right)M_2\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}\right.+$$2\pi A_0{\alpha }_0{J}_2\left({\gamma }_{0}L\right)\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]T_2\left(t\right)+D_0\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\},$

где

$M_{n+1}=\frac{2\eta }{k\mu }\sum _{m=0}^{\infty }{\left(i\right)}^m{U}_m\left(t^{\text{'}}\right)\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma L\right)J_{n+1}\left(\gamma L\right)J_m\left(\gamma L\right)d\gamma$     (n = 0,1)

В дальнейшем нам потребуются следующие равенства:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_0\left(t\right)T_0\left(t\right)dt=\mathrm{2,}$                                                                                             (34)

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_0\left(t\right)T_1\left(t\right)dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_1\left(t\right)T_0\left(t\right)dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_1\left(t\right)T_1\left(t\right)dt=\mathrm{0,}$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_0\left(t\right)T_2\left(t\right)dt=-\frac{2}{3},$  $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_1\left(t\right)T_1\left(t\right)dt=\frac{4}{3},$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_m\left(t\right)M_{n+1}\left(t\right)dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{\pi }{2}\left(1+{\delta }_{m0}\right)\frac{2\eta }{k\mu }{\left(i\right)}^m$$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma \right)J_{n+1}\left(\gamma L\right)J_m\left(\gamma L\right)d\gamma .$

Учитывая, что на границах ступеньки при z = ±Le_x(z) =0, запишем следующее граничное условие:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e^{\text{'}}}_x\left(t\right)dt=0.$                                                                                       (35)

Подставим решение (33) в граничное условие (35):

$a_0\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{d{t}^{\text{'}}}{\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}}+$$a_1\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_1\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}}{\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}}+$$a_2\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_2\left(t^{\text{'}}\right)d{t}^{\text{'}}}{\sqrt{1-{t^{\text{'}}}^2}}=0.$                               (36)

Так как второй и третий интегралы в равенстве (36) равны нулю, то отсюда следует, что a₀ = 0. Поэтому из соотношения (33) нетрудно записать следующую систему алгебраических уравнений относительно a₁ и a₂:

$\frac{\eta }{k\mu }(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{11})a_1+iL(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{12})a_2=$$2\pi A_0{\alpha }_0{J}_1\left({\gamma }_{0}L\right),$                (37)

$-iL(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{21})a_1+\frac{\eta }{k\mu }(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{22})a_2=$$2\pi A_0{\alpha }_0{J}_2\left({\gamma }_{0}L\right),$

где 

$K_{ij}=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma \right)J_{i+1}\left(\gamma L\right)J_j\left(\gamma L\right)d\gamma .$                                                             (38)

Заметим, что при выводе системы (37) мы воспользовались свойством ортогональности системы функций $\left\{T_n\left(t\right)\right\}$ на отрезке $\left[-\mathrm{1,1}\right].$ Используя метод Краммера, выражения для коэффициентов  a₁ и a₂ имеют следующий вид:

$a_1=\frac{1}{\Delta }2\pi A_0{\alpha }_0$$\left\{\left(\frac{\eta }{k\mu }(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{22})J_1\left({\gamma }_{0}L\right)\right.\right.$$\left.\left.- iL(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{21})J_2\left({\gamma }_{0}L\right)\right)\right\},$

$a_2=\frac{1}{\Delta }2\pi A_0{\alpha }_0$$\left\{\left(iL(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{21})J_1\left({\gamma }_{0}L\right) +\right.\right.$$\left.\left.\frac{\eta }{k\mu }(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{11})J_2\left({\gamma }_{0}L\right)\right)\right\},$

где

$\Delta ={\left(\frac{\eta }{k\mu }\right)}^2\left(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{11}\right)\left(1+\frac{L\pi }{2}{K}_{22}\right) -$$L^2{\left(\frac{2}{3}+\frac{\pi \eta }{2k\mu }{K}_{12}\right)}^2.$

3. Вычисление вспомогательных интегралов K_ij с помощью теории вычетов

Вычислим интегралы  K_ij   (ij = 01,2), входящие в формулы (37) для нахождения коэффициентов  a₁ и a₂:

$K_{ij}=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\Delta \left(\gamma \right)J_{i+1}\left(\gamma L\right)J_j\left(\gamma L\right)d\gamma ,$                                                             (39)

где

$\Delta \left(\gamma \right)=\frac{r\text{\hspace{0.05em}ctg\hspace{0.17em}}ra}{\gamma }-\mathrm{sgn} \gamma .$

Запишем множитель Δ(γ) в несколько другой форме:

$\Delta \left(\gamma \right)=\frac{1}{\gamma }\left[\frac{r\cos ra-\left|\gamma \right|\sin ra}{\sin ra}\right].$

Полюса подынтегрального выражения определяются нулями знаменателя множителя Δ(γ):

$r_m=\frac{\pi m}{a},m=\overline{\mathrm{1,}\infty }.$

В этих особых точках :

${\gamma }_m=\pm \sqrt{k^2-{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2}.$

Для больших  $m (m\to \infty )$ можно положить, что ${\gamma }_m\approx i\frac{m\pi }{a}.$

Если ввести обозначение:

$f=\frac{1}{\gamma }$$\left[\frac{r\cos ra-\left|\gamma \right|\sin ra}{\sin ra}\right]$$J_{i+1}\left(\gamma L\right)J_j\left(\gamma L\right),$

то по теореме о вычетах имеем:

$K_{ij}=-2\pi i\left\{\underset{\gamma =0}{\mathrm{Re}sf}+\sum _{\pm {\gamma }_m}\underset{{\gamma }_m}{\mathrm{Re}sf}\right\},$

$\underset{\gamma =0}{\mathrm{Re}sf}=\frac{k\cos ka}{\sin ka}{J}_i\left(0\right)J_j\left(0\right)=k\text{\hspace{0.17em}ctg\hspace{0.17em}}ka{\delta }_{i0}{\delta }_{j0},$

$\underset{{\gamma }_m}{\mathrm{Re}sf}=\frac{r_m^2{J}_i\left({\gamma }_{m}L\right)J_j\left({\gamma }_{m}L\right)}{-{\gamma }_m^{2}a}=$$-\frac{1}{a}{\left(\frac{r_m}{{\gamma }_m}\right)}^2{J}_i\left({\gamma }_{m}L\right)J_j\left({\gamma }_{m}L\right).$

Выше мы воспользовались следующими формулами [4]:

$\mathrm{Re}s=\frac{f\left(a\right)}{g^{\text{'}}\left(a\right)},$  $(\sin ra{)}^{\text{'}}=-\frac{a\gamma \cos ra}{r}.$                                                    (40)

Тогда, учитывая, что $r_m=\frac{\pi m}{a},$ формулу для нахождения K_ij можно переписать в виде:

$K_{ij}=-2i\pi \left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.k\text{\hspace{0.17em}ctg\hspace{0.17em}}ka{\delta }_{i0}{\delta }_{j0}-$$\frac{{\pi }^2}{a^3}\sum _{m=1}^{\infty }\left(\frac{m^2}{{\gamma }_m^2}\right)$$J_i\left({\gamma }_{m}L\right)J_j\left({\gamma }_{m}L\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}=$        (41)

$=2\pi \left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.-ik\text{\hspace{0.17em}ctg\hspace{0.17em}}ka{\delta }_{i0}{\delta }_{j0}+$$\frac{i{\pi }^2}{a^3}\frac{1}{{\gamma }_1^2}{J}_i\left({\gamma }_{1}L\right)J_j\left({\gamma }_{1}L\right)+$

$+\frac{1}{a}\sum _{m=2}^{\infty }{J}_i$$\left(i\frac{\pi }{a}Lm\right)$$J_j\left(i\frac{\pi }{a}Lm\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}.$

Так как в нашем случае i, j  ≠ 0 (для K_ij в формулах (38) i, j = 1,2). то первый член в равенстве (41) равен нулю. Ограничиваясь в выражении (41) вторым членом, в первом приближении интегралы K_ij можно вычислять по формулам i, j = 1,2

$K_{ij}=\frac{2i{\pi }^3}{{\gamma }_1^2{a}_{}^3}{J}_i\left({\gamma }_{1}L\right)J_j\left({\gamma }_{1}L\right).$                                                                      (42)

4. Дифракция основной волны прямоугольного волновода на отрезке активной полупроводниковой пленки с отрицательной дифференциальной проводимостью, расположенной на узкой стенке

Из выражения (13) с учетом соотношения (32) для функции ${e^{\text{'}}}_x\left(t\right)$ найдем коэффициент A(γ)

$A\left(\gamma \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\gamma }\frac{iL}{\sin ra}\times$                                                                                       (43)

$\times \left\{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{a_1{T}_1\left(t\right)e^{i\gamma Lt}}{\sqrt{1-t^2}}dt+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{a_2{T}_2\left(t\right)e^{i\gamma Lt}}{\sqrt{1-t^2}}dt\right\}.$

Учитывая, что T₁(t) = t, а T₂(t) = 2t² - 1 вычислим интегралы в формуле (43):

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_1\left(t\right)e^{i\gamma Lt}}{\sqrt{1-t^2}}dt=i\pi J_1\left(\gamma L\right),$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_2\left(t\right)e^{i\gamma Lt}}{\sqrt{1-t^2}}dt=$$2\pi \left\{\frac{J_1\left(\gamma L\right)}{\gamma L}-J_2\left(\gamma L\right)\right\}-\pi J_0\left(\gamma L\right).$

Подставляя значения вычисленных выше интегралов в соотношение (43) получим, что:

$A\left(\gamma \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{i\pi L}{\gamma \sin ra}\times$                                                                         (44)

$\left\{i{a}_1{J}_1\left(\gamma L\right)+a_2\left(\frac{2J_1\left(\gamma L\right)}{\gamma L}-2J_2\left(\gamma L\right)-J_0\left(\gamma L\right)\right)\right\}.$

С учетом выражения (344) для A(γ) электрическое поле в волноводе определяется следующим образом:

$E_x=A_0\sin \left(r_1\right(a-y\left)\right)e^{-i{\gamma }_{1}z}+\frac{iL}{2}\times$                                                         (45)

$\times \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{1}{\gamma \sin ra}\left\{i{a}_1{J}_1\left(\gamma L\right)+a_2\left(\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.\frac{2J_1\left(\gamma L\right)}{\gamma L}-\right.$

$-2J_2\left(\gamma L\right)-J_0\left(\gamma L\right)\left.\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right)\right\}\sin r(a-y)e^{-i\gamma z}d\gamma .$

Интеграл в (45) будем вычислять по формуле вычетов. Используя соотношения (40) и равенство:

${\left(\sin ra\gamma \right)}^{\text{'}}=-{\gamma }^{2}a\frac{\cos ra}{r},$

а так же тот факт, что в волноводе распространяется только основная мода, то есть:

${\gamma }_1=\sqrt{k^2-{\left(\frac{\pi }{a}\right)}^2},$

получаем выражение для составляющей электрического поля в прямоугольном волноводе с отрезком полупроводниковой пленки:

$E_x=A_0+\frac{L{\pi }^2}{{\gamma }_1^2{a}^2}\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.i{a}_1{J}_1\left({\gamma }_{1}L\right)+$$a_2\left(\frac{2J_1\left({\gamma }_{1}L\right)}{{\gamma }_{1}L}-2J_2\left({\gamma }_{1}L\right)-J_0\left({\gamma }_{1}L\right)\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}\times$$\sin r_1(a-y)e^{-i\gamma z}.$

Так как, по определению коэффициент прохождения основной волны в прямоугольном волноводе определяется следующим образом:

$T=\underset{z\to \infty }{\lim }\left\{\frac{E_x({\gamma }_1,z)}{\sin r_1(a-y)e^{-i{\gamma }_{1}z}}\right\},$

то окончательно, для него получаем простую формулу:

$T=1+\frac{L{\pi }^2}{{\gamma }_1^2{a}^2}\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.i{a}_1{J}_1\left({\gamma }_{1}L\right)+\left(\frac{2J_1\left({\gamma }_{1}L\right)}{{\gamma }_{1}L}-2J_2\left({\gamma }_{1}L\right)-J_0\left({\gamma }_{1}L\right)\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}$           (46)

Для вычисления модуля коэффициента прохождения T(α) в дальнейшем обозначаемом |T(α)| где α = γ₁L, и фазы коэффициента прохождения argT(α) необходимо вычислить коэффициенты a₁ и a₂ Вспомним, что

$\eta =\frac{k\delta }{1-\frac{{\delta }^2}{4}{r}_{\Pi {\rm O}}^2},$

Где $r_{\Pi {\rm O}}^2=k^2{\epsilon }_{\Pi }-{\gamma }_1^2,$ а комплексная проницаемость пленки ${\epsilon }_{\mathrm{\Pi }}=\epsilon -i4\pi \sigma /\mathrm{\omega }.$ Тогда для коэффициента η получим следующее выражение:

$\mathrm{\eta }={\mathrm{\eta }}_1-i{\mathrm{\eta }}_2,$                                                                                            (47)

${\mathrm{\eta }}_1=\frac{k\mathrm{\delta }c}{\left(c^2-{\left(\pi k^2{\delta }^2\frac{\sigma }{\mathrm{\omega }}\right)}^2\right)},$                                                                         (48)

${\eta }_2=$$\frac{\pi {\left(k\delta \right)}^3\frac{\sigma }{\omega }}{\left(c^2-{\left(\pi k^2{\delta }^2\frac{\sigma }{\omega }\right)}^2\right)},$

с = 1 + γ₁δ² + δ²k²ε.

Оценим значения коэффициентов ₁ и  η₂ при ε = 10, σ/ɷ = 1, частоте ƒ = 40 ГГц. Нетрудно показать, что при kδ = 0.01 – η₁ = 0.02, η₂ = 0.00002; при kδ = 0.1 –  η₁ = 0.24, η₂ = 0.03; при kδ = 0.3 –  η₁ = 0.8, η₂ = 1.5.

На рис. 2 и 3 приведены результаты расчета |T| и arg(T) для разных значений γ₁L и разных значений параметров пленки. Штриховые линии на этих рисунках соответствуют случаю σ = 0. Из анализа кривых, изображенных на рис. 2 и 3 следует, что функции |T| и arg(T) имеют резонансный характер, причем минимальному |T| соответствует максимальное значение arg(T). Можно сделать вывод, что при малых значениях kδ  (kδ = 0.01) |T| и arg(T) изменяются мало и кривая 1 (соответствующая случаю kδ = 0.01) близка к штриховой линии (случай σ = 0).  При увеличении kδ увеличиваются пределы изменения |T|  и arg(T). Из рисунка следует, что существуют такие интервалы γ₁L (при kδ ≥ 0,1), где коэффициент |T|  становится больше 1, что соответствует случаю усиления электромагнитной волны в активной полупроводниковой пленке с отрицательной дифференциальной проводимостью.

 

Рис. 2. Зависимость модуля коэффициента прохождения T от длины полупроводниковой пленки γ₁L:  ε = 10; σ/ɷ = 1, ƒ = 40 ГГц, 1 – kδ = 0,01;  2 – kδ = 0,1;  3 – kδ = 0,3

Fig. 2. Dependence of the modulus of the transmission coefficient T on the length of the semiconductor film γ₁L:  ε = 10; σ/ɷ = 1, ƒ = 40 ГГц, 1 – kδ = 0,01;  2 – kδ = 0,1;  3 – kδ = 0,3

 

Рис. 3. Зависимость аргумента коэффициента прохождения T от длины полупроводниковой пленки  γ1L:  ε = 10; σ/ɷ = 1, ƒ = 40 ГГц, 1 – kδ = 0,01;  2 – kδ = 0,1;  3 – kδ = 0,3

Fig. 3. Dependence of the transmission coefficient argument T on the length of the semiconductor film γ₁L:  ε = 10; σ/ɷ = 1, ƒ = 40 ГГц, 1 – kδ = 0,01;  2 – kδ = 0,1;  3 – kδ = 0,3

Об авторах

Андрей Андреевич Вороной

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: arminvanburn@yandex.ru

кандидат физико-математических наук, доцент, заместитель заведующего кафедрой радиоэлектронных систем

Россия, 443010, Самара, ул. Л. Толстого, 23

Александр Анатольевич Солдатов

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: solger259145@yandex.ru

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры радиоэлектронных систем

Россия, 443010, Самара, ул. Л. Толстого, 23

Виктор Павлович Кубанов

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: kubanov@psati.ru

доктор технических наук, профессор кафедры радиоэлектронных систем, cпециалист в области антенн

Россия, 443010, Самара, ул. Л. Толстого, 23

Список литературы

Дополнительные файлы