On the theory of interaction of related economic systems

Full Text

Введение

Взаимодействие связанных экономических систем представляет собой сложный и противоречивый процесс. Для осуществления своего эффективного функционирования каждая такая система должна формировать и поддерживать на соответствующем уровне собственные основные фонды, привлекать необходимый человеческий капитал, использовать определенные природные ресур-
сы и т. д.

Все это в совокупности приводит к конкурентной борьбе систем за перечисленные производственные факторы. Однако все экономические системы образуют единый комплекс экономики, производят совместные блага, обмениваются товарами, услугами и финансовыми средствами, развивают друг друга.

Взаимосвязь систем экономики на региональном, национальном и международном уровне сопровождают интеграционные процессы. Этому способствуют такие формы организации производства, как концентрация, специализация, кооперирование и комбинирование.

Для развития связей между различными экономическими системами используется процесс их интеграции, состоящий в структурном объединении экономических субъектов, установлении между ними широких и глубоких производственно-технологических связей, организации параллельной эксплуатации используемых ресурсов и капиталов, осуществлении взаимно благоприятных и безбарьерных условий их экономической деятельности.

Примером таких неразрывно взаимосвязанных экономических систем могут служить отрасли промышленности, добывающие сектора экономики, сельское хозяйство, бюджетно-финансовые средства государства, кластеры, образованные различными предприятиями, и т. д. Поэтому проблема прогнозирования закономерностей динамики развития подобных систем экономики является особенно актуальной.

Построение соответствующих экономико-математических моделей позволяет проводить реальный анализ деятельности экономических систем, достаточно точно описать динамику выпуска продукции и привлекаемых ресурсов. Основы теории экономического развития экономических систем подробно представлены в работах [1–6].

На базе этих теоретических положений создан целый спектр моделей роста экономических систем, учитывающий роль различных технических инноваций и информационных технологий [7–11].

Динамика развития систем экономики определяется взаимодействием инвестиционных вложений в отраслевые производства и амортизационных отчислений на восстановление объемов ресурсов и затрат. Одним из главных математических инструментов для построения моделей развития экономических субъектов является аппарат дифференциальных уравнений и их систем [12–20].

Целью публикуемой работы стала разработка новой экономико-математической модели динамики развития и взаимодействия связанных экономических систем, которая помимо конкурентной борьбы систем за ресурсы учитывает их кооперацию при производстве совместных благ, обмене товарами, услугами и финансовыми средствами.

Научная новизна предлагаемой модели заключается в использовании для экономических субъектов производственных функций, содержащих в качестве аргументов производственные факторы всех рассматриваемых связанных экономических систем.

 

1. Постановка задачи

Рассмотрим экономическую систему, образованную произвольным числом совместно взаимодействующих отраслей народного хозяйства. Объемы выручки этих отраслей  обеспечиваются соответствующими объемами определенных ресурсов , которые включают в себя объемы основных капиталов, производственных фондов, трудовых ресурсов, используемые в производстве материалы, применяемые технологии, инновации и т. д.

Выпуски продукций отраслями  полностью определяются факторами производства  с помощью производственных функций. Предполагается, что рассматриваемые взаимосвязанные экономические системы существовать отдельно друг от друга не могут. Обнуление ресурсов одной системы и прекращение ее деятельности приводит к прекращению деятельности всех других систем, поэтому производственные функции для них имеют общий вид

.                                     (1.1)

Ограничимся в соотношениях (1.1) мультипликативными функциями

.                                                                (1.2)

Здесь ,  – эластичности выручки по ресурсам ,  – выручка, соответствующая единичным объемам ресурсов.

Непрерывные и непрерывно дифференцируемые функции  ограничены на временном интервале

,

где ,  – начальные и предельные значения факторов производства. Значения  считаются заданными, значения  подлежат вычислению.

Динамика развития рассматриваемых систем может быть описана уравнениями балансов для объемов факторов производства .

За время  на малом отрезке  изменения объемов ресурсов  можно разделить на два слагаемых:

,                                   (1.3)

где  – изменения факторов производства за счет механизмов амортизации,  – изменения восстановления факторов производства за счет внутренних инвестиций в рассматриваемые экономические субъекты.

Величины  могут быть представлены в виде

                                                (1.4)

где  – коэффициенты амортизации, выражающие доли выбывших в единицу времени объемов ресурсов.

Величины  могут быть записаны с помощью выражения

,                                                    (1.5)

или

,                                              (1.6)

где  – инвестиции, вложенные в систему с номером  системой с номером  в момент времени ,  – нормы накопления внутренних инвестиций,  – функция, описывающая относительную скорость развития экономических систем.

Подстановка в формулы (1.6) выражений для производственных функций (1.2) дает

.                                          (1.7)

Таким образом, с помощью формул (1.4) и (1.7) уравнение баланса (1.3) принимает вид

.                                (1.8)

Предельный переход при  в соотношениях (1.8), приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений

                                       (1.9)

с начальными условиями

.                                                      (1.10)

Внешние воздействия на рассматриваемые экономические системы задаются в структуре системы дифференциальных уравнений (1.9) функцией , которая описывает скорость развития производственных факторов.

Стабильное и поступательное развитие систем соответствует постоянной и единичной функции . Отклонения ее значений на некотором временном интервале от единицы в сторону уменьшения будут соответствовать замедлению процесса развития систем, их временной остановке во время смены технологий производства, частичному сворачиванию производства.

Полную или частичную замену технологического оборудования производств экономической системы на временном интервале времени  удобно описывать функцией [16]:

,                                               (1.11)

где  – наибольший размер отклонения функции  от единицы,  – центр временного интервала,  – радиус временного интервала.

При  системы будут работать стабильно, при  в окрестности точки  рост функций  будет замедляться, при  в момент времени  рост функций  прекратится и на интервале времени  будет происходить переоснащение производств, при  на интервале времени  будет происходить переоснащение производств, сопровождаемое их некоторым сворачиванием.

Если эффекты стагнации и сворачивание производств экономических систем происходят в различные моменты времени неоднократно, то вместо функции (1.11) целесообразно выбрать произведение функций [16–20]:

.                                                     (1.12)

Структура уравнений баланса (1.9) показывает, что предприятие будет развиваться при условии , которое означает что, объемы внутренних инвестиций превосходят объемы амортизационных отчислений.

Предельные значения  объемов производственных факторов  находятся из уравнений:

.                                           (1.13)

Задачу Коши (1.9), (1.10) и систему уравнений (1.13) можно решить только численно.

Варианты развития отраслей, согласно построенной математической модели, определяются коэффициентами норм накопления внутренних инвестиций .

 

2. Модель взаимодействия двух связанных систем экономики

Рассмотрим модель совместного существования и взаимодействия двух экономических систем.

Объемы выручки обеих систем  и  обеспечиваются объемами определенных ресурсов. Эти ресурсы включают в себя объемы основных капиталов, производственных фондов, трудовых ресурсов, используемые в производстве материалы, применяемые технологии, инновации и т. д.

Для каждой системы все эти ресурсы объединим в интегральные ресурсы в виде некоторых объемов факторов производства   и .

Выпуски продукций экономическими системами  и  полностью определяются факторами производства  и  с помощью производственных функций.

Предполагается, что рассматриваемые взаимосвязанные отрасли существовать отдельно друг от друга не могут. Обнуление ресурсов одной отрасли и прекращение ее деятельности приводит к прекращению деятельности и другой отрасли, поэтому производственные функции для таких отраслей имеют общий вид:

                                                               (2.1)

Ограничимся классической производственной функцией Кобба – Дугласа

                                                          (2.2)

Приращения объемов факторов производства (1.3) могут быть представлены в виде

                                            (2.3)

приращения частичных амортизаций (1.4) принимают вид

                                               (2.4)

приращения внутренних инвестиций (1.7) определяются соотношениями:

                        (2.5)

Подстановка формул (2..4) и (2.5) в уравнения баланса (2.3) дает

                (2.6)

Переходя к пределу в соотношениях (2.6) при условии , получаем систему нелинейных дифференциальных уравнений:

                     (2.7)

с начальными условиями

                                                     (2.8)

Предельные значения объемов производственных факторов  находятся из уравнений:

                      (2.9)

Задачу Коши (2.7), (2.8) и систему уравнений (2.9) можно решить только численно.

На рисунке показаны графики функций  и , построенные по результатам численных решений двух вариантов задачи Коши (2.7), (2.8).

В первом варианте численных расчетов предполагалось, что обе экономические системы работают независимо друг от друга. В этом случае нормы накопления внутренних инвестиций принимались .

Во втором варианте численных расчетов предполагалось, что первая система является самостоятельной и системообразующей, а вторая система – дотационной. В этом случае нормы накопления внутренних инвестиций принимались .

Рисунок – Графики функций  и , построенные по результатам численных решений двух вариантов задачи Коши (2.7), (2.8)

Figure – Graphs of functions and , constructed from the results of numerical solutions of two variants of the Cauchy problem (2.7), (2.8)

 

Сплошная линия соответствует развитию первой системы , штриховая линия – самостоятельному развитию второй системы , штрих-пунктирная линия – дотационному развитию второй системы . Расчетные значения: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

 

Заключение

Разработана экономико-математическая модель динамики развития и взаимодействия связанных экономических систем, учитывающая как их конкурентную борьбу за ресурсы, так и их кооперацию при производстве совместных благ.

Модель представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, с помощью которых рассчитываются показатели динамики развития связанных систем экономики.

Значения этих показателей зависят от соотношения инвестиционных вложений в производство экономических систем и их амортизационных отчислений на восстановление объемов ресурсов и затрат.

Особенность представленной модели состоит в том, что производственная функция каждой экономической системы содержит в качестве аргументов не только собственные производственные факторы, но и ресурсы всех остальных рассматриваемых связанных экономических субъектов.

Показано, что, управляя выбором норм накопления внутренних инвестиций экономических систем, можно получать различные варианты их взаимодействия. При определенном выборе норм накопления экономические системы могут работать независимо друг от друга. При других нормах одни системы экономики становятся самостоятельными и системообразующими, а остальные системы остаются дотационными.

About the authors

Elena A. Ilyina

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: elenaalex.ilyina@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-2590-6138

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Leonid A. Saraev

Samara National Research University

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files