К теории взаимодействия связанных экономических систем

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В публикуемой статье исследуется процесс взаимодействия нескольких связанных экономических систем, которые, с одной стороны, конкурируют между собой за основные фонды, необходимый человеческий капитал и природные ресурсы. С другой стороны, они, дополняя и развивая друг друга, образуют единый комплекс, внутри которого производятся совместные блага, происходит обмен товарами, услугами и финансовыми средствами и т. д. Предложена экономико-математическая модель динамики развития и взаимодействия связанных экономических систем, учитывающая как их конкурентную борьбу за ресурсы, так и их кооперацию при производстве совместных благ. Эта модель представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, с помощью которых рассчитываются показатели динамики развития связанных систем экономики. Значения этих показателей зависят от соотношения инвестиционных вложений в производство экономических систем и их амортизационных отчислений на восстановление объемов ресурсов и затрат. Особенность представленной модели состоит в том, что производственная функция каждой экономической системы содержит в качестве аргументов не только собственные производственные факторы, но и ресурсы всех остальных рассматриваемых связанных экономических субъектов. Показано, что, управляя выбором норм накопления внутренних инвестиций экономических систем, можно получать различные варианты их взаимодействия. При определенном выборе норм накопления экономические системы могут работать независимо друг от друга. При других нормах одни системы экономики становятся самостоятельными и системообразующими, а остальные системы является дотационными.

Полный текст

Введение

Взаимодействие связанных экономических систем представляет собой сложный и противоречивый процесс. Для осуществления своего эффективного функционирования каждая такая система должна формировать и поддерживать на соответствующем уровне собственные основные фонды, привлекать необходимый человеческий капитал, использовать определенные природные ресур-
сы и т. д.

Все это в совокупности приводит к конкурентной борьбе систем за перечисленные производственные факторы. Однако все экономические системы образуют единый комплекс экономики, производят совместные блага, обмениваются товарами, услугами и финансовыми средствами, развивают друг друга.

Взаимосвязь систем экономики на региональном, национальном и международном уровне сопровождают интеграционные процессы. Этому способствуют такие формы организации производства, как концентрация, специализация, кооперирование и комбинирование.

Для развития связей между различными экономическими системами используется процесс их интеграции, состоящий в структурном объединении экономических субъектов, установлении между ними широких и глубоких производственно-технологических связей, организации параллельной эксплуатации используемых ресурсов и капиталов, осуществлении взаимно благоприятных и безбарьерных условий их экономической деятельности.

Примером таких неразрывно взаимосвязанных экономических систем могут служить отрасли промышленности, добывающие сектора экономики, сельское хозяйство, бюджетно-финансовые средства государства, кластеры, образованные различными предприятиями, и т. д. Поэтому проблема прогнозирования закономерностей динамики развития подобных систем экономики является особенно актуальной.

Построение соответствующих экономико-математических моделей позволяет проводить реальный анализ деятельности экономических систем, достаточно точно описать динамику выпуска продукции и привлекаемых ресурсов. Основы теории экономического развития экономических систем подробно представлены в работах [1–6].

На базе этих теоретических положений создан целый спектр моделей роста экономических систем, учитывающий роль различных технических инноваций и информационных технологий [7–11].

Динамика развития систем экономики определяется взаимодействием инвестиционных вложений в отраслевые производства и амортизационных отчислений на восстановление объемов ресурсов и затрат. Одним из главных математических инструментов для построения моделей развития экономических субъектов является аппарат дифференциальных уравнений и их систем [12–20].

Целью публикуемой работы стала разработка новой экономико-математической модели динамики развития и взаимодействия связанных экономических систем, которая помимо конкурентной борьбы систем за ресурсы учитывает их кооперацию при производстве совместных благ, обмене товарами, услугами и финансовыми средствами.

Научная новизна предлагаемой модели заключается в использовании для экономических субъектов производственных функций, содержащих в качестве аргументов производственные факторы всех рассматриваемых связанных экономических систем.

 

  1. Постановка задачи

Рассмотрим экономическую систему, образованную произвольным числом совместно взаимодействующих отраслей народного хозяйства. Объемы выручки этих отраслей  обеспечиваются соответствующими объемами определенных ресурсов , которые включают в себя объемы основных капиталов, производственных фондов, трудовых ресурсов, используемые в производстве материалы, применяемые технологии, инновации и т. д.

Выпуски продукций отраслями  полностью определяются факторами производства  с помощью производственных функций. Предполагается, что рассматриваемые взаимосвязанные экономические системы существовать отдельно друг от друга не могут. Обнуление ресурсов одной системы и прекращение ее деятельности приводит к прекращению деятельности всех других систем, поэтому производственные функции для них имеют общий вид

.                                     (1.1)

Ограничимся в соотношениях (1.1) мультипликативными функциями

.                                                                (1.2)

Здесь ,  – эластичности выручки по ресурсам ,  – выручка, соответствующая единичным объемам ресурсов.

Непрерывные и непрерывно дифференцируемые функции  ограничены на временном интервале

,

где ,  – начальные и предельные значения факторов производства. Значения  считаются заданными, значения  подлежат вычислению.

Динамика развития рассматриваемых систем может быть описана уравнениями балансов для объемов факторов производства .

За время  на малом отрезке  изменения объемов ресурсов  можно разделить на два слагаемых:

,                                   (1.3)

где  – изменения факторов производства за счет механизмов амортизации,  – изменения восстановления факторов производства за счет внутренних инвестиций в рассматриваемые экономические субъекты.

Величины  могут быть представлены в виде

                                                (1.4)

где  – коэффициенты амортизации, выражающие доли выбывших в единицу времени объемов ресурсов.

Величины  могут быть записаны с помощью выражения

,                                                    (1.5)

или

,                                              (1.6)

где  – инвестиции, вложенные в систему с номером  системой с номером  в момент времени ,  – нормы накопления внутренних инвестиций,  – функция, описывающая относительную скорость развития экономических систем.

Подстановка в формулы (1.6) выражений для производственных функций (1.2) дает

.                                          (1.7)

Таким образом, с помощью формул (1.4) и (1.7) уравнение баланса (1.3) принимает вид

.                                (1.8)

Предельный переход при  в соотношениях (1.8), приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений

                                       (1.9)

с начальными условиями

.                                                      (1.10)

Внешние воздействия на рассматриваемые экономические системы задаются в структуре системы дифференциальных уравнений (1.9) функцией , которая описывает скорость развития производственных факторов.

Стабильное и поступательное развитие систем соответствует постоянной и единичной функции . Отклонения ее значений на некотором временном интервале от единицы в сторону уменьшения будут соответствовать замедлению процесса развития систем, их временной остановке во время смены технологий производства, частичному сворачиванию производства.

Полную или частичную замену технологического оборудования производств экономической системы на временном интервале времени  удобно описывать функцией [16]:

,                                               (1.11)

где  – наибольший размер отклонения функции  от единицы,  – центр временного интервала,  – радиус временного интервала.

При  системы будут работать стабильно, при  в окрестности точки  рост функций  будет замедляться, при  в момент времени  рост функций  прекратится и на интервале времени  будет происходить переоснащение производств, при  на интервале времени  будет происходить переоснащение производств, сопровождаемое их некоторым сворачиванием.

Если эффекты стагнации и сворачивание производств экономических систем происходят в различные моменты времени неоднократно, то вместо функции (1.11) целесообразно выбрать произведение функций [16–20]:

.                                                     (1.12)

Структура уравнений баланса (1.9) показывает, что предприятие будет развиваться при условии , которое означает что, объемы внутренних инвестиций превосходят объемы амортизационных отчислений.

Предельные значения  объемов производственных факторов  находятся из уравнений:

.                                           (1.13)

Задачу Коши (1.9), (1.10) и систему уравнений (1.13) можно решить только численно.

Варианты развития отраслей, согласно построенной математической модели, определяются коэффициентами норм накопления внутренних инвестиций .

 

  1. Модель взаимодействия двух связанных систем экономики

Рассмотрим модель совместного существования и взаимодействия двух экономических систем.

Объемы выручки обеих систем  и  обеспечиваются объемами определенных ресурсов. Эти ресурсы включают в себя объемы основных капиталов, производственных фондов, трудовых ресурсов, используемые в производстве материалы, применяемые технологии, инновации и т. д.

Для каждой системы все эти ресурсы объединим в интегральные ресурсы в виде некоторых объемов факторов производства   и .

Выпуски продукций экономическими системами  и  полностью определяются факторами производства  и  с помощью производственных функций.

Предполагается, что рассматриваемые взаимосвязанные отрасли существовать отдельно друг от друга не могут. Обнуление ресурсов одной отрасли и прекращение ее деятельности приводит к прекращению деятельности и другой отрасли, поэтому производственные функции для таких отраслей имеют общий вид:

                                                               (2.1)

Ограничимся классической производственной функцией Кобба – Дугласа

                                                          (2.2)

Приращения объемов факторов производства (1.3) могут быть представлены в виде

                                            (2.3)

приращения частичных амортизаций (1.4) принимают вид

                                               (2.4)

приращения внутренних инвестиций (1.7) определяются соотношениями:

                        (2.5)

Подстановка формул (2..4) и (2.5) в уравнения баланса (2.3) дает

                (2.6)

Переходя к пределу в соотношениях (2.6) при условии , получаем систему нелинейных дифференциальных уравнений:

                     (2.7)

с начальными условиями

                                                     (2.8)

Предельные значения объемов производственных факторов  находятся из уравнений:

                      (2.9)

Задачу Коши (2.7), (2.8) и систему уравнений (2.9) можно решить только численно.

На рисунке показаны графики функций  и , построенные по результатам численных решений двух вариантов задачи Коши (2.7), (2.8).

В первом варианте численных расчетов предполагалось, что обе экономические системы работают независимо друг от друга. В этом случае нормы накопления внутренних инвестиций принимались .

Во втором варианте численных расчетов предполагалось, что первая система является самостоятельной и системообразующей, а вторая система – дотационной. В этом случае нормы накопления внутренних инвестиций принимались .

Рисунок – Графики функций  и , построенные по результатам численных решений двух вариантов задачи Коши (2.7), (2.8)

Figure – Graphs of functions and , constructed from the results of numerical solutions of two variants of the Cauchy problem (2.7), (2.8)

 

Сплошная линия соответствует развитию первой системы , штриховая линия – самостоятельному развитию второй системы , штрих-пунктирная линия – дотационному развитию второй системы . Расчетные значения: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

 

Заключение

Разработана экономико-математическая модель динамики развития и взаимодействия связанных экономических систем, учитывающая как их конкурентную борьбу за ресурсы, так и их кооперацию при производстве совместных благ.

Модель представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, с помощью которых рассчитываются показатели динамики развития связанных систем экономики.

Значения этих показателей зависят от соотношения инвестиционных вложений в производство экономических систем и их амортизационных отчислений на восстановление объемов ресурсов и затрат.

Особенность представленной модели состоит в том, что производственная функция каждой экономической системы содержит в качестве аргументов не только собственные производственные факторы, но и ресурсы всех остальных рассматриваемых связанных экономических субъектов.

Показано, что, управляя выбором норм накопления внутренних инвестиций экономических систем, можно получать различные варианты их взаимодействия. При определенном выборе норм накопления экономические системы могут работать независимо друг от друга. При других нормах одни системы экономики становятся самостоятельными и системообразующими, а остальные системы остаются дотационными.

×

Об авторах

Елена Алексеевна Ильина

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: elenaalex.ilyina@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-2590-6138

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и бизнес-информатики

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

Леонид Александрович Сараев

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и бизнес-информатики

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

  1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Москва: Наука, 1976, 286 с. URL: https://www.fb2portal.ru/other/matematicheskaya-teoriya-borby-za-sushchestvovanie/.
  2. Месарович М., Такахара И. Общая теория систем: математические основы. Москва: Мир, 1978. 311 с. URL: http://www.sci.aha.ru/ots/doc/book026.pdf.
  3. Глухов В.В., Колобов А.В., Игумнов Е.М. Методика оптимизации набора инструментов для повышения эффективности бизнес-системы // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Экономические науки. 2020. Т. 13, № 5. С. 95–105. DOI: http://doi.org/10.18721/JE.13507. EDN: https://www.elibrary.ru/bldars.
  4. Романов В.П., Ахмадеев Б.А. Моделирование инновационной экосистемы на основе модели «хищник – жертва» // Бизнес-информатика. 2015. № 1 (31). С. 7–17. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23609921. EDN: https://www.elibrary.ru/twrbev.
  5. Волик К.М., Смирнов Н.В. Построение области достижимости в управляемой динамической модели межотраслевого баланса // Процессы управления и устойчивость. 2015. T. 2, № 1. С. 597–604. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=24327257. EDN: https://www.elibrary.ru/umjerh.
  6. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Прогнозирование макроэкономических тенденций и управление многопродуктовой экономикой на основе динамических моделей межотраслевого баланса // Финансы и бизнес. 2015. № 1. С. 42–53. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23841035. EDN: https://www.elibrary.ru/ubsoav.
  7. Смирнов Н.В., Пересада В.П., Гирдюк Д.В., Постнов К.В., Попков А.С. Модель межотраслевого баланса – один из базовых элементов информационного обеспечения работы ситуационных центров регионов // Информатизация и связь. 2019. № 3. С. 20–25. DOI: http://doi.org/10.34219/2078-8320-2019-10-3-20-25. EDN: https://www.elibrary.ru/aezxeq.
  8. Смирнов Н.В., Пересада В.П., Попков А.С., Смирнова Т.Е. Применение динамических балансовых моделей для прогнозирования, планирования и коррекции макроэкономических тенденций // Система распределенных ситуационных центров как основа цифровой трансформации государственного управления. Труды всероссийского форума. Санкт-Петербург, 2018. С. 119–121. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=39122693&pff=1. EDN: https://www.elibrary.ru/ohhbzs.
  9. Гирдюк Д.В. Динамическая модель межотраслевого баланса на основе таблиц OECD. URL: https://github.com/iom2020/input_output_modelling (дата обращения: 22.06.2022).
  10. Бабкин А.В., Ташенова Л.В., Елисеев Е.В. Цифровой потенциал системообразующего инновационно активного промышленного кластера: понятие, сущность, оценка // Экономика и управление. 2020. Т. 26. № 12 (182). С. 1324–1334. DOI: http://doi.org/10.35854/1998-1627-2020-12-1324-1334. EDN: https://www.elibrary.ru/rsjjxm.
  11. Лутошкин И.В., Липатова С.В., Ярдаева М.Н. Разработка инструментария оценки деятельности предприятия в условиях цифрового производства // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Экономические науки. 2018. Т. 11, № 6. С. 9–21. DOI: http://doi.org/10.18721/JE.11601. EDN: https://www.elibrary.ru/yukchz.
  12. Нижегородцев Р.М. Модели логистической динамики как инструмент экономического анализа и прогнозирования // Моделирование экономической динамики: риск, оптимизация, прогнозирование. Москва, 1997. С. 34–51.
  13. Бадаш Х.З. Экономико-математическая модель экономического роста предприятия // Вестник Удмуртского университета. Серия: Экономика и право. 2009. № 1. С. 5–9. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=11700881. EDN: https://www.elibrary.ru/jwbhyv.
  14. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Сравнительный анализ применения пакетов имитационного моделирования и систем компьютерной математики для анализа моделей теории экономического роста // Экономический анализ: теория и практика. 2007. № 5 (86). С. 23–30. URL: https://www.fin-izdat.ru/journal/analiz/detail.php?ID=5120; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=9337066. EDN: https://www.elibrary.ru/hwikhf.
  15. Прасолов А.В. Математические методы экономической динамики. Санкт-Петербург: Лань, 2015. 352 с. URL: https://knigogid.ru/books/383585-matematicheskie-metody-ekonomicheskoy-dinamiki/toread.
  16. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Трехфакторная математическая модель развития предприятия за счет внутренних и внешних инвестиций // Вестник Алтайской академии экономики и права. 2020. № 2. С. 77–85. DOI: http://doi.org/10.17513/vaael.1002. EDN: https://www.elibrary.ru/jdatyn.
  17. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Многофакторная математическая модель развития производственного предприятия за счет внутренних и внешних инвестиций // Вестник Самарского университета. Экономика и управление. 2020. Т. 11, № 2. С. 157–165. DOI: http://doi.org/10.18287/2542-0461-2020-11-2-157-165. EDN: https://www.elibrary.ru/wdbmkv.
  18. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Математические модели стохастической динамики развития предприятий // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2020. Т. 24, № 2. С. 343–364. DOI: http://doi.org/10.14498/vsgtu1700. EDN: https://www.elibrary.ru/mltmba.
  19. Ilyina E.A., Saraev L.A. Predicting the dynamics of the maximum and optimal profits of innovative enterprises // Journal of Physics: Conference Series. 2021, Vol. 1784, p. 012002. DOI: http://doi.org/10.1088/1742-6596/1784/1/012002. EDN: https://www.elibrary.ru/xwxltx.
  20. Saraev A.L., Saraev L.A. Mathematical models of the development of industrial enterprises, with the effect of lagging internal and external investments // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1784. P. 012010. DOI: http://doi.org/10.1088/1742-6596/1784/1/012010. EDN: https://www.elibrary.ru/qvnrzq.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Вестник Самарского университета. Экономика и управление, 2022

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах