The dynamics of synchronization of two-stage van der Pol generator

Full Text

Введение

Модели в форме взаимосвязанных осцилляторов (активных и консервативных) находят достаточно широкое применение. Причем они используются как для исследования реально существующих объектов [1–3], так и для обнаружения и изучения новых физических эффектов [4–6].

Одним из способов взаимосвязи осцилляторов является их кольцевое соединение. При этом в кольцевом генераторе (КГ) цепь положительной обратной связи, обеспечивающей генерацию, существует лишь при замыкании кольца активных ячеек, каждая из которых обратной связи не содержит и не является самогенерирующей. Было показано [7], что КГ позволяет получить сигнал с повышенной долговременной стабильностью частоты по сравнению с автогенератором, реализованным на отдельно взятой ячейке. В статье [8] рассмотрен вариант КГ – кольцо из двух резонансных ячеек (каскадов) с кубически нелинейными активными трехполюсниками. Этот вариант КГ назван двухкаскадным генератором (осциллятором) ван дер Поля. Исследованы характеристики его автономных колебаний. В настоящем сообщении рассматривается режим синхронизации этого генератора внешним гармоническим сигналом. Исследование проведено в рамках дискретно-временной (ДВ) модели динамической системы.

1. ДВ-модель генератора

Структурная схема двухкаскадного генератора ван дер Поля приведена на рис. 1.

 

Рис. 1. Структурная схема двухкаскадного осциллятора ван дер Поля

Fig. 1. Block diagram of a two-stage van der Pol oscillator

 

Приняв в качестве математической модели осциллятора ван дер Поля с внешним воздействием $E\left(t\right)$ уравнение движения вида

$\begin{array}{l}\frac{d^2{y}_1}{d{t}^2}+\frac{{\omega }_0}{Q}\frac{d{y}_1}{dt}+{\omega }_0^2{y}_1=\\ =p\frac{{\omega }_0}{Q}\left(1-y_1^2\right)\frac{d{y}_1}{dt}+{\omega }_0^{2}E\left(t\right),\end{array}$ (1)

получим модель двухкаскадного генератора с идентичными ячейками в форме системы дифференциальных уравнений

$\begin{array}{l}\frac{d^2{y}_1}{d{t}^2}+\frac{{\omega }_0}{Q}\frac{d{y}_1}{dt}+{\omega }_0^2{y}_1=\\ =p\frac{{\omega }_0}{Q}\left(1-y_2^2\right)\frac{d{y}_2}{dt}+{\omega }_0^{2}E\left(t\right),\\ \frac{d^2{y}_2}{d{t}^2}+\frac{{\omega }_0}{Q}\frac{d{y}_2}{dt}+{\omega }_0^2{y}_2=p\frac{{\omega }_0}{Q}\left(1-y_1^2\right)\frac{d{y}_1}{dt}.\end{array}$ (2)

В уравнениях (1) и (2) осциллирующие переменные  нормированы на характерный масштаб нелинейности, ${\omega }_0$ и Q – собственные частоты добротности резонаторов ячеек,  – параметр превышения порога генерации.

Предполагая в дальнейшем дискретизацию времени с интервалом $\Delta ,$ введем в уравнения (2) безразмерную временную переменную $\tau =t/\Delta \text{:}$

$\begin{array}{l}\frac{d^2{y}_1}{d{t}^2}+2\pi \nu \frac{d{y}_1}{dt}+4{\pi }^2{\Omega }_0^2{y}_1=\\ =2\pi \nu p\left(1-y_2^2\right)\frac{d{y}_2}{dt}+4{\pi }^2{\Omega }_0^{2}E\left(t\right),\\ \frac{d^2{y}_2}{d{t}^2}+2\pi \nu \frac{d{y}_2}{dt}+4{\pi }^2{\Omega }_0^2{y}_2=\\ =2\pi \nu p\left(1-y_1^2\right)\frac{d{y}_1}{dt}.\end{array}$ (3)

Здесь ${\Omega }_0={\omega }_0/{\omega }_d$ – собственная частота, измеряемая в единицах частоты дискретизации ${\omega }_d=2\pi /\Delta ;$ $\nu ={\Omega }_0/Q$ – полоса резонатора.

Переход к дискретному времени в (3) проведем методом работы [9]. Для осцилляций $y_1\left[n\right]=y_1\left({\tau }_n\right)$ и $y_2\left[n\right]=y_2\left({\tau }_n\right)$ получим систему нелинейных разностных уравнений:

$\begin{array}{l}{y}_1\left[n\right]-2\delta \cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)y_1[n-1]+{\delta }^2{y}_1[n-2]=\\ =2\pi \nu pD\left(y_2[n-1],y_2[n-2]\right)+\\ +2\pi {\Omega }_0\delta \sin \left(2\pi {\Omega }_0\right)E[n-1],\\ y_2\left[n\right]-2\delta \cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)y_2[n-1]+{\delta }^2{y}_2[n-2]=\\ =2\pi \nu pD\left(y_1[n-1],y_1[n-2]\right),\end{array}$ (4)

где

$\begin{array}{l}D\left(y[n-1],y[n-2]\right)=\\ =\left(1-y^2[n-1]\right)\left(\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)y[n-1]-y[n-2]\right)\end{array}$

– нелинейности ячеек, $\delta =\exp (-\pi \nu )$ – параметр диссипации резонатора.

Систему уравнений (4) можно рассматривать с двух точек зрения. С одной из них, при выполнении условия ${\Omega }_0\ll 1$ – это разностная схема для расчета автоколебаний в исследуемом генераторе. С другой, соотношения (4) определяют дискретное отображение двухкаскадного кольцевого осциллятора – динамическую систему, функционирующую в дискретном времени. Такие объекты нелинейной динамики на частотах ${\Omega }_0$ порядка частоты Найквиста вследствие эффекта подмены частот [10] демонстрируют свойства, не наблюдаемые в непрерывном времени [11].

2. Укороченные уравнения метода ММА

Синхронные автоколебания [12; 13] в области удержания представим в форме осцилляций с медленно меняющимися комплексными амплитудами $A_1\left[n\right]$ и $A_2\left[n\right]\text{:}$

$y_{\mathrm{1,2}}\left[n\right]=\frac{1}{2}{A}_{\mathrm{1,2}}\left[n\right]Z^n+\frac{1}{2}{A}_{\mathrm{1,2}}^{\ast }\left[n\right]Z^{-n},$ (5)

где $Z=\exp \left(j2\pi \Omega \right)$ – функция частоты внешнего. Метод медленно меняющихся амплитуд (метод ММА) широко используется при решении прикладных задач теории нелинейных колебаний в непрерывном времени [14; 15]. Особенности его применения к нелинейным ДВ-системам представлены, например, в [11]. В частности, условием медленности изменения амплитуд $A_k\left[n\right]$ являются приближенные равенства $A_k\left[n\right]-A_k[n-1]=$$A_k[n-1]-A_k[n-2].$

В рамках метода ММА для амплитуд автоколебаний в ячейках ДВ-осциллятора (4) при внешнем гармоническом воздействии с амплитудой $E_0$ и частотой $\Omega$ удается получить систему укороченных уравнений вида

$\begin{array}{l}{A}_1\left[n\right]=A_1[n-1]-\pi \nu \left(1+j\eta \right)A_1[n-1]+\\ +\pi \nu p\left(1-\frac{1}{4}\left|A_2\right[n-1]{|}^2\right)A_2[n-1]-j\pi {\Omega }_0{E}_0\text{\hspace{0.17em}},\\ A_2\left[n\right]=A_2[n-1]-\pi \nu \left(1+j\eta \right)A_2[n-1]+\\ +\pi \nu p\left(1-\frac{1}{4}\left|A_1\right[n-1]{|}^2\right)A_1[n-1],\end{array}$ (6)

где введено обозначение $\eta =2(\Omega -{\Omega }_0)/\nu$ для приведенной частоты сигнала синхронизации, а также использовано высокодобротное приближение для параметра диссипации: $\delta =1-\pi \nu .$ Отметим, что для автономного осциллятора $(E_0=\mathrm{0,} \Omega ={\Omega }_0)$  укороченные уравнения (6) совпадают с соответствующими уравнениями статьи [8].

В режиме установившихся колебаний в полосе удержания система разностных уравнений (6) сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений

$\begin{array}{l}\nu \left(1+j\eta \right)A_1-\nu p\left(1-\frac{1}{4}|A_2{|}^2\right)A_2=-j{\Omega }_0{E}_0\text{\hspace{0.17em}},\\ \nu \left(1+j\eta \right)A_2-\nu p\left(1-\frac{1}{4}|A_1{|}^2\right)A_1=0.\end{array}$ (7)

Решение системы четырех действительных нелинейных уравнений (7) – технически непростая задача. Значительно проще получить решение укороченных уравнений (6) при квазистатическом изменении частоты $\Omega .$ Полученные при этом зависимости $A_{\mathrm{1,2}}\left(\Omega \right)$ будут близки к статическим частотным характеристикам.

3. Результаты моделирования автоколебаний

Хорошо известно (см., например, [16]), что траектория движения автономного осциллятора (1) при выполнении условия самовозбуждения $p>1$ выходит на единственный предельный цикл. Решения укороченных уравнений (6) позволяют сделать вывод о том, что для кольцевого осциллятора (2) такое поведение характерно лишь в интервале значений параметра $1<p<2.$ При более высоких уровнях возбуждения в каскадах устанавливаются автоколебания с различающимися амплитудами [8]. Рис. 2 иллюстрирует этот эффект бистабильности для $p=\mathrm{3,5.}$ Пунктирная линия на рисунке отображает динамику амплитуд автоколебаний в каскадах при $p=\mathrm{1,99.}$

 

Рис. 2. Процесс установления автоколебаний

Fig. 2. Process of establishing self-oscillations

 

Рис. 3. Динамика суммарной мощности автоколебаний

Fig. 3. Dynamics of the total power of self-oscillations

 

Большее значение амплитуды автоколебаний достигается в каскаде с наибольшим значением начального возмущения $A_i\left[0\right]$ состояния нулевого равновесия. Если параметры каскадов различаются, то наибольшее значение амплитуды устанавливается в каскаде с наименьшей добротностью.

Синфазность колебаний в каскадах позволяет проводить суммирование их мощностей:

$W\left[n\right]=\frac{1}{2}{A}_1^2\left[n\right]+\frac{1}{2}{A}_2^2\left[n\right].$

На рис. 3 представлены временные зависимости суммарной мощности $W\left[n\right]$ для двух уровней возбуждения $p=\mathrm{2,5}$ и $p=\mathrm{3,5.}$ Характерной особенностью является стремление $W\left[n\right]\to 2$ для всех значений $p>2.$ При этом время достижения предела уменьшается с ростом уровня возбуждения.

Частотные характеристики синхронного режима колебаний в двухкаскадном генераторе (2) приведем в сравнении с аналогичными характеристиками классического генератора ван дер Поля (1). Приближенные решения системы уравнений (7) получены как решения укороченных уравнений (6) при квазистатическом изменении частоты $\Omega$ синхронизирующего сигнала.

На рис. 4 представлены амплитудно-частотные (а) и фазочастотные (б) характеристики синхронных колебаний в генераторе (1) с параметрами ${\Omega }_0=\mathrm{0,1,}$ $Q=\mathrm{20,}$ $p=\mathrm{1,5}$ при амплитуде синхросигнала $E_0=\mathrm{0,05.}$ Представленные зависимости $A\left(\eta \right)$ и $\phi \left(\eta \right)$ полностью соответствуют приведенным, например, в [17].

Характеристики синхронных колебаний двухкаскадного кольцевого генератора (2), рассчитанные для тех же значений параметров, показаны на рис. 5. АЧХ колебаний в первом (находящемся под внешнем воздействием) и втором каскадах (рис. 5, а) различаются кардинально. Несмотря на то что при $p=\mathrm{1,5}$ в автономной системе бистабильность амплитуд не наблюдается, под действием внешнего сигнала в каскадах устанавливается режим синхронных колебаний с различными амплитудами. Причем в центре полосы синхронизации (полосы удержания) амплитуда в первом каскаде выше, чем во втором. Но это соотношение амплитуд плавно меняется при приближении к границам полосы. ФЧХ синхронных колебаний в одно- и двухкаскадном генераторах (рис. 4, б и рис. 5, б), а также колебаний в первом и втором каскадах качественно различаются незначительно.

Следует отметить, что полоса синхронизации (удержания) двухкаскадного генератора (2) при прочих равных существенно меньше полосы синхронизации генератора (1).

 

Рис. 4. Частотная характеристика синхронизации осциллятора (1)

Fig. 4. Frequency response of the oscillator synchronization (1)

 

Рис. 5. Частотная характеристика синхронизации осциллятора (2): $\mathit{p}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ ${\mathit{E}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{05}$

Fig. 5. Frequency response of oscillator synchronization (2): $\mathit{p}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ ${\mathit{E}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{05}$

 

Эффект бистабильности амплитуд в автономном двухкаскадном генераторе (2), наблюдаемый при уровнях возбуждения $p>\mathrm{2,}$ существенным образом сказывается на частотных характеристиках синхронизированных колебаний. На рис. 6 показаны АЧХ (а) и ФЧХ (б) колебаний при превышении порога возбуждения $p=\mathrm{2,5}$ и амплитуде синхронизации $E_0=\mathrm{0,03.}$ Из рис. 6, а следует, что в каждом из каскадов могут реализоваться режимы колебаний как с высоким, так и с низким уровнем амплитуды. Смена режимов при плавном изменении частоты синхронизации осуществляется скачком.

 

Рис. 6. Частотная характеристика синхронизации осциллятора (2): $\mathit{p}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ ${\mathit{E}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{03}$

Fig. 6. Frequency response of oscillator synchronization (2): $\mathit{p}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ ${\mathit{E}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{03}$

 

В окрестностях частот скачков могут наблюдаться области биений, как это показано на рис. 7 с АЧХ синхронизированных колебаний под действием сигнала с амплитудой $E_0=\mathrm{0,05.}$ При этом область синхронизации (удержания) распадается на три подобласти – центральную и две боковых (на рис. 7 показаны только половины симметричных графиков).

 

Рис. 7. АЧХ синхронизации осциллятора (2): $\mathit{p}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ ${\mathit{E}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{05}$

Fig. 7. Frequency response of synchronization of the oscillator (2): $\mathit{p}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ ${\mathit{E}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{05}$

 

Отметим также, что особенностью двухкаскадного генератора является более плоская форма центральной части графика $A_1=A_1\left(\eta \right)$ (рис. 6 и 7) по сравнению с аналогичным графиком для классического генератора ван дер Поля (рис. 4).

Заключение

Представленная ДВ-модель синхронизированного двухкаскадного генератора ван дер Поля позволяет анализировать частотные характеристики колебаний в полосе удержания, форму биений в ее окрестности, процессы захвата и срыва синхронизации. Модель легко обобщается на кольцевые структуры с произвольным числом ячеек, в частности на кольцевые лазеры. Дискретное время дает возможность учета запаздывания при распространении сигнала между каскадами.

About the authors

Valery V. Zaitsev

Samara National Research University

Email: zaitsev@samsu.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Optics and Spectroscopy

Russian Federation, Samara

Alexander V. Karlov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: a.v.karlov@gmail.com

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Theoretical Foundations of Radio Engineering and Communication

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files