Динамика синхронизации двухкаскадного генератора ван дер Поля

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Представлены результаты численного моделирования процесса синхронизации автоколебаний в двухкаскадном кольцевом генераторе ван дер Поля гармоническим сигналом. Исследования проведены в рамках ДВ-модели динамической системы. Модель разработана на основе принципа соответствия в рамках метода медленно меняющихся амплитуд характеристик дискретной системы характеристикам аналогового прототипа. Получены укороченные уравнения для комплексных амплитуд колебаний в каскадах генератора. Установлено, что в автономной системе наблюдается эффект бистабильности амплитуд. В режиме синхронизации внешним гармоническим сигналом решения укороченных уравнений позволили рассчитать амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики синхронных колебаний. Показано, что в полосе удержания синхронных колебаний наблюдаются переходы между бистабильными состояниями. Проанализированы различия частотных характеристик синхронизации классического и двухкаскадного осцилляторов ван дер Поля.

Полный текст

Введение

Модели в форме взаимосвязанных осцилляторов (активных и консервативных) находят достаточно широкое применение. Причем они используются как для исследования реально существующих объектов [1–3], так и для обнаружения и изучения новых физических эффектов [4–6].

Одним из способов взаимосвязи осцилляторов является их кольцевое соединение. При этом в кольцевом генераторе (КГ) цепь положительной обратной связи, обеспечивающей генерацию, существует лишь при замыкании кольца активных ячеек, каждая из которых обратной связи не содержит и не является самогенерирующей. Было показано [7], что КГ позволяет получить сигнал с повышенной долговременной стабильностью частоты по сравнению с автогенератором, реализованным на отдельно взятой ячейке. В статье [8] рассмотрен вариант КГ – кольцо из двух резонансных ячеек (каскадов) с кубически нелинейными активными трехполюсниками. Этот вариант КГ назван двухкаскадным генератором (осциллятором) ван дер Поля. Исследованы характеристики его автономных колебаний. В настоящем сообщении рассматривается режим синхронизации этого генератора внешним гармоническим сигналом. Исследование проведено в рамках дискретно-временной (ДВ) модели динамической системы.

  1. ДВ-модель генератора

Структурная схема двухкаскадного генератора ван дер Поля приведена на рис. 1.

 

Рис. 1. Структурная схема двухкаскадного осциллятора ван дер Поля

Fig. 1. Block diagram of a two-stage van der Pol oscillator

 

Приняв в качестве математической модели осциллятора ван дер Поля с внешним воздействием E(t) уравнение движения вида

d2y1dt2+ω0Qdy1dt+ω02y1==pω0Q1y12dy1dt+ω02E(t), (1)

получим модель двухкаскадного генератора с идентичными ячейками в форме системы дифференциальных уравнений

d2y1dt2+ω0Qdy1dt+ω02y1==pω0Q1y22dy2dt+ω02E(t),d2y2dt2+ω0Qdy2dt+ω02y2=pω0Q1y12dy1dt. (2)

В уравнениях (1) и (2) осциллирующие переменные  нормированы на характерный масштаб нелинейности, ω0 и Q – собственные частоты добротности резонаторов ячеек,  – параметр превышения порога генерации.

Предполагая в дальнейшем дискретизацию времени с интервалом Δ, введем в уравнения (2) безразмерную временную переменную τ=t/Δ:

d2y1dt2+2πνdy1dt+4π2Ω02y1==2πνp1y22dy2dt+4π2Ω02E(t),d2y2dt2+2πνdy2dt+4π2Ω02y2==2πνp1y12dy1dt. (3)

Здесь Ω0=ω0/ωd – собственная частота, измеряемая в единицах частоты дискретизации ωd=2π/Δ; ν=Ω0/Q – полоса резонатора.

Переход к дискретному времени в (3) проведем методом работы [9]. Для осцилляций y1[n]=y1(τn) и y2[n]=y2(τn) получим систему нелинейных разностных уравнений:

y1[n]2δcos2πΩ0y1[n1]+δ2y1[n2]==2πνpDy2[n1],y2[n2]++2πΩ0δsin(2πΩ0)E[n1],y2[n]2δcos2πΩ0y2[n1]+δ2y2[n2]==2πνpDy1[n1],y1[n2], (4)

где

Dy[n1],y[n2]==1y2[n1]cos2πΩ0y[n1]y[n2]

– нелинейности ячеек, δ=exp(πν) – параметр диссипации резонатора.

Систему уравнений (4) можно рассматривать с двух точек зрения. С одной из них, при выполнении условия Ω01 – это разностная схема для расчета автоколебаний в исследуемом генераторе. С другой, соотношения (4) определяют дискретное отображение двухкаскадного кольцевого осциллятора – динамическую систему, функционирующую в дискретном времени. Такие объекты нелинейной динамики на частотах Ω0 порядка частоты Найквиста вследствие эффекта подмены частот [10] демонстрируют свойства, не наблюдаемые в непрерывном времени [11].

  1. Укороченные уравнения метода ММА

Синхронные автоколебания [12; 13] в области удержания представим в форме осцилляций с медленно меняющимися комплексными амплитудами A1[n] и A2[n]:

y1,2[n]=12A1,2[n]Zn+12A1,2[n]Zn, (5)

где Z=exp(j2πΩ) – функция частоты внешнего. Метод медленно меняющихся амплитуд (метод ММА) широко используется при решении прикладных задач теории нелинейных колебаний в непрерывном времени [14; 15]. Особенности его применения к нелинейным ДВ-системам представлены, например, в [11]. В частности, условием медленности изменения амплитуд Ak[n] являются приближенные равенства Ak[n]Ak[n1]=Ak[n1]Ak[n2].

В рамках метода ММА для амплитуд автоколебаний в ячейках ДВ-осциллятора (4) при внешнем гармоническом воздействии с амплитудой E0 и частотой Ω удается получить систему укороченных уравнений вида

A1[n]=A1[n1]πν1+jηA1[n1]++πνp114|A2[n1]|2A2[n1]jπΩ0E0​ ,A2[n]=A2[n1]πν1+jηA2[n1]++πνp114|A1[n1]|2A1[n1], (6)

где введено обозначение η=2(ΩΩ0)/ν для приведенной частоты сигнала синхронизации, а также использовано высокодобротное приближение для параметра диссипации: δ=1πν. Отметим, что для автономного осциллятора (E0=0, Ω=Ω0)  укороченные уравнения (6) совпадают с соответствующими уравнениями статьи [8].

В режиме установившихся колебаний в полосе удержания система разностных уравнений (6) сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений

ν1+jηA1νp114|A2|2A2=jΩ0E0​​ ,ν1+jηA2νp114|A1|2A1=0. (7)

Решение системы четырех действительных нелинейных уравнений (7) – технически непростая задача. Значительно проще получить решение укороченных уравнений (6) при квазистатическом изменении частоты Ω. Полученные при этом зависимости A1,2(Ω) будут близки к статическим частотным характеристикам.

  1. Результаты моделирования автоколебаний

Хорошо известно (см., например, [16]), что траектория движения автономного осциллятора (1) при выполнении условия самовозбуждения p>1 выходит на единственный предельный цикл. Решения укороченных уравнений (6) позволяют сделать вывод о том, что для кольцевого осциллятора (2) такое поведение характерно лишь в интервале значений параметра 1<p<2. При более высоких уровнях возбуждения в каскадах устанавливаются автоколебания с различающимися амплитудами [8]. Рис. 2 иллюстрирует этот эффект бистабильности для p=3,5. Пунктирная линия на рисунке отображает динамику амплитуд автоколебаний в каскадах при p=1,99.

 

Рис. 2. Процесс установления автоколебаний

Fig. 2. Process of establishing self-oscillations

 

Рис. 3. Динамика суммарной мощности автоколебаний

Fig. 3. Dynamics of the total power of self-oscillations

 

Большее значение амплитуды автоколебаний достигается в каскаде с наибольшим значением начального возмущения Ai[0] состояния нулевого равновесия. Если параметры каскадов различаются, то наибольшее значение амплитуды устанавливается в каскаде с наименьшей добротностью.

Синфазность колебаний в каскадах позволяет проводить суммирование их мощностей:

W[n]=12A12[n]+12A22[n].

На рис. 3 представлены временные зависимости суммарной мощности W[n] для двух уровней возбуждения p=2,5 и p=3,5. Характерной особенностью является стремление W[n]2 для всех значений p>2. При этом время достижения предела уменьшается с ростом уровня возбуждения.

Частотные характеристики синхронного режима колебаний в двухкаскадном генераторе (2) приведем в сравнении с аналогичными характеристиками классического генератора ван дер Поля (1). Приближенные решения системы уравнений (7) получены как решения укороченных уравнений (6) при квазистатическом изменении частоты Ω синхронизирующего сигнала.

На рис. 4 представлены амплитудно-частотные (а) и фазочастотные (б) характеристики синхронных колебаний в генераторе (1) с параметрами Ω0=0,1, Q=20, p=1,5 при амплитуде синхросигнала E0=0,05. Представленные зависимости A(η) и φ(η) полностью соответствуют приведенным, например, в [17].

Характеристики синхронных колебаний двухкаскадного кольцевого генератора (2), рассчитанные для тех же значений параметров, показаны на рис. 5. АЧХ колебаний в первом (находящемся под внешнем воздействием) и втором каскадах (рис. 5, а) различаются кардинально. Несмотря на то что при p=1,5 в автономной системе бистабильность амплитуд не наблюдается, под действием внешнего сигнала в каскадах устанавливается режим синхронных колебаний с различными амплитудами. Причем в центре полосы синхронизации (полосы удержания) амплитуда в первом каскаде выше, чем во втором. Но это соотношение амплитуд плавно меняется при приближении к границам полосы. ФЧХ синхронных колебаний в одно- и двухкаскадном генераторах (рис. 4, б и рис. 5, б), а также колебаний в первом и втором каскадах качественно различаются незначительно.

Следует отметить, что полоса синхронизации (удержания) двухкаскадного генератора (2) при прочих равных существенно меньше полосы синхронизации генератора (1).

 

Рис. 4. Частотная характеристика синхронизации осциллятора (1)

Fig. 4. Frequency response of the oscillator synchronization (1)

 

Рис. 5. Частотная характеристика синхронизации осциллятора (2): p=1,5, E0=0,05

Fig. 5. Frequency response of oscillator synchronization (2): p=1,5, E0=0,05

 

Эффект бистабильности амплитуд в автономном двухкаскадном генераторе (2), наблюдаемый при уровнях возбуждения p>2, существенным образом сказывается на частотных характеристиках синхронизированных колебаний. На рис. 6 показаны АЧХ (а) и ФЧХ (б) колебаний при превышении порога возбуждения p=2,5 и амплитуде синхронизации E0=0,03. Из рис. 6, а следует, что в каждом из каскадов могут реализоваться режимы колебаний как с высоким, так и с низким уровнем амплитуды. Смена режимов при плавном изменении частоты синхронизации осуществляется скачком.

 

Рис. 6. Частотная характеристика синхронизации осциллятора (2): p=2,5, E0=0,03

Fig. 6. Frequency response of oscillator synchronization (2): p=2,5, E0=0,03

 

В окрестностях частот скачков могут наблюдаться области биений, как это показано на рис. 7 с АЧХ синхронизированных колебаний под действием сигнала с амплитудой E0=0,05. При этом область синхронизации (удержания) распадается на три подобласти – центральную и две боковых (на рис. 7 показаны только половины симметричных графиков).

 

Рис. 7. АЧХ синхронизации осциллятора (2): p=2,5, E0=0,05

Fig. 7. Frequency response of synchronization of the oscillator (2): p=2,5, E0=0,05

 

Отметим также, что особенностью двухкаскадного генератора является более плоская форма центральной части графика A1=A1(η) (рис. 6 и 7) по сравнению с аналогичным графиком для классического генератора ван дер Поля (рис. 4).

Заключение

Представленная ДВ-модель синхронизированного двухкаскадного генератора ван дер Поля позволяет анализировать частотные характеристики колебаний в полосе удержания, форму биений в ее окрестности, процессы захвата и срыва синхронизации. Модель легко обобщается на кольцевые структуры с произвольным числом ячеек, в частности на кольцевые лазеры. Дискретное время дает возможность учета запаздывания при распространении сигнала между каскадами.

×

Об авторах

Валерий Васильевич Зайцев

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: zaitsev@samsu.ru

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры оптики и спектроскопии 

Россия, Самара

Александр Владимирович Карлов

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: a.v.karlov@gmail.com

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретических основ радиотехники и связи 

Россия, Самара

Список литературы

  1. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. М.: Сов. радио, 1978. 272 с.
  2. Mazzanti A., Svelto F. A 1.8-GHz injection-locked quadrature CMOS VCO with low phase noise and high phase accuracy // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 2006. Vol. 56, no. 3. P. 554-560. DOI: https://doi.org/10.1109/TCSI.2005.858161
  3. Кочемасов Д.В., Кулешов В.Н. ФМ и АМ-шумы кольцевых LC-АГКК с фазирующими RC-цепями // Электросвязь. 2015. № 5. С. 34–37.
  4. Спротт Дж.К. Элегантный хаос: алгебраически простые потоки. М.; Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2012. 328 с.
  5. Многоликий хаос / Е.Ф. Мищенко [и др.]. М.: Физматлит, 2013. 432 с.
  6. Корниенко В.Н., Привезенцев А.П. Возбуждение волн круглой мембраны ансамблем автогенераторов // Радиотехника и электроника. 2010. Т. 55, № 3. С. 362–368.
  7. Зайцев В.В. К анализу флуктуаций в кольцевом автогенераторе // Известия вузов. Радиофизика. 1981. Т. 24, № 2. С. 207-212. URL: https://radiophysics.unn.ru/issues/1981/2/207
  8. Зайцев В.В., Линдт С.В., Стулов И.В. Динамика автоколебаний в двухкаскадном осцилляторе Ван дер Поля // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2013. Вып. 6 (107). С. 141–146. URL: http://vestniksamsu.ssau.ru/index.php?c=issueArticle&articleId=532&issueId=19&serieId=1
  9. Зайцев В.В. Физически обоснованная дискретизация времени в математических моделях генераторов регулярных и хаотических колебаний // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2019. Т. 22, № 3. С. 44–48. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2019.22.3.44-48
  10. Опенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2006. 858 с.
  11. Зайцев В.В., Стулов И.В. О влиянии подмененных гармоник на динамику автоколебаний в дискретном времени // Известия вузов. ПНД. 2015. Т. 23, вып. 6. С. 40–46. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2015-23-6-40-46
  12. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 496 с.
  13. Блехман И.С. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981. 352 с.
  14. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. 320 с.
  15. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.
  16. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.
  17. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 360 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
2. Рис. 1. Структурная схема двухкаскадного осциллятора ван дер Поля

Скачать (46KB)
3. Рис. 2. Процесс установления автоколебаний

Скачать (196KB)
4. Рис. 3. Динамика суммарной мощности автоколебаний

Скачать (118KB)
5. Рис. 4. Частотная характеристика синхронизации осциллятора (1)

Скачать (261KB)
6. Рис. 5. Частотная характеристика синхронизации осциллятора (2):

Скачать (286KB)
7. Рис. 6. Частотная характеристика синхронизации осциллятора (2):

Скачать (162KB)
8. Рис. 7. АЧХ синхронизации осциллятора (2):

Скачать (179KB)

© Зайцев В., Карлов А., 2021

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

СМИ зарегистрировано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор).
Регистрационный номер и дата принятия решения о регистрации СМИ: серия ФС 77 - 68199 от 27.12.2016.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах