Bifurcation processes in pulse voltage regulator

Full Text

Введение

В схеме, представленной на рис. 1, роль ключевого элемента играет транзистор VT, как правило, это обычный полевой транзистор. Схема управления вырабатывает прямоугольные импульсы с постоянной частотой или постоянным периодом, что, в сущности, одно и то же. Эти импульсы показаны на рис. 2

 

Рис. 1. Функциональная схема импульсного стабилизатора напряжения

Fig. 1. Functional diagram of a pulse voltage regulator

 

Рис. 2. Импульсы управления

Fig. 2. Control impulses

 

Термин «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе, описываемой системой дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения, описывающие любые реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых неизвестны. В нашем случае ИСН может иметь основные собственные параметры системы, такие как, например, сопротивление нагрузки, значение которых с течением времени может меняться по неизвестным законам. Это, не говоря уже о том, что значения сопротивления резисторов, емкости конденсаторов и индуктивности дросселей не имеют точных значений и на практике даются в виде диапазонов. Тем более что при изменении внешних факторов, таких как температура и т. д., реальные значения этих параметров также изменяются. А если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведение его решений может качественно изменить при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо понять, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров и какие, соответственно, качественные изменения в системе произойдут в связи с этим.

1. Условия устойчивости для статической и динамической бифуркаций

Согласно критерию Ляпунова, неустойчивость возникает, если хотя бы одно из собственных значений матрицы Якоби находится в правых квадрантах комплексной плоскости [1].

$J=\left[\begin{array}{cc}{J}_{11}& J_{12}\\ J_{21}& J_{22}\end{array}\right]$

– матрица Якоби системы со следующими значениями членов:

$J_{11}=\frac{1}{L}\left(R_L-G{f}_1{x}_{20}\right),$

$J_{12}=-\frac{1}{L}\left(1-G{V}_r+G{f}_1{x}_{10}+2G{f}_2{x}_{20}\right),$

$J_{21}=\frac{1}{С}\left[1-G{V}_r+G{f}_2{x}_{20}+2G{f}_1{x}_{10}\right],$

$J_{22}=-\frac{1}{C}\left(\frac{1}{R}-G{f}_2{x}_{10}\right).$

Далее выведем уравнение для нахождения собственных значений матрицы Якоби, исходя из соотношения $J-\lambda E=$0 где $Е=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$ Тогда искомое уравнение ${\lambda }^2+b\lambda +c=0$ будет иметь корни в следующем виде:

${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c},$

где $b=-J_{11}-J_{22},$ $c=J_{11}{J}_{22}-J_{12}{J}_{21}.$ Для качественного анализа устойчивости системы рассмотрим все случаи для значений коэффициентов b и c:

– $b>\mathrm{0,}$ $c>0.$ в этом случае при условии $c<\frac{b^2}{4},$ очевидно, будет выполнятся неравенство $\left|-\frac{b}{2}\right|>\left|\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}\right|,$ и собственные значения матрицы Якоби будут отрицательными, а следовательно, система будет устойчивой. В таком случае и вся система будет устойчивой;

– $b>\mathrm{0,}$ $c<0;$ в этом случае при любых значениях $b$ и $c$ будет выполняться неравенство $\left|-\frac{b}{2}\right|<\left|\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}\right|,$ и одно из собственных значений всегда будет всегда положительным, а система неустойчивой;

– $b>\mathrm{0,}$ $c=0.$ здесь собственные значения будут ${\lambda }_1=\mathrm{0,}$ ${\lambda }_2=-b,$ и очевидно, что при $b>0$ система будет на границе устойчивости;

– $b<\mathrm{0,} c>0;$$b<\mathrm{0,} c<0;$ $b=\mathrm{0,} c<0.$ В этих случаях одно из собственных значений матрицы Якоби всегда будет положительным вне зависимости от знака c, а система, соответственно, неустойчивой;

– $b=\mathrm{0,} c=0.$  в этом случае система будет находиться на границе устойчивости и малейшее изменение значений $b$ или $c$ будет приводить к качественному изменению в системе;

– $b=\mathrm{0,} c>0.$  в этом случае собственные значения матрицы Якоби будут иметь чисто мнимый характер, т. е. ${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\pm i\sqrt{c},$ а система будет находиться на границе устойчивости.

Из всех вышеперечисленных случаев особо следует выделить только два: $b>\mathrm{0,}$ $c=0$ и $b=\mathrm{0,}$ $c>\mathrm{0,}$ каждый из которых выражает собственную границу неустойчивости. Случай же, когда данные границы условий неустойчивости пересекаются, особого рассмотрения не требует по причине невозможности определения его точного расположения. Но даже если и предположить возможность определения его точного расположения, то его анализ, по сути, сведется к одному из двух основных случаев.

Для получения условия устойчивости относительно величины коэффициента обратной связи по напряжению для динамической бифуркации, выразим $f_2$ из условия $-J_{11}-J_{22}>\mathrm{0,}$ и получим:

$f_2<\frac{RC{d^{\text{'}}}_0}{L}{f}_1+\frac{1}{GU}\left(\frac{R_L}{R}+{\left({d^{\text{'}}}_0\right)}^2\right)\left(1+\frac{R_{L}RC}{L}\right).$ (1)

Теперь отсюда составим уравнение для границы устойчивости:

$D\left(G_R\right)=\frac{C{d^{\text{'}}}_0}{G_{R}L}{f}_1+\frac{1}{GU}\left(G_R{R}_L+{\left({d^{\text{'}}}_0\right)}^2\right)\left(1+\frac{R_{L}C}{G_{R}L}\right),$ (2)

где $G_R=\frac{1}{R}$ – величина активной проводимости нагрузки.

Для получения условия устойчивости относительно величины коэффициента обратной связи по напряжению для статической бифуркации выразим $f_2$ из условия $J_{11}{J}_{22}-J_{21}{J}_{12}>\mathrm{0,}$ и получим:

$f_2<\frac{2{d^{\text{'}}}_0{f}_1+\frac{R}{GU}{\left(\frac{R_L}{R}+{\left({d^{\text{'}}}_0\right)}^2\right)}^2}{R_L-R{\left(d_0^{\text{'}}\right)}^2}.$ (3)

Теперь отсюда составим уравнение для границы устойчивости:

$S\left(G_R\right)=\frac{2{d^{\text{'}}}_0{f}_1+\frac{1}{G_{R}GU}{\left(R_L{G}_R+{\left({d^{\text{'}}}_0\right)}^2\right)}^2}{R_L-\frac{{\left({d^{\text{'}}}_0\right)}^2}{G_R}}.$ (4)

Таким образом, получены границы устойчивости для статической и динамической бифуркаций относительно многих параметров системы, в том числе и относительно величины проводимости нагрузки $G_R.$

2. Численные результаты для определенного ИСН

Для получения численных результатов была использована система со следующими основными параметрами: $U=\mathrm{4,1}$ В, ${d^{\text{'}}}_0=\mathrm{0,4,}$ $C=600$ мкФ, $L=2$ мГн, $f_1=\mathrm{0,8}$ Ом, $G=\mathrm{0,5} {\text{B}}^{-1}, R_L=2$ Ом [2].

Как видно из (2) и (4), граница устойчивости для динамической бифуркации зависит от величин C и L, а точнее, от их соотношения $C/L,$ а для статической бифуркации – нет. Как показал анализ, при варьировании соотношения $C/L$ поверхность устойчивости поднимается или опускается целиком вне зависимости от изменения других параметров системы [3].

Наибольший интерес в данном случае будет представлять система со следующими параметрами: $U=\mathrm{4,1}$ В, ${d^{\text{'}}}_0=\mathrm{0,4,}$ $C=600$ мкФ, $L=2$ мГн, $f_1=\mathrm{0,8}$ Ом, $G=\mathrm{0,5} {\text{B}}^{-1}.$ Граница устойчивости для данной системы будет описываться динамической бифуркацией, за исключением участка, где устойчивость будет определяться статической бифуркацией. При изучении поведения системы в случае нарушения границы устойчивости на разных участках можно отметить, что при прохождении границы устойчивости для статической бифуркации наблюдается явление скачка тока дросселя, а при прохождении границы устойчивости для статической бифуркации – незатухающие колебания тока дросселя.

Заключение

Можно сделать вывод, что при проектировании системы следует рассчитать статические и динамические бифуркации, дабы в последующем скорректировать значение соотношения $C/L,$ чтобы граница устойчивости определялась статической или динамической бифуркацией однозначно. Тогда можно точно смоделировать поведение системы при нарушении условия ее устойчивости [4].

About the authors

Danil L. Myasnikov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: danil1232011@mail.ru

Master’s Student

Russian Federation, Samara

Yulia V. Sokolova

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: ula.81.81@mail.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Radioelectronic Systems

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files