Modeling of electromagnetic wave reflection from wet soil taken into account of dispersion, heterogeneity and surface roughness

Full Text

Введение

В связи с ускоренным ростом технологических процессов производства сельскохозяйственной индустрии появляется необходимость в измерении влажности почвы дистанционным способом в режиме реального времени [1; 2]. Существующие методы определения влажности почвы в основном являются контактными и имеют различную трудоемкость и погрешность [3]. Для дистанционных оценок влажности почвы широко используются данные радиолокаторов с синтезированной апертурой, которые позволяют оценить влагосодержание в почве [4; 5]. Однако такие оценки могут сталкиваться с трудностями из-за различных факторов, таких как неоднородный состав почвы, влияние температуры и растительного покрова. Для улучшения точности и достоверности оценок влажности почвы предлагается новый подход, основанный на математической модели влажной почвы с использованием концепции искусственных метаматериалов [6–8]. В данной работе рассматривается адаптация модели метаматериала на влажную почву, где сухая почва выступает контейнером, а включения – областями с неизвестной влажностью. Целью построения такой математической модели является анализ отражения электромагнитной волны от влажной почвы с учетом дисперсии и шероховатости поверхности. Для этого применена гетерогенная модель Максвелла-Гарнетта [9], учитывающая дисперсию диэлектрической проницаемости воды в почве. Использование подобных математических моделей может значительно улучшить эффективность дистанционного зондирования влажности почвы и предоставить более точные данные для сельскохозяйственных процессов.

1. Гетерогенная математическая модель комплексной диэлектрической проницаемости влажной почвы с учетом дисперсии

Влажная почва рассматривается как гетерогенная среда, состоящая из твердой матрицы (сухая почва) с порами, заполненными водой (рис. 1). Комплексная диэлектрическая проницаемость (КДП) сухой почвы ${\epsilon }_{с}$ может быть рассмотрена как проницаемость твердой матрицы, которая является постоянной для определенного типа почвы. КДП чистой воды ${\epsilon }_w,$ однако, зависит как от частоты f, так и от температуры T.

 

Рис. 1. Влажная почва как двухкомпонентная гетерогенная система

Fig. 1. Wet soil as a two-component heterogeneous system

 

Выражение для эффективной КДП влажной почвы на основе гетерогенной модели Максвелла Гарнетта можно записать в следующем виде:

${\epsilon }_{эфф}\left(f,T,W\right)={\epsilon }_{с}\frac{1+2\alpha \left(W\right){\epsilon }_x\left(f,T\right)}{1-\alpha \left(W\right){\epsilon }_x\left(f,T\right)};$ (1)

${\epsilon }_x\left(f,T\right)=\frac{{\epsilon }_w\left(f,T\right)-{\epsilon }_c}{{\epsilon }_w\left(f,T\right)+2{\epsilon }_c},$

где $\alpha =W{\rho }_{dw}$ – концентрация влажных компонент в почве; $W$ – влажность почвы; ${\rho }_{dw}$ – нормированная плотность сухой почвы.

КДП чистой воды в общем виде описывается выражением

${\epsilon }_w\left(f,T\right)={{\epsilon }^{\text{'}}}_w\left(f,T\right)-j{{\epsilon }^{\text{'}\text{'}}}_w\left(f,T\right),$ (2)

где ${{\epsilon }^{\text{'}}}_w\left(f,T\right)$ – вещественная часть КДП воды; ${{\epsilon }^{\text{'}\text{'}}}_w\left(f,T\right)$ – мнимая часть КДП воды; $j$ – мнимая единица.

Далее для компактности записи формул будем использовать упрощенные обозначения вещественной и мнимой частей КДП, полагая их зависимость от частоты и температуры: ${{\epsilon }^{\text{'}}}_w,$ ${{\epsilon }^{\text{'}\text{'}}}_w.$ 

Явный вид выражений для вещественной и мнимой части КДП чистой воды приведен в рекомендациях МСЭ [10] и записывается как

${{\epsilon }^{\text{'}}}_w=\frac{{\epsilon }_s-{\epsilon }_1}{1+{\Omega }_1^2}+\frac{{\epsilon }_1-{\epsilon }_{\infty }}{1+{\Omega }_2^2}+{\epsilon }_{\infty };$ (3)

${{\epsilon }^{\text{'}}}_w=\frac{{\Omega }_1\left({\epsilon }_s-{\epsilon }_1\right)}{1+{\Omega }_1^2}+\frac{{\Omega }_2\left({\epsilon }_1-{\epsilon }_{\infty }\right)}{1+{\Omega }_2^2},$ (4)

где ${\Omega }_1=f/f_1;$ ${\Omega }_2=f/f_2;$ ${\epsilon }_s=\mathrm{77,66}+\mathrm{103,3}\beta ;$ ${\epsilon }_1=$$\mathrm{0,0671}{\epsilon }_s;$ ${\epsilon }_{\infty }=\mathrm{3,52}-\mathrm{7,52}\beta ;$ $\beta =$$300/\left(T+\mathrm{273,15}\right)-\mathrm{1,}$ а $f_1$ и $f_2$ – частоты релаксации Дебая, ГГц:

$f_1=\mathrm{20,20}-\mathrm{146,4}\beta +316{\beta }^2;f_2=\mathrm{39,8}{f}_1.$ (5)

2. Отражение плоской электромагнитной волны от границы раздела «воздух – почва» при учете шероховатости поверхности

Рассмотрим задачу о наклонном падении плоской электромагнитной волны линейной поляризации на границу раздела «воздух – почва» с учетом шероховатости поверхности. Геометрия задачи приведена на рис. 2. Волна падает на границу раздела под углом $\theta .$ Область 1 представляет собой вакуум с проницаемостями ${\epsilon }_1=\mathrm{1,}$ ${\mu }_1=1.$  Влажная почва (область 2) описывается материальными параметрами ${\epsilon }_{эфф}(f,T,W)$ и ${\mu }_2=1.$ Для простоты обозначим эффективную диэлектрическую проницаемость влажной почвы как ${\epsilon }_{эфф}.$

 

Рис. 2. Геометрия задачи

Fig. 2. Geometry of the problem

 

Для учета шероховатости поверхности почвы была использована модель, предложенная в [11], в соответствии с которой коэффициенты отражения для волн горизонтальной $R_e$ и вертикальной $R_h$ поляризации вычисляются по формулам:

$R_e=\frac{\cos \theta -\sqrt{{\epsilon }_{эфф}-{\sin }^2\left(\theta \right)}}{\cos \theta +\sqrt{{\epsilon }_{эфф}-{\sin }^2\left(\theta \right)}}\Psi \left(h,\theta \right);$ (6)

$R_h=\frac{{\epsilon }_{эфф}\cos \theta -\sqrt{{\epsilon }_{эфф}-{\sin }^2\left(\theta \right)}}{{\epsilon }_{эфф}\cos \theta +\sqrt{{\epsilon }_{эфф}-{\sin }^2\left(\theta \right)}}\Psi \left(h,\theta \right),$ (7)

где $\Psi \left(h,\theta \right)=\exp \left(-\frac{1}{2}h{\cos }^2\theta \right).$

В формулах (6) и (7), $h$ – параметр шероховатости, который определяется следующим образом:

$h=4{\sigma }^2{\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)}^2,$ (8)

где $\lambda$ – длина электромагнитной волны; $\sigma$ – среднеквадратичное отклонение шероховатостей на поверхности почвы.

Согласно [12], принимается: для слабо шероховатой поверхности $\sigma <\mathrm{0,2}$ см, для поверхности со средней шероховатостью 0,2 см $\le \sigma \le$ 1 см, а для сильно шероховатой поверхности $\sigma >1$ см. Рассчитанные по формулам (6) и (7) значения коэффициентов отражения электромагнитной волны от почвы сравнивались с экспериментальными результатами, приведенными в работах [13; 14]. Существует хорошее соответствие теоретических зависимостей и экспериментальных значений коэффициентов отражений влажных и мерзлых почв на разных частотах, при различных влажностях почвы.

3. Результаты расчетов

В ходе расчетов рассмотрена модель рыхлой почвы ${\rho }_{dw}=\mathrm{1,5}$ (илистый суглинок) со среднеквадратичным отклонением шероховатостей на поверхности почвы $\sigma >\mathrm{0,5}$ см и температурой $T=20$ $°\text{С.}$ КДП проницаемость сухой почвы ${\epsilon }_c=$$\mathrm{3,556}-j\mathrm{0,361.}$ На рис. 3 и 4 представлены графики расчетов модулей коэффициентов отражения плоской электромагнитной волны горизонтальной и вертикальной поляризации в зависимости от частоты зондирующего излучения при фиксированном значении влажности почвы $W=15$ % и углах падения: $\theta =0°$ – сплошная линия, $\theta =30°$ – пунктирная линия, $\theta =45°$ – точечная линия. Расчеты проведены в диапазоне частот от 1 до 15 ГГц.

 

Рис. 3. Зависимости модулей коэффициентов отражения электромагнитной волны горизонтальной поляризации от частоты при различных углах падения

Fig. 3. Dependences of the absolute values of the reflection coefficients of an electromagnetic wave of horizontal polarization on frequency at different angles of incidence

 

Рис. 4. Зависимости модулей коэффициентов отражения электромагнитной волны вертикальной поляризации от частоты при различных углах падения

Fig. 4. Dependences of the modules of the reflection coefficients of an electromagnetic wave of vertical polarization on frequency at different angles of incidence

 

Из графика на рис. 3 видно, что уровень отражения в случае горизонтальной поляризации растет с увеличением угла падения. Однако для случая вертикальной поляризации в интересующем нас диапазоне частот от 1 до 6 ГГц уровень отражения с увеличением угла падения убывает.

На рис. 5 и 6 представлены графики расчетов модулей коэффициентов отражения плоской электромагнитной волны горизонтальной и вертикальной поляризации в зависимости от влажности почвы при фиксированном значении угла падения $\theta =30°$ и частотах: 1 ГГц – сплошная линия, 5 ГГц – пунктирная линия, 10 ГГц – точечная линия.

Расчеты проведены в диапазоне изменения влажности почвы до 50 %. Из графиков, представленных на рис. 5, 6, видно, что с увеличением влажности почвы уровень отражения плавно возрастает.

 

Рис. 5. Зависимости модулей коэффициентов отражения электромагнитной волны горизонтальной поляризации от влажности почвы на различных частотах

Fig. 5. Dependences of the modules of the reflection coefficients of an electromagnetic wave of horizontal polarization on soil moisture at various frequencies

 

Рис. 6. Зависимости модулей коэффициентов отражения электромагнитной волны вертикальной поляризации от влажности почвы на различных частотах

Fig. 6. Dependences of the modules of the reflection coefficients of an electromagnetic wave of vertical polarization on soil moisture at various frequencies

 

На рис. 7 и 8 представлены графики расчетов модулей коэффициентов отражения плоской электромагнитной волны горизонтальной и вертикальной поляризации в зависимости от угла падения при фиксированном значении влажности почвы $W=30$ % и частотах: 1 ГГц – сплошная линия, 5 ГГц – пунктирная линия, 10 ГГц – точечная линия.

Из графиков, представленных на рис. 7, 8, видно, что в случае горизонтальной поляризации с увеличением угла падения наблюдается рост уровня отражения электромагнитной волны, а в случае вертикальной поляризации отчетливо видно явление Брюстера при угле падения 74°.

 

Рис. 7. Зависимости модулей коэффициентов отражения электромагнитной волны горизонтальной поляризации от угла падения на различных частотах

Fig. 7. Dependences of the absolute values of the reflection coefficients of an electromagnetic wave of horizontal polarization on the angle of incidence at various frequencies

 

Рис. 8. Зависимости модулей коэффициентов отражения электромагнитной волны вертикальной поляризации от угла падения на различных частотах

Fig. 8. Dependences of the modules of the reflection coefficients of an electromagnetic wave of vertical polarization on the angle of incidence at various frequencies

 

Заключение

Полученные в работе результаты расчетов коэффициентов отражения электромагнитной волны от влажной почвы являются ценной информацией для различных областей науки и промышленности. Они могут быть использованы для определения оптимального режима полива растений, контроля за водоотводными системами, разработки систем автоматизированного управления влажностью почвы в тепличном хозяйстве. Кроме того, эти данные могут быть полезны для экологов при изучении влияния влажности почвы на растительный покров и животный мир, а также для геологов при исследовании состава и структуры грунта. Результаты расчетов также могут быть применены для дистанционного зондирования земной поверхности с помощью беспилотных летательных аппаратов (БПЛА). Это открывает новые возможности для проведения мониторинга исследований почв и влажности земельных участков, а также оценки состояния экосистем.

About the authors

Dmitry N. Panin

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: d.panin@psuti.ru
ORCID iD: 0000-0003-0598-8591
SPIN-code: 9999-0844
ResearcherId: AAT-1882-2020

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, head of the Department of Theoretical Foundations of Radio Engineering and Communication

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

Oleg V. Osipov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: o.osipov@psuti.ru
ORCID iD: 0000-0002-2125-9228
SPIN-code: 2741-3794
ResearcherId: B-7134-2018

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, head of the Department of Higher Mathematics

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

References

Supplementary files