Entanglement between two charge qubits taking account the Kerr media

Full Text

Введение

В настоящее время сверхпроводящие кубиты с джозефсоновскими переходами являются наиболее востребованными элементами при создании устройств квантовой обработки информации [1–7]. Для создания таких квантовых устройств необходимо реализовать контролируемую связь между любыми парами кубитов системы. Практически для реализации переключаемых связей в цепях сверхпроводящих кубитов можно использовать различные способы, в частности частотно-регулируемые радиочастотные сигналы. Частотно-регулируемая связь для пары потоковых сверхпроводящих кубитов впервые была реализована в работе [8]. В схеме два кубита соединяются и разъединяются путем модуляции частот прикладываемых внешних магнитных полей переменной частоты так, чтобы частота переменного магнитного поля соответствовала или не соответствовала комбинации частот переходов в двух кубитах. Методика связи потоковых кубитов, развитая в работе [8], была распространена впоследствии и на зарядовые кубиты [9]. В случае зарядовых кубитов предложенный метод организации связи кубитов имеет важное преимущество. Используемые для связи зарядовые кубиты работают в своих оптимальных точках и таким образом оказываются весьма слабо невосприимчивы к зарядовому шуму, вызванному неконтролируемыми колебаниями заряда. В рассматриваемой работе [9] предложена новая реализация связи двух зарядовых кубитов посредством внешнего магнитного поля переменной частоты. Для этого изучена система, состоящая из двух связанных посредством большого джозефсоновского перехода сверхпроводящих зарядовых кубитов, подвержена воздействию не только постоянного магнитного поля, но и микроволнового электромагнитного поля. При этом микроволновое поле действует только на ту часть контура, которая содержит один кубит и большой джозефсоновский переход. При выполнении условия $\omega ={\omega }_1+{\omega }_2,$ где $\omega$ ‒ частота микроволнового поля, а ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ ‒ резонансные частоты переходов в кубитах (в этом случае оба кубита могут одновременно совершать «перевороты», т. е. одновременно переходить из основного состояния в первое возбужденное и обратно), с рассматриваемой системой можно сопоставить достаточно простую модель, допускающую аналитическое решение как в случае классического, так и квантового микроволнового поля. Исследование динамики перепутывания модели, предложенной в работе [9], в случае квантового когерентного микроволнового поля выполнено в работе [10]. При этом авторы показали, что начальное состояние пары зарядовых кубитов и среднее число фотонов в моде микроволнового поля оказывают существенное влияние на особенности перепутывания кубитов.

Теоретические исследования динамики сверхпроводящих кубитов, взаимодействующих с микроволновыми полями, основаны на модели Джейнса – Каммингса и ее обобщениях [11]. Многоатомные обобщения модели Джейнса – Каммингса часто в квантовой оптике и квантовой информатике называют моделями Тависа – Каммингса. Хорошо известно, что обобщения модели Тависа – Каммингса, которые описывают взаимодействие естественных или искусственных двухуровневых (кубитов) или многоуровневых атомов (кутриды, кудиты и т. д.) с выделенными модами электромагнитных полей различных резонаторов, позволяют описать все известные квантовые эффекты взаимодействия атомов с веществом [12–16]. В последнее время особое внимание уделялось изучению моделей с различными типами нелинейности, в частности с керровской нелинейностью [17–32]. Как известно, материал, показатель преломления которого пропорционален квадрату напряженности светового поля, называется средой Керра. Световой пучок, проходящий через такой материал, приобретает фазовый сдвиг $\phi =X\tau I,$ где $X$ ‒ постоянная Керра, $\tau$ ‒ время взаимодействия светового поля с материалом, $I$ ‒ интенсивность луча. Эффект Керра широко используется в нелинейной квантовой оптике для генерации квадратурных и амплитудных сжатых состояний электромагнитного поля, параметрического преобразования частот, создания сверхбыстрых импульсов и т. д. Однако в оптическом диапазоне керровские нелинейности $X$ малы по сравнению со скоростью потерь фотонов $\kappa$ из резонатора, что затрудняет использование данного эффекта для управления неклассическими состояниями света и атомов, в частности перепутыванием кубитов. Однако ситуация принципиально меняется для искусственных атомов в микроволновых резонаторах. В частности, для сверхпроводящих ожозефсоновских кубитов прямой аналог оптического эффекта Керра естественным образом создается за счет нелинейной индуктивности джозефсоновских контактов. Недавно такой эффект был использован для создания джозефсоновского параметрического усилителя [33]. В работе [34] удалось экспериментально реализовать режим однофотонного взаимодействия кубита с полем резонатора в среде Керра, соединив сверхпроводящий кубит (транзмон) в сапфировой среде с двумя трехмерными высокодобротными сверхпроводящими микроволновыми резонаторами. При этом удалось достичь значения постоянной Керра, которая по порядку величины совпадает со значением параметра кубит-фотонного взаимодействия в таких системах.

Представляет интерес рассмотреть особенности перепутывания кубитов в рамках модели, предложенной в работах [9; 10], учитывая керровскую нелинейность.

В настоящей статье исследована динамика перепутывания двух идентичных сверхпроводящих зарядовых кубитов, связанных большим джозефсоновским переходом, в предположении, что магнитный поток, пронизывающий контур, включающий первый кубит и большой джозефсоновский переход, состоит из постоянного магнитного потока и магнитного потока, индуцируемого квантовым когерентным микроволновым полем с варьируемой частотой. При этом область, содержащая первый кубит и большой джозефсоновский переход, включает керровскую среду.

1. Модель и ее точное решение

Рассмотрим два идентичных сверхпроводящих зарядовых кубита $J_1$ и $J_2,$ связанных между собой большим джозефсоновским переходом. Предположим, что магнитный поток, пронизывающий контур, включающий первый кубит и большой джозефсоновский переход, состоит из двух частей: cтатического постоянного магнитного потока и магнитного потока, создаемого квантовым микроволновым полем с варьируемой частотой. Положим также, что частота одномодового микроволнового квантованного поля подобрана так, что оба кубита могут одновременно совершать переход из основного в возбужденное состояние и обратно, т. е выполняется условие $\omega ={\omega }_1+{\omega }_2.$ Будем также полагать наличие керровской среды в контуре. В этом случае эффективный гамильтониан взаимодействия квантового магнитного потока с зарядовыми кубитами можно представить в виде

$H=\hslash {\gamma }_{12}{a}^{+}{\sigma }_1^{-}{\sigma }_2^{-}+{\sigma }_1^{+}{\sigma }_2^{+}a+\hslash X{a}^{+2}{a}^2,$ (1)

где $a^{+}$ (a) ‒ оператор рождения (уничтожения) фотонов моды микроволнового поля; ${\sigma }_i^{+}$ и ${\sigma }^{-}$ ‒ повышающий и понижающий операторы в i-м кубите  $(i=1,2),$ ${\gamma }_{12}$ ‒ эффективная константа взаимодействия кубитов с полем и $X$ ‒ керровская нелинейность.

Обозначим через $\overline{)e{⟩}_i}$ и $\overline{)g{⟩}_i}$ возбужденное и основное состояние i-го кубита. Выберем в качестве начальных состояний кубитов сепарабельные состояния

$\overline{)\Psi \left(0\right)}{⟩}_{J_1{J}_2}=\overline{)e\mathrm{,}e⟩},$ (2)

$\overline{)\Psi \left(0\right)}{⟩}_{J_1{J}_2}=\overline{)g\mathrm{,}g⟩},$ (3)

а также перепутанное состояние белловского вида

$\overline{)\Psi \left(0\right)}{⟩}_{J_1{J}_2}=\cos \alpha \overline{)g\mathrm{,}g⟩+\sin \alpha \overline{)e\mathrm{,}e⟩}},$ (4)

где $\alpha$ ‒ параметр, определяющий начальную степень перепутывания кубитов.

В качестве начального состояния микроволнового поля будем выбирать когерентное состояние c волновой функцией

$\overline{)\Psi }\left(0\right){⟩}_F=\sum _{n=0}^{\infty }{P}_n\overline{)n⟩}\mathrm{,}$

где $\overline{)n⟩}$ $(n=\mathrm{0,1,2,}\cdots )$ – фоковские состояния микроволнового одномодового поля. Весовые коэффициенты $P_n$ для когерентного состояния есть

$P_n=e^{-\overline{n}/2}\frac{{\overline{n}}^{n/2}}{\sqrt{n!}}.$

Решение временного уравнения Шредингера для волновой функции рассматриваемой модели в произвольный момент времени $t$ в случае начального состояния кубитов (4) имеет вид

$\left|\Psi \right(t)⟩=\sum _{n=0}^{\infty }(A_n\left(t\right)|e,e,n⟩+$ (5)

$+B_n|g,g,n+1⟩+C_0(t\left)\right|g,g\mathrm{,0}⟩,$

где

$A_n\left(t\right)=\frac{e^{-i{n}^2\chi t}}{{\omega }_n}[-i{P}_{n+1}\sqrt{1+n}\cos \alpha \sin ({\omega }_{n}t)+$

$+P_n\sin \alpha e^{i\varphi }\left({\omega }_n\cos \right({\omega }_{n}t)+in\chi \sin ({\omega }_{n}t\left)\right)],$

$B_n\left(t\right)=\frac{e^{-i{n}^2\chi t}}{{\omega }_n}[-i{P}_n\sqrt{1+n}\sin \alpha e^{i\varphi }\sin ({\omega }_{n}t)+$

$+P_{n+1}\cos \alpha \left({\omega }_n\cos \right({\omega }_{n}t)-in\chi \sin ({\omega }_{n}t\left)\right)],$

$C_0=\cos {\alpha }_{}{P}_0$

и

${\omega }_n=\sqrt{n(n{\chi }^2+1)+1}{\gamma }_{12},$$\chi =X/{\gamma }_{12}.$

Для начального состояния кубитов (2) временная волновая функция имеет вид (5) при условии $\alpha =\mathrm{0,}$ а для состояния (3) – при условии $\alpha =\pi /2.$

Имея явный вид временной волновой функции (5), мы можем представить временную матрицу плотности полной системы «два кубита – поле» как

$\rho {\left(t\right)}_{J_1{J}_{2}F}=\left|\Psi \right(t)⟩⟨\Psi (t\left)\right|.$ (6)

Мы можем также найти редуцированную двухкубитную матрицу плотности, усредняя выражение (6) по переменным поля:

$\rho {\left(t\right)}_{J_1{J}_2}=S{p}_F\rho {\left(t\right)}_{J_1{J}_{2}F}.$ (7)

В базисе двухкубитных состояний

$|e,e⟩{,}_{}|e,g⟩{,}_{}|g,e⟩{,}_{}|g,g⟩$

двухкубитная матрица плотности (7) имеет вид

$\rho t_{J_1{J}_2}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}& 0& 0& {\rho }_{14}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ {\rho }_{14}^{}& 0& 0& {\rho }_{44}\end{array}\right)\mathrm{,}$

где

${\rho }_{11}\left(t\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left|A_n\right(t){|}^2,{\rho }_{44}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }|B_n\left(t\right){|}^2+|C_0{|}^2,$

${\rho }_{14}\left(t\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{A}_{n+1}\left(t\right)B_n^{*}\left(t\right)+A_0\left(t\right){C_0}^{*}.$

Для двухкубитной системы, описываемой редуцированной матрицей плотности $\rho {\left(t\right)}_{J_1{J}_2},$ в качестве меры перепутывания кубитов может быть выбран параметр Вуутерса или согласованность [35]. Аналитический метод Вуутерса для вычисления количественной меры перепутывания кубитов основан на применении так называемого spin-flip преобразования, или матрицы «перевернутых спинов», которая определяется следующим образом:

$\tilde{\rho }{\left(t\right)}_{J_1{J}_2}^{}=({\sigma }_y\otimes {\sigma }_y)\rho {\left(t\right)}_{J_1{J}_2}^{*}({\sigma }_y\otimes {\sigma }_y),$

где $\rho {\left(t\right)}_{J_1{J}_2}^{*}$ ‒ матрица, комплексно сопряженная исходной редуцированной двухкубитной матрице плотности $\rho {\left(t\right)}_{J_1{J}_2}$ и ${\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$ ‒ стандартная матрица Паули (y-составляющая).

После того как найдена матрица $\tilde{\rho }{\left(t\right)}_{J_1{J}_2}^{},$ в подходе Вуутерса необходимо найти произведение матриц $\rho {\left(t\right)}_{J_1{J}_2}$$\tilde{\rho }{\left(t\right)}_{J_1{J}_2}^{}.$ Полученная в итоге матрица является неэрмитовой, но имеет вещественные и неотрицательные собственные значения. Тогда согласованность  может быть найдена из выражения

$C\left(t\right)=\max \left\{\sqrt{{\lambda }_1\left(t\right)}-\sqrt{{\lambda }_2\left(t\right)}-\sqrt{{\lambda }_3\left(t\right)}-\sqrt{{\lambda }_4\left(t\right)}{,}_{}0\right\},$

где ${\lambda }_i\left(t\right)$ ‒ собственные значения матрицы $\rho {\left(t\right)}_{J_1{J}_2}$$\tilde{\rho }{\left(t\right)}_{J_1{J}_2}^{},$ расположенные в убывающем порядке.

В результате несложных вычислений формула для согласованности кубитов в случае их начальных состояний вида (2)‒(4) может быть записана как

$C\left(t\right)=2\left|{\rho }_{14}\right|.$ (8)

Результаты численного моделирования временной зависимости согласованности (8) для различных начальных состояний кубитов и параметров модели представлены на рис. 1 и 2.

Рис. 1. Зависимость согласованности $C\left(t\right)$ от приведенного времени ${\gamma }_{12}t$ для сепарабельного начального состояния кубитов $|e,e⟩$ (или $|g,g⟩).$ Среднее число фотонов $\overline{n}=30.$ Случай (а) соответствует $\chi =0$ (сплошная линия) и $\chi =\mathrm{0,3}$ (штриховая линия). Случай (б) соответствует $\chi =1$ (сплошная линия) и $\chi =3$ (штриховая линия)

Fig. 1. Dependence of consistency $C\left(t\right)$ on reduced time ${\gamma }_{12}t$ for the separable initial state of qubits $|e,e⟩$ (or $|g,g⟩).$ Average number of photons $\overline{n}=30.$ Case (a) corresponds to $\chi =0$ (solid line) and $\chi =\mathrm{0,3}$ (dashed line). Case (b) corresponds to $\chi =1$ (solid line) and $\chi =3$ (dashed line)

Рис. 2. Зависимость согласованности $C\left(t\right)$ от приведенного времени ${\gamma }_{12}t$ для перепутанного начального состояния кубитов $1/\sqrt{2}\left(\right|g,g⟩+|e,e⟩).$ Среднее число фотонов $\overline{n}=10.$ Случай (а) соответствует $\chi =0$ (сплошная линия) и $\chi =\mathrm{0,3}$ (штриховая линия). Случай (б) соответствует $\chi =1$ (сплошная линия) и $\chi =3$ (штриховая линия)

Fig. 2. Dependence of consistency $C\left(t\right)$ on reduced time ${\gamma }_{12}t$ for the entangled initial state of qubits $1/\sqrt{2}\left(\right|g,g⟩+|e,e⟩).$ Average number of photons $\overline{n}=10.$ Case (a) corresponds to $\chi =0$ (solid line) and $\chi =\mathrm{0,3}$ (dashed line). Case (b) corresponds to $\chi =1$ (solid line) and $\chi =3$ (dashed line)

2. Численное моделирование согласованности и обсуждение результатов

Рис. 1 представляет зависимость согласованности для начального сепарабельного состояния кубитов $|e,e⟩$ (или $|g,g⟩)$ от приведенного времени ${\gamma }_{12}t$ для фиксированного среднего числа фотонов в когерентной моде $\overline{n}=30$ и различных значений керровской нелинейности. Из рис. 1 видно, что в рассматриваемой модели для всех значений керровской нелинейности имеет место сильная корреляция состояний двух кубитов в процессе их эволюции. Из рис. 1 видно также, что учет керровской нелинейности для сепарабельных начальных состояний приводит к уменьшению максимальной степени перепутывания кубитов в процессе их эволюции. Такая зависимость параметра перепутывания от нелинейности принципиально отличается от аналогичной зависимости в случае двух кубитов, взаимодействующих с общим микроволновым полем [17–21]. В последнем случае включение керровской нелинейности существенно увеличивает максимальную степень перепутывания кубитов. Поведение согласованности, отражающее поведение перепутывания кубитов, для сепарабельных состояний носит осцилляторный характер, что соответствует процессам поглощения и испускания фотонов. Кроме того, согласованность обращается в нуль для некоторых времен. В эти моменты времени состояния двух зарядовых кубитов оказываются распутанными. При увеличении среднего числа фотонов в моде времена, на которых происходит распутывание состояний кубитов, уменьшаются. При учете керровской среды такой эффект отсутствует. На рис. 2 представлена зависимость согласованности от приведенного времени ${\gamma }_{12}t$ для начального перепутанного состояния кубитов $1/\sqrt{2}\left(\right|g,g⟩$$+|e,e⟩)$ и различных значений керровской нелинейности. В рассматриваемом случае зависимость максимальной степени перепутывания кубитов от параметра керровской нелинейности носит немонотонный характер. В интервале значений безразмерной керровской нелинейности $0<\chi <\mathrm{0,3}$ перепутывание кубитов уменьшается с ростом керровской нелинейности. Для значений $\chi >\mathrm{0,3}$ имеет место противоположная зависимость. Наиболее интересным представляется результат, заключающийся в том, что для достаточно больших значений безразмерной керровской нелинейности $\chi >3$ значение согласованности процесса эволюции остается близким к начальному значению, равному единице. Таким образом, используя керровскую среду с достаточно большими значениями нелинейности, мы можем получить долгоживущие, максимально перепутанные состояния кубитов. Такой результат показывает возможность использования керровской нелинейности для контроля и управления степенью перепутывания кубитов.

Заключение

Таким образом, в данной работе нами была найдена точная динамика системы, состоящей из двух идентичных зарядовых кубитов, соединенных большим джозефсоновским переходом. Рассмотрен случай, когда на контур, в котором находится один из кубитов и большой джозефсоновский переход, действует одномодовое микроволновое поле в когерентном состоянии. На основе точного решения уравнения эволюции найдена временная волновая функция системы. Полученное явное выражение для временной волновой функции использовано для вычисления критерия перепутывания кубитов для начальных сепарабельных и перепутанных состояний кубитов. В качестве количественного критерия перепутывания кубитов выбрана согласованность. Результаты численного моделирования временного поведения согласованности показали, что для сепарабельных начальных состояний кубитов включение керровской нелинейности уменьшает максимальную степень перепутывания кубитов. Для перепутанного начального состояния кубитов получена возможность создания долгоживущих перепутанных состояний кубитов при наличии керровской нелинейности. В результате показано, что при определенном выборе начальных состояний кубитов и значений параметра керровской нелинейности мы можем контролировать и управлять эволюцией кубитов, а также степенью их перепутывания.

About the authors

Eugene K. Bashkirov

Author for correspondence.
Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0003-2569-1322

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Dependence of consistency Ct() on reduced time tγ12 for the separable initial state of qubits |,ee〉 (or |,).gg〉 Average number of photons .n=30 Case (a) corresponds to χ=0 (solid line) and ,χ=03 (dashed line). Case (b) corresponds to χ=1 (solid line) and χ=3 (dashed line)

Download (166KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Dependence of consistency Ct() on reduced time tγ12 for the entangled initial state of qubits /().ggee〉+〉12|,|, Average number of photons .n=10 Case (a) corresponds to χ=0 (solid line) and ,χ=03 (dashed line). Case (b) corresponds to χ=1 (solid line) and χ=3(dashed line)

Download (144KB)

Indexing metadata