Frequency dependence of the group velocity of surface polaritons in a single-axle crystal of the Würcite type

Full Text

Введение

Поверхностные поляритоны привлекают внимание исследователей и инженеров своими уникальными свойствами и перспективными приложениями в области микро- и наноэлектроники. Поверхностные поляритоны представляют собой коллективные возбуждения, представляющие собой смесь электромагнитной волны и механических возбуждений среды – фононов, распространяющихся вдоль границы среды. Замечательным свойством поверхностных поляритонов является наличие запрещенной зоны, в которой поверхностный поляритон не возбуждается.

В ряде работ [1–3] рассмотрены различные применения поверхностных поляритонов для целей микроэлектроники. В работах [4; 5] проведен анализ возбуждения поверхностных поляритонов с отрицательной групповой скоростью. В работе [7] авторы настоящей статьи представляют результаты расчета параметров распространения и затухания для нанокомпозитов, состоящих из диэлектрической матрицы с распределенными в ней наночастицами. В работе [8] представлен новый тип биосенсора поверхностного плазмонного резонанса, основанный на оптическом датчике с инвертированным градиентным индексом. Отметим работы [9] и [11], в которых авторы анализируют электромагнитные свойства киральных метаматериалов, которые, как и поляритонные среды, проявляют уникальные частотные зависимости электродинамических параметров. В работе [10] представлены результаты расчета угловых спектров отражения света при условии возбуждения поверхностных плазмонов в схеме Кречмана.

В настоящей статье рассматривается задача о возбуждении поверхностных поляритонов в одноосном кристалле типа вюрцита, проводится анализ условий их возбуждения. Особое внимание обращается на расчет групповой скорости поверхностных поляритонов

1. Теоретическое рассмотрение

Рассмотрим условия возбуждения поверхностных поляритонов в одноосном кристалле. На рис. 1 представлена геометрия одноосного кристалла. Оптическая ось кристалла образует угол $\phi$ с осью Oy.

 

Рис. 1. OO’ – оптическая ось кристалла находится под углом $\phi$ с осью Oz

Fig. 1. OO’ – the optical axis of the crystal is at an angle $\phi$ with the Oz axis

 

Обозначим ${\epsilon }_{\parallel }$ значение тензора диэлектрической проницаемости кристалла вдоль оптической оси в главной системе координат, а  – в перпендикулярном направлении. Тогда в лабораторной системе координат YOZ компоненты тензора диэлектрической проницаемости будут иметь вид:

$\begin{array}{l}{\epsilon }_{yy}={\epsilon }_{\perp }{\text{cos}}^2\phi +{\epsilon }_{\parallel }{\text{sin}}^2\phi ;\\ {\epsilon }_{yz}={\epsilon }_{zy}=({\epsilon }_{\perp }-{\epsilon }_{\parallel })\sin \phi \cos \phi ;\\ {\epsilon }_{zz} ={\epsilon }_{\parallel }{\text{cos}}^2\phi +{\epsilon }_{\perp }{\text{sin}}^2\phi .\end{array}$ (1)

Область z < 0 занимает изотропный диэлектрик с проницаемостью  а область z > 0 – анизотропный одноосный кристалл типа вюрцита. Проведем анализ возбуждения поверхностных поляритонов для этого случая. Подробные расчеты показывают, что возбуждение распространяющихся поверхностных поляритонов возможно только в случае, когда ${\epsilon }_{yz}=0$ и для p–поляризации. Вектор магнитной напряженности электромагнитного поля для этого случая имеет только x-составляющую и экспоненциально спадающую зависимость при удалении от границ раздела. В области z < 0 поле имеет вид

$H_{1x}=H_1\exp \left(k_0{\varkappa }_{1}z\right)\exp i\left(k_0{n}_{\parallel }y-\omega t\right).$ (2)

В области z > 0 поле спадает с расстоянием по закону

$H_{2x}=H_2\exp \left(-k_0{\varkappa }_{2}z\right)\text{expi}\left(k_0{n}_{\parallel }y-\omega t\right).$ (3)

Процедура получения дисперсионного уравнения для поверхностных поляритонов состоит из 3 шагов. Первый, основанный на волновом уравнении, состоит в нахождении параметров затухания в обеих средах. Второй и третий заключаются в требовании выполнения 2 граничных условий – непрерывности на границе раздела тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля $H_x$ и $E_y.$ Подставляя поля (2) и (3) в волновые уравнения для каждой из сред, легко получим следующие выражения для параметров затухания ${\varkappa }_1$ и ${\varkappa }_2\text{:}$

${\varkappa }_1=\sqrt{n_{\parallel }^2-\epsilon };$ (4)

${\varkappa }_2=\sqrt{\frac{{\epsilon }_{yy}}{{\epsilon }_{zz}}\left(n_{\parallel }^2-{\epsilon }_{zz}\right)}.$ (5)

Подчеркнем, что оба коэффициента затухания ${\varkappa }_1$ и ${\varkappa }_2$ являются положительными величинами.

Условие непрерывности тангенциальных компонент $H_x$ приводит к равенству амплитуд $H_1$ и $H_2\text{:}$

$H_1=H_2.$ (6)

Второе граничное условие ведет к одному из самых важных для поверхностных поляритонов равенству:

$\frac{{\varkappa }_1}{\epsilon }+\frac{{\varkappa }_2}{{\epsilon }_{yy}}=0.$ (7)

Поскольку три величины ${\varkappa }_1,$ ${\varkappa }_2$ и $\epsilon$ являются положительными, то из (7) следует, что для существования поверхностного поляритона компонента тензора диэлектрической проницаемости ${\epsilon }_{yy}$ должна быть отрицательной

${\epsilon }_{yy}<0.$ (8)

Из уравнения (7) получается дисперсионное уравнение для поверхностных поляритонов в случае одноосного кристалла:

$n_{\parallel }^2=\frac{\epsilon {\epsilon }_{zz}\left({\epsilon }_{yy}-\epsilon \right)}{{\epsilon }_{yy}{\epsilon }_{zz}-{\epsilon }^2}.$ (9)

Частота поверхностного поляритона находится из условия равенства нулю знаменателя в формуле (9):

${\epsilon }_{yy}{\epsilon }_{zz}-{\epsilon }^2=0.$ (10)

Далее мы рассмотрим 2 частных случая.

Первый – оптическая ось совпадает с осью z. $\Phi =0°.$

Тогда имеем:

${\epsilon }_{zz}={\epsilon }_{\parallel },{\epsilon }_{yy}={\epsilon }_{\perp }.$ (11)

Дисперсионное уравнение для этого случая принимает вид

$n_{\parallel }^2=\frac{\epsilon {\epsilon }_{\parallel }\left({\epsilon }_{\perp }-\epsilon \right)}{{\epsilon }_{\parallel }{\epsilon }_{\perp }-{\epsilon }^2}.$ (12)

Второй – оптическая ось совпадает с осью y. $\Phi =90°.$

В этом случае имеем:

${\epsilon }_{zz}={\epsilon }_{\perp }, {\epsilon }_{yy}={\epsilon }_{\parallel }.$ (13)

Дисперсионное уравнение для этого случая принимает вид

$n_{\parallel }^2=\frac{\epsilon {\epsilon }_{\perp }\left({\epsilon }_{\parallel }-\epsilon \right)}{{\epsilon }_{\parallel }{\epsilon }_{\perp }-{\epsilon }^2}.$ (14)

Заметим, что частота поверхностного поляритона для обоих случаев находится из уравнения

${\epsilon }_{\parallel }{\epsilon }_{\perp }-{\epsilon }^2=0.$ (15)

2. Решение дисперсионного уравнения для кристалла нитрида алюминия AlN. Обсуждение результатов

В модели Лоренца диэлектрические проницаемости данного кристалла описываются функциями [6]:

${\epsilon }_{\perp }\left(\omega \right)= {\epsilon }_{\perp }\left(\infty \right)\frac{{\omega }^2-{\omega }_{LO\perp }^2}{{\omega }^2-{\omega }_{TO\perp }^2};$ (16)

${\epsilon }_{\parallel }\left(\omega \right)= {\epsilon }_{\parallel }\left(\infty \right)\frac{{\omega }^2-{\omega }_{LO\parallel }^2}{{\omega }^2-{\omega }_{TO\parallel }^2}.$ (17)

Параметры имеют следующие значения: ${\epsilon }_{\perp }(\infty )\simeq$${\epsilon }_{\parallel }(\infty )=\mathrm{5,26};$ ${\omega }_{LO\perp }=916$ ${\text{см}}^{-1},$ ${\omega }_{LO\parallel }=893$ ${\text{см}}^{-1},$ ${\omega }_{TO\perp }=673$ ${\text{см}}^{-1},$ ${\omega }_{TO\parallel }=660$ ${\text{см}}^{-1}\text{.}$    

На рис. 2 показана зависимость знаменателя в формуле (14) от частоты. Из этого рисунка видно, что кривая пересекает ось абсцисс в двух точках ${\Omega }_1=\mathrm{844,84}$ ${\text{см}}^{-1}$ и ${\Omega }_2=\mathrm{1024,44}$ ${\text{см}}^{-1}.$ Однако детальный анализ показывает, что вторая точка ${\Omega }_2$ находится в частотной области, где поверхностный поляритон не существует. Первая же точка отвечает частоте поверхностного поляритона.

 

Рис. 2. Частотная зависимость знаменателя в формуле (14). Пересечение кривой с осью абсцисс дает возможные значения частоты поверхностного поляритона

Fig. 2. Frequency dependence of the denominator in formula (14). The intersection of the curve with the x-axis gives possible values of the surface polariton frequency

 

На рис. 3 и 4 индекс z отвечает случаю, когда оптическая ось совпадает с осью Oz, а индекс y – когда она совпадает с осью Oy.

 

Рис. 3. Частотная зависимость параметров распространения $n_{\parallel ,z}$ и $n_{\parallel ,y}$ поверхностного поляритона для двух рассмотренных случаев

Fig. 3. Frequency dependence of the propagation $n_{\parallel ,z}$ and $n_{\parallel ,y}$ surface polariton parameters for the two cases considered

 

Рис. 4. Зависимость постоянной затухания ${\varkappa }_1$ для случаев 1 и 2

Fig. 4. Dependence of the attenuation constant ${\varkappa }_1$ for cases 1 and 2

 

На рис. 5 показаны зависимости относительных групповых скоростей поверхностного поляритона от частоты. Здесь VegZ есть групповая скорость в случае, когда оптическая ось направлена по оси Oz, а VegY – вдоль оси Oy.

 

Рис. 5. Зависимость относительных групповых скоростей VegZ/c и VegY/c поверхностного поляритона от частоты, c – скорость света

Fig. 5. Dependence of the relative group velocities VegZ/c and VegY/c of the surface polariton on frequency, c – speed of light

 

Заключение

Проведенный анализ показывает, что с увеличением частоты возрастает значение постоянных затухания и постоянных распространения. Рост этот происходит до момента, когда частота достигает значения частоты поверхностного поляритона. Поверхностные поляритоны в этом случае одноосного анизотропного кристалла могут возбуждаться только в ограниченной частотной области, когда выполняются условия ${\epsilon }_{yy}<0$ и (7).

Особый интерес вызывает зависимость групповой скорости поверхностного поляритона от частоты. Из рис. 5 видно, что с увеличением частоты происходит замедление движения поляритона. При достижении частоты значения ${\Omega }_1$ – частоты поверхностного поляритона – групповая скорость обращается в ноль. Данное свойство может быть использовано для создания замедляющих систем на основании поверхностных поляритонов.

About the authors

Irina I. Borodina

Volgograd State University

Email: potapova.irina@volsu.ru

graduate student at the Institute of Applied Technologies

Russian Federation, 100, University Avenue, Volgograd, 400062

Valeriy V. Yatsishen

Volgograd State University

Author for correspondence.
Email: yatsishen@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-4185-2333

Doctor of Technical Sciences (specialty 01.04.03 Radiophysics), Candidate of Physical and Mathematical Sciences (specialty 01.04.03 Radiophysics, including quantum radiophysics), professor of the Department of Forensic Science and Physical Materials Science of the Institute of Priority Technologies

Russian Federation, 100, University Avenue, Volgograd, 400062

References

Supplementary files