Частотная зависимость групповой скорости поверхностных поляритонов в одноосном кристалле типа вюрцита

Полный текст

Введение

Поверхностные поляритоны привлекают внимание исследователей и инженеров своими уникальными свойствами и перспективными приложениями в области микро- и наноэлектроники. Поверхностные поляритоны представляют собой коллективные возбуждения, представляющие собой смесь электромагнитной волны и механических возбуждений среды – фононов, распространяющихся вдоль границы среды. Замечательным свойством поверхностных поляритонов является наличие запрещенной зоны, в которой поверхностный поляритон не возбуждается.

В ряде работ [1–3] рассмотрены различные применения поверхностных поляритонов для целей микроэлектроники. В работах [4; 5] проведен анализ возбуждения поверхностных поляритонов с отрицательной групповой скоростью. В работе [7] авторы настоящей статьи представляют результаты расчета параметров распространения и затухания для нанокомпозитов, состоящих из диэлектрической матрицы с распределенными в ней наночастицами. В работе [8] представлен новый тип биосенсора поверхностного плазмонного резонанса, основанный на оптическом датчике с инвертированным градиентным индексом. Отметим работы [9] и [11], в которых авторы анализируют электромагнитные свойства киральных метаматериалов, которые, как и поляритонные среды, проявляют уникальные частотные зависимости электродинамических параметров. В работе [10] представлены результаты расчета угловых спектров отражения света при условии возбуждения поверхностных плазмонов в схеме Кречмана.

В настоящей статье рассматривается задача о возбуждении поверхностных поляритонов в одноосном кристалле типа вюрцита, проводится анализ условий их возбуждения. Особое внимание обращается на расчет групповой скорости поверхностных поляритонов

1. Теоретическое рассмотрение

Рассмотрим условия возбуждения поверхностных поляритонов в одноосном кристалле. На рис. 1 представлена геометрия одноосного кристалла. Оптическая ось кристалла образует угол $\phi$ с осью Oy.

 

Рис. 1. OO’ – оптическая ось кристалла находится под углом $\phi$ с осью Oz

Fig. 1. OO’ – the optical axis of the crystal is at an angle $\phi$ with the Oz axis

 

Обозначим ${\epsilon }_{\parallel }$ значение тензора диэлектрической проницаемости кристалла вдоль оптической оси в главной системе координат, а  – в перпендикулярном направлении. Тогда в лабораторной системе координат YOZ компоненты тензора диэлектрической проницаемости будут иметь вид:

$\begin{array}{l}{\epsilon }_{yy}={\epsilon }_{\perp }{\text{cos}}^2\phi +{\epsilon }_{\parallel }{\text{sin}}^2\phi ;\\ {\epsilon }_{yz}={\epsilon }_{zy}=({\epsilon }_{\perp }-{\epsilon }_{\parallel })\sin \phi \cos \phi ;\\ {\epsilon }_{zz} ={\epsilon }_{\parallel }{\text{cos}}^2\phi +{\epsilon }_{\perp }{\text{sin}}^2\phi .\end{array}$ (1)

Область z < 0 занимает изотропный диэлектрик с проницаемостью  а область z > 0 – анизотропный одноосный кристалл типа вюрцита. Проведем анализ возбуждения поверхностных поляритонов для этого случая. Подробные расчеты показывают, что возбуждение распространяющихся поверхностных поляритонов возможно только в случае, когда ${\epsilon }_{yz}=0$ и для p–поляризации. Вектор магнитной напряженности электромагнитного поля для этого случая имеет только x-составляющую и экспоненциально спадающую зависимость при удалении от границ раздела. В области z < 0 поле имеет вид

$H_{1x}=H_1\exp \left(k_0{\varkappa }_{1}z\right)\exp i\left(k_0{n}_{\parallel }y-\omega t\right).$ (2)

В области z > 0 поле спадает с расстоянием по закону

$H_{2x}=H_2\exp \left(-k_0{\varkappa }_{2}z\right)\text{expi}\left(k_0{n}_{\parallel }y-\omega t\right).$ (3)

Процедура получения дисперсионного уравнения для поверхностных поляритонов состоит из 3 шагов. Первый, основанный на волновом уравнении, состоит в нахождении параметров затухания в обеих средах. Второй и третий заключаются в требовании выполнения 2 граничных условий – непрерывности на границе раздела тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля $H_x$ и $E_y.$ Подставляя поля (2) и (3) в волновые уравнения для каждой из сред, легко получим следующие выражения для параметров затухания ${\varkappa }_1$ и ${\varkappa }_2\text{:}$

${\varkappa }_1=\sqrt{n_{\parallel }^2-\epsilon };$ (4)

${\varkappa }_2=\sqrt{\frac{{\epsilon }_{yy}}{{\epsilon }_{zz}}\left(n_{\parallel }^2-{\epsilon }_{zz}\right)}.$ (5)

Подчеркнем, что оба коэффициента затухания ${\varkappa }_1$ и ${\varkappa }_2$ являются положительными величинами.

Условие непрерывности тангенциальных компонент $H_x$ приводит к равенству амплитуд $H_1$ и $H_2\text{:}$

$H_1=H_2.$ (6)

Второе граничное условие ведет к одному из самых важных для поверхностных поляритонов равенству:

$\frac{{\varkappa }_1}{\epsilon }+\frac{{\varkappa }_2}{{\epsilon }_{yy}}=0.$ (7)

Поскольку три величины ${\varkappa }_1,$ ${\varkappa }_2$ и $\epsilon$ являются положительными, то из (7) следует, что для существования поверхностного поляритона компонента тензора диэлектрической проницаемости ${\epsilon }_{yy}$ должна быть отрицательной

${\epsilon }_{yy}<0.$ (8)

Из уравнения (7) получается дисперсионное уравнение для поверхностных поляритонов в случае одноосного кристалла:

$n_{\parallel }^2=\frac{\epsilon {\epsilon }_{zz}\left({\epsilon }_{yy}-\epsilon \right)}{{\epsilon }_{yy}{\epsilon }_{zz}-{\epsilon }^2}.$ (9)

Частота поверхностного поляритона находится из условия равенства нулю знаменателя в формуле (9):

${\epsilon }_{yy}{\epsilon }_{zz}-{\epsilon }^2=0.$ (10)

Далее мы рассмотрим 2 частных случая.

Первый – оптическая ось совпадает с осью z. $\Phi =0°.$

Тогда имеем:

${\epsilon }_{zz}={\epsilon }_{\parallel },{\epsilon }_{yy}={\epsilon }_{\perp }.$ (11)

Дисперсионное уравнение для этого случая принимает вид

$n_{\parallel }^2=\frac{\epsilon {\epsilon }_{\parallel }\left({\epsilon }_{\perp }-\epsilon \right)}{{\epsilon }_{\parallel }{\epsilon }_{\perp }-{\epsilon }^2}.$ (12)

Второй – оптическая ось совпадает с осью y. $\Phi =90°.$

В этом случае имеем:

${\epsilon }_{zz}={\epsilon }_{\perp }, {\epsilon }_{yy}={\epsilon }_{\parallel }.$ (13)

Дисперсионное уравнение для этого случая принимает вид

$n_{\parallel }^2=\frac{\epsilon {\epsilon }_{\perp }\left({\epsilon }_{\parallel }-\epsilon \right)}{{\epsilon }_{\parallel }{\epsilon }_{\perp }-{\epsilon }^2}.$ (14)

Заметим, что частота поверхностного поляритона для обоих случаев находится из уравнения

${\epsilon }_{\parallel }{\epsilon }_{\perp }-{\epsilon }^2=0.$ (15)

2. Решение дисперсионного уравнения для кристалла нитрида алюминия AlN. Обсуждение результатов

В модели Лоренца диэлектрические проницаемости данного кристалла описываются функциями [6]:

${\epsilon }_{\perp }\left(\omega \right)= {\epsilon }_{\perp }\left(\infty \right)\frac{{\omega }^2-{\omega }_{LO\perp }^2}{{\omega }^2-{\omega }_{TO\perp }^2};$ (16)

${\epsilon }_{\parallel }\left(\omega \right)= {\epsilon }_{\parallel }\left(\infty \right)\frac{{\omega }^2-{\omega }_{LO\parallel }^2}{{\omega }^2-{\omega }_{TO\parallel }^2}.$ (17)

Параметры имеют следующие значения: ${\epsilon }_{\perp }(\infty )\simeq$${\epsilon }_{\parallel }(\infty )=\mathrm{5,26};$ ${\omega }_{LO\perp }=916$ ${\text{см}}^{-1},$ ${\omega }_{LO\parallel }=893$ ${\text{см}}^{-1},$ ${\omega }_{TO\perp }=673$ ${\text{см}}^{-1},$ ${\omega }_{TO\parallel }=660$ ${\text{см}}^{-1}\text{.}$    

На рис. 2 показана зависимость знаменателя в формуле (14) от частоты. Из этого рисунка видно, что кривая пересекает ось абсцисс в двух точках ${\Omega }_1=\mathrm{844,84}$ ${\text{см}}^{-1}$ и ${\Omega }_2=\mathrm{1024,44}$ ${\text{см}}^{-1}.$ Однако детальный анализ показывает, что вторая точка ${\Omega }_2$ находится в частотной области, где поверхностный поляритон не существует. Первая же точка отвечает частоте поверхностного поляритона.

 

Рис. 2. Частотная зависимость знаменателя в формуле (14). Пересечение кривой с осью абсцисс дает возможные значения частоты поверхностного поляритона

Fig. 2. Frequency dependence of the denominator in formula (14). The intersection of the curve with the x-axis gives possible values of the surface polariton frequency

 

На рис. 3 и 4 индекс z отвечает случаю, когда оптическая ось совпадает с осью Oz, а индекс y – когда она совпадает с осью Oy.

 

Рис. 3. Частотная зависимость параметров распространения $n_{\parallel ,z}$ и $n_{\parallel ,y}$ поверхностного поляритона для двух рассмотренных случаев

Fig. 3. Frequency dependence of the propagation $n_{\parallel ,z}$ and $n_{\parallel ,y}$ surface polariton parameters for the two cases considered

 

Рис. 4. Зависимость постоянной затухания ${\varkappa }_1$ для случаев 1 и 2

Fig. 4. Dependence of the attenuation constant ${\varkappa }_1$ for cases 1 and 2

 

На рис. 5 показаны зависимости относительных групповых скоростей поверхностного поляритона от частоты. Здесь VegZ есть групповая скорость в случае, когда оптическая ось направлена по оси Oz, а VegY – вдоль оси Oy.

 

Рис. 5. Зависимость относительных групповых скоростей VegZ/c и VegY/c поверхностного поляритона от частоты, c – скорость света

Fig. 5. Dependence of the relative group velocities VegZ/c and VegY/c of the surface polariton on frequency, c – speed of light

 

Заключение

Проведенный анализ показывает, что с увеличением частоты возрастает значение постоянных затухания и постоянных распространения. Рост этот происходит до момента, когда частота достигает значения частоты поверхностного поляритона. Поверхностные поляритоны в этом случае одноосного анизотропного кристалла могут возбуждаться только в ограниченной частотной области, когда выполняются условия ${\epsilon }_{yy}<0$ и (7).

Особый интерес вызывает зависимость групповой скорости поверхностного поляритона от частоты. Из рис. 5 видно, что с увеличением частоты происходит замедление движения поляритона. При достижении частоты значения ${\Omega }_1$ – частоты поверхностного поляритона – групповая скорость обращается в ноль. Данное свойство может быть использовано для создания замедляющих систем на основании поверхностных поляритонов.

Об авторах

Ирина Игоревна Бородина

Волгоградский государственный университет

Email: potapova.irina@volsu.ru

аспирант Института прикладных технологий

Россия, 400062, г. Волгоград, Университетский пр., 100

Валерий Васильевич Яцышен

Волгоградский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: yatsishen@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-4185-2333

доктор технических наук (специальность 01.04.03 Радиофизика), кандидат физико-математических наук (специальность 01.04.03 Радиофизика, включая квантовую радиофизику), профессор кафедры судебной экспертизы и физического материаловедения Института приоритетных технологий

Россия, 400062, г. Волгоград, Университетский пр., 100

Список литературы

Дополнительные файлы