The accuracy of measuring the coefficients of transmission and reflection of materials in the presence of random errors in the formation of fields

Full Text

Введение

Одной из характерных особенностей современного этапа развития военной техники является широкое применение специальных конструкционных материалов и покрытий, обладающих заданными свойствами взаимодействия с электромагнитными полями (ЭМП), которые подлежат измерению в процессе производства и эксплуатации.

При этом наиболее актуальными являются вопросы создания средств измерения и экспериментального исследования коэффициентов прохождения (КП) и отражения (КО) материалов и покрытий, рассмотрению которых посвящена обширная литература [1–6].

Вопросы точности измерения КП и КО применительно к наиболее перспективному методу радиоволнового контроля в свободном пространстве наиболее полно рассмотрены в [6].

Для оценки информационных возможностей средств измерения КП и КО в [6] разработана система математических моделей, позволяющих оценивать влияние на точность измерения технических характеристик составных элементов и измерительных устройств.

Вместе с тем общие закономерности влияния случайных погрешностей формирования плоских полей на точность измерения КП и КО изучены недостаточно.

Целью настоящей статьи является установление количественных закономерностей влияния случайных фазовых погрешностей формирования плоских полей на ошибки измерения КП и КО.

1. Постановка задачи

Расчет КП и КО осуществляется на основе результатов прямых измерений амплитуды и фазы, рассеянных ЭМП по формулам [6]:

$\left|K_{пр}\right|=\frac{A_{пр}}{A_{пад}},{\phi }_{K_{пр}}={\phi }_{пр}-{\phi }_{пад},$ (1)

$\left|K_{отр}\right|=\frac{A_{отр}}{A_{пад}},{\phi }_{K_{отр}}={\phi }_{отр}-{\phi }_{пад},$ (2)

где $\left|K_{пр}\right|,$ $\left|K_{отр}\right|$ и ${\phi }_{K_{пр}},$ ${\phi }_{K_{отр}}$ – модули и фазы амплитудных коэффициентов прохождения и отражения материала; $A_{пр}, A_{отр}, A_{пад}$ и ${\phi }_{пр}, {\phi }_{отр}, {\phi }_{пад}$ – амплитуды и фазы прошедшего отраженного и падающего ЭМП.

В действительности, в соответствии с принципами построения измерительных устройств, формирование и регистрация полей ЭМП предполагает использование в системах радиоволнового контроля (РВК) протяженных (реальных или синтезированных) антенн, размеры которых значительно превосходят длину волны. Поэтому наиболее реалистические модели для определения КП и КО можно представить в виде интегралов, описывающих интегрирование соответствующих ЭМП по области измерения $S_{изм},$ (т. е. по области облучения или по области приема ЭМП. Ввиду однообразия формул, описывающих прошедшее, отраженное и падающее поля, ограничимся записью формул для одного из них. Например, комплексная амплитуда падающего поля может быть записана в виде

${\dot{E}}_{па{д}_0}=\underset{S_{изм}}{\int }{A}_{пад}\left(\rho \right)e{}^{j\psi \left(\rho \right)}d\rho ,\rho =\left\{x,y\right\}.$ (3)

Подобным образом могут быть представлены прошедшее и отраженное ЭМП.

Далее, если ограничиться рассмотрением влияния случайных фазовых погрешностей, выражение (3) можно записать как

$\dot{E}=\underset{S_{изм}}{\int }A\left(\rho \right)e{}^{j\psi \left(\rho \right)}{e}^{jk\phi \left(\rho \right)}d\rho ,$ (4)

где $A\left(\rho \right)$ и $\phi \left(\rho \right)$ – амплитудное и фазовое распределение поля в отсутствие ошибок формирования ЭМП; $\phi \left(\rho \right)$ – случайная функция распределения фазы; $k=2\pi /\lambda$ – волновое число; $\lambda$ – длина волны.

При наличии случайных погрешностей формирования КП и КО являются случайными функциями и для их анализа необходимо применение их статистических характеристик. Поэтому далее рассмотрим их подробно.

2. Вычисление среднего значения

Оценим среднее значение КП по мощности

$〈K_{прм}〉=\frac{〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉}{〈{\left|{\dot{E}}_{пад}\right|}^2〉},$ (5)

где $〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉$ и $〈{\left|{\dot{E}}_{пад}\right|}^2〉$ можно представить в однообразном виде. Например,

$〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉=\underset{S_{изм}}{\iint }{A}_{пр}\left({\rho }_1\right)A_{пр}\left({\rho }_2\right)e^{j\left[\phi \left({\rho }_1\right)-\psi \left({\rho }_2\right)\right]}\times$ (6)

$\times 〈e^{jk\left[{\phi }_{пр}\left({\rho }_1\right)-{\phi }_{пр}\left({\rho }_2\right)\right]}〉d{\rho }_{1}d{\rho }_2.$

Выражение в $〈〉$ скобках является характеристической функцией [7]:

$〈e^{jk\left[{\phi }_{пр}\left({\rho }_1\right)-{\phi }_{пр}\left({\rho }_2\right)\right]}〉=e^{-k^2{\sigma }_{пр}^2\left[1-r_{пр}\left(\Delta \rho \right)\right]},$ (7)

где $r_{пр}\left(\rho \right)$ – коэффициент корреляции случайных флюктуаций фазы принимаемого прошедшего поля, ${\sigma }_{пр}^2$ – дисперсия флюктуаций, $\Delta \rho ={\rho }_1-{\rho }_2.$

Количественные оценки средних значений КП и КО можно получить лишь в крайних случаях.

Так, в случае коррелированных флюктуаций, когда интервал корреляции значительно превышает размеры области измерений

${{\Delta }_{пр}^2}_{}>>S_{изм}$ (8)

$r\left(\Delta \rho \right)$ в (7) можно положить равным единице:

$r\left(\Delta \rho \right)=1.$ (9)

В этом случае из (5), (7), (9) следует, что при наличии коррелированных случайных фазовых погрешностей формирования прошедшего, отраженного и падающего ЭМП средние значения КП и КО по мощности совпадают со своими значениями КП и КО, измеренными при отсутствии случайных погрешностей:

$〈K_{прм}〉=K_{прм},〈K_{ком}〉=K_{ком}.$ (10)

В случае когда интервал корреляции мал:

${{\Delta }_{пр}^2}_{}<<S_{изм},$ (11)

оценки средних значений КП и КО можно получить при небольших фазовых погрешностях:

$k^2{{\sigma }_{пр}^2}_{}<<1.$ (12)

Это позволяет характеристическую функцию (7) разложить в ряд, ограничиться двумя первыми членами ряда.

При принятых ограничениях интеграл (6) можно приближенно представить в виде

$〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉\approx (1-k^2{\sigma }_{пр}^2){\left|{\dot{E}}_{про}\right|}^2+$ (13)

$+k^2{\sigma }_{пр}^2\underset{S_{изм}}{\iint }{A}_{пр}\left({\rho }_1\right)A_{пр}\left({\rho }_2\right)\times$

$\times e^{j\left[\psi \left({\rho }_1\right)-\psi \left({\rho }_2\right)\right]}{r}_{пр}\left(\Delta \rho \right)d{\rho }_{1}d{\rho }_2.$

Далее, если предположить, что в интеграле (13) $r\left(\Delta \rho \right)$ является «быстрой» функцией с максимумом в точке $\Delta \rho =\mathrm{0,}$ то (13) с учетом (7) можно приближенно преобразовать как

$〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉\approx (1-k^2{\sigma }_{пр}^2){\left|{\dot{E}}_{про}\right|}^2+$ (14)

$+k^2{\sigma }_{пр}^2\underset{S_{изм}}{\int }{A}_{пр}^2\left(\rho \right)d\rho \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{r}_{пр}\left(\rho \right)d\rho .$

Например, при гауссовом коэффициенте корреляции

$r_{пр}\left(\Delta \rho \right)=e^{-\frac{{\left(\Delta \rho \right)}^2}{2{\Delta }_{пр}^2}}$ (15)

интеграл

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-\frac{{\left|\rho \right|}^2}{2{\Delta }_{пр}^2}}d\rho =2\pi {\Delta }_{пр}^2.$ (16)

Таким образом, при принятых допущениях (11), (12) квадрат модуля полей облучения и приема измеряемого объекта приближенно можно представить в виде

$〈{\left|{\dot{E}}_i\right|}^2〉\approx {\left|{\dot{E}}_{iо}\right|}^2\left\{1-k^2{\sigma }_{i\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{i\phi }^2\frac{{\Delta }_i^2}{S_{изм}}\right\},$ (17)

$i=\mathrm{1,2,3,}$

где индексы $i=\mathrm{1,2,3}$ относятся к характеристикам прошедшего, отраженного и падающего ЭМП.

Из полученных соотношений следует, что при симметричных характеристиках измерительной установки ${\sigma }_i^2={\sigma }_j^2$ и ${\Delta }_i^2={\Delta }_j^2,$ $i,j=\mathrm{1,2,3}$ средние значения КП и КО по мощности при наличии небольших случайных фазовых погрешностей формирования измерительных полей (11), (12) совпадают со своими значениями КП и КО, измеренными при отсутствии случайных погрешностей.

3. Оценка ошибок измерения КП и КО

Измеряемые коэффициенты прохождения и отражения $\overline{y}$ при влиянии случайных погрешностей формирования полей по существу являются отношением двух случайных величин $x_1$ и $x_2$

$\overline{y}=\frac{{\overline{x}}_1}{{\overline{x}}_2}.$

Полагая, что случайные величины $x_1$ и $x_2$ являются независимыми, погрешность оценки их отношения, в соответствии с теорией переноса ошибок [8], равна

$D\left[\overline{y}\right]=\frac{{\overline{x}}_1^2}{{\overline{x}}_2^2}\left[\frac{D\left[x_1\right]}{{\overline{x}}_2^2}+\frac{D\left[x_2\right]}{{\overline{x}}_2^2}\right].$ (18)

С учетом вышепроведенных вычислений, наиболее просто можно оценить дисперсии ошибок измерения КП и КО по амплитуде (1), (2).

Заметим, что первый сомножитель в (18) является вычисленным выше при вычислении соответствующих коэффициентов прохождения и отражения по мощности. Дисперсии $D\text{\hspace{0.17em}}\left[x_1\right]$ и $D\text{\hspace{0.17em}}\left[x_2\right]$ в (18) могут быть определены в результате вычислений, подобных вышепроведенным при выводе формул (14)–(17).

Так, выражения для оценки дисперсии измеренных прошедшего и отраженного полей

$D\left[\left|{\dot{E}}_{пр}\right|\right]\approx {\left|{\dot{E}}_{про}\right|}^{2}2\pi k^2{\sigma }_{пр\phi }^2\frac{{\Delta }_{пр}^2}{S_{изм}},$ (19)

$D\left[\left|{\dot{E}}_{отр}\right|\right]\approx {\left|{\dot{E}}_{отро}\right|}^{2}2\pi k^2{\sigma }_{отр\phi }^2\frac{{\Delta }_{отр}^2}{S_{изм}}.$ (20)

Таким образом, объединяя результаты вышепроведенных вычислений, получим:

$D\left[K_{пр}\right]\approx$ (21)

$\approx \frac{{\left|{\dot{E}}_{про}\right|}^2\left[1-k^2{\sigma }_{пр\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пр\phi }^2\frac{{\Delta }_{пр}^2}{S_{изм}}\right]}{{\left|{\dot{E}}_{падо}\right|}^2\left[1-k^2{\sigma }_{пад\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}\right]}\times$

$\times \left\{\frac{2\pi k^2{\sigma }_{пр\phi }^2\frac{{\Delta }_{пр}^2}{S_{изм}}}{\left[1-k^2{\sigma }_{пр\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пр\phi }^2\frac{{\Delta }_{пр}^2}{S_{изм}}\right]}\right.+$

$+\left.\frac{2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}}{\left[1-k^2{\sigma }_{пад\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}\right]}\right\},$

$D\left[K_{отр}\right]\approx$ (22)

$\approx \frac{{\left|{\dot{E}}_{отро}\right|}^2\left[1-k^2{\sigma }_{отр\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{отр\phi }^2\frac{{\Delta }_{отр}^2}{S_{изм}}\right]}{{\left|{\dot{E}}_{пад}\right|}^2\left[1-k^2{\sigma }_{пад\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}\right]}\times$

$\times \left\{\frac{2\pi k^2{\sigma }_{отр\phi }^2\frac{{\Delta }_{отр}^2}{S_{изм}}}{\left[1-k^2{\sigma }_{отр\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{отр\phi }^2\frac{{\Delta }_{отр}^2}{S_{изм}}\right]}\right.+$

$+\left.\frac{2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}}{\left[1-k^2{\sigma }_{пад\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}\right]}\right\}.$

Упрощение громоздких выражений (21), (22) возможно при равных статистических характеристиках случайных флюктуаций прошедшего, отраженного и падающего ЭМП:

${\sigma }_{пр}^2={\sigma }_{отр}^2={\sigma }_{пад}^2,{\Delta }_{пр}^2={\Delta }_{отр}^2={\Delta }_{пад}^2.$ (23)

После простых преобразований (21), (22) с учетом (23) получим:

$D\left[K_{пр}\right]\approx 4\pi K_{прМ}\frac{k^2{\sigma }_{\phi }^2\frac{{\Delta }_{\phi }^2}{S_{изм}}}{1-k^2{\sigma }_{\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{\phi }^2\frac{{\Delta }_{\phi }^2}{S_{изм}}},$ (24)

$D\left[K_{отр}\right]\approx 4\pi K_{отрМ}\frac{k^2{\sigma }_{\phi }^2\frac{{\Delta }_{\phi }^2}{S_{изм}}}{1-k^2{\sigma }_{\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{\phi }^2\frac{{\Delta }_{\phi }^2}{S_{изм}}}.$ (25)

Графики зависимости относительных ошибок измерения коэффициентов пропускания $K_{пр}$ и отражения $K_{отр}$ приведены на рисунке. Из приведенных графиков следует, что для обеспечения измерений КП и КО с точностью 15÷20 % и при малом интервале пространственной корреляции случайных флюктуаций измеренных полей $({\Delta }_{\phi }^2/S_{изм}\le \mathrm{0,1}),$ фазовая погрешность формирования полей не должна превышать $\left(\frac{\pi }{8}÷\frac{\pi }{10}\right)$ рад.

 

Рис. Зависимости относительных ошибок измерения коэффициентов пропускания ${\mathit{K}}_{\mathbf{п}\mathbf{р}}$ и отражения ${\mathit{K}}_{\mathbf{о}\mathbf{т}\mathbf{р}}$

Fig. Dependences of relative measurement errors of transmission ${\mathit{K}}_{\mathbf{пр}}$ and reflection ${\mathit{K}}_{\mathbf{отр}}$ coefficients

 

Заключение

1. При наличии случайных погрешностей формирования полей облучения и приема электромагнитных полей возникают ошибки измерения средних значений коэффициентов прохождения (КП) и отражения (КО) объектов. Однако если случайные фазовые флюктуации полей описываются гауссовским законом распределения, являются центрированными и имеют равные дисперсии $({\sigma }_{пр}^2={\sigma }_{отр}^2={\sigma }_{пад}^2)$ и интервалы пространственной корреляции $({\Delta }_{пр\phi }^{}={\Delta }_{отр\phi }^{}={\Delta }_{пад\phi }^{}),$ то измеряемые средние значения коэффициентов КП и КО при наличии случайных погрешностей совпадают со значениями КП и КО, измеренными при их отсутствии.
2. Вычисленные (при небольших погрешностях $k^2{\sigma }^2\ll 1$ и малом интервале пространственной корреляции ${{\Delta }_{\phi }^2}_{}<S_{изм})$ ошибки измеряемых средних значений КП и КО пропорциональны погрешностям формирования полей облучения и приема и относительной величине интервала пространственной корреляции (24), (25).

Для обеспечения измерений КП и КО с точностью 15÷20 % при малом интервале пространственной корреляции фазовая погрешность формирования полей не должна превышать $\left(\frac{\pi }{8}÷\frac{\pi }{10}\right)$ рад.

About the authors

Evgeny S. Emelyanov

Military Educational and Scientific Center of the Air Force «Air Force Academy»

Author for correspondence.
Email: cap_emela@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2836-1153

Candidate of Technical Sciences, deputy head of the Research Institute

Russian Federation, Voronezh

Oleg E. Kiryanov

Military Educational and Scientific Center of the Air Force «Air Force Academy»

Email: olegkir@inbox.ru

Doctor of Technical Sciences, senior researcher, head of the Directorate of the Research Institute of Electronic Equipment

Russian Federation, Voronezh

Victor A. Ponkin

Military Educational and Scientific Center of the Air Force «Air Force Academy»

Email: vaiu@mil.ru

Doctor of Technical Sciences, professor, chief researcher of the Research Institute of Radio Engineering

Russian Federation, Voronezh

References

Supplementary files