Влияние случайных погрешностей формирования полей на точность измерения коэффициентов прохождения и отражения материалов и покрытий

Полный текст

Введение

Одной из характерных особенностей современного этапа развития военной техники является широкое применение специальных конструкционных материалов и покрытий, обладающих заданными свойствами взаимодействия с электромагнитными полями (ЭМП), которые подлежат измерению в процессе производства и эксплуатации.

При этом наиболее актуальными являются вопросы создания средств измерения и экспериментального исследования коэффициентов прохождения (КП) и отражения (КО) материалов и покрытий, рассмотрению которых посвящена обширная литература [1–6].

Вопросы точности измерения КП и КО применительно к наиболее перспективному методу радиоволнового контроля в свободном пространстве наиболее полно рассмотрены в [6].

Для оценки информационных возможностей средств измерения КП и КО в [6] разработана система математических моделей, позволяющих оценивать влияние на точность измерения технических характеристик составных элементов и измерительных устройств.

Вместе с тем общие закономерности влияния случайных погрешностей формирования плоских полей на точность измерения КП и КО изучены недостаточно.

Целью настоящей статьи является установление количественных закономерностей влияния случайных фазовых погрешностей формирования плоских полей на ошибки измерения КП и КО.

1. Постановка задачи

Расчет КП и КО осуществляется на основе результатов прямых измерений амплитуды и фазы, рассеянных ЭМП по формулам [6]:

$\left|K_{пр}\right|=\frac{A_{пр}}{A_{пад}},{\phi }_{K_{пр}}={\phi }_{пр}-{\phi }_{пад},$ (1)

$\left|K_{отр}\right|=\frac{A_{отр}}{A_{пад}},{\phi }_{K_{отр}}={\phi }_{отр}-{\phi }_{пад},$ (2)

где $\left|K_{пр}\right|,$ $\left|K_{отр}\right|$ и ${\phi }_{K_{пр}},$ ${\phi }_{K_{отр}}$ – модули и фазы амплитудных коэффициентов прохождения и отражения материала; $A_{пр}, A_{отр}, A_{пад}$ и ${\phi }_{пр}, {\phi }_{отр}, {\phi }_{пад}$ – амплитуды и фазы прошедшего отраженного и падающего ЭМП.

В действительности, в соответствии с принципами построения измерительных устройств, формирование и регистрация полей ЭМП предполагает использование в системах радиоволнового контроля (РВК) протяженных (реальных или синтезированных) антенн, размеры которых значительно превосходят длину волны. Поэтому наиболее реалистические модели для определения КП и КО можно представить в виде интегралов, описывающих интегрирование соответствующих ЭМП по области измерения $S_{изм},$ (т. е. по области облучения или по области приема ЭМП. Ввиду однообразия формул, описывающих прошедшее, отраженное и падающее поля, ограничимся записью формул для одного из них. Например, комплексная амплитуда падающего поля может быть записана в виде

${\dot{E}}_{па{д}_0}=\underset{S_{изм}}{\int }{A}_{пад}\left(\rho \right)e{}^{j\psi \left(\rho \right)}d\rho ,\rho =\left\{x,y\right\}.$ (3)

Подобным образом могут быть представлены прошедшее и отраженное ЭМП.

Далее, если ограничиться рассмотрением влияния случайных фазовых погрешностей, выражение (3) можно записать как

$\dot{E}=\underset{S_{изм}}{\int }A\left(\rho \right)e{}^{j\psi \left(\rho \right)}{e}^{jk\phi \left(\rho \right)}d\rho ,$ (4)

где $A\left(\rho \right)$ и $\phi \left(\rho \right)$ – амплитудное и фазовое распределение поля в отсутствие ошибок формирования ЭМП; $\phi \left(\rho \right)$ – случайная функция распределения фазы; $k=2\pi /\lambda$ – волновое число; $\lambda$ – длина волны.

При наличии случайных погрешностей формирования КП и КО являются случайными функциями и для их анализа необходимо применение их статистических характеристик. Поэтому далее рассмотрим их подробно.

2. Вычисление среднего значения

Оценим среднее значение КП по мощности

$〈K_{прм}〉=\frac{〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉}{〈{\left|{\dot{E}}_{пад}\right|}^2〉},$ (5)

где $〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉$ и $〈{\left|{\dot{E}}_{пад}\right|}^2〉$ можно представить в однообразном виде. Например,

$〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉=\underset{S_{изм}}{\iint }{A}_{пр}\left({\rho }_1\right)A_{пр}\left({\rho }_2\right)e^{j\left[\phi \left({\rho }_1\right)-\psi \left({\rho }_2\right)\right]}\times$ (6)

$\times 〈e^{jk\left[{\phi }_{пр}\left({\rho }_1\right)-{\phi }_{пр}\left({\rho }_2\right)\right]}〉d{\rho }_{1}d{\rho }_2.$

Выражение в $〈〉$ скобках является характеристической функцией [7]:

$〈e^{jk\left[{\phi }_{пр}\left({\rho }_1\right)-{\phi }_{пр}\left({\rho }_2\right)\right]}〉=e^{-k^2{\sigma }_{пр}^2\left[1-r_{пр}\left(\Delta \rho \right)\right]},$ (7)

где $r_{пр}\left(\rho \right)$ – коэффициент корреляции случайных флюктуаций фазы принимаемого прошедшего поля, ${\sigma }_{пр}^2$ – дисперсия флюктуаций, $\Delta \rho ={\rho }_1-{\rho }_2.$

Количественные оценки средних значений КП и КО можно получить лишь в крайних случаях.

Так, в случае коррелированных флюктуаций, когда интервал корреляции значительно превышает размеры области измерений

${{\Delta }_{пр}^2}_{}>>S_{изм}$ (8)

$r\left(\Delta \rho \right)$ в (7) можно положить равным единице:

$r\left(\Delta \rho \right)=1.$ (9)

В этом случае из (5), (7), (9) следует, что при наличии коррелированных случайных фазовых погрешностей формирования прошедшего, отраженного и падающего ЭМП средние значения КП и КО по мощности совпадают со своими значениями КП и КО, измеренными при отсутствии случайных погрешностей:

$〈K_{прм}〉=K_{прм},〈K_{ком}〉=K_{ком}.$ (10)

В случае когда интервал корреляции мал:

${{\Delta }_{пр}^2}_{}<<S_{изм},$ (11)

оценки средних значений КП и КО можно получить при небольших фазовых погрешностях:

$k^2{{\sigma }_{пр}^2}_{}<<1.$ (12)

Это позволяет характеристическую функцию (7) разложить в ряд, ограничиться двумя первыми членами ряда.

При принятых ограничениях интеграл (6) можно приближенно представить в виде

$〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉\approx (1-k^2{\sigma }_{пр}^2){\left|{\dot{E}}_{про}\right|}^2+$ (13)

$+k^2{\sigma }_{пр}^2\underset{S_{изм}}{\iint }{A}_{пр}\left({\rho }_1\right)A_{пр}\left({\rho }_2\right)\times$

$\times e^{j\left[\psi \left({\rho }_1\right)-\psi \left({\rho }_2\right)\right]}{r}_{пр}\left(\Delta \rho \right)d{\rho }_{1}d{\rho }_2.$

Далее, если предположить, что в интеграле (13) $r\left(\Delta \rho \right)$ является «быстрой» функцией с максимумом в точке $\Delta \rho =\mathrm{0,}$ то (13) с учетом (7) можно приближенно преобразовать как

$〈{\left|{\dot{E}}_{пр}\right|}^2〉\approx (1-k^2{\sigma }_{пр}^2){\left|{\dot{E}}_{про}\right|}^2+$ (14)

$+k^2{\sigma }_{пр}^2\underset{S_{изм}}{\int }{A}_{пр}^2\left(\rho \right)d\rho \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{r}_{пр}\left(\rho \right)d\rho .$

Например, при гауссовом коэффициенте корреляции

$r_{пр}\left(\Delta \rho \right)=e^{-\frac{{\left(\Delta \rho \right)}^2}{2{\Delta }_{пр}^2}}$ (15)

интеграл

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-\frac{{\left|\rho \right|}^2}{2{\Delta }_{пр}^2}}d\rho =2\pi {\Delta }_{пр}^2.$ (16)

Таким образом, при принятых допущениях (11), (12) квадрат модуля полей облучения и приема измеряемого объекта приближенно можно представить в виде

$〈{\left|{\dot{E}}_i\right|}^2〉\approx {\left|{\dot{E}}_{iо}\right|}^2\left\{1-k^2{\sigma }_{i\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{i\phi }^2\frac{{\Delta }_i^2}{S_{изм}}\right\},$ (17)

$i=\mathrm{1,2,3,}$

где индексы $i=\mathrm{1,2,3}$ относятся к характеристикам прошедшего, отраженного и падающего ЭМП.

Из полученных соотношений следует, что при симметричных характеристиках измерительной установки ${\sigma }_i^2={\sigma }_j^2$ и ${\Delta }_i^2={\Delta }_j^2,$ $i,j=\mathrm{1,2,3}$ средние значения КП и КО по мощности при наличии небольших случайных фазовых погрешностей формирования измерительных полей (11), (12) совпадают со своими значениями КП и КО, измеренными при отсутствии случайных погрешностей.

3. Оценка ошибок измерения КП и КО

Измеряемые коэффициенты прохождения и отражения $\overline{y}$ при влиянии случайных погрешностей формирования полей по существу являются отношением двух случайных величин $x_1$ и $x_2$

$\overline{y}=\frac{{\overline{x}}_1}{{\overline{x}}_2}.$

Полагая, что случайные величины $x_1$ и $x_2$ являются независимыми, погрешность оценки их отношения, в соответствии с теорией переноса ошибок [8], равна

$D\left[\overline{y}\right]=\frac{{\overline{x}}_1^2}{{\overline{x}}_2^2}\left[\frac{D\left[x_1\right]}{{\overline{x}}_2^2}+\frac{D\left[x_2\right]}{{\overline{x}}_2^2}\right].$ (18)

С учетом вышепроведенных вычислений, наиболее просто можно оценить дисперсии ошибок измерения КП и КО по амплитуде (1), (2).

Заметим, что первый сомножитель в (18) является вычисленным выше при вычислении соответствующих коэффициентов прохождения и отражения по мощности. Дисперсии $D\text{\hspace{0.17em}}\left[x_1\right]$ и $D\text{\hspace{0.17em}}\left[x_2\right]$ в (18) могут быть определены в результате вычислений, подобных вышепроведенным при выводе формул (14)–(17).

Так, выражения для оценки дисперсии измеренных прошедшего и отраженного полей

$D\left[\left|{\dot{E}}_{пр}\right|\right]\approx {\left|{\dot{E}}_{про}\right|}^{2}2\pi k^2{\sigma }_{пр\phi }^2\frac{{\Delta }_{пр}^2}{S_{изм}},$ (19)

$D\left[\left|{\dot{E}}_{отр}\right|\right]\approx {\left|{\dot{E}}_{отро}\right|}^{2}2\pi k^2{\sigma }_{отр\phi }^2\frac{{\Delta }_{отр}^2}{S_{изм}}.$ (20)

Таким образом, объединяя результаты вышепроведенных вычислений, получим:

$D\left[K_{пр}\right]\approx$ (21)

$\approx \frac{{\left|{\dot{E}}_{про}\right|}^2\left[1-k^2{\sigma }_{пр\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пр\phi }^2\frac{{\Delta }_{пр}^2}{S_{изм}}\right]}{{\left|{\dot{E}}_{падо}\right|}^2\left[1-k^2{\sigma }_{пад\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}\right]}\times$

$\times \left\{\frac{2\pi k^2{\sigma }_{пр\phi }^2\frac{{\Delta }_{пр}^2}{S_{изм}}}{\left[1-k^2{\sigma }_{пр\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пр\phi }^2\frac{{\Delta }_{пр}^2}{S_{изм}}\right]}\right.+$

$+\left.\frac{2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}}{\left[1-k^2{\sigma }_{пад\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}\right]}\right\},$

$D\left[K_{отр}\right]\approx$ (22)

$\approx \frac{{\left|{\dot{E}}_{отро}\right|}^2\left[1-k^2{\sigma }_{отр\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{отр\phi }^2\frac{{\Delta }_{отр}^2}{S_{изм}}\right]}{{\left|{\dot{E}}_{пад}\right|}^2\left[1-k^2{\sigma }_{пад\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}\right]}\times$

$\times \left\{\frac{2\pi k^2{\sigma }_{отр\phi }^2\frac{{\Delta }_{отр}^2}{S_{изм}}}{\left[1-k^2{\sigma }_{отр\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{отр\phi }^2\frac{{\Delta }_{отр}^2}{S_{изм}}\right]}\right.+$

$+\left.\frac{2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}}{\left[1-k^2{\sigma }_{пад\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{пад\phi }^2\frac{{\Delta }_{пад}^2}{S_{изм}}\right]}\right\}.$

Упрощение громоздких выражений (21), (22) возможно при равных статистических характеристиках случайных флюктуаций прошедшего, отраженного и падающего ЭМП:

${\sigma }_{пр}^2={\sigma }_{отр}^2={\sigma }_{пад}^2,{\Delta }_{пр}^2={\Delta }_{отр}^2={\Delta }_{пад}^2.$ (23)

После простых преобразований (21), (22) с учетом (23) получим:

$D\left[K_{пр}\right]\approx 4\pi K_{прМ}\frac{k^2{\sigma }_{\phi }^2\frac{{\Delta }_{\phi }^2}{S_{изм}}}{1-k^2{\sigma }_{\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{\phi }^2\frac{{\Delta }_{\phi }^2}{S_{изм}}},$ (24)

$D\left[K_{отр}\right]\approx 4\pi K_{отрМ}\frac{k^2{\sigma }_{\phi }^2\frac{{\Delta }_{\phi }^2}{S_{изм}}}{1-k^2{\sigma }_{\phi }^2+2\pi k^2{\sigma }_{\phi }^2\frac{{\Delta }_{\phi }^2}{S_{изм}}}.$ (25)

Графики зависимости относительных ошибок измерения коэффициентов пропускания $K_{пр}$ и отражения $K_{отр}$ приведены на рисунке. Из приведенных графиков следует, что для обеспечения измерений КП и КО с точностью 15÷20 % и при малом интервале пространственной корреляции случайных флюктуаций измеренных полей $({\Delta }_{\phi }^2/S_{изм}\le \mathrm{0,1}),$ фазовая погрешность формирования полей не должна превышать $\left(\frac{\pi }{8}÷\frac{\pi }{10}\right)$ рад.

 

Рис. Зависимости относительных ошибок измерения коэффициентов пропускания ${\mathit{K}}_{\mathbf{п}\mathbf{р}}$ и отражения ${\mathit{K}}_{\mathbf{о}\mathbf{т}\mathbf{р}}$

Fig. Dependences of relative measurement errors of transmission ${\mathit{K}}_{\mathbf{пр}}$ and reflection ${\mathit{K}}_{\mathbf{отр}}$ coefficients

 

Заключение

1. При наличии случайных погрешностей формирования полей облучения и приема электромагнитных полей возникают ошибки измерения средних значений коэффициентов прохождения (КП) и отражения (КО) объектов. Однако если случайные фазовые флюктуации полей описываются гауссовским законом распределения, являются центрированными и имеют равные дисперсии $({\sigma }_{пр}^2={\sigma }_{отр}^2={\sigma }_{пад}^2)$ и интервалы пространственной корреляции $({\Delta }_{пр\phi }^{}={\Delta }_{отр\phi }^{}={\Delta }_{пад\phi }^{}),$ то измеряемые средние значения коэффициентов КП и КО при наличии случайных погрешностей совпадают со значениями КП и КО, измеренными при их отсутствии.
2. Вычисленные (при небольших погрешностях $k^2{\sigma }^2\ll 1$ и малом интервале пространственной корреляции ${{\Delta }_{\phi }^2}_{}<S_{изм})$ ошибки измеряемых средних значений КП и КО пропорциональны погрешностям формирования полей облучения и приема и относительной величине интервала пространственной корреляции (24), (25).

Для обеспечения измерений КП и КО с точностью 15÷20 % при малом интервале пространственной корреляции фазовая погрешность формирования полей не должна превышать $\left(\frac{\pi }{8}÷\frac{\pi }{10}\right)$ рад.

Об авторах

Евгений Сергеевич Емельянов

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия»

Автор, ответственный за переписку.
Email: cap_emela@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2836-1153

кандидат технических наук, заместитель начальника отдела НИИИ (РЭБ)

Россия, Воронеж

Олег Евгеньевич Кирьянов

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия»

Email: olegkir@inbox.ru

доктор технических наук, старший научный сотрудник, начальник управления НИИИ (РЭБ)

Россия, Воронеж

Виктор Архипович Понькин

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия»

Email: vaiu@mil.ru

доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник НИИИ (РЭБ)

Россия, Воронеж

Список литературы

Дополнительные файлы