Algorithmic solutions to the problem of assessing the information impact on the electorate during election campaigns

Full Text

Введение

На сегодняшний день избирательные процедуры – неотъемлемая часть демократических государств. Несмотря на существенные различия исторических путей становления и развития электоральных институтов в различных странах, в настоящий момент содержание избирательных кампаний неизменно базируется на понятиях профессионализма и эффективного менеджмента. Основу для реализации указанных принципов составляет качественное информационно-аналитическое сопровождение выборных кампаний, необходимое как конкурирующим кандидатам, так и организаторам выборов. При этом обеспечение подобного сопровождения с учетом текущего уровня развития систем коммуникации, вычислительной техники и методов математического моделирования [1] невозможно без применения эффективных алгоритмических решений, позволяющих формировать точную оценку информационного воздействия. Основные особенности, которые необходимо принять во внимание при разработке алгоритмических решений в указанной предметной области, связаны с учетом: 1) воздействия средств масс-медиа на избирателей и межличностного взаимодействия; 2) положительного и отрицательного влияния на общественное мнение средствами масс-медиа; 3) двухшагового усвоения информации [5]; 4) наличия многообразия средств масс-медиа, социальных групп и списка кандидатов (партий); 5) cтохастического характера воздействия средств масс-медиа.

Принимая во внимание основные результаты работ [2–6] по математическому моделированию информационного влияния, управления и противоборства в социуме и выделенные особенности, цель настоящей статьи состоит в разработке алгоритмических решений в задаче оценки информационного воздействия на электорат при проведении выборных кампаний.

1. Математическая модель оценки информационного воздействия на электорат при проведении выборных кампаний

В соответствии с [6] электорат представим группой взаимодействующих индивидов численностью $N_0,$ составленной из $M$ подгрупп. Обозначим $N_m$ $\left(m=\overline{\mathrm{1,}M}\right)$ число индивидов в m-й подгруппе при $N_m<N_0,$ $N_m\ge 1$ и $\sum _{m=1}^M{N}_m=N_0.$ Предпочтения у индивидов формируются в отношении $K$ кандидатов с учетом распространяемой информации через $L$ внешних источников (средства масс-медиа) и за счет межличностной коммуникации. Внешний l-й $\left(l=\overline{\mathrm{1,}L}\right)$ источник в момент времени $t\in \left[\mathrm{0,}{T}_0\right]$ пропагандирует k-го кандидата с интенсивностями ${\alpha }_{kl}\left(t\right)$ и ${\gamma }_{kl}\left(t\right),$ формируя положительное и отрицательное отношение соответственно. Разнородность влияния на m-ю подгруппу индивидов l-го внешнего источника характеризуется коэффициентом восприятия ${\chi }_{ml}\in \left[\mathrm{0,1}\right].$

Следуя [6], общую группу индивидов разделим на три класса: 1) неохваченные; 2) предадепты; 3) адепты. У неохваченных индивидов отсутствуют предпочтения в отношении какого-либо кандидата.

Предадептами $mk$ назовем индивидов m-й подгруппы, отдающих предпочтение k-му кандидату, но не распространяющих о нем информации при межличностной коммуникации. Число предадептов $mk$ в момент времени $t$ обозначим $y_{mk}\left(t\right)\in \left[\mathrm{0,}{N}_m\right].$

Адептами  назовем индивидов m-й подгруппы, отдающих предпочтение k-му кандидату и распространяющих положительную информацию в его отношении среди индивидов $m^{\text{'}}$-й $\left(m^{\text{'}}=\overline{\mathrm{1,}M}\right)$ подгруппы путем межличностной коммуникации с интенсивностью ${\beta }_{m^{\text{'}}m}\ge 0.$ Число адептов $mk$ в момент времени $t$ обозначим $x_{mk}\left(t\right)\in \left[\mathrm{0,}{N}_m\right].$ Уточним, что адепт $mk$ в отношении $k^{\text{'}}$-го кандидата $\left(k,k^{\text{'}}\in \left\{\overline{\mathrm{1,}K}\right\}\right)$ не распространяет отрицательной информации.

Переход неохваченных индивидов в адепты осуществляется за два шага [6]. Под воздействием положительной информации из внешних источников и за счет межличностной коммуникации первоначально индивид m-й подгруппы становится предадептом $mk,$ а затем – адептом $mk.$ Под воздействием негативной информации из внешних источников в отношении k-го кандидата происходит обратный переход. Уточним, что адептом кандидата может стать только предадепт соответствующего кандидата, а неохваченным индивидом – предадепт.

Для введенных представлений задача оценки сводится к выбору $k^{\text{'}}$-го кандидата, способного по итогам выборной кампании набрать наибольшее число голосов $k^{\text{'}}=\underset{k\in \left[\mathrm{1,}K\right]}{\mathrm{argmax}}{\widehat{N}}_k,$

${\widehat{N}}_k=\sum _{m=1}^M\left[{\widehat{x}}_{mk}\left(T_0\right)+{\widehat{y}}_{mk}\left(T_0\right)\right].$

где

Ее решение требует максимально правдоподобного определения числа адептов ${\widehat{x}}_{mk}\left(t\right)$ и предадептов ${\widehat{y}}_{mk}\left(t\right).$

Для заданного содержательного представления математическую модель сформируем, принимая во внимание основные предположения о скорости изменения $x_{mk}\left(t\right)$ $y_{mk}\left(t\right)$ [6] и допущения.

1. Значения ${\chi }_{ml},$ ${\beta }_{m^{\text{'}}m}$ не зависят от $t$ и определяются экспертным оцениванием.
2. Переменные $x_{mk}\left(t\right),$ $y_{mk}\left(t\right)$ составляют непрерывный векторный марковский процесс.
3. Интенсивности ${\alpha }_{kl}^0\left(t\right),$ ${\gamma }_{kl}\left(t\right)$ складываются из соответствующих истинных значений $0\le {\alpha }_{kl}^0\left(t\right),$ ${\gamma }_{kl}\left(t\right)<\infty$ и ошибок наблюдения   являющихся белым шумом с соответствующими характеристиками: $\mathbb{E}\left[{\tilde{\alpha }}_{kl}\right]=$$\mathbb{E}\left[{\tilde{\gamma }}_{kl}\right]=0;$ $\mathrm{cov}\left[{\tilde{\alpha }}_{kl}\right]=$$\mathrm{cov}\left[{\tilde{\gamma }}_{kl}\right]=\delta \left(t-\tau \right);$ $\mathrm{cov}\left[d{\tilde{\alpha }}_{kl}\right]=$${\left[{\epsilon }_{kl}^{\alpha }\right]}^2;$ $\mathrm{cov}\left[d{\tilde{\gamma }}_{kl}\right]=$${\left[{\epsilon }_{kl}^{\gamma }\right]}^2.$

Для заданных представлений решение задачи оценки ${\widehat{x}}_{mk}\left(t\right)$ и ${\widehat{y}}_{mk}\left(t\right),$ выполним усреднением:

$\widehat{\overrightarrow{Z}}\left(t\right)=\underset{\Omega }{\int }\overrightarrow{Z}p\left(\overrightarrow{Z},t\right)d\overrightarrow{Z},$ (1)

где

$\overrightarrow{Z}={\left(Z_i\right)}_d=\left({\overrightarrow{z}}^{\left(1\right)}\mathrm{,...,}{\overrightarrow{z}}^{\left(M\right)}\right);$

${\overrightarrow{z}}^{\left(m\right)}={\left(z_k^{\left(m\right)}\right)}_{2K}=\left(x_{m1},y_{m1}\mathrm{,...,}{x}_{mK},y_{mK}\right);$

$\Omega ={\epsilon }^{\left(1\right)}\times \mathrm{...}\times {\epsilon }^{\left(M\right)}\subset {ℝ}^d$ – d-мерный выпуклый многогранник $(d=2MK);$ ${\epsilon }^{\left(m\right)}\subset {ℝ}^{2K}$ – симплекс с $2K+1$ вершинами $P_1^{\left(m\right)}=\left(\mathrm{0,0,...,0}\right),$ $P_2^{\left(m\right)}=\left(N_m\mathrm{,0,...,0}\right),$ …, $P_{2K+1}^{\left(m\right)}=$$\left(\mathrm{0,0,...,}{N}_m\right);$ $p\left(\overrightarrow{Z},t\right)$ – функция плотности распределения вероятности, удовлетворяющая уравнению Фоккера – Планка – Колмогорова (ФПК):

$dp\left(\overrightarrow{Z},t\right)/dt=\left[p\left(\overrightarrow{Z},t\right)\right],$ (2)

где

$\left[p\right]=-\sum _{l=1}^d\frac{\partial }{\partial Z_l}\left(A_{l}p\right)+\frac{1}{2}\sum _{l=1}^d\sum _{l^{\text{'}}=1}^d\frac{{\partial }^2\left(D_{l{l}^{\text{'}}}p\right)}{\partial Z_l\partial Z_{l^{\text{'}}}}$

– диффузионный оператор; $\mathit{D}={\left(D_{l{l}^{\text{'}}}\right)}_{d\times d}$ и $\overrightarrow{A}={\left(A_l\right)}_d$ – тензор диффузии и вектор сноса соответственно, компоненты которых формируются из следующих представлений:

1) для вектора сноса:

$\overrightarrow{A}={\left(A_l\right)}_d=\left({\overrightarrow{a}}^{\left(1\right)}\mathrm{,...,}{\overrightarrow{a}}^{\left(M\right)}\right);$

${\overrightarrow{a}}^{\left(m\right)}={\left(a_i^{\left(m\right)}\right)}_{2K}=\left(f_{m1}^{\left(1\right)},f_{m1}^{\left(2\right)}\mathrm{,...,}{f}_{mK}^{\left(1\right)},f_{mK}^{\left(2\right)}\right);$

$\begin{array}{l}{f}_{mk}^{\left(2\right)}\left(,,t\right)=\left(x_{mk}-y_{mk}\right){\Gamma }_{mk}^0+\\ +\left[{{\rm A}}_{mk}^0+\sum _{m^{\text{'}}=1}^M{x}_{m^{\text{'}}k}{\beta }_{m^{\text{'}}m}\right]\times \\ \times \left[N_m-\sum _{k^{\text{'}}=1}^K\left(x_{m{k}^{\text{'}}}+y_{m{k}^{\text{'}}}\right)-y_{mk}\right];\end{array}$

$f_{mk}^{\left(1\right)}\left(,,t\right)=y_{mk}\left[{{\rm A}}_{mk}^0+\sum _{m^{\text{'}}=1}^M{x}_{m^{\text{'}}k}{\beta }_{m^{\text{'}}m}\right]-x_{mk}{\Gamma }_{mk}^0;$

${\Gamma }_{mk}^0=\sum _{l=1}^L{\chi }_{ml}{\gamma }_{kl}^0;$   ${{\rm A}}_{mk}^0=\sum _{l=1}^L{\chi }_{ml}{\alpha }_{kl}^0;$

$={\left(x_{mk}\right)}_{M\times K};$   $\mathit{Y}={\left(y_{mk}\right)}_{M\times K};$

2) для тензора диффузии:

$\mathit{D}=\Sigma {\Sigma }^{\mathrm{T}};$  $\Sigma ={\left({\Sigma }_{l{l}^{\text{'}}}\right)}_{d\times d}=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }^{\left(11\right)}& \mathrm{...}& {\sigma }^{\left(1M\right)}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ {\sigma }^{\left(M1\right)}& \mathrm{...}& {\sigma }^{\left(MM\right)}\end{array}\right);$

${\sigma }^{\left(m{m}^{\text{'}}\right)}={\left({\sigma }_{i{i}^{\text{'}}}^{\left(m{m}^{\text{'}}\right)}\right)}_{2K}$ при $m^{\text{'}}=\overline{\mathrm{1,}M}$ и $k=⌈i/2⌉:$

${\sigma }_{i{i}^{\text{'}}}^{\left(m{m}^{\text{'}}\right)}=\left\{\begin{array}{l}-x_{mk}\sqrt{\sum _{l=1}^L{\left({\chi }_{ml}{\epsilon }_{kl}^{\gamma }\right)}^2},\\ \text{if }m=m^{\text{'}}\wedge i\mathrm{mod}2\ne 0\wedge i=i^{\text{'}};\\ y_{mk}\sqrt{\sum _{l=1}^L{\left({\chi }_{ml}{\epsilon }_{kl}^{\alpha }\right)}^2},\\ \text{if }m=m^{\text{'}}\wedge i\mathrm{mod}2=0\wedge i=i^{\text{'}};\\ \left(x_{mk}-y_{mk}\right)\sqrt{\sum _{l=1}^L{\left({\chi }_{ml}{\epsilon }_{kl}^{\gamma }\right)}^2},\\ \text{if }m=m^{\text{'}}\wedge i\mathrm{mod}2\ne 0\wedge i-1=i^{\text{'}};\\ \left[N_m-\sum _{k^{\text{'}}=1}^K\left(x_{m{k}^{\text{'}}}+y_{m{k}^{\text{'}}}\right)-y_{mk}\right]\times \\ \times \sqrt{\sum _{l=1}^L{\left({\chi }_{ml}{\epsilon }_{kl}^{\alpha }\right)}^2},\\ \text{if }m=m^{\text{'}}\wedge i\mathrm{mod}2=0\wedge i-1=i^{\text{'}};\\ \mathrm{0,}\text{ otherwise.}\end{array}\right.$

Решение дифференциального уравнения (2) при заданном начальном условии $p\left(\overrightarrow{Z}\mathrm{,0}\right)$ и требований $p\left(\overrightarrow{Z},t\right)\ge \mathrm{0,}$ $\underset{\Omega }{\int }p\left(\overrightarrow{Z},t\right)d\overrightarrow{Z}=1$ для $\left(\overrightarrow{Z},t\right)\in$$\Omega \times \left[\mathrm{0,}{T}_0\right]$ предлагается выполнять численно в соответствии со следующей схемой.

2. Численная оценка информационного воздействия на электорат при проведении выборных кампаний

Зададим разбиение $\Omega =\underset{u=1}{\overset{U}{\cup }}{\omega }^{\left(u\right)}$ набором из $U$ симплексов

$\begin{array}{l}{\omega }^{\left(u\right)}=\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.\sum _{l=1}^{d+1}{\zeta }_l^{\left(u\right)}{P}_l^{\left(u\right)}:\left(\sum _{l=1}^{d+1}{\zeta }_l^{\left(u\right)}=1\right)\wedge \\ \wedge \left(\forall l=\overline{\mathrm{1,}d+1},{\zeta }_l^{\left(u\right)}\ge 0\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}\subset {ℝ}^d\end{array}$

$\left(u=\overline{\mathrm{1,}U}\right)$ с $d+1$ вершинами $P_1^{\left(u\right)},$ $P_2^{\left(u\right)},$ …, $P_{d+1}^{\left(u\right)}$ и барицентрическими координатами ${\zeta }_1^{\left(u\right)}\mathrm{,...,}{\zeta }_{d+1}^{\left(u\right)}$ при ${\omega }^{\left(u\right)}\cap {\omega }^{\left(u^{\text{'}}\right)}=$$\varnothing$  

Обозначим ${〈\cdot ,\cdot 〉}_{\Omega }$ скалярное произведение

${〈\eta ,\varphi 〉}_{\Omega }=\underset{\Omega }{\int }\eta \left(\overrightarrow{Z}\right)\varphi \left(\overrightarrow{Z}\right)d\overrightarrow{Z},$ (3)

для некоторых функций $\eta$ и $\varphi .$

Зададим аппроксимацию $p\left(\overrightarrow{Z},t\right)\text{:}$

$\tilde{p}\left(\overrightarrow{Z},t\right)=\sum _{u=1}^U\sum _{j\in {\mathbb{M}}_r^d}{c}_j^{\left(u\right)}\left(t\right){\psi }_j^{\left(u\right)}\left(\overrightarrow{Z}\right),$ (4)

подстановка которой в (2) в проекционном представлении метода Галеркина сведет исходную к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

$d\overrightarrow{C}\left(t\right)/dt={\mathit{S}}^{-1}\mathit{Q}\left(t\right)\overrightarrow{C}\left(t\right);$   $\overrightarrow{C}\left(0\right)=S^{-1}\overrightarrow{W},$  (5)

где

$\overrightarrow{W}={\left({〈p_0,{\psi }_j^{\left(u\right)}〉}_{\Omega }\right)}_{U\left|{\mathbb{M}}_r^d\right|};$

$p_0\equiv p\left(\overrightarrow{Z}\mathrm{,0}\right);$   $\overrightarrow{C}={\left(c_j^{\left(u\right)}\right)}_{U\left|{\mathbb{M}}_r^d\right|}$

– вектор искомых коэффициентов разложения, зависящих от t;

$\mathit{Q}={\left({〈{\psi }_j^{\left(u\right)},\mathit{L}\left[{\psi }_{j^{\text{'}}}^{\left(u^{\text{'}}\right)}\right]〉}_{\Omega }\right)}_{U\left|{\mathbb{M}}_r^d\right|\times U\left|{\mathbb{M}}_r^d\right|};$

$S={\left({〈{\psi }_j^{\left(u\right)},{\psi }_{j^{\text{'}}}^{\left(u^{\text{'}}\right)}〉}_{\Omega }\right)}_{U\left|{\mathbb{M}}_r^d\right|\times U\left|{\mathbb{M}}_r^d\right|};$

${\mathbb{M}}_r^d$ – множество мультииндексов $j,j^{\text{'}}\in {\mathbb{M}}_r^d$ [8]:

$\begin{array}{l}{\mathbb{M}}_r^d=\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.j=\left(j_1\mathrm{,...,}{j}_l\mathrm{,...,}{j}_{d+1}\right):j_l\in {\mathbb{Z}}_{+},\\ \sum _{l\in \left[1;d+1\right]}{j}_l=r\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\},\end{array}$ (6)

где $r\in \mathbb{N}$ – порядок аппроксимации на ${\omega }^{\left(u\right)};$ ${\mathbb{Z}}_{+}=\mathbb{N}\cup \left\{0\right\};$ ${\psi }_j^{\left(u\right)}$ – базисная функция частичной подобласти ${\omega }^{\left(u\right)}\in \Omega ,$ которую зададим произведением:

${\psi }_j^{\left(u\right)}=\sqrt{2/\pi }(r+1)\prod _{l=1}^{d+1}{\phi }_{j_l}$ (7)

Гауссовых базисных функций [9]:

${\phi }_{j_l}=e^{-{\left[2j_l+1-2{\zeta }_l\left(r+1\right)\right]}^2/\left[2\left(d+1\right)\right]}.$ (8)

Решение (5) определяется в виде

$\overrightarrow{C}\left(t\right)=\exp \left[{\mathit{S}}^{-1}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathit{Q}\left(\tau \right)d\tau \right]{\mathit{S}}^{-1}\overrightarrow{W},$ (9)

где $exp\left[\right]$ – матричная экспонента.

Сходимость решения (9) задачи (2) в проекционном представлении (5) с учетом известной, например из [10, с. 80], теоремы Л.В. Канторовича составляет последовательное исследование задач приближения непрерывной функции на $\left[\mathrm{0,1}\right]$ и ${\omega }^{\left(u\right)}$ Гауссовыми базисными функциями вида (7), (8).

Лемма 1. Пусть $\eta \left(\zeta \right)$ – непрерывно дифференцируемая на $\left[\mathrm{0,1}\right]$ функция, а $\tilde{\eta }\left(\zeta \right)=$$\sum _{j=0}^r{c}_j{\phi }_j\left(\zeta \right)$ – ее наилучшее среднеквадратичное приближение с коэффициентами разложения $c_j$. Тогда справедлива оценка

${||\eta -{\tilde{\eta }}_r||}_{\left[\mathrm{0,1}\right]}\le M_1{||\eta ||}_{\left[\mathrm{0,1}\right]}/\sqrt{r+1},$ (10)

где $M_1$ – не зависящая от $r$ положительная постоянная.

В формулировке леммы 1 для $\zeta \in \left[\mathrm{0,1}\right],$ $r\in \mathbb{N}$ приняты следующие обозначения:

${\phi }_j\left(\zeta \right)=\sqrt{2/\pi }\left(r+1\right)e^{-{\left[2j+1-2\zeta \left(r+1\right)\right]}^2/2}$

$\left(j=\overline{\mathrm{0,}r}\right);$

${||\eta ||}_{\left[\mathrm{0,1}\right]}=\sqrt{{〈\eta ,\eta 〉}_{\left[\mathrm{0,1}\right]}}$ при ${〈\eta ,\varphi 〉}_{\left[\mathrm{0,1}\right]}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\eta \left(\zeta \right)\varphi \left(\zeta \right)d\zeta .$

Лемма 2. Пусть $\eta \left(\overrightarrow{\zeta }\right)$ – непрерывно дифференцируемая на  функция, а  – $\tilde{\eta }\left(\overrightarrow{\zeta }\right)=\sum _{j\in {\mathbb{M}}_r^K}{c}_j{\psi }_j\left(\overrightarrow{\zeta }\right)$ ее наилучшее среднеквадратичное приближение с коэффициентами разложения $c_j.$ Тогда справедлива оценка

${||\eta -{\tilde{\eta }}_r||}_{\omega }\le M_2{||\eta ||}_{\omega }/\sqrt{r+1},$ (11)

где $M_2$ – не зависящая от $r$ положительная постоянная.

В формулировке леммы 2 для

$\begin{array}{l}\omega =\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.\sum _{k=1}^{K+1}{\zeta }_k^{}{P}_k^{}:\left(\sum _{k=1}^{K+1}{\zeta }_k^{}=1\right)\wedge \\ \wedge \left(\forall k=\overline{\mathrm{1,}K+1},{\zeta }_k^{}\ge 0\right)\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right\}\subset {ℝ}^K,\end{array}$

$r\in \mathbb{N},$ $j\in {\mathbb{M}}_r^K$ приняты обозначения:

$\begin{array}{l}{\psi }_j\left(\overrightarrow{\zeta }\right)=\sqrt{2/\pi }\left(r+1\right)\times \\ \times \prod _{k=1}^{K+1}{e}^{-{\left[2j_k^{}+1-2{\zeta }_k\left(r+1\right)\right]}^2/\left[2\left(K+1\right)\right]};\end{array}$

${||\eta ||}_{\omega }=\sqrt{{〈\eta ,\eta 〉}_{\omega }}$ для

${〈\eta ,\varphi 〉}_{\omega }=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1-{\zeta }_1}{\int }}\mathrm{...}\underset{0}{\overset{1-\sum _{k=1}^{K-1}{\zeta }_i^{}}{\int }}\eta \left(\overrightarrow{\zeta }\right)\varphi \left(\overrightarrow{\zeta }\right)d{\zeta }_K\mathrm{...}d{\zeta }_{2}d{\zeta }_1$

при ${\zeta }_{K+1}=1-\sum _{k=1}^K{\zeta }_k.$

Из результатов лемм 1, 2 получено следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть

$\tilde{p}\left(\overrightarrow{Z},t\right)=\sum _{u=1}^U\sum _{j\in {\mathbb{M}}_r^d}{c}_j^{\left(u\right)}\left(t\right){\psi }_j^{\left(u\right)}\left(\overrightarrow{Z}\right)$

тогда метод Галеркина для уравнения (2) сходится и справедлива оценка

${||p-\tilde{p}||}_{\Omega }\le M_3{||p||}_{\Omega }\sqrt{\upsilon /\left(r+1\right)},$ (12)

где $M_3$ – не зависящая от $r$ положительная постоянная, $\upsilon$ – максимальный линейный размер симплексов ${\omega }^{\left(u\right)}.$

3. Алгоритмическая реализация решений в задаче оценки информационного воздействия на электорат при проведении выборных кампаний

Основу алгоритмической реализации сформированной численной схемы составляют:

1) построение d-мерного выпуклого многогранника $\Omega$ при формировании множеств его l-мерных граней (вершин V, ребер E, граней $B^0,$ ячеек $B^1$ и пр.);

2) разбиение $\Omega =\underset{u=1}{\overset{U}{\cup }}{\omega }^{\left(u\right)}$ на симплексы ${\omega }^{\left(u\right)};$

3) правила вычисления элементов вектора $\overrightarrow{W},$ матриц $\mathit{Q}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{S}$  и усреднения $\widehat{\overrightarrow{Z}}\left(t\right)=\underset{\Omega }{\int }\overrightarrow{Z}p\left(\overrightarrow{Z},t\right)d\overrightarrow{Z},$ уточняемые реализацией процедуры численного интегрирования по $\Omega .$

Известно из [11], что количественная характеристика l-мерных граней $\left(l=\overline{\mathrm{0,}d-1}\right)$ $\Omega$ определяется f- и h-векторами, соотнесенными с F- и H-полиномами. Исходя из правила построения $\Omega ={\epsilon }^{\left(1\right)}\times \mathrm{...}\times {\epsilon }^{\left(M\right)}\subset {ℝ}^d$ 2K-мерными симплексами ${\epsilon }^{\left(m\right)},$ справедливо представление F-полинома ${\epsilon }^{\left(m\right)}$ в виде

$F\left({\epsilon }^{\left(m\right)},\tau \right)=\sum _{k=0}^{2K}\left(\begin{array}{l}2K+1\\ k+1\end{array}\right){\tau }^k,$

а $H$-полинома:

$H\left({\epsilon }^{\left(m\right)},\tau \right)=F\left({\epsilon }^{\left(m\right)},\tau -1\right)=\sum _{k=0}^{2K}{\tau }^k.$

Тогда $H$-полином $\Omega ,$ с учетом обобщения бинома Ньютона при введении мультимодальных коэффициентов, задается соотношением

$\begin{array}{l}H\left(\Omega ,\tau \right)={\left(\sum _{k=0}^{2K}{\tau }^k\right)}^M=\\ =\sum _{q\in {\mathbb{M}}_M^{2K}}\left[\left(\begin{array}{c}M\\ q_1,q_2\mathrm{,...,}{q}_{2K+1}\end{array}\right)\prod _{k=0}^{2K}{\tau }^{q_{k+1}}\right]=\\ =\sum _{l=0}^d{h}_l\left(\Omega \right){\tau }^l.\end{array}$ (13)

Здесь ${\mathbb{M}}_M^{2K}$ – множество мультииндексов q, заданное по аналогии с (5) (быстрый алгоритм формирования ${\mathbb{M}}_r^d$ приведен в [12]); $h_l\left(\Omega \right)$ – элементы h-вектора, определяемые суммами мультимодальных коэффициентов из (13) по правилу:

$h_l\left(\Omega \right)=\sum _{\begin{array}{l}q\in {\mathbb{M}}_M^{2K}\\ s_q=l\end{array}}\left(\begin{array}{c}M\\ q_1,q_2\mathrm{,...,}{q}_{2K+1}\end{array}\right),$ (14)

где $s_q=\sum _{\begin{array}{l}k\in \left[1;2K\right]\\ q_{k+1}\ne 0\end{array}}\left(k+1\right)q_{k+1}.$

Элементы $f_l\left(\Omega \right)$ f-вектора вычисляются из (14) выражением [11]

$f_l\left(\Omega \right)=\sum _{l^{\text{'}}=l}^d\left(\begin{array}{c}{l}^{\text{'}}\\ l\end{array}\right)h_l\left(\Omega \right).$

С учетом заданных количественных характеристик $\Omega ,$ выполняется формирование множеств его l-мерных граней. При этом изначально задается множество вершин $V$ с числом элементов $f_0\left(\Omega \right)=\left|V\right|={\left(2K+1\right)}^M$ – алгоритм VERTPOLY (рис. 1).

 

Рис. 1. Псевдокод алгоритма формирования V

Fig. 1. Pseudocode of the V formation algorithm

 

Основу работы алгоритма составляют функции определения множества исходных точек PLACEPOINT (рис. 2) и задания нового размещения с повторением NEXTPLACEMENT (рис. 3) [13].

 

Рис. 2. Псевдокод функции PLACEPOINT

Fig. 2. Pseudocode of the PLACEPOINT function

 

Рис. 3. Псевдокод функции NEXTPLACEMENT

Fig. 3. Pseudocode of the NEXTPLACEMENT function

 

Затем определяется множество ребер $E\subset V\times V$ с числом элементов $f_1\left(\Omega \right)=\left|E\right|={\left(2K+1\right)}^{M}KM,$ составляемых комбинацией пар неповторяющихся вершин $V$ – алгоритм EDGEPOLY (рис. 4).

 

Рис. 4. Псевдокод алгоритма формирования E

Fig. 4. Pseudocode of the E generation algorithm

 

Множество граней $B^0$ с числом элементов $f_2\left(\Omega \right)=\left|B^0\right|$ формируется по заданным $V$ и $E$ при представлении $\Omega$ в виде неориентированного графа $G\left(V,E\right)=〈V,E〉$ и последовательном поиске в $G$ всех циклов без хорд длиной $L=\left[3;4\right]$. Полиномиальный алгоритм поиска циклов базируется на алгоритмах построения остового дерева (алгоритм Прима [13] – MST) и рекурсивного поиска в глубину [13] – DFSCYCLE. Алгоритм поиска циклов SEARCHCYCLES для $G$ длиной $L$ приведен на рис. 5.

 

Рис. 5. Псевдокод алгоритма поиска циклов для G длиной L

Fig. 5. Pseudocode of the loop search algorithm for G of length L

 

В алгоритме поиска циклов используются дополнительные функции построения матрицы Кирхгофа KIRHGOFMATRIX для  и задания нового сочетания без повторения NEXTCOMBINATION (рис. 6).

 

Рис. 6. Псевдокод функции NEXTCOMBINATION

Fig. 6. Pseudocode of the NEXTCOMBINATION function

 

Множество ячеек $B^1$ с числом элементов $f_3\left(\Omega \right)=\left|B^1\right|$ формируется по $B^0.$ Каждая грань представляется бинарным числом разрядностью, равной мощности множества E. Разрядом числа кодирует содержание соответствующего номера ребра из E: значение 1 характеризует наличие данного элемента в грани, значение 0 – отсутствие. Затем выделяются ячейки при определении сочетаний 4, 5 и 6 граней из общего числа:

1) 4 граней, составленных только из 3 ребер;

2) 5 граней, где четыре составлены из 3 ребер, а одна – из 5;

3) 5 граней: две составлены из 3 ребер, а три – из 5;

4) 6 граней, составленных только из 4 ребер.

Критерий в определении ячейки состоит в том, что сумма по модулю два всех двоичных чисел составляющих граней равна нулю.

Дальнейшая процедура формирования l-мерных граней выполняется по индукции.

Для $\Omega$ симплексы ${\omega }^{\left(u\right)}$ задаются при построении барицентрической триангуляции, которая реализуется индукцией по размерности триангуляцией l-мерных граней [11].

С учетом разбиения $\Omega =\underset{u=1}{\overset{U}{\cup }}{\omega }^{\left(u\right)}$ интеграл $I=\underset{\Omega }{\int }\eta \left(\overrightarrow{Z}\right)d\overrightarrow{Z}$ по $\Omega$ от некоторой функции $\eta$ заменяется суммой $I=\sum _{u=1}^U\underset{{\omega }^{\left(u\right)}}{\int }\eta \left(\overrightarrow{Z}\right)d\overrightarrow{Z}$ по ${\omega }^{\left(u\right)}$ и сводится к реализации процедуры численного интегрирования:

$I^{\left(u\right)}=\underset{{\omega }^{\left(u\right)}}{\int }\eta \left(\overrightarrow{Z}\right)d\overrightarrow{Z}=\sum _{j\in {\mathbb{M}}_I^d}\eta \left({\overrightarrow{\xi }}_j\right){\kappa }_j,$ (15)

где $I\in \mathbb{N}$ – порядок численного интегрирования; узловые точки ${\overrightarrow{\xi }}_j$ и весовые коэффициенты ${\kappa }_j,$ вычисляемые по правилам кубатурных формул для симплексов. Для мастер-элемента $\omega$ единичной размерности значения ${\overrightarrow{\xi }}_j\in \omega$ и ${\kappa }_j$ определяются по правилам:

${\overrightarrow{\xi }}_j={\left(\begin{array}{ccc}{X}_{j_1}^0& \mathrm{...}& X_{j_d}^0\end{array}\right)}^{\text{T}};$   $\overrightarrow{\kappa }={\mathit{O}}^{-1}\overrightarrow{B},$  (16)

где

$X_{j_l}^0=X_{j_l}/\sum _{k=1}^d{X}_{j_k}$   $\left(l=\overline{\mathrm{1,}d}\right);$

$X_{i }\left(i=\overline{\mathrm{1,}I}\right)$  – корни многочлена Лежандра первого рода порядка $I$ [14]; $\overrightarrow{B}={\left(b_j\right)}_{\left|{\mathbb{M}}_I^d\right|}$ при

$b_j=\prod _{k=1}^d\Gamma \left(X_{j_k}^{0}I+1\right)/\left(I+d-1\right)!$

и обозначении гамма-функции $\Gamma \left(·\right);$

$\mathit{O}={\left(O_{j{j}^{\text{'}}}\right)}_{\left|{\mathbb{M}}_I^d\right|\times \left|{\mathbb{M}}_I^d\right|}$ при $O_{j{j}^{\text{'}}}=\prod _{k=1}^d{\left(X_{{j^{\text{'}}}_k}^0\right)}^{j_k}.$

Заключение

Таким образом, в настоящей статье в развитие моделей [2–6] информационного влияния, управления и противоборства в социуме при формализации содержательной постановки задачи, выделении системы ограничений и допущений, разработке математической модели, численной схемы и алгоритмических реализаций сформировано алгоритмическое решение в задаче оценки информационного воздействия на электорат при проведении выборных кампаний. Математическая модель базируется на обобщенной модели информационного противоборства в структурированном социуме [2–5]. При разделении общества численностью $N_0$ на $M$ подгрупп и введении стохастических компонент данная модель сводится к стохастическому дифференциальному уравнению, которое при понимании в смысле Ито [7] приводит к необходимости решения уравнения ФПК (2) для определения эволюции функции плотности вероятности $p\left(\overrightarrow{Z},t\right).$ Решение (2) предложено выполнять численно в проекционной постановке метода Галеркина при задании кусочно-полиномиальной аппроксимации (4), требующей разбиения области анализа $\Omega$ на симплексы ${\omega }^{\left(u\right)}.$ Для сформированной численной схемы определена оценка сходимости (12) и уточнены особенности алгоритмической реализации, сводящиеся к построению $\Omega ,$ его разбиению $\Omega =\underset{u=1}{\overset{U}{\cup }}{\omega }^{\left(u\right)}$ и уточнению реализации процедур численного интегрирования по $\Omega .$

About the authors

Ivan S. Polyanskii

Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Email: van341@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1282-1522

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

Russian Federation, Oryol

Inna V. Polyanskaya

Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Email: van341@mail.ru

Candidate of Economic Sciences, Associate Professor

Russian Federation, Oryol

Kirill O. Loginov

Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Author for correspondence.
Email: kvirs@mail.ru

Employee 

Russian Federation, Oryol

References

Supplementary files