Equivalent circuit of a ferrite-wound inductor in a wide frequency range (0 Hz – 500 MHz)

Full Text

Введение

Любая современная радиоэлектронная аппаратура (РЭА) не обходится без реактивных элементов. Одними из важных и наиболее сложных (в расчете и производстве) реактивных элементов являются дроссели. Они служат частью сглаживающего фильтра и фильтра радиопомех (ФРП) в современных импульсных источниках электропитания. Поэтому при проектировании РЭА разработчикам необходимо знать частотные характеристики комплексных сопротивлений дросселей, а также их точные высокочастотные эквивалентные электрические структурно-параметрические схемы замещения (поведенческие модели) в широком диапазоне частот до 100 МГц и выше, хорошо адаптируемые к современным вычислительным программам схемотехнического моделирования.

К сожалению, ни разработчики РЭА, ни производители дросселей не понимают, что же на самом деле собой представляет реальный дроссель, т. е. какой схемой замещения его можно представить. Производители магнитных материалов оперируют лишь физическими параметрами, по которым они сдают и проверяют поставляемую элементную базу. До сих пор отечественные производители радиокомпонентов в конструкторской документации не приводят ВЧ-модели дросселей с учетом влияния свойств материалов на паразитные параметры дросселей, обусловленных нелинейными частотными зависимостями вещественной и мнимой составляющих магнитной проницаемости сердечников. Не приводят и значения «паразитных» элементов дросселей.

Не имея ВЧ поведенческие модели дросселей от производителей, разработчики РЭА вынуждены разрабатывать их сами, осуществляя формализованный структурно-параметрический синтез в виде эквивалентных электрических схем замещения, используя экспериментально измеренные комплексные сопротивления дросселей [1–5].
Но, к сожалению, измерять комплексное сопротивление дросселя в широкой области частот (больше 10 МГц) стали сравнительно недавно [5], что связано как с появлением новой измерительной аппаратуры, так и, самое главное, с пониманием необходимости данных измерений. Измерение частотных характеристик комплексного сопротивления реального дросселя в широком диапазоне частот (до 500 МГц) [1–4] позволило увидеть, что реальный дроссель в широкой области частот представляет собой сложную схему замещения, и использование «старых» НЧ-схем замещения не всегда корректно при проектировании РЭА.

Синтезировать схему замещения дросселя, используя измеренные частотные характеристики его комплексного сопротивления, можно классическим методом, обеспечивая реализацию различных схем с комплексным сопротивлением, идентичным или близким к экспериментально измеренным характеристикам. Данный подход позволяет создать схему замещения физического элемента, но, к сожалению, он не может ответить на вопрос, почему данная измеренная частотная характеристика комплексного сопротивления дросселя имеет такой характер, и не может найти природу физических процессов, объясняющих именно такой характер.

В [5] была построена схема замещения дросселя, учитывающая влияние сопротивления провода, влияние материала сердечника, проявление эффекта длинных линий, потери, обусловленные вихревыми токами и эффектами близости, и т. д. Но, к сожалению, схема замещения, описанная в [5], строилась до 100 МГц, и при ее расчете не рассматривалась фаза комплексного сопротивления дросселя, которая позволяет оценить близость предложенной модели и измерений. В схеме замещения дросселя, предложенной в [5], для описания влияния материала сердечника используется цепь четвертого порядка, что может являться избыточным (особенно для временного анализа). Из [5] неясно, как выбрать параметры для длинной линии в предложенной схеме замещения дросселя. Длинная линия как элемент электрической цепи, к сожалению, имеет один существенный недостаток – ее наличие значительно увеличивает численный расчет переходных процессов и может не обеспечить достаточную точность расчетов, т. к. анализ переходных процессов для длинной линии производится с помощью интеграла свертки с импульсной характеристикой линии, которая вычисляется как преобразование Фурье коэффициента передач [6; 7]. Кроме того, длинная линия, используемая в [5], описывается частотно зависимыми первичными параметрами, что более усложняет расчет данной схемы замещения дросселя во временной области.

В статье производится синтез схемы замещения дросселя с учетом физических эффектов (влияние сопротивления провода, материала сердечника, взаимное влияние провода и материала сердечника), т. е. делается попытка объяснить, почему частотные характеристики (модуль и фаза) комплексного сопротивления имеют такой характер в широкой полосе частот (до 500 МГц). Это позволит лучше понять физические процессы, протекающие в дросселе, а также как улучшить его частотные характеристики, соответственно, построить РЭА с лучшими характеристиками. В качестве материала сердечника был выбран феррит из-за его наиболее частого использования в силовой электронике.

Измерения комплексного сопротивления дросселей

Были проведены измерения модуля и фазы полного (комплексного) сопротивления дросселей. Измерения проводились на анализаторах импеданса Keysight E4982A (в диапазоне частот от 1 МГц до 500 МГц) и Е728 (в диапазоне частот 1 кГц до 1 МГц). В качестве измеряемых образцов использовались дроссели, намотанные на кольцевых сердечниках – ферритах N87 (рис. 1) и Т38 (рис. 2) с различным количеством витков (1–3).

Измеренные частотные характеристики комплексного сопротивления дросселя (рис. 1, 2) позволяют заключить, что комплексное сопротивление (модуль и фаза) имеет достаточно сложную схему замещения. Характер изменения модуля и фазы комплексного сопротивления дросселей, намотанных на различных сердечниках (рис. 1, 2), очень похож. Это позволяет описать их схемой замещения одной структуры с различными параметрами. Для понимания методики составления схемы замещения реального дросселя модуль и фаза его измеренного комплексного сопротивления были разбиты на шесть принципиально отличающихся характерных участков (рис. 3), в которых проявляются различные физические явления реального дросселя.

 

Рис. 1. Измеренные модуль (а) и фаза (б) комплексного сопротивления дросселя (сердечник N87) с различным количеством витков n: 1, 2, 3

Fig. 1. Measured module (a) and phase (b) of the complex resistance of the choke (core N87) with a different number of turns n: 1, 2, 3

 

Рис. 2. Измеренные модуль (а) и фаза (б) комплексного сопротивления дросселя (сердечник Т38) с различным количеством витков n: 1, 2, 3

Fig. 2. Measured module (a) and phase (b) of the complex resistance of the inductor (core T38) with a different number of turns n: 1, 2, 3

 

Рис. 3. Разбивка на области модуля и фазы комплексного сопротивления дросселя

Fig. 3. Breakdown into the area of the module and the phase of the complex impedance of the choke

 

Низкочастотная область (участки 1 и 2 на рис. 3). Из измеренных частотных характеристик комплексного сопротивления дросселя можно сделать вывод, что реальный дроссель представляет собой идеальную катушку индуктивности лишь в достаточно узком интервале частот: от 7–300 кГц для N87 и 1–30 кГц для Т38. Этот диапазон частот зависит от комплексной частотной характеристики вещественной и мнимой частей магнитной проницаемости (рис. 4), а также от количества витков и характеристики провода. Это соответствует участку 2 на рис. 3, что хорошо видно по фазе комплексного сопротивления (когда фаза близка 90°). В этом случае индуктивность дросселя, намотанного на тороидальном сердечнике, определяется классической формулой [8]:

$L={\mu }_0\mu n^2\frac{h}{2\pi }\ln \frac{R}{r},$ (1)

где m0 = 4p×10-7 Гн/м – магнитная постоянная; m – относительная магнитная проницаемость сердечника; n – количество витков; h – высота тороидального сердечника; R – наружный радиус тороидального сердечника; r – внутренний радиус тороидального сердечника.

Для упрощения дальнейших расчетов выражение (1) перепишем:

$L={\mu }_0\mu n^2{К}_{\text{Ф}},$ (2)

где ${К}_{\text{Ф}}=\frac{h}{2\pi }\ln \frac{R}{r}.$

 

Рис. 4. m’(jw) и m”(jw) для сердечника N87 (из справочника)

Fig. 4. m’(jw) and m”(jw) for core N87 (from the reference book)

 

На частотах значительно ниже 10 кГц (для дросселя, намотанного на сердечнике N87) начинает сказываться сопротивление провода, и реальный дроссель представляет собой последовательное сопротивление резистора RW (сопротивление провода) и идеальной катушки индуктивности L (рис. 5). В этом случае комплексное сопротивление реального дросселя ZL равно

$Z_{\text{L}}\left(j\omega \right)=j\omega L+R_{\text{W}}=\sqrt{{\omega }^2{L}^2+R_{\text{W}}^{\text{2}}}{e}^{j\text{arctg}\frac{\omega L}{R_{\text{W}}}}.$ (3)

 

Рис. 5. Низкочастотная схема замещения дросселя

Fig. 5. Low-frequency choke equivalent circuit

 

Определим граничную частоту fW (рис. 3), начиная с которой реальный дроссель можно считать идеальной катушкой индуктивности. Из выражения (3) следует, что это будет при условии $\omega L\gg R.$ Но лучше всего определить частоту fW из требования по фазе – она должна быть больше 89°. Тогда из выражения (3) получаем $\text{arctg}\left(\omega L/R\right)>89°$ или $\omega >60R/L.$ И выводим условие, когда реальный дроссель можно считать идеальной катушкой индуктивности:

$f\ge f_{\text{W}},$ где $f_{\text{W}}=\left(9-10\right)R_{\text{W}}/L.$ (4)

Для дросселя, намотанного на сердечнике N87 двумя витками, из измеренной частотной характеристики комплексного сопротивления дросселя (рис. 3) получаем индуктивность L = 9,05 мкГн и сопротивление провода RW = 6,72 мОм. Используя (4), рассчитываем граничную частоту fW в районе 7 кГц (рис. 3). То есть это означает, что для корректного измерения индуктивности данного дросселя RLC-метром (или другим прибором) необходимо производить измерения на частотах не ниже 7 кГц. В случае же измерения на частоте 1 кГц получим L = 9,11 мкГн. Эта ошибка во многих практических задачах непринципиальна, но для задачи синтеза важна. Так как, во-первых, она может быть больше или меньше в зависимости от количества витков и типа провода. Во-вторых, от этого параметра будут рассчитываться все остальные параметры схемы замещения, и небольшая ошибка (единицы процентов) в определении L может привести к существенной ошибке в определении других параметров схемы замещения дросселя. Поэтому для корректного определения индуктивности дросселя необходимо использовать модуль сопротивления дросселя при учете того, что его фаза близка к 90°. А для корректного определения сопротивления провода RW необходимо использовать частотную зависимость фазы комплексного сопротивления дросселя, т. к. только она хорошо показывает, насколько сильно сопротивление провода оказывает влияние на комплексное сопротивление дросселя.

Влияние сердечника дросселя (участок 3 на рис. 3). На частотах выше 300 кГц (для дросселя, намотанного на сердечнике N87, – рис. 3) характер комплексного сопротивления дросселя зависит от изменения магнитных свойств материала сердечника. Это связано с тем, что относительная магнитная проницаемость материала является не константой m, а частотно-зависимой комплексной величиной $\dot{\mu }\left(j\omega \right)$ [9–12], т. е.

$\dot{\mu }\left(j\omega \right)=\mu \text{'}\left(j\omega \right)-j\mu "\left(j\omega \right).$ (5)

На рис. 4 представлены частотные зависимости m’(jw) и m”(jw) для сердечника N87, взятые из справочника [12; 13], предоставленного производителем магнитного материала (Epcos). К сожалению, производитель не дает всех характеристик во всей области частот (до ГГц): для m’(jw) – до 4 МГц, а для m”(jw) – до 1 ГГц (рис. 4). Но даже из них можно увидеть, что получившееся комплексное сопротивление дросселя с учетом выражений (2) и (5), равное

$\begin{array}{l}{Z}_{\text{L}}\left(j\omega \right)=j\omega L=j\omega {\mu }_0\dot{\mu }\left(j\omega \right)n^2{К}_{\text{Ф}}=\\ =\omega {\mu }_0{n}^2{К}_{\text{Ф}}\left(\mu "\left(j\omega \right)-j\mu \text{'}\left(j\omega \right)\right),\end{array}$ (5)

близко по форме к комплексному сопротивлению параллельного RLC-контура (рис. 6, а). Из графика фазы комплексного сопротивления дросселя (рис. 3) видно, что фаза двухполюсника на 3-м участке кривой (от fC до fK) меняется больше чем на 90°, что также позволяет считать, что на третьем участке в качестве схемы замещения можно использовать параллельный колебательный RLC-контур. В [1–4] с физической точки зрения было показано, почему из-за сердечника схема замещения дросселя представляется в виде цепи 2-го порядка (параллельный RLC-контур).

 

Рис. 6. Схема замещения дросселя, учитывающая влияния сердечника

Fig. 6. Equivalent circuit of the inductor, taking into account the influence of the core

 

В этом случае (для схемы замещения 2-го порядка – рис. 6, а) вместо выражения (5) можно записать комплексное сопротивление дросселя:

$\begin{array}{l}{Z}_{\text{L}}\left(j\omega \right)=\frac{j\omega L}{1-{\omega }^{2}L{C}_{\text{C}}+j\omega \frac{L}{R_{\text{C}}}}=\frac{j\omega L}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}+j2\frac{\alpha \omega }{{\omega }_0^2}}=\\ =\frac{\omega L}{\sqrt{{\left(1-{\omega }^2/{\omega }_0^2\right)}^2+4{\alpha }^2{\omega }^2/{\omega }_0^4}}{e}^{j\left(90°-\text{arctg}\frac{2\alpha \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\right)},\end{array}$ (6)

где ${\omega }_0^2=\frac{1}{L{C}_{\text{C}}}$ – резонансная частота контура; $\alpha =\frac{1}{2R_{\text{C}}{C}_{\text{C}}}$ – коэффициент затухания контура.

При аппроксимации комплексного сопротивления дросселя (рис. 3) цепью низкого (второго) порядка (рис. 6, а) могут возникать значительные погрешности аппроксимации (рис. 7). Наилучшим приближением будем считать аппроксимацию, при которой выполняется близость фаз аппроксимирующей и аппроксимируемой функции, т. е. при приближении резонансной частоты RLC-контура к частоте, при которой фаза комплексного сопротивления дросселя близка нулю (рис. 7). Только в этом случае можно определить значение резонансной частоты сердечника (порядка 2 МГц – рис. 7), и мы получаем погрешность аппроксимации лишь только в одной области частот (от 0,1 до 1 МГц) для фазы сопротивления и незначительную ошибку аппроксимации для модуля сопротивления. Но, к сожалению, на частотах выше 2,5 МГц комплексное сопротивление (модуль и фаза) дросселя уже нельзя описать цепью второго порядка (рис. 7). Таким образом, влияние материала сердечника дросселя на его комплексное сопротивление можно описать цепью 2-го порядка, но необходимо определять резонансную частоту контура исключительно по фазе комплексного сопротивления (порядка 2 МГц – рис. 7), и данную схему замещения дросселя можно использовать только до частот, несущественно превышающих эту резонансную частоту контура (до 3 МГц – рис. 7).

 

Рис. 7. Модуль (а) и фазы (б) комплексного сопротивления дросселя: измеренное значение в сравнении с различными схемами замещения: 1) рис. 6, а – С_С = 1,11 нФ; 2) рис. 6, а – С_С = 0,67 нФ; 3) рис. 6, б

Fig. 7. Module (a) and phases (b) of the inductor’s complex resistance: measured value in comparison with various equivalent circuits: 1) Fig. 6, a – С_С = 1,11 nF; 2) Fig. 6, a – С_С = 0,67 nF; 3) Fig. 6, b

 

Для лучшей аппроксимации комплексного сопротивления дросселя вместо RLC-контура (рис. 6, а) была предложена цепь 3-го порядка (рис. 6, б). В этом случае комплексное сопротивление дросселя определяется более сложной формулой:

$Z_{\text{L}}\left(j\omega \right)=\frac{j\omega L\left(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_1^2}+j2\frac{{\alpha }_1\omega }{{\omega }_1^2}\right)}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_{01}^2}+j2\frac{\alpha \omega }{{\omega }_{01}^2}\left(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_{02}^2}\right)}=$

$=\omega L\sqrt{\frac{{\left(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_1^2}\right)}^2+4\frac{{\alpha }_1^2{\omega }^2}{{\omega }_1^4}}{{\left(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_{01}^2}\right)}^2+4\frac{{\alpha }^2{\omega }^2}{{\omega }_{01}^4}{\left(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_{02}^2}\right)}^2}}\times$ (7)

$\times e^{j\left(90°+\text{arctg}\frac{2{\alpha }_1\omega }{{\omega }_1^2-{\omega }^2}-\text{arctcg}\frac{2\alpha \omega \left({\omega }_{02}^2-{\omega }^2\right)}{{\omega }_{02}^2\left({\omega }_{01}^2-{\omega }^2\right)}\right)},$

где

$\begin{array}{l}{\omega }_{01}^2=\left(\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.\frac{L}{R_{\text{C0}}}\left(C_{\text{C1}}(R_{\text{C0}}+R_{\text{C1}})+\right.\\ \left.+C_{\text{C2}}(R_{\text{C0}}+R_{\text{C2}})\right)+C_{\text{C1}}{C}_{\text{C2}}{R}_{\text{C1}}{R}_{\text{C2}}{\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right)}^{-1},\end{array}$

$\alpha =\frac{1}{2}\left(\frac{L}{R_{\text{C0}}}+{С}_{\text{С1}}{R}_{\text{С1}}+{С}_{\text{С2}}{R}_{\text{С2}}\right){\omega }_{01}^2,$

${\omega }_{02}^2=\frac{L+{С}_{\text{С1}}{R}_{\text{С1}}{R}_{\text{C0}}+{С}_{\text{С2}}{R}_{\text{С2}}{R}_{\text{C0}}}{L{С}_{\text{С1}}{С}_{\text{С2}}\left(R_{\text{С1}}{R}_{\text{С0}}+R_{\text{С2}}{R}_{\text{С0}}+R_{\text{С1}}{R}_{\text{С2}}\right)},$

${\omega }_1^2=\frac{1}{{С}_{\text{С1}}{С}_{\text{С2}}{R}_{\text{С1}}{R}_{\text{С2}}},$   ${\alpha }_1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{С}_{\text{С2}}{R}_{\text{С2}}}+\frac{1}{{С}_{\text{С1}}{R}_{\text{С1}}}\right),$  (8)

которая значительно лучше по сравнению с выражением (6) аппроксимирует сопротивление дросселя (рис. 7) до 4–4,5 МГц. Частоты f₀₁, f₀₂ и f₁, определяемые по формулам (8), показаны на рис. 8. Как видно из рис. 8, центральная частота f₀, вычисляемая по формуле $f_0=\sqrt{f_{01}{f}_{02}},$ близка к резонансной частоте RLC-контура (рис. 6, а), определяемой по формуле (6), а резонансная частота f₀₁ близка к частоте, на которой фаза RLC-контура (рис. 6, а) близка к измеренной фазе комплексного сопротивления дросселя. Таким образом, зная параметры схемы замещения 2-го порядка (рис. 6, а), можно рассчитать параметры схемы замещения 3-го порядка (рис. 6, б) с небольшой последующей коррекцией. Но, как было сказано выше, для корректного определения резонансной частоты фаза комплексного сопротивления схемы замещения 2-го порядка (рис. 6, а) должна быть близка измеренной фазе комплексного сопротивления дросселя.

 

Рис. 8. Модуль (а) и фазы (б) комплексного сопротивления дросселя: измеренное значение в сравнении с различными схемами замещения: 1 – рис. 6, а; 2 – рис. 6, б

Fig. 8. Module (a) and phase (b) of the inductor’s complex resistance: measured value in comparison with various equivalent circuits: 1 – Fig. 6, a; 2 – Fig. 6, b

 

Определим частоту fС (рис. 8), начиная с которой необходимо учитывать влияние изменения магнитных свойств материала сердечника. Для этого, по аналогии с определением fW, воспользуемся фазой комплексного сопротивления дросселя, т. е. arg(Z(jwC)) < 89°, или из (7) получаем:

$\text{arctg}\frac{2\alpha \omega \left({\omega }_{02}^2-{\omega }_{\text{C}}^{\text{2}}\right)}{{\omega }_{02}^2\left({\omega }_{01}^2-{\omega }_{\text{C}}^{\text{2}}\right)}-\text{arctg}\frac{2{\alpha }_1{\omega }_{\text{C}}}{{\omega }_1^2-{\omega }_{\text{C}}^{\text{2}}}>1°.$ (9)

Так как угол маленький, то неравенство (9) можно упростить:

$\frac{2\alpha {\omega }_{\text{C}}\left({\omega }_{02}^2-{\omega }_{\text{C}}^{\text{2}}\right)}{{\omega }_{02}^2\left({\omega }_{01}^2-{\omega }_{\text{C}}^{\text{2}}\right)}-\frac{2{\alpha }_1{\omega }_{\text{C}}}{{\omega }_1^2-{\omega }_{\text{C}}^{\text{2}}}>\frac{\pi }{180}.$ (10)

Мы ищем частоту wC, которая значительно меньше частот w₀₁, w₀₂, w₁ (рис. 8), поэтому неравенство (10) можно упростить:

$\frac{2\alpha {\omega }_{\text{C}}{\omega }_1^2-2{\alpha }_1{\omega }_{\text{C}}{\omega }_{01}^2}{{\omega }_1^2{\omega }_{01}^2}>\frac{\pi }{180}.$ (11)

Решая (11) и заменяя w₀₁, w₀₂, w₁ на выражения (8), определяем частоту f_С, с которой начинается влияние изменения магнитных свойств материала сердечника на комплексное сопротивление дросселя:

$f>f_{\text{C}},$ где $f_{\text{C}}=\frac{R_{\text{C0}}}{360L}.$ (12)

Из измеренной частотной характеристики комплексного сопротивления дросселя (рис. 8), намотанного на сердечнике N87 двумя витками, получаем следующие параметры схемы замещения дросселя (рис. 6, б), учитывающего влияние изменения магнитных свойств материала сердечника: L = 9,05 мкГн, C_C1 = 1,4 нФ, C_C2 = 0,2 нФ, R_C1 = 93 Ом, R_C2 = 70 Ом, R_C0 = 1,1 кОм. Используя (12), получаем граничную частоту f_C, равную 338 кГц, начиная с которой необходимо учитывать влияние изменения комплексной магнитной проницаемости материала сердечника (рис. 8), что также хорошо видно на графике вещественной части комплексной магнитной проницаемости материала сердечника – когда m’(jw) перестает быть константой и начинает расти (рис. 9).

 

Рис. 9. µ’ и µ” для сердечника N87 (из справочника и аппрокисимированная)

Fig. 9. µ’ and µ” for core N87 (from the reference book and approximated)

 

Таким образом, для определения границы влияния комплексной магнитной проницаемости материала сердечника необходимо знать частотные зависимости m’(jw) и m”(jw) во всей области частот (от 0 до 500 МГц). Так как производитель не дает всех характеристик во всей области частот (рис. 5), то для дальнейшего рассмотрения комплексной магнитной проницаемости сердечника она была аппроксимирована характеристикой в диапазоне частот от 10 кГц до 1 ГГц (рис. 9). Аппроксимация производилась следующим образом: была подобрана цепь, в которой пересчитанная из комплексного сопротивления вещественная магнитная проницаемость до 4 МГц совпадала с вещественной магнитной проницаемостью из справочника, а пересчитанная из комплексного сопротивления мнимая магнитная проницаемость до 1 ГГц совпадала с мнимой магнитной проницаемостью из справочника. Как видно из рис. 9, характеристика, данная производителем, и аппроксимированная характеристика получились достаточно близкими, что позволяет использовать аппроксимирующую характеристику в качестве справочной.

На рис. 10 приведены частотные зависимости m’(jw) и m”(jw) сердечника N87, полученные из справочника, а также рассчитанные из измеренных комплексных сопротивлений дросселей с различным количеством витков. Частотные зависимости m’(jw) и m”(jw) для дросселей рассчитывались по формулам:

$\mu \text{'}\left(j\omega \right)=\frac{\left|Z_{\text{L}}\left(j\omega \right)\right|}{\omega }{К}_{\text{L}}\sin \left(\arg \left(Z_{\text{L}}\left(j\omega \right)\right)\right),$ (13)

$\mu "\left(j\omega \right)=\frac{\left|Z_{\text{L}}\left(j\omega \right)\right|}{\omega }{К}_{\text{L}}\cos \left(\arg \left(Z_{\text{L}}\left(j\omega \right)\right)\right),$ (14)

где ${К}_{\text{L}}=\frac{1}{{\mu }_0{n}^2{К}_{\text{Ф}}}.$

 

Рис. 10. µ’ (а) и µ” (б) сердечника N87: из справочника и рассчитанные из комплексных сопротивлений дросселей с различным количеством витков n: 1, 2,

Fig. 10. µ’ (a) and µ” (b) of the core N87: from the reference book and calculated from the complex resistances of chokes with a different number of turns n: 1, 2, 3

 

Из рис. 11 видно, что пересчитанные по формулам (13), (14) частотные характеристики m’(jw) и m”(jw) для дросселей с разным количеством витков практически близки друг другу, что позволяет сделать вывод о том, что по частотной характеристике комплексной магнитной проницаемости сердечника можно построить схему замещения дросселя на этом сердечнике с различным количеством витков. На частоте 10 кГц m”(jw) для каждого дросселя отличаются, т. к. на этой частоте нет измерений комплексного сопротивления дросселей (рис. 1), а на частоте 1 кГц на сопротивление дросселя оказывает влияние сопротивление провода. Из рис. 10 также видно, что частотные характеристики m’(jw) и m”(jw), полученные из справочника, и частотные характеристики m’(jw) и m”(jw), рассчитанные из измеренных характеристик сопротивления дросселя, различаются. Это говорит о том, что магнитная проницаемость материала может иметь разброс по сравнению со справочной, и для определения магнитной проницаемости конкретного материала требуются измерения этого материала. Только в этом случае можно из данных сердечника получить схему замещения дросселя. Аналогичные выводы были сделаны в [5].

 

Рис. 11. Модуль комплексного сопротивления дросселя на сердечнике N87 с различным количеством витков (взято из [5]): а – 1–23 витка; б – 58–108 витков

Fig. 11. Complex resistance module of the choke on the core N87 with a different number of turns (taken from [5]): a – 1–23 turns; b – 58–108 turns

 

Таким образом, зная измеренные частотные характеристики m’(jw) и m”(jw) материала реального сердечника, можно определить схему замещения дросселя с конкретным количеством витков. К сожалению, у авторов данной статьи нет измерений комплексной магнитной проницаемости конкретных сердечников дросселей. Поэтому все расчеты проводились, исходя из измеренных сопротивлений дросселей. Но даже из данных, полученных из измеренных сопротивлений (рис. 10), можно сделать предварительное заключение, что f₀₁ в схеме замещения близка к частоте, на которой m’ = m”, а частоты f₀₂ и f₁ определяются из минимума m’ (когда m’ отрицательна). Более конкретная методика, как, например, в [5], определения комплексного сопротивления дросселя с использованием частотных характеристик комплексной магнитной проницаемости сердечника авторами будет рассмотрена в дальнейшем.

В [5] было показано, что резонансная частота сопротивления дросселя, определяемая материалом сердечника, вне зависимости от количества витков (индуктивности дросселя) остается постоянной (рис. 11, а). И только после определенного количества витков (больше 23) резонансная частота сопротивления дросселя начинает перемещаться в низкочастотную область (рис. 11, б), т. е. при большом количестве витков начинает сказываться межвитковая емкость. В этом случае в схеме замещения дросселя необходимо учесть эту емкость. Так как в данной работе измерялись дроссели с малым количеством витков (от 1-го до 3-х) специально, чтобы данный эффект не проявлялся, то в данной схеме замещения дросселя межвитковая емкость отсутствует.

Для определения границы влияния комплексной магнитной проницаемости сердечника на комплексное сопротивление дросселя вычислим комплексное сопротивление дросселя из m’(jw) и m”(jw) сердечника, преобразуя формулы (13) и (14), т. е.

$\left|Z_{\text{L}}\left(j\omega \right)\right|=\frac{\omega }{{К}_{\text{L}}}\sqrt{{\left(\mu \text{'}\left(j\omega \right)\right)}^2+{\left(\mu "\left(j\omega \right)\right)}^2},$ (15)

$\arg \left(Z_{\text{L}}\left(j\omega \right)\right)=90°-\text{arctg}\left(\frac{\mu "\left(j\omega \right)}{\mu \text{'}\left(j\omega \right)}\right),$ (16)

и сравним с измеренными частотными характеристиками сопротивления дросселя (рис. 12).

 

Рис. 12. Модуль (а) и фазы (б) комплексного сопротивления дросселя: измеренное значение в сравнении с рассчитанным по µ’(jw) сердечника (рис. 9)

Fig. 12. Module (a) and phase (b) of the complex resistance of the inductor: the measured value in comparison with the calculated value µ’(jw)  for the core (Fig. 9)

 

Из рис. 12 по характеру изменения модуля и фазы комплексного сопротивления дросселя видно, что при учете только сердечника фаза комплексного сопротивления дросселя меняется от 90° до –90°, т. е. дроссель сначала имеет индуктивный характер, а потом приобретает емкостной характер. В случае измерения комплексного сопротивления реального дросселя его фаза падает от 90° до –15°, а потом начинает расти до 65° (рис. 12). Это может означать, что дальнейшее изменение характера модуля и фазы комплексного сопротивления дросселя после 4 МГц уже не определяется комплексной магнитной проницаемостью сердечника, поскольку комплексное сопротивление, посчитанное по m’(jw) и m”(jw), показывают емкостный характер (рис. 12).

Взаимодействие магнитных полей сердечника и провода дросселя (участок 4 на рис. 3). Поднятие модуля и фазы комплексного сопротивления дросселя чаще всего связывают с эффектом длинной линии [5]. Рассмотрим более строго, можно ли это объяснить длинной линией. В общем случае длина волны электромагнитного колебания λ равна

$\lambda =\frac{C}{f}=\frac{C_0}{\sqrt{\epsilon \mu }f},$ (17)

где $C_0=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}\approx 3\cdot {10}^8$ м / с – скорость света в вакууме; e и m – диэлектрическая и магнитная проницаемости материала.

Данный эффект начинает проявляться при частоте порядка 5 МГц (рис. 12), а для исследуемого материала (феррит N87) комплексная магнитная проницаемость на частоте 5,5 МГц равна $\dot{\mu }=-115+j430$ (рис. 10), тогда модуль комплексной магнитной проницаемости материала на этой частоте равен $\left|\dot{\mu }\right|=447.$ Тогда получаем длину волны l = 3×108 / 21 / 5,5×106 = 2,6 м, что значительно больше длины провода (порядка 10–20 см). Данное предположение об эффекте длинной линии авторами статьи [5] было сделано потому, что они в своих исследованиях не учитывали фазу комплексного сопротивления, а брали в расчет только модуль комплексного сопротивления, по которому виден подъем (при малом количестве витков) на частотах выше 50–100 МГц (в зависимости от количества витков – рис. 11, б). Кроме того, заметный ВЧ-резонанс они наблюдали лишь при большом количестве витков (рис. 11, б), т. к. не смотрели частоты выше 100 МГц (рис. 12). Так как данный эффект в статье [5] был обнаружен при большом количестве витков (больше 50) на частотах выше 10 МГц, то рассмотрим также и его. На частоте 10 МГц получаем $\left|\dot{\mu }\right|=14$ и длину волны λ= 2,1 м. При 100 витках получаем длину провода 2,5 м [5], что соизмеримо с длиной волны. В этом случае (при большом количестве витков) как раз очень хорошо видно проявление эффекта длинных линий (рис. 11, б): ярко выраженные минимумы и максимумы, повторяющиеся с четкой периодичностью, чего не наблюдается при малом количестве витков (рис. 1).

Таким образом, объяснение подъема модуля и фазы комплексного сопротивления дросселя с малым количеством витков с помощью длинной линии с физической точки зрения некорректно. Оно может использоваться лишь для дросселя с большим количеством витков.

Для того чтобы понять с физической точки зрения, в чем причина поднятия модуля и фазы комплексного сопротивления дросселя, надо представить, что же собой представляет дроссель. Дроссель – это провод, намотанный на сердечник. Провод при протекании через него электрического тока будет иметь магнитное поле, усиленное сердечником. Кроме того, сам сердечник будет иметь магнитное поле. Провод и сердечник – это два отдельных элемента, хотя и находящихся в близи друг от друга. То есть мы имеем магнитное поле, создаваемое проводом, и магнитное поле, создаваемое сердечником, которые взаимодействуют друг с другом. А это есть не что иное, как воздушный трансформатор (две магнитно связанные индуктивности), в котором магнитное поле, создаваемое первичной обмоткой (проводом дросселя), взаимодействует с магнитным полем, создаваемым вторичной обмоткой (сердечник дросселя). Была предложена схема замещения на основе воздушного трансформатора (рис. 13, а), которая и позволила учесть влияние магнитных полей провода и сердечника. На рис. 13, б приведена схема замещения дросселя Т-образной схемой замещения трансформатора.

 

Рис. 13. Схема замещения дросселя для участка 4

Fig. 13. Equivalent circuit of the choke for section 4

 

Уменьшение коэффициента связи в схеме замещения дросселя (рис. 13, а) или увеличение индуктивности рассеивания в T-образной схеме замещения трансформатора в схеме замещения дросселя (рис. 13, б) позволяет переместить значение частоты, с которого начинается подъем модуля и фазы комплексного сопротивления дросселя, с высокого на более низкое (рис. 14). Таким образом, изменяя коэффициент связи К, можно приблизить сопротивление схемы замещения к измеренному сопротивлению дросселя на участке 4 (для рассматриваемого случая К = 0,995 – рис. 14). Но приближение частоты, на которой возникает минимум фазы сопротивления дросселя (рис. 14, б), к частоте f₁ (рис. 8, б) искажает частотные характеристики сопротивления дросселя (рис. 14). Поэтому для приближения частотных характеристик сопротивления схемы замещения и измеренных частотных характеристик сопротивления дросселя требуется корректировка CC1, CC2, RC1, RC2 в схеме замещения. В нашем случае они равны: C_C1 = 1,36 нФ, C_C2 = 0,25 нФ, R_C1 = 100 Ом, R_C2 = 83 Ом. И расхождений в частотных характеристиках сопротивления схемы замещения и измеренных частотных характеристик сопротивления дросселя уже меньше (рис. 15). Это означает, что провод изменяет магнитное поле, создаваемое сердечником. Для того чтобы оценить влияние магнитного потока, создаваемого проводом, на магнитный поток, создаваемый сердечником, надо измерить магнитную проницаемость сердечника, найти параметры схемы замещения (рис. 6, б) и сравнить с параметрами схемы замещения, созданной из измерения сопротивления дросселя.

 

Рис. 14. Модуль (а) и фазы (б) комплексного сопротивления дросселя: измеренное значение в сравнении с различным коэффициентом связи (рис. 13)

Fig. 14. Module (a) and phase (b) of the complex resistance of the inductor: measured value in comparison with different coupling coefficient (Fig. 13)

 

Рис. 15. Модуль (а) и фазы (б) комплексного сопротивления дросселя: измеренное значение в сравнении с различным коэффициентом связи (рис. 13)

Fig. 15. Module (a) and phase (b) of the complex resistance of the inductor: measured value in comparison with different coupling coefficient (Fig. 13)

 

Кроме того, дальнейшее уменьшение коэффициента связи в схеме замещения дросселя позволяет получить характеристику индуктивности в более высокой области частот (рис. 15). В этом случае упадет общая индуктивность из-за уменьшения коэффициента связи, но ее можно будет поднять дополнительными витками.

Как видно из рис. 14, 15, граница между участками 3 и 4 (рис. 3) может быть достаточно расплывчатой и, скорее всего, определяется лишь тем, каким образом намотан дроссель.

Все сказанное выше является лишь пока математической моделью, и для подтверждения данной математической модели реальным физическим явлением, происходящим в дросселе, требуются дополнительные измерения и исследования.

Проходная емкость в системе взаимодействия магнитных полей сердечника и провода дросселя (участок 5 на рис. 3). При изменении переменного магнитного поля первичной обмотки (провод) по сравнению с переменным магнитным полем вторичной обмотки (сердечник) возникает переменное электрическое поле, т. е. появляется проходная емкость C_R воздушного трансформатора (рис. 16), описывающего взаимодействие провода с сердечником. Эта емкость и определяет высокочастотный резонанс (в районе 300–400 МГц – рис. 17) комплексного сопротивления дросселя. Так как частота этого резонанса на 2 порядка больше центральной частоты f₀, определяемой материалом сердечника, то сопротивления конденсатов C_C1 и C_C2 на частоте резонанса значительно меньше сопротивлений R_C1 и R_C2 (рис. 13), и сердечник заменяется сопротивлением R_E (рис. 16), равным параллельному соединению сопротивлений R_C1, R_C2, R_C0 (для данного случая оно равно 43,6 Ом).

 

Рис. 16. Схема замещения дросселя для участка 5

Fig. 16. Equivalent circuit of the throttle for section 5

 

Рис. 17. Модуль (а) и фазы (б) комплексного сопротивления дросселя: измеренное значение в сравнении с рассчитанным по схеме замещения (рис. 16)

Fig. 17. Module (a) and phase (b) of the complex resistance of the inductor: the measured value in comparison with that calculated according to the equivalent circuit (Fig. 16)

 

Кроме того, добротность этого резонанса определяется сопротивлением резистора R_R, включенным параллельно этой емкости (рис. 16), который возникает в схеме замещения из-за конечности проводимости емкости C_R. В этом случае комплексное сопротивление схемы замещения (рис. 16) будет вычисляться по формуле (7), но параметры f₀₁, f₀₂, f₁, a и a₁ в выражении (7) будут рассчитываться по-другому. Так как нас интересует максимум модуля, то он определяется частотой f₁ и равняется

$f_{\text{Cr}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{L{C}_{\text{R}}(1-K^2)}}.$ (18)

Для рассматриваемого дросселя эта частота равна 357 МГц, а проходная емкость трансформатора C_R вычисляется из (18) и равняется 2,2 пФ. Сопротивление утечки R_R, определяющее добротность этого резонанса, равно 800 Ом (на резонансной частоте).

Наличие данного участка на частотных характеристиках сопротивления дросселя еще раз указывает на корректность использования трансформатора в схеме замещения дросселя. Похожие частотные характеристики (рис. 18) были получены в [14], где авторы измеряли сопротивление первичной обмотки трансформатора при ненагруженной вторичной обмотке, что еще раз подтверждает корректность использования трансформатора в схеме замещения дросселя.

 

Рис. 18. Измеренные частотные характеристики модуля и фазы комплексного сопротивления первичной обмотки трансформатора, работающего на холостой ход (взято из [14])

Fig. 18. Measured frequency characteristics of the module and the phase of the complex resistance of the primary winding of the transformer operating at idle (taken from [14])

 

Данный эффект (резонанс) начинает проявляться на частотах выше 100 МГц (рис. 14, 17). На частоте 100 МГц комплексная магнитная проницаемость сердечника равна $\dot{\mu }=\mathrm{25,5}+j16$ (рис. 10), а модуль комплексной магнитной проницаемости материала на этой частоте равен $\left|\dot{\mu }\right|=\mathrm{30,1}$. Тогда получаем длину электромагнитной волны λ = 3×108 / 5,5 / 108 = 0,55 м, что в 4 раза больше длины провода (10–20 см). Таким образом, в длину провода укладывается четверть волны электромагнитного колебания, и начинает проявляться эффект длинной линии, т. е. провод, начиная с 100 МГц, представляет уже короткозамкнутую длинную линию, и резонанс на частоте f_Cr – это первый резонанс входного сопротивления длинной линии.

Схема замещения

Таким образом была получена схема замещения дросселя (рис. 19), работающего в широкой области частот. Последний характерный участок на частотных характеристиках (участок 6 на рис. 3) в данной работе не рассмотрен, т. к. неизвестно как будет себя вести сопротивление дросселя: станет оно полностью емкостным, или будут еще всплески частотных характеристик сопротивления, или то и другое. Различные измеренные сопротивления дросселя при разных количествах витков (рис. 1, 2 и 11, б) и расчет длины волны электромагнитного колебания указывают на последний вариант (проявляется эффект длинной линии). Но, чтобы быть полностью в этом уверенным, необходимо произвести измерения модуля и фазы сопротивления дросселя до единиц, а то и десятков ГГц. Поэтому в данной работе была составлена схема замещения, имеющая 5 характерных участков на частотных характеристиках комплексного сопротивления дросселя. В таблице приведены параметры этой схемы замещения для измеренных дросселей (рис. 1, 2).

 

Рис. 19. Схема замещения дросселя

Fig. 19. Throttle equivalent circuit

 

Таблица

Table

	N87, кол-во витков			Т38, кол-во витков
	1	2	3	1	2	3
L, мкГн	2,41	9,05	20,31	15,724	63,0	143,8
CC1, нФ	2,5	1,36	0,62	14,0	0,5	0,2
CC2, нФ	2,5	0,25	0,078	2,0	22,0	0,7
CR, пФ	2,1	2,2	3,2	1,7	2,2	2,7
К	0,977	0,995	0,998	0,994	0,999	0,995
RC0, Ом	120	1100	2000	40	1300	250
RC1, Ом	60	100	205	40	90	185
RC2, Ом	19	83	162	25	85	550
RR, Ом	3000	800	320	3700	800	340
RW, мОм	6,61	6,72	6,99	7	9,6	20

 

Заключение

В работе предложена электрическая структурно-параметрическая схема замещения дросселя (рис. 19), частотные характеристики которой близки к измеренным частотными характеристиками сопротивления дросселя в широкой полосе частот (от 0 до 500 МГц). Это позволяет использовать данную схему замещения дросселя для корректного проектирования высокочастотных фильтров радиопомех.

Показана несостоятельность использования длинной линии в схеме замещения дросселя с малым количеством витков обмотки дросселя, предложенная в [5]. Была показана целесообразность использования вместо длинной линии в схеме замещения индуктивно связанных катушек. Это позволило корректно обосновать частотные характеристики сопротивления дросселя.

Показано, что для построения схемы замещения (структуры и параметров) измерения только модуля сопротивления дросселя недостаточно, необходимо измерять также фазу комплексного сопротивления дросселя. Так как только фаза комплексного сопротивления дросселя позволяет сказать, какой характер сопротивления (индуктивный, емкостной или резистивный) преобладает в конкретной области частот, т. е. только фаза показывает, что оказывает наибольшее влияние: магнитное поле, электрическое поле или активные потери. Кроме того, фаза комплексного сопротивления показывает корректность выбора эквивалентной схемы замещения.

Благодарности

Авторы выражают благодарность сотрудникам НТЦ СЗЛ (г. Санкт-Петербург) за предоставленные измерения дросселей, студентке Ларионовой А.К. за помощь в проведении расчетов на компьютере, начальнику БМА ПАО «Мстатор» (г. Боровичи) Фоченкову Э.А. за высказанные замечания в процессе подготовки статьи.

About the authors

Vladimir F. Dmitrikov

The Bonch-Bruevich Saint Petersburg State University of Telecommunications

Email: dmitrikov_vf@mail.ru

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Theory of Electrical Circuits and Communication, Honored Scientist of the Russian Federation, Laureate of the Gazprom Prize, Academician of the Russian Academy of Natural Sciences, Corresponding Member of AEN, Corresponding  Nember of MAN VSH

Russian Federation, Saint Petersburg

Dmitry V. Shushpanov

The Bonch-Bruevich Saint Petersburg State University of Telecommunications

Author for correspondence.
Email: dimasf@inbox.ru

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Theory of Electrical Circuits and Communication

Russian Federation, Saint Petersburg

References

Supplementary files