Quasi-harmonic self-oscillations in discrete time: analysis and synthesis of dynamic systems

Full Text

Введение

Автоколебания – фундаментальный процесс, наблюдаемый в природе [1–3]. Среди множества разнообразных временных форм можно выделить квазигармонические (узкополосные) автоколебания. Порождающие их динамические системы – автоколебательные системы – в большинстве случаев содержат резонатор, нелинейный активный элемент и положительную обратную связь. Автоколебательная система на основе высокодобротного резонатора и активного элемента с кубической нелинейностью – генератор (осциллятор) ван дер Поля – служит универсальной моделью систем различной физической природы [4; 5]. Нелинейности более общего вида образуют класс так называемых систем томсоновского типа [6]. С учетом того, что современная теория колебаний рассматривает эволюцию динамических систем как в непрерывном (НВ), так и в дискретном времени (ДВ), представляет интерес временная дискретизация в дифференциальной модели осциллятора, результатом которой является разностное уравнение движения.

Переход к дискретному времени в дифференциальных моделях линейных аналоговых фильтров широко применяется в практике проектирования цифровых фильтров [7]. Помимо решения прикладных задач, такой подход позволяет ввести в рассмотрение колебательные ДВ-системы как объекты исследования теории колебаний. Применяемая процедура дискретизации времени накладывает свой отпечаток на характеристики порождаемой ДВ-системы. Поэтому один и тот же аналоговый прототип отображается во множество объектов динамики в дискретном времени. Это утверждение, справедливое для линейных систем, тем более относится к автоколебательным системам.

Один из способов временной дискретизации использует введение нелинейных дельта-воздействий в гамильтониан или уравнение движения НВ-системы. Например, в монографии [8] этим способом построено универсальное и стандартное отображения. В статье [9] анализ дельта-импульсной синхронизация применяется для вывода дискретных отображений неавтономного осциллятора ван дер Поля – Дюффинга. В работе [10] для проектирования ДВ-осциллятора ван дер Поля было предложено использовать условие инвариантности импульсной характеристики линейного резонатора автоколебательной системы относительно дискретизации времени. Принцип импульсной инвариантности можно сформулировать также как замену ядра интегрального уравнения движения нелинейного осциллятора дискретизирующей последовательностью дельта-функций с весовыми коэффициентами из отсчетов импульсной характеристики линейного аналогового контура.

Более традиционные способы основаны на конечно-разностных аппроксимациях временных производных в дифференциальных моделях динамических систем. Например, в статье [11] и монографии [12] дискретизация проведена методом Эйлера. Отмечено, что полученные таким образом дискретные отображения не только наследуют основные черты аналоговых прототипов, но и приобретают новые свойства. Возможности метода конечных разностей для проектирования ДВ-осцилляторов томсоновского типа проанализированы в работе [13].

В настоящей статье дискретизацию времени в дифференциальной модели генератора томсоновского типа предлагается провести на основе совместного использования методов конечных разностей и медленно меняющихся амплитуд.

1. Осциллятор в непрерывном времени

Осциллятор томсоновского типа – базовая модель теории нелинейных колебаний – задается уравнением движения вида

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}x=\frac{{\omega }_0}{Q}\left(pS\left(x\right)-1\right)\frac{dx}{dt}.$ (1)

Здесь ${\omega }_0$ и $Q$ – собственная частота и добротность линейного резонатора; $S\left(x\right)$ – дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики активного элемента; $p$ – параметр превышения порога генерации (порог: $p=1).$ Предполагая в дальнейшем дискретизацию времени с интервалом $\Delta ,$ введем в уравнение (1) безразмерную временную переменную $\tau =t/\Delta \text{:}$

$\frac{d^{2}x}{d{\tau }^2}+4{\pi }^2{\Omega }_0^{2}x=2\pi \nu \left(pS\left(x\right)-1\right)\frac{dx}{d\tau }.$ (2)

Здесь ${\Omega }_0={\omega }_0/{\omega }_d$ – собственная частота, измеряемая в единицах частоты дискретизации ${\omega }_d=2\pi /\Delta ;$ $\nu ={\Omega }_0/Q$ – полоса резонатора.

Считая, что $\nu <<\mathrm{1,}$ анализ уравнения (2) проведем в приближении метода медленно меняющихся амплитуд (метода ММА), широко используемого при решении прикладных задач теории нелинейных колебаний [14]. В рамках метода осцилляции $x\left(t\right)$ представляются в виде

$x\left(\tau \right)=\frac{1}{2}A\left(\tau \right)\exp \left(j2\pi {\Omega }_0\tau \right)+\frac{1}{2}{A}^{\ast }\left(\tau \right)\exp (-j2\pi {\Omega }_0\tau )$ (3)

с комплексной амплитудой $A\left(\tau \right)$ – медленной по сравнению с $\exp \left(j2\pi {\Omega }_0\tau \right)$ функцией времени. Медленность комплексной амплитуды позволяет пренебречь второй производной $A^{\text{'}\text{'}}\left(\tau \right)$ в левой части уравнения (2) и первой производной $A^{\text{'}}\left(\tau \right)$ в его правой части.

Дифференциальную крутизну $S\left(x\right)$ с осциллирующим аргументом (3) представим ограниченным рядом Фурье, содержащим постоянную составляющую и две первые гармоники:

$\begin{array}{l}S\left(x\right)=S_0\left(a\right)+\frac{1}{2}{S}_1\left(a\right)\exp \left(j2\pi {\Omega }_0\tau \right)+\\ +\frac{1}{2}{S}_2\left(a\right)\exp \left(j4\pi {\Omega }_0\tau \right).\end{array}$

где $a=\left|A\right|$ – амплитуда осцилляций. После выделения первой гармоники осцилляций (3) из правой части уравнения (2) и приравнивания амплитудных коэффициентов при $\exp \left(j2\pi {\Omega }_0\tau \right)$ в его правой и левой частях получим так называемое укороченное уравнение вида

$\frac{dA}{d\tau }=-\pi \nu \left(1-p\left(S_0\left(a\right)-\frac{1}{2}{S}_2\left(a\right)\right)\right)A.$ (4)

На дискретной временной сетке ${\tau }_n=n\Delta \tau$ с шагом $\Delta \tau =1$ явный метод Эйлера дает разностную форму укороченного уравнения (4):

$A_n=A_{n-1}-\pi \nu \left(1-p\left(S_0\left(a_{n-1}\right)-\frac{1}{2}{S}_2\left(a_{n-1}\right)\right)\right)A_{n-1}.$ (5)

Здесь $A_n=A\left({\tau }_n\right)$ – функция дискретного времени.

2. Осциллятор в дискретном времени

При переходе к дискретному времени в уравнении (2) будем стремиться выполнить два условия. Во-первых, разностный оператор второго порядка, соответствующий левой части уравнения (2), должен быть консервативным и порождать собственные колебания с частотой  Это условие приводит к уравнению собственных колебаний в дискретном времени

$x_n-2k_1{x}_{n-1}+k_2{x}_{n-2}=\mathrm{0,}$ (6)

в котором действительные коэффициенты разностной аппроксимации $k_1$ и $k_2$ таковы, что

$x_n=A_0\exp \left(j2\pi {\Omega }_{0}n\right)=A_0{Z}_0^n.$

Записав для однородного разностного уравнения (6) характеристическое уравнение

$Z_0^2-2k_1{Z}_0+k_2=\mathrm{0,}$

нетрудно получить ${\left|Z_0\right|}^2=1=k_2$ и $\mathrm{Re}\left(Z_0\right)=\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)=k_1.$

Теперь полное уравнение движения ДВ-осциллятора представим в виде

$\begin{array}{l}{x}_n-2\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}+x_{n-2}=\\ =2\pi \nu \left(pS\left(x_{n-1}\right)-1\right)\left(k_3{x}_{n-1}-x_{n-2}\right).\end{array}$ (7)

При этом для определения коэффициента $k_3$ разностной аппроксимации производной в правой части (2) потребуем, чтобы укороченное уравнение для комплексной амплитуды автоколебаний в ДВ-генераторе (7) совпадало с эйлеровым приближением (5) укороченного уравнения (4) для комплексной амплитуды автоколебаний в НВ-генераторе (2).

Метод ММА на автоколебания в дискретном времени распространен в статье [15]. Следуя этой работе, автоколебания в (7) запишем в виде

$x_n=\frac{1}{2}{A}_n{Z}_0^n+\frac{1}{2}{A}_n^{\ast }{Z}_0^{-n}.$

Теперь медленность комплексной амплитуды $A_n$ позволяет проводить преобразования левой части уравнения (7) с учетом приближенного равенства $A_n-A_{n-1}=A_{n-1}-A_{n-2},$ а в его правой части считать комплексную амплитуду постоянной. Все остальные шаги ДВ-метода ММА совпадают с аналогичными шагами НВ-метода. В результате приходим к следующему укороченному уравнению для ДВ-осциллятора (7):

$\begin{array}{l}{A}_n=A_{n-1}-\pi \nu \frac{\left(k_3-Z_0^{-1}\right)}{j\mathrm{Im}\left(Z_0\right)}\times \\ \times \left(1-p\left(S_0\left(a_{n-1}\right)-\frac{1}{2}{S}_2\left(a_{n-1}\right)\right)\right)A_{n-1}.\end{array}$ (8)

Нетрудно увидеть, что уравнение (8) совпадает с уравнением (5), если положить $k_3=\mathrm{Re}\left(Z_0\right)=\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right).$ Таким образом, искомое дискретное отображение (разностное уравнение движения), определяющее ДВ-осциллятор ван дер Поля, имеет вид

$\begin{array}{l}{x}_n-2\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}+x_{n-2}=\\ =2\pi \nu \left(pS\left(x_{n-1}\right)-1\right)\left(\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}-x_{n-2}\right).\end{array}$ (9)

При умеренных превышениях порога генерации $(p\le 10),$ когда автоколебания еще можно считать квазигармоническими, отображение (9) воспроизводит в дискретном времени основные характеристики НВ-осциллятора (1). Этот вывод непосредственно следует из способа его формирования. Тем не менее приведем также ряд результатов цифрового анализа временных рядов, генерируемых по алгоритму (9).

3. Численный эксперимент с томсоновским ДВ-осциллятором

В качестве примера рассмотрим автоколебания в ДВ-осцилляторе (9) с нелинейностью дифференциальной крутизны вида

$S\left(x\right)=1-{\text{th}}^2\left(\frac{3}{2}x\right).$

График функции (10) приведен на рис. 1. Для сравнения пунктирной линией показаны графики квадратичной нелинейности дифференциальной крутизны

$S\left(x\right)=1-x^2,$

соответствующей осциллятору ван дер Поля, и ограниченной квадратичной нелинейности.

 

Рис.1. Дифференциальная крутизна активного элемента

Fig. 1. Active element differential slope

 

Энергетические характеристики НВ- и ДВ-осцилляторов можно сопоставить путем сравнения зависимостей амплитуд $A_c$ и $A_d$ первой гармоники установившихся автоколебаний от величины параметра превышения порога генерации. Соотношение этих зависимостей иллюстрируют графики, приведенные на рис. 2.

Для дискретного осциллятора (9) с параметрами ${\Omega }_0=\mathrm{0,18,}$ $Q=\mathrm{20,}$ $\nu =9\cdot {10}^{-3}$ график зависимости $A_d\left(p\right)$ получен путем оценки амплитуды автоколебаний по формуле

$A_d\left(p\right)=\sqrt{x_N^2\left(p\right)+{\left(\frac{\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_N\left(p\right)-x_{N-1}\left(p\right)}{\sin \left(2\pi {\Omega }_0\right)}\right)}^2}$ (10)

на основе отсчетов $x_{N-1}$ и $x_N$ временного ряда. Отметим, что при записи (10) использована аппроксимация производной $y=dy/d\tau$ вида [15]

 

Рис. 2. Огибающие автоколебаний НВ- и ДВ-осцилляторов

Fig. 2. Amplitudes of self-oscillations in continuous and discrete time

$\text{sinc}\left(2\pi {\Omega }_0\right)y_n=\left(\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_n-x_{n-1}\right),$

где $\text{sinc}\left(2\pi {\Omega }_0\right)=\text{sin}\left(2\pi {\Omega }_0\right)/2\pi {\Omega }_0$ – кардинальный синус.

Оценка амплитуды $A_c\left(p\right)$ установившихся автоколебаний томсоновского осциллятора (1) проведена на основе результатов численного интегрирования задачи Коши для уравнения движения (2) методом Рунге – Кутта четвертого порядка с фиксированным шагом $\Delta \tau =\mathrm{0,125.}$ Временные ряды для оценки $A_c\left(p\right)$ сформированы путем выборки из численного решения $X_n=x_{nM},$ $Y_n=y_{nM}={x^{\text{'}}}_{\tau }\left({\tau }_{nM}\right)$ при $M=\mathrm{8,}$ а затем использована формула

$A_c\left(p\right)=\sqrt{X_N^2\left(p\right)+{\left(\frac{Y_N\left(p\right)}{2\pi {\Omega }_0}\right)}^2}.$

В целом, как это следует из рис. 2, зависимости $A_c\left(p\right)$ и $A_d\left(p\right)$ близки как качественно, так и количественно – максимальное расхождение их значений в представленном примере составляет 8,4 %. Причем причина замедленного роста $A_d\left(p\right)$ по сравнению с $A_c\left(p\right)$ при увеличении параметра $p$ заключается в повышенном уровне гармоник у ДВ-осциллятора (9). Это подтверждается рис. 3, на котором для $p=3$ сплошной линией показан амплитудный спектр автоколебаний ДВ-осциллятора (9), а пунктирной – НВ-осциллятора (1). Символами $gK$ отмечены гармоники с номерами K. Здесь следует обратить внимание на неустранимый эффект подмены частот (наложения спектров) гармоник автоколебаний в дискретном времени [16]. Что касается основных частот автоколебаний, то они в представленном примере у осцилляторов (1) и (9) весьма близки.

 

Рис. 3. Амплитудные спектры НВ- и ДВ-осцилляторов

Fig. 3. Amplitude spectrum of CT- and DT-oscillators

 

4. Разновидности ДВ-осцилляторов томсоновского типа

Основываясь на дискретном отображении (уравнении движения) осциллятора ван дер Поля, можно предложить еще ряд ДВ-автогенераторов томсоновского типа.

Вариант уравнения движения (9) нетрудно получить, если ввести в рассмотрение параметр консервативности резонатора ДВ-автогенератора:

$\delta =1-\pi \nu \to \exp (-\pi \nu ).$

Тогда (9) принимает вид

$\begin{array}{l}{x}_n-2\delta \cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}+{\delta }^2{x}_{n-2}=\\ =2\pi \nu pS\left(x_{n-1}\right)\left(\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}-x_{n-2}\right),\end{array}$ (10)

Очевидно, что при $\delta =1$ и $S\left(x\right)=1-x^2$ разностное уравнение

$\begin{array}{l}{x}_n-2\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}+x_{n-2}=\\ =2\pi \nu p\left(1-x_{n-1}^2\right)\left(\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}-x_{n-2}\right),\end{array}$

представляет собой результат дискретизации времени в уравнении ван дер Поля в его стандартной форме записи [4]:

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}x={\omega }_0\gamma \left(1-x^2\right)\frac{dx}{dt},$

где $\gamma =pQ$ – константа глубины обратной связи.

Вариант ДВ-автогенератора с перестройкой частоты задается уравнением

$\begin{array}{l}{x}_n-2\cos \left(2\pi {\Omega }_0(1+m_n)\right)x_{n-1}+x_{n-2}=\\ =2\pi \nu \left(pS\left(x_{n-1}\right)-1\right)\left(\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}-x_{n-2}\right),\end{array}$

где $m_n=\Delta {\Omega }_n/{\Omega }_0$ – текущее значение индекса частотной модуляции; $\Delta {\Omega }_n$ – девиация частоты.

Заключение

Предложенный метод дискретизации времени в дифференциальном уравнении квазигармонической автоколебательной системы (системы томсоновского типа) позволяет перейти к рассмотрению дискретных отображений, гарантированно обладающих динамическими характеристиками аналоговых систем-прототипов. Такие отображения можно использовать в качестве нелинейных функциональных узлов в численных моделях сложных радиоэлектронных устройств. Кроме того, они могут служить основой алгоритмов обработки дискретных (цифровых) сигналов, таких, например, как синхронное и частотное детектирование [17].

При значительных превышениях порога генерации, когда перестает выполняться условие квазилинейности исходной автоколебательной системы, дискретные отображения приобретают новые свойства, позволяющие рассматривать их как самостоятельные объекты нелинейной динамики в дискретном времени.

About the authors

Valery V. Zaitsev

Samara National Research University

Email: zaitsev@samsu.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Optics and Spectroscopy

Russian Federation, Samara

Alexander V. Karlov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: a.v.karlov@gmail.com

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Theoretical Foundations of Radio Engineering and Communication

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files