Analytical and computer modeling of surfaces with the curvilinear projection method

Full Text

Введение

Конструктивные способы образования поверхностей создавались в разные времена и соответствовали потребностям науки и техники [1,  2]. Первым из них был кинематический метод, который появился вместе с возникновением начертательной геометрии [3]. На стадии зарождения этот метод был применён для формообразования линейчатых поверхностей. Первой вехой в развитии этого метода явилось отнесение одной из инцидентных линий в бесконечность. В классе линейчатых поверхностей был выделен подкласс линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма – поверхностей Каталана¹. Следующим конструктивным способом образования поверхностей следует признать способ преобразований, появление которого связано с зарождением научной специальности «Прикладная геометрия, инженерная графика». Первыми шагами использования способа преобразований стали применения аффинных и гомологических преобразований сложных поверхностей в более простые с целью упрощения решения задач начертательной геометрии [4].

Дальнейшее развитие прикладной геометрии поверхностей ассоциировалось с решением в основном методологических проблем: теории определителя поверхности [5], теории каркаса [6], теории параметризации [7]. Способ изъятия линейного каркаса поверхности с множественного числа, в частности с конгруэнции линий, следует из этих теорий. Одним из распространённых способов выделения линейного каркаса поверхности с конгруэнции является погружение в неё линии. Кроме конгруэнции прямых в формообразовании поверхностей применяются конгруэнции окружностей, парабол [8], плоских кривых [9], цилиндрических винтовых линий, конических винтовых линий [10].

Вопросам формообразования оболочек посвящено большое количество работ. Геометрические исследования формообразования оболочек в архитектуре обобщены в [11]. До середины ХХ века точный аналитический метод расчёта циклических оболочек был заменён приближённым расчётом относительно простых систем, на которые можно было расчленить конструкцию. Инженеры, механики и архитекторы, используя только приближённые методы расчёта, создали немало конструкций и сооружений в форме циклических поверхностей. Из циклических поверхностей широко известны и используются: поверхности вращения, круговые винтовые поверхности и трубчатые поверхности с произвольной плоской линией центров. В циклических поверхностях одно семейство образующих кривых представляет собой окружности постоянного или переменного радиуса, что значительно упрощает процесс изготовления тонких оболочек в форме этих поверхностей.

Аналитическому описанию циклических поверхностей, в т.ч. поверхностей Иоахимсталя², с использованием различных подходов посвящено много работ [12, 13]. Конструктивная схема формообразования поверхности Иоахимсталя заключается в отыскании поверхности, несущей на себе траектории, ортогональные к семейству сфер с центрами на прямой [14].

1. Постановка задачи и методы

В работе использованы приёмы формообразования оболочек из циклических поверхностей Иоахимсталя. Аналитическим методом исследована система проецирования сплошной конгруэнцией окружностей с общей радикальной осью, любая проецирующая поверхность которой – циклическая поверхность Иоахимсталя.

Пучком окружностей на плоскости называют множество окружностей¹, имеющих общую радикальную ось. В зависимости от количества общих точек, имеющих окружности пучка с радикальной осью, пучки могут быть: гиперболические (нет общих точек), параболические (одна общая точка) и эллиптические (две общие точки). Пучки окружностей с центрами на осях OX и OZ, радикальными осями которых являются соответственно оси OZ и ОХ, называют сопряжёнными. Параметрические уравнения семьи окружностей имеют вид:

$\begin{array}{l}x=(a-\frac{1}{2u})+\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\cos t,\\ z=\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\sin t,\end{array}$   (1)

где a – абсциссы центра, r – радиус любой окружности, u – параметр пучка. В кинематическом способе формообразования поверхностей функции $x=f(t,u,v),y=\varphi (t,u,v),z=\psi (t,u,v)$ выражают связь между прямоугольными декартовыми координатами x, y, z и специальной параметризацией пространства с помощью пара-метров u, v, которые являются криволинейными координатами на поверхности-носителе, и параметра положения t поверхности-носителя в его движении. Вращением вокруг оси OZ пучка (1) можно прийти к конгруэнции окружностей, параметрические уравнения которой:

$\begin{array}{l}x=\left[a-\frac{1}{2u}+\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\cos t\right]\cos v,\\ y=\left[a-\frac{1}{2u}+\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\cos t\right]\sin v,\\ z=\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\sin t.\end{array}$

(2)

Поскольку пучок окружностей (1) симметричен относительно оси OZ, вращать для получения конгруэнции следует не весь пучок, а его часть, расположенную в полуплоскости. Конгруэнцию (2) окружностей с общей радикальной осью называют сплошной.

Если вращать вокруг общей радикальной оси пучок окружностей вместе с сопряжённым пучком, первый описывает конгруэнцию траекторий, ортогональных к семейству сфер, образованных вращением сопряжённого пучка. Таким образом, чтобы получить параметрические уравнения циклической поверхности Иоахимсталя, необходимо воспользоваться уравнениями, выражающими поверхность как множество лучей конгруэнции ортогональных траекторий, которые проецируют линию:

$x=f\left(w\right),y=\varphi \left(w\right),z=\psi \left(w\right)$   (3)

Линию следует выбрать на одной из сфер, образованной вращением окружности сопряжённого пучка. В результате получается уравнение поверхности, как семьи окружностей конгруэнции (2), проецирующих точки линии (3):

$\begin{array}{l}x=\frac{\left(\alpha \right(w)+\sqrt{{\left(\beta \right(w)-d)}^2+{\psi }^2\left(w\right)\left({\psi }^2\right(w)+2(\beta \left(w\right)+d\left)\right)}\cos t)f\left(w\right)}{2\beta \left(w\right)},\\ \\ y=\frac{\left(\alpha \right(w)+\sqrt{{\left(\beta \right(w)-d)}^2+{\psi }^2\left(w\right)\left({\psi }^2\right(w)+2(\beta \left(w\right)+d\left)\right)}\cos t)\varphi \left(w\right)}{2\beta \left(w\right)},\\ \\ z=\frac{\sqrt{{\left(\beta \right(w)-d)}^2+{\psi }^2\left(w\right)\left({\psi }^2\right(w)+2(\beta \left(w\right)+d\left)\right)}\sin t}{2\sqrt{\beta \left(w\right)}},\end{array}$.   (4)

где

$\begin{array}{l}f\left(w\right)=a\cos (w_0+c\sin (wn\left)\right)\cos w,\\ \\ \varphi \left(w\right)=a\cos (w_0+c\sin (wn\left)\right)\sin w,\\ \\ \psi \left(w\right)=a\sin (w_0+c\sin (wn\left)\right)+r,\end{array}$     $\begin{array}{l}\alpha \left(w\right)=2a(a+r\sin (w_0+c\sin \left(wn\right)\left)\right),\\ \\ \beta \left(w\right)=a^2{\cos }^2(w_0+c\sin (wn\left)\right),\\ \\ d=a^2-r^2\end{array}$;

а, r – соответственно расстояние от радикальной оси центра и радиус окружности, что вместе с радикальной осью задаёт пучок окружностей, который в результате вращения образует конгруэнцию окружностей;

r, a – соответственно расстояние от начала координат на радикальной оси и радиус сферы инциденции сферической линии;

w₀ – широта начальной параллели, которая является криволинейной осью синусоидальной сферической линии, аналога оси абсцисс плоской синусоидальной кривой;

c – криволинейная амплитуда синусоидальной сферической линии – аналог амплитуды плоской синусоидальной кривой;

n – количество складок (целое);

w – криволинейная координата на сфере сопряжённого пучка.

При любых выражениях функций (3) уравнения (4) выражают циклическую поверхность Иоахимсталя. Уравнения (4) удобны тем, что координатные линии $t=const$, $w=const$ – это линии кривизны. На такое совпадение ориентированы методы расчёта оболочек [15, 16].

Особый интерес представляет выявление влияния параметров, входящих в уравнение (4), на форму оболочки. Окружность радиуса r с координатами центра (а, 0) на плоскости ZOX задаёт вместе с осью OZ первоначальный пучок окружностей с общей радикальной осью OZ. Окружность радиуса а с координатами центра (0, r) задаёт в плоскости ZOX пучок, сопряжённый с первоначальным пучком. Вращением вокруг OZ сопряжённый пучок образует семью сфер с центрами на OZ, а первоначальный пучок – конгруэнцию окружностей, которые являются ортогональными траекториями семьи сфер (рисунки 1-3). Следовательно, параметры а и r напрямую и отдельно друг от друга влияния на форму поверхности Иоахимсталя не имеют. Влияние имеет их соединение, а именно

a² - r² = d.    (5)

 

Рисунок 1 – Первичный гиперболический и сопряженный эллиптический пучки окружностей

 

Рисунок 2 – Первичный эллиптический и сопряжённый гиперболический пучки окружностей

 

Рисунок 3 – Первичный и сопряжённый параболические пучки окружностей

 

2. Результаты

При исследовании влияния параметров а и r на форму поверхности Иоахимсталя выявлено три возможных случая:

Случай 1. a > r (d >0). Первоначальный пучок окружностей - гиперболический, сопряжённый – эллиптический (рисунок 1).

Гиперболический пучок окружностей содержит окружность нулевого радиуса, то есть при $r=\mathrm{0,}a=\sqrt{d}.$ В этом случае сопряжённый пучок окружностей эллиптический. Все окружности сопряжённого пучка проходят через две фиксированные точки: $M_1(a,0),M_2(-a,0)$. В результате вращения вокруг оси OZ точка М₁ описывает окружность радиуса  с центром в начале координат. Через него проходят все сферы, образованные вращением окружностей сопряжённого пучка. С целью установления достоверности результата относительно правильности параметрических уравнений (4), необходимо показать, что окружность

$x^2+y^2=a^2,z=0$   (6)

удовлетворяет уравнению (4) при $r=0.$

Из уравнения (4) при условии z = 0 следует: $\sin t=0$, что было обусловлено ранее, когда назначалось начало отсчёта параметра t; равенство нулю подкоренного выражения:

${(a^2{\cos }^2\alpha -a^2)}^2+a^2{\sin }^2\alpha (a^2{\sin }^2\alpha +2a^2{\cos }^2\alpha +2a^2)=4a^4{\sin }^2\alpha =\mathrm{0,}$   (7)

где $\alpha =w_0+c\sin \left(wn\right).$

Равенство (7) возможно в двух случаях: $a=0$ или $\sin \alpha =0.$ Сопоставив, получится $w_0=\mathrm{0,}c=0$. Поскольку w₀ и с использованы в представлении сферической линии на одной из сфер пучка, образованного сопряжённым пучком окружностей, то подставив полученные значения $r=\mathrm{0,} \sin t=\mathrm{0,}\cos t=\pm 1$ в уравнения (4), получится:

$x=\frac{2a{}^3\cos w}{2a{}^2},y=\frac{2a{}^3\sin w}{2a{}^2},z=0.$    (8)

Если возвести обе части последних равенств (8) в квадрат и приравнять суммы левых и правых частей полученных равенств, получится выражение:

$x^2+y^2+z^2=a^2.$   (9)

(9) – уравнение сферы, которое при z = 0 переходит в уравнения (6) линии пересечения сферы плоскостью z = 0.

Таким образом, при $r=\mathrm{0,}z=\mathrm{0,}{w}_0=\mathrm{0,}c=0$ получается сферическая линия – окружность (6), которую нельзя использовать для представления поверхности (4), поскольку лучи конгруэнции, образованные первоначальным пучком, есть окружности нулевого радиуса.

Случай 2. a < r (d <0). Первоначальный пучок окружностей – эллиптический (рисунок 2), все его окружности проходят через две фиксированные точки, расположенные на оси OZ: $N_1\left(\mathrm{0,}\sqrt{r^2-a^2}\right),N_2(\mathrm{0,}-\sqrt{r^2-a^2}).$

Точки N₁, N₂ являются фокальными для конгруэнции ортогональных траекторий семьи сфер, образованной сопряжённым пучком окружностей. Любая поверхность конгруэнции проходит через эти точки. Значение параметра t для них:

$t=\pm \arcsin \frac{\sqrt{r^2-a^2}}{r}+\pi$.   (10)

В этом случае необходимо принимать во внимание уравнение, показывающее равенство нулю радиуса сферы, которая принадлежит пучку, образованному сопряжённым пучком окружностей.

Случай 3. a = r (d = 0). Первоначальный и сопряжённый пучки окружностей – параболические (рисунок 3).

Окружности первоначального пучка и образованной им конгруэнции соприкасаются с радикальной осью OZ. Окружности сопряжённого пучка соприкасаются с радикальной осью OX, а образованные ими сферы семьи с центрами на OZ соприкасаются с плоскостью XOY. Как первые, так и вторые касания происходят в начале координат, который можно рассматривать как вырождение окружности конгруэнции – геометрического места окружности нулевого радиуса первоначального пучка при его вращении вокруг OZ в момент перехода гиперболического первоначального пучка в параболический.

Т.к. а и r входят в определитель как первоначального, так и сопряжённого пучков окружности, которые в свою очередь образуют соответственно конгруэнцию ортогональных траекторий и семью сфер, непосредственно окружность радиуса r с центром (a, 0) и сфера радиуса а с центром (0, r) могут быть вне области определения создаваемой поверхности Иоахимсталя. Такое же заключение можно сделать в отношении сферической линии, которая задаётся функциями $f\left(w\right),\varphi \left(w\right),\psi \left(w\right)$ на сфере радиуса а с координатами центра (0, r). Область определения поверхности зависит от интервала значений t, который определяется в процессе построения.

При d < 0 и интервале t поверхность будет иметь две конические точки $N_1\left(\mathrm{0,}\sqrt{r^2-a^2}\right)$ и $N_2(\mathrm{0,}-\sqrt{r^2-a^2})$. Рисунок 4 демонстрирует такой случай при $0\le t\le \frac{7\pi }{6}$. Построения поверхностей производились с помощью программы Maple.

 

Рисунок 4 – При d < 0 и интервале $\mathbf{0}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\frac{\mathbf{7}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}$ поверхность имеет две конические точки ${\mathit{N}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\sqrt{{\mathbf{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{)}$ и ${\mathit{N}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{-}\sqrt{{\mathbf{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{)}$

 

Добиться исключения отсека, расположенного между коническими точками, можно уменьшением интервала до $0\le t\le \frac{5\pi }{6}$ (рисунок 5).

 

Рисунок 5 – При d < 0 уменьшение интервала до $\mathbf{0}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}$ для исключения отсека, расположенного между коническими точками

 

Пределу интервала отвечает одна коническая точка. Дальнейшее уменьшение интервала $0\le t\le \frac{\pi }{2}$ приводит к появлению отверстия (рисунок 6).

 

Рисунок 6 – Появление отверстия при уменьшении интервала до $\mathbf{0}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{2}}$

 

Следует отметить, что касательные в точках N₁, N₂ к семье линий w = const, по которым поверхность (4) пересекается с плоскостями пучка и с осью OZ, образуют конусы (рисунок 7). При d = 0 точки N₁ и N₂ совпадают друг с другом и с началом координат. Окружности w = const не пересекаются с осью OZ, а соприкасаются с ней в начале координат. Конус касательных к линиям w = const поверхности (4) вырождается в прямую линию – ось OZ. Особой точке (начало координат) поверхности (4) отвечает значение $t=\pi$ (рисунок 7).

 

Рисунок 7 – Особая точка (начало координат) поверхности (4) при d = 0, которой соответствует значение $\mathit{t}\mathbf{=}\mathit{\pi }$

 

Поскольку наличие такой острой формы в конструкциях крайне нежелательно, для предотвращения её появления рекомендовано назначать соответствующую границу интервала таким образом, чтобы интервал не содержал $t=\pi$. Если ограничиться значениями $0\le t\le 2\pi$ (исключая $t=\pi$), то верхней границе интервала $t=\pi$ определения поверхности соответствует её направленность остриём вниз, нижней границе – остриём вверх (рисунок 8).

 

Рисунок 8 – Положение острия поверхности (остриё вниз при $\mathit{t}\mathbf{<}\mathit{\pi }$, остриё вверх при $\mathit{t}\mathbf{>}\mathit{\pi }$): а) при $\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\mathbf{3}$; б) при $\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\mathbf{5}$

 

Конгруэнция окружностей, образованная первоначальным пучком, имеет плоскость симметрии XOY. Поэтому смена знака параметра w₀ на противоположный не влияет на положение и направление острой формы (рисунок 9) в особой точке (начале координат).

 

Рисунок 9 – Форма поверхности при смене знака параметра w0: а) при ${\mathit{w}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}$; б) при ${\mathit{w}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}$

 

Параметр w₀ влияет на величину проекции амплитуды с на ось OZ. На рисунке 10 наглядно показано влияние изменения параметра с на получаемые модели поверхности. Амплитуда сферической синусоидальной линии – это её экстремальное отклонение вдоль меридиана сферы от окружности с широтой w₀.

На форму поверхности также влияет параметр n, который соответствует количеству складок. При n = 1 получается дважды циклическая поверхность Иоахимсталя – отсек циклиды Дюпена (рисунок 11а), при n = 2 поверхность напоминает шляпу (рисунок 11б), при n > 2 – появляются хорошо выраженные складки, количество которых равно n.

Необходимо подчеркнуть, что семьи координатных линий $w=const$ (окружности или их дуги) и $t=const$ (сферические линии) являются линиями кривизны. Соединение (совпадение) координатной сетки с сеткой линий кривизны важно при использовании методов расчёта оболочек.

 

Рисунок 10 – Модели поверхности при разных значениях параметра с: а) с = 0,07; б) с = 0,15; в) с = 0,2; г) при с = 0 получается поверхность вращения

 

Рисунок 11 – Поверхности при разных значениях параметра n, который соответствует количеству складок: а) при n = 1 получается дважды циклическая поверхность Иоахимсталя – отсек циклиды Дюпена; б) при n = 2 поверхность напоминает шляпу

 

3. Выводы

По результатам анализа исследований, проведённых в области образования поверхностей лучами криволинейного проецирования, можно сделать следующие выводы.

На примерах показаны широкие возможности формообразования циклических поверхностей Иоахимсталя, которые рекомендованы для использования в проектировании складчатых оболочек, благодаря следующим свойствам:

• многопараметричность общих моделей, позволяющая охватить широкий круг форм варьированием значениями параметров;
• отнесение к линиям кривизны, что является предпосылкой применения методов расчёта оболочки на прочность;
• программные реализации разработанных аналитических моделей позволяют оценить конструктивные и эстетические качества оболочки по наглядным графическим изображениям.

Применение методов криволинейного проецирования и поверхностей, образуемых этими методами, охватывают различные области [17-24]: решение задач начертательной геометрии, профилирование режущего инструмента, конструирование исполнительных органов землеобрабатывающих машин, моделирование пространства на плоскости, конструирование оболочек. Системы проецирования рассматриваются не только на плоскости, но и на криволинейных поверхностях.

Полученные поверхности и их алгебраические описания можно использовать для разработки удобных для работы плагинов различных программных комплексов (рисунки 12-16), в том числе для программ геометрического 3D моделирования и BIM программ (Компас 3D, Nanocad, Inventor, Renga, Revit и др.), а также для разработки расчётных моделей объектов не только для получения геометрии, но и при формирования сетки (Meshing) расчётных моделей (программы Ansys, ЛИРА САПР, Scad и др.) [25-27].

 

Рисунок 12 – Винтовая нарезка трапецеидальной резьбы

 

Рисунок 13 – Визуализация поверхности «Шнек»

 

Рисунок 14 – Модель шнека для бурения

 

Рисунок 15 – Модель компрессора

 

Рисунок 16 – Модели навесов

 

Заключение

Применение систем криволинейного проецирования в научных исследованиях, проектировании и производстве на оборудовании с числовым программным управлением сдерживается отсутствием общей математической модели, на основе которой можно было бы разрабатывать и развивать необходимые компьютерные технологии. Такая ситуация вызвана тем, что способы криволинейного проецирования зарождались и развивались на конструктивной основе, их аналитические интерпретации были разрознены и не привели к возникновению схемы обобщённого характера. Решения основывались на алгебраическом подходе, в то время как современные программные продукты в этой области ориентированы на параметрическое представление.

Общая аналитическая модель, предложенная в работе, реализована для систем криволинейного проецирования, лучами которых являются окружности. Циклические поверхности могут принимать привлекательные с точки зрения архитектора формы. Поэтому важно иметь теоретическое обобщение поставленной задачи, которое представлено в разработке общей аналитической модели систем криволинейного проецирования и их проецирующих поверхностей, отличающихся параметрическим представлением, которое позволяет выделить характерную семью линий на поверхности в системах компьютерной графики и затем в системах с числовым программным управлением программировать обработку вдоль этих линий. На параметрическое представление ориентированы современные пакеты автоматизированных систем научных исследований, автоматизации проектных работ и технологической подготовки производства.

¹ Hazewinkel Michiel, ed. (2001). Catalan surface, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.

² Поверхностью Иоахимсталя называют поверхность с семейством плоских линий кривизны, лежащих в плоскостях пучка. См., например, Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М.: Госиздат. физ.-мат. лит-ры. 1963. 540 с.

About the authors

Elena V. Denisova

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

Author for correspondence.
Email: Deni_sovaev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5058-1200
SPIN-code: 3913-0954

Ph.D of Tech. Science, Head of Descriptive Geometry and Engineering Graphics Department, St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering 

Russian Federation, Saint Petersburg

Yuliana A. Guryeva

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

Email: Yual2017@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5814-423X
SPIN-code: 3262-5546

Ph.D of Tech. Science, Associate Professor of Descriptive Geometry and Engineering Graphics Department, St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

Russian Federation, Saint Petersburg

References

Supplementary files