Аналитическое и компьютерное моделирование поверхностей методом криволинейного проецирования

Полный текст

Введение

Конструктивные способы образования поверхностей создавались в разные времена и соответствовали потребностям науки и техники [1,  2]. Первым из них был кинематический метод, который появился вместе с возникновением начертательной геометрии [3]. На стадии зарождения этот метод был применён для формообразования линейчатых поверхностей. Первой вехой в развитии этого метода явилось отнесение одной из инцидентных линий в бесконечность. В классе линейчатых поверхностей был выделен подкласс линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма – поверхностей Каталана¹. Следующим конструктивным способом образования поверхностей следует признать способ преобразований, появление которого связано с зарождением научной специальности «Прикладная геометрия, инженерная графика». Первыми шагами использования способа преобразований стали применения аффинных и гомологических преобразований сложных поверхностей в более простые с целью упрощения решения задач начертательной геометрии [4].

Дальнейшее развитие прикладной геометрии поверхностей ассоциировалось с решением в основном методологических проблем: теории определителя поверхности [5], теории каркаса [6], теории параметризации [7]. Способ изъятия линейного каркаса поверхности с множественного числа, в частности с конгруэнции линий, следует из этих теорий. Одним из распространённых способов выделения линейного каркаса поверхности с конгруэнции является погружение в неё линии. Кроме конгруэнции прямых в формообразовании поверхностей применяются конгруэнции окружностей, парабол [8], плоских кривых [9], цилиндрических винтовых линий, конических винтовых линий [10].

Вопросам формообразования оболочек посвящено большое количество работ. Геометрические исследования формообразования оболочек в архитектуре обобщены в [11]. До середины ХХ века точный аналитический метод расчёта циклических оболочек был заменён приближённым расчётом относительно простых систем, на которые можно было расчленить конструкцию. Инженеры, механики и архитекторы, используя только приближённые методы расчёта, создали немало конструкций и сооружений в форме циклических поверхностей. Из циклических поверхностей широко известны и используются: поверхности вращения, круговые винтовые поверхности и трубчатые поверхности с произвольной плоской линией центров. В циклических поверхностях одно семейство образующих кривых представляет собой окружности постоянного или переменного радиуса, что значительно упрощает процесс изготовления тонких оболочек в форме этих поверхностей.

Аналитическому описанию циклических поверхностей, в т.ч. поверхностей Иоахимсталя², с использованием различных подходов посвящено много работ [12, 13]. Конструктивная схема формообразования поверхности Иоахимсталя заключается в отыскании поверхности, несущей на себе траектории, ортогональные к семейству сфер с центрами на прямой [14].

1. Постановка задачи и методы

В работе использованы приёмы формообразования оболочек из циклических поверхностей Иоахимсталя. Аналитическим методом исследована система проецирования сплошной конгруэнцией окружностей с общей радикальной осью, любая проецирующая поверхность которой – циклическая поверхность Иоахимсталя.

Пучком окружностей на плоскости называют множество окружностей¹, имеющих общую радикальную ось. В зависимости от количества общих точек, имеющих окружности пучка с радикальной осью, пучки могут быть: гиперболические (нет общих точек), параболические (одна общая точка) и эллиптические (две общие точки). Пучки окружностей с центрами на осях OX и OZ, радикальными осями которых являются соответственно оси OZ и ОХ, называют сопряжёнными. Параметрические уравнения семьи окружностей имеют вид:

$\begin{array}{l}x=(a-\frac{1}{2u})+\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\cos t,\\ z=\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\sin t,\end{array}$   (1)

где a – абсциссы центра, r – радиус любой окружности, u – параметр пучка. В кинематическом способе формообразования поверхностей функции $x=f(t,u,v),y=\varphi (t,u,v),z=\psi (t,u,v)$ выражают связь между прямоугольными декартовыми координатами x, y, z и специальной параметризацией пространства с помощью пара-метров u, v, которые являются криволинейными координатами на поверхности-носителе, и параметра положения t поверхности-носителя в его движении. Вращением вокруг оси OZ пучка (1) можно прийти к конгруэнции окружностей, параметрические уравнения которой:

$\begin{array}{l}x=\left[a-\frac{1}{2u}+\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\cos t\right]\cos v,\\ y=\left[a-\frac{1}{2u}+\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\cos t\right]\sin v,\\ z=\sqrt{{(a-\frac{1}{2u})}^2-a^2+r^2}\sin t.\end{array}$

(2)

Поскольку пучок окружностей (1) симметричен относительно оси OZ, вращать для получения конгруэнции следует не весь пучок, а его часть, расположенную в полуплоскости. Конгруэнцию (2) окружностей с общей радикальной осью называют сплошной.

Если вращать вокруг общей радикальной оси пучок окружностей вместе с сопряжённым пучком, первый описывает конгруэнцию траекторий, ортогональных к семейству сфер, образованных вращением сопряжённого пучка. Таким образом, чтобы получить параметрические уравнения циклической поверхности Иоахимсталя, необходимо воспользоваться уравнениями, выражающими поверхность как множество лучей конгруэнции ортогональных траекторий, которые проецируют линию:

$x=f\left(w\right),y=\varphi \left(w\right),z=\psi \left(w\right)$   (3)

Линию следует выбрать на одной из сфер, образованной вращением окружности сопряжённого пучка. В результате получается уравнение поверхности, как семьи окружностей конгруэнции (2), проецирующих точки линии (3):

$\begin{array}{l}x=\frac{\left(\alpha \right(w)+\sqrt{{\left(\beta \right(w)-d)}^2+{\psi }^2\left(w\right)\left({\psi }^2\right(w)+2(\beta \left(w\right)+d\left)\right)}\cos t)f\left(w\right)}{2\beta \left(w\right)},\\ \\ y=\frac{\left(\alpha \right(w)+\sqrt{{\left(\beta \right(w)-d)}^2+{\psi }^2\left(w\right)\left({\psi }^2\right(w)+2(\beta \left(w\right)+d\left)\right)}\cos t)\varphi \left(w\right)}{2\beta \left(w\right)},\\ \\ z=\frac{\sqrt{{\left(\beta \right(w)-d)}^2+{\psi }^2\left(w\right)\left({\psi }^2\right(w)+2(\beta \left(w\right)+d\left)\right)}\sin t}{2\sqrt{\beta \left(w\right)}},\end{array}$.   (4)

где

$\begin{array}{l}f\left(w\right)=a\cos (w_0+c\sin (wn\left)\right)\cos w,\\ \\ \varphi \left(w\right)=a\cos (w_0+c\sin (wn\left)\right)\sin w,\\ \\ \psi \left(w\right)=a\sin (w_0+c\sin (wn\left)\right)+r,\end{array}$     $\begin{array}{l}\alpha \left(w\right)=2a(a+r\sin (w_0+c\sin \left(wn\right)\left)\right),\\ \\ \beta \left(w\right)=a^2{\cos }^2(w_0+c\sin (wn\left)\right),\\ \\ d=a^2-r^2\end{array}$;

а, r – соответственно расстояние от радикальной оси центра и радиус окружности, что вместе с радикальной осью задаёт пучок окружностей, который в результате вращения образует конгруэнцию окружностей;

r, a – соответственно расстояние от начала координат на радикальной оси и радиус сферы инциденции сферической линии;

w₀ – широта начальной параллели, которая является криволинейной осью синусоидальной сферической линии, аналога оси абсцисс плоской синусоидальной кривой;

c – криволинейная амплитуда синусоидальной сферической линии – аналог амплитуды плоской синусоидальной кривой;

n – количество складок (целое);

w – криволинейная координата на сфере сопряжённого пучка.

При любых выражениях функций (3) уравнения (4) выражают циклическую поверхность Иоахимсталя. Уравнения (4) удобны тем, что координатные линии $t=const$, $w=const$ – это линии кривизны. На такое совпадение ориентированы методы расчёта оболочек [15, 16].

Особый интерес представляет выявление влияния параметров, входящих в уравнение (4), на форму оболочки. Окружность радиуса r с координатами центра (а, 0) на плоскости ZOX задаёт вместе с осью OZ первоначальный пучок окружностей с общей радикальной осью OZ. Окружность радиуса а с координатами центра (0, r) задаёт в плоскости ZOX пучок, сопряжённый с первоначальным пучком. Вращением вокруг OZ сопряжённый пучок образует семью сфер с центрами на OZ, а первоначальный пучок – конгруэнцию окружностей, которые являются ортогональными траекториями семьи сфер (рисунки 1-3). Следовательно, параметры а и r напрямую и отдельно друг от друга влияния на форму поверхности Иоахимсталя не имеют. Влияние имеет их соединение, а именно

a² - r² = d.    (5)

 

Рисунок 1 – Первичный гиперболический и сопряженный эллиптический пучки окружностей

 

Рисунок 2 – Первичный эллиптический и сопряжённый гиперболический пучки окружностей

 

Рисунок 3 – Первичный и сопряжённый параболические пучки окружностей

 

2. Результаты

При исследовании влияния параметров а и r на форму поверхности Иоахимсталя выявлено три возможных случая:

Случай 1. a > r (d >0). Первоначальный пучок окружностей - гиперболический, сопряжённый – эллиптический (рисунок 1).

Гиперболический пучок окружностей содержит окружность нулевого радиуса, то есть при $r=\mathrm{0,}a=\sqrt{d}.$ В этом случае сопряжённый пучок окружностей эллиптический. Все окружности сопряжённого пучка проходят через две фиксированные точки: $M_1(a,0),M_2(-a,0)$. В результате вращения вокруг оси OZ точка М₁ описывает окружность радиуса  с центром в начале координат. Через него проходят все сферы, образованные вращением окружностей сопряжённого пучка. С целью установления достоверности результата относительно правильности параметрических уравнений (4), необходимо показать, что окружность

$x^2+y^2=a^2,z=0$   (6)

удовлетворяет уравнению (4) при $r=0.$

Из уравнения (4) при условии z = 0 следует: $\sin t=0$, что было обусловлено ранее, когда назначалось начало отсчёта параметра t; равенство нулю подкоренного выражения:

${(a^2{\cos }^2\alpha -a^2)}^2+a^2{\sin }^2\alpha (a^2{\sin }^2\alpha +2a^2{\cos }^2\alpha +2a^2)=4a^4{\sin }^2\alpha =\mathrm{0,}$   (7)

где $\alpha =w_0+c\sin \left(wn\right).$

Равенство (7) возможно в двух случаях: $a=0$ или $\sin \alpha =0.$ Сопоставив, получится $w_0=\mathrm{0,}c=0$. Поскольку w₀ и с использованы в представлении сферической линии на одной из сфер пучка, образованного сопряжённым пучком окружностей, то подставив полученные значения $r=\mathrm{0,} \sin t=\mathrm{0,}\cos t=\pm 1$ в уравнения (4), получится:

$x=\frac{2a{}^3\cos w}{2a{}^2},y=\frac{2a{}^3\sin w}{2a{}^2},z=0.$    (8)

Если возвести обе части последних равенств (8) в квадрат и приравнять суммы левых и правых частей полученных равенств, получится выражение:

$x^2+y^2+z^2=a^2.$   (9)

(9) – уравнение сферы, которое при z = 0 переходит в уравнения (6) линии пересечения сферы плоскостью z = 0.

Таким образом, при $r=\mathrm{0,}z=\mathrm{0,}{w}_0=\mathrm{0,}c=0$ получается сферическая линия – окружность (6), которую нельзя использовать для представления поверхности (4), поскольку лучи конгруэнции, образованные первоначальным пучком, есть окружности нулевого радиуса.

Случай 2. a < r (d <0). Первоначальный пучок окружностей – эллиптический (рисунок 2), все его окружности проходят через две фиксированные точки, расположенные на оси OZ: $N_1\left(\mathrm{0,}\sqrt{r^2-a^2}\right),N_2(\mathrm{0,}-\sqrt{r^2-a^2}).$

Точки N₁, N₂ являются фокальными для конгруэнции ортогональных траекторий семьи сфер, образованной сопряжённым пучком окружностей. Любая поверхность конгруэнции проходит через эти точки. Значение параметра t для них:

$t=\pm \arcsin \frac{\sqrt{r^2-a^2}}{r}+\pi$.   (10)

В этом случае необходимо принимать во внимание уравнение, показывающее равенство нулю радиуса сферы, которая принадлежит пучку, образованному сопряжённым пучком окружностей.

Случай 3. a = r (d = 0). Первоначальный и сопряжённый пучки окружностей – параболические (рисунок 3).

Окружности первоначального пучка и образованной им конгруэнции соприкасаются с радикальной осью OZ. Окружности сопряжённого пучка соприкасаются с радикальной осью OX, а образованные ими сферы семьи с центрами на OZ соприкасаются с плоскостью XOY. Как первые, так и вторые касания происходят в начале координат, который можно рассматривать как вырождение окружности конгруэнции – геометрического места окружности нулевого радиуса первоначального пучка при его вращении вокруг OZ в момент перехода гиперболического первоначального пучка в параболический.

Т.к. а и r входят в определитель как первоначального, так и сопряжённого пучков окружности, которые в свою очередь образуют соответственно конгруэнцию ортогональных траекторий и семью сфер, непосредственно окружность радиуса r с центром (a, 0) и сфера радиуса а с центром (0, r) могут быть вне области определения создаваемой поверхности Иоахимсталя. Такое же заключение можно сделать в отношении сферической линии, которая задаётся функциями $f\left(w\right),\varphi \left(w\right),\psi \left(w\right)$ на сфере радиуса а с координатами центра (0, r). Область определения поверхности зависит от интервала значений t, который определяется в процессе построения.

При d < 0 и интервале t поверхность будет иметь две конические точки $N_1\left(\mathrm{0,}\sqrt{r^2-a^2}\right)$ и $N_2(\mathrm{0,}-\sqrt{r^2-a^2})$. Рисунок 4 демонстрирует такой случай при $0\le t\le \frac{7\pi }{6}$. Построения поверхностей производились с помощью программы Maple.

 

Рисунок 4 – При d < 0 и интервале $\mathbf{0}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\frac{\mathbf{7}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}$ поверхность имеет две конические точки ${\mathit{N}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\sqrt{{\mathbf{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{)}$ и ${\mathit{N}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{-}\sqrt{{\mathbf{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{)}$

 

Добиться исключения отсека, расположенного между коническими точками, можно уменьшением интервала до $0\le t\le \frac{5\pi }{6}$ (рисунок 5).

 

Рисунок 5 – При d < 0 уменьшение интервала до $\mathbf{0}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}$ для исключения отсека, расположенного между коническими точками

 

Пределу интервала отвечает одна коническая точка. Дальнейшее уменьшение интервала $0\le t\le \frac{\pi }{2}$ приводит к появлению отверстия (рисунок 6).

 

Рисунок 6 – Появление отверстия при уменьшении интервала до $\mathbf{0}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{2}}$

 

Следует отметить, что касательные в точках N₁, N₂ к семье линий w = const, по которым поверхность (4) пересекается с плоскостями пучка и с осью OZ, образуют конусы (рисунок 7). При d = 0 точки N₁ и N₂ совпадают друг с другом и с началом координат. Окружности w = const не пересекаются с осью OZ, а соприкасаются с ней в начале координат. Конус касательных к линиям w = const поверхности (4) вырождается в прямую линию – ось OZ. Особой точке (начало координат) поверхности (4) отвечает значение $t=\pi$ (рисунок 7).

 

Рисунок 7 – Особая точка (начало координат) поверхности (4) при d = 0, которой соответствует значение $\mathit{t}\mathbf{=}\mathit{\pi }$

 

Поскольку наличие такой острой формы в конструкциях крайне нежелательно, для предотвращения её появления рекомендовано назначать соответствующую границу интервала таким образом, чтобы интервал не содержал $t=\pi$. Если ограничиться значениями $0\le t\le 2\pi$ (исключая $t=\pi$), то верхней границе интервала $t=\pi$ определения поверхности соответствует её направленность остриём вниз, нижней границе – остриём вверх (рисунок 8).

 

Рисунок 8 – Положение острия поверхности (остриё вниз при $\mathit{t}\mathbf{<}\mathit{\pi }$, остриё вверх при $\mathit{t}\mathbf{>}\mathit{\pi }$): а) при $\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\mathbf{3}$; б) при $\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{\le }\mathit{t}\mathbf{\le }\mathbf{5}$

 

Конгруэнция окружностей, образованная первоначальным пучком, имеет плоскость симметрии XOY. Поэтому смена знака параметра w₀ на противоположный не влияет на положение и направление острой формы (рисунок 9) в особой точке (начале координат).

 

Рисунок 9 – Форма поверхности при смене знака параметра w0: а) при ${\mathit{w}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}$; б) при ${\mathit{w}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}$

 

Параметр w₀ влияет на величину проекции амплитуды с на ось OZ. На рисунке 10 наглядно показано влияние изменения параметра с на получаемые модели поверхности. Амплитуда сферической синусоидальной линии – это её экстремальное отклонение вдоль меридиана сферы от окружности с широтой w₀.

На форму поверхности также влияет параметр n, который соответствует количеству складок. При n = 1 получается дважды циклическая поверхность Иоахимсталя – отсек циклиды Дюпена (рисунок 11а), при n = 2 поверхность напоминает шляпу (рисунок 11б), при n > 2 – появляются хорошо выраженные складки, количество которых равно n.

Необходимо подчеркнуть, что семьи координатных линий $w=const$ (окружности или их дуги) и $t=const$ (сферические линии) являются линиями кривизны. Соединение (совпадение) координатной сетки с сеткой линий кривизны важно при использовании методов расчёта оболочек.

 

Рисунок 10 – Модели поверхности при разных значениях параметра с: а) с = 0,07; б) с = 0,15; в) с = 0,2; г) при с = 0 получается поверхность вращения

 

Рисунок 11 – Поверхности при разных значениях параметра n, который соответствует количеству складок: а) при n = 1 получается дважды циклическая поверхность Иоахимсталя – отсек циклиды Дюпена; б) при n = 2 поверхность напоминает шляпу

 

3. Выводы

По результатам анализа исследований, проведённых в области образования поверхностей лучами криволинейного проецирования, можно сделать следующие выводы.

На примерах показаны широкие возможности формообразования циклических поверхностей Иоахимсталя, которые рекомендованы для использования в проектировании складчатых оболочек, благодаря следующим свойствам:

• многопараметричность общих моделей, позволяющая охватить широкий круг форм варьированием значениями параметров;
• отнесение к линиям кривизны, что является предпосылкой применения методов расчёта оболочки на прочность;
• программные реализации разработанных аналитических моделей позволяют оценить конструктивные и эстетические качества оболочки по наглядным графическим изображениям.

Применение методов криволинейного проецирования и поверхностей, образуемых этими методами, охватывают различные области [17-24]: решение задач начертательной геометрии, профилирование режущего инструмента, конструирование исполнительных органов землеобрабатывающих машин, моделирование пространства на плоскости, конструирование оболочек. Системы проецирования рассматриваются не только на плоскости, но и на криволинейных поверхностях.

Полученные поверхности и их алгебраические описания можно использовать для разработки удобных для работы плагинов различных программных комплексов (рисунки 12-16), в том числе для программ геометрического 3D моделирования и BIM программ (Компас 3D, Nanocad, Inventor, Renga, Revit и др.), а также для разработки расчётных моделей объектов не только для получения геометрии, но и при формирования сетки (Meshing) расчётных моделей (программы Ansys, ЛИРА САПР, Scad и др.) [25-27].

 

Рисунок 12 – Винтовая нарезка трапецеидальной резьбы

 

Рисунок 13 – Визуализация поверхности «Шнек»

 

Рисунок 14 – Модель шнека для бурения

 

Рисунок 15 – Модель компрессора

 

Рисунок 16 – Модели навесов

 

Заключение

Применение систем криволинейного проецирования в научных исследованиях, проектировании и производстве на оборудовании с числовым программным управлением сдерживается отсутствием общей математической модели, на основе которой можно было бы разрабатывать и развивать необходимые компьютерные технологии. Такая ситуация вызвана тем, что способы криволинейного проецирования зарождались и развивались на конструктивной основе, их аналитические интерпретации были разрознены и не привели к возникновению схемы обобщённого характера. Решения основывались на алгебраическом подходе, в то время как современные программные продукты в этой области ориентированы на параметрическое представление.

Общая аналитическая модель, предложенная в работе, реализована для систем криволинейного проецирования, лучами которых являются окружности. Циклические поверхности могут принимать привлекательные с точки зрения архитектора формы. Поэтому важно иметь теоретическое обобщение поставленной задачи, которое представлено в разработке общей аналитической модели систем криволинейного проецирования и их проецирующих поверхностей, отличающихся параметрическим представлением, которое позволяет выделить характерную семью линий на поверхности в системах компьютерной графики и затем в системах с числовым программным управлением программировать обработку вдоль этих линий. На параметрическое представление ориентированы современные пакеты автоматизированных систем научных исследований, автоматизации проектных работ и технологической подготовки производства.

¹ Hazewinkel Michiel, ed. (2001). Catalan surface, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.

² Поверхностью Иоахимсталя называют поверхность с семейством плоских линий кривизны, лежащих в плоскостях пучка. См., например, Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М.: Госиздат. физ.-мат. лит-ры. 1963. 540 с.

Об авторах

Елена Васильевна Денисова

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: Deni_sovaev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5058-1200
SPIN-код: 3913-0954

к.т.н., заведующая кафедрой начертательной геометрии и инженерной графики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета 

Россия, Санкт-Петербург

Юлиана Александровна Гурьева

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Email: Yual2017@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5814-423X
SPIN-код: 3262-5546

к.т.н., доцент кафедры начертательной геометрии и инженерной графики СПбГАСУ

Россия, Санкт-Петербург

Список литературы

Дополнительные файлы