Том 26, № 4 (2020)

Известно, что при математическом моделировании электромагнитных полей в пространстве характер электромагнитного процесса определяется свойствами среды. Если среда непроводящая, то получаем многомерные гиперболические уравнения. Если же среда обладает большой проводимостью, то приходим к многомерным параболическим уравнениям. Следовательно, анализ электромагнитных полей в сложных средах (например, если проводимость среды меняется) сводится к многомерным гиперболо-параболическим уравнениям. При изучении этих приложений возникает необходимость получения явного представления решений исследуемых задач. Краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучены, а их многомерные аналоги исследованы мало. Задача Трикоми для указанных уравнений ранее исследована. Насколько известно, эта задача в пространстве не изучена. В данной статье показано, что для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения задача Трикоми разрешима неоднозначно. Приводится явный вид этих решений.

В статье рассмотрена задача Гурса с нелокальными интегральными условиями для гиперболического уравнения с доминирующей смешанной производной. Методы исследования разрешимости классических краевых задач для уравнений с частными производными не могут быть применены без серьезных модификаций и предварительных действий к нелокальным задачам. Выбор метода исследования разрешимости нелокальной задачи зависит от вида интегрального условия. В процессе разработки методов, эффективных для нелокальных задач, были выделены интегральные условия различных типов [1]. Разрешимость нелокальной задачи Гурса с интегральными условиями первого рода для общего уравнения с доминирующей смешанной производной второго порядка была исследована в [2]. Интегральные условия рассматриваемой задачи являются нелокальными условиями второго рода, поэтому для исследования разрешимости задачи мы предлагаем другой метод, который заключается в сведении поставленной нелокальной задачи к классической задаче Гурса, но для нагруженного уравнения. В статье получены условия, выполнение которых гарантирует существование единственного решения поставленной задачи. Основным инструментом доказательства являются априорные оценки, полученные в работе.

Целью исследования является определение коэффициентов интенсивности напряжений с помощью данных моделирования методом молекулярной динамики. В процессе исследования проведено компьютерное моделирование распространения центральной трещины в медной пластине. Моделирование выполнено в программном комплексе LAMMPS. Проведено всестороннее исследование влияния геометрических характеристик (размер модели, длина трещины), температуры, скорости деформирования и параметра смешанности нагружения на распространение трещины в пластине. В статье предложен способ определения коэффициентов асимптотического разложения М. Уильямса полей напряжений. Проведены анализ влияния выбора точек на вычисление коэффициентов и сравнение полученных результатов с аналитическим решением.

Рассмотрена система двух диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атомов (кубитов) во внешних полях. Показано, что с использованием когерентных состояний группы динамической симметрии системы SU(2)×SU(2) временная эволюция может быть сведена к "классической" динамике их комплексных параметров. Построены траектории когерентных состояний и рассчитаны временные зависимости вероятности нахождения кубитов на верхних уровнях.