TRICOMI PROBLEM FOR MULTIDIMENSIONAL MIXED HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATION


Cite item

Abstract

It is known that in mathematical modeling of electromagnetic fields in space, the nature of the electromagnetic process is determined by the properties of the media. If the medium is non-conducting, then we obtain multidimensional hyperbolic equations. If the medium’s conductivity is higher, then we arrive at multidimensional parabolic equations. Consequently, the analysis of electromagnetic fields in complex media (for example, if the conductivity of the medium changes) reduces to multidimensional hyperbolic-parabolic equations. When studying these applications, one needs to obtain an explicit representation of solutions to the problems under study. Boundary-value problems for hyperbolic-parabolic equations on a plane are well studied; however, their multidimensional analogs have been analyzed very little. The Tricomi problem for the above equations has been previously investigated, but this problem in space has not been studied earlier. This article shows that the Tricomi problem is not uniquely solvable for a multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equation. An explicit form of these solutions is given.

Full Text

Введение

Задача Трикоми для гиперболо-параболических уравнений на плоскости изучена многими авторами (см.[3] и приведеную в ней библиографию). Однако их многомерные аналоги не исследованы.

Теория краевых задач для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучена, а их многомерные аналоги исследованы мало [2].

Задача Трикоми для указанных уравнений ранее исследована [1]. Насколько известно, это задача в пространстве не изучена. В данной статье показано, что для модельного многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения задача Трикоми имеет бесчисленное множество решений.

Алдашев С.А. Задача Трикоми для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения

8 Aldashev S.A. Tricomi problem for multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equation

 

  1. Постановка задачи и результат

    Пусть Dконечная область евклидова пространства Em+1 точек (x1, ..., xm, t), ограниченная в по- лупространстве t > 0 конусами K0 : |x| = t, K1 : |x| = 1 t,

    image

    2

     

    0 t 1 , а при t < 0цилиндрической поверхностью Γ = {(x, t) : |x| = 1} и плоскостью t = t0 = const,

    где |x|− длина вектора x = (x1, ..., xm).

    Обозначим через D+ и D части области D, лежащие соответственно в полупространствах t > 0 и

    t < 0. Часть конусов K0, K1, ограничивающих области D+, обозначим через S0, S1 соответственно.

    Пусть S = {(x, t) : t = 0, 0 < |x| < 1}, Γ0 = {(x, t) : t = 0, |x| = 1}.

    В области D рассмотрим модельное смешанное гиперболо-параболическое уравнение

    { xu utt, t > 0,

    0 = (1)

    xu ut, t < 0,

    где xоператор Лапласа по переменным x1, ..., xm, m 2.

    В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, ..., xm, t к сферическим

    r, θ1, ..., θm1, t, r 0, 0 θ1 < 2π, 0 θi π, i = 2, 3, ..., m 1, θ = (θ1, ..., θm1).

    Следуя [3], в качестве многомерного аналога задачи Трикоми рассмотрим следующую задачу.

    Задача T. Найти решение уравнения (1) в области D при t ̸= 0 из класса

    C(D¯ \ Γ0) C1(D) C2(D+ D), удовлетворяющее краевым условиям

    u|S0 = φ(r, θ), u|Γ = ψ(t, θ). (2)

    n,m

     

    Пусть {Y k

    (θ)} — система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 k kn,

    l

    (m 2)!n!kn = (n + m 3)!(2n + m 2), θ = (θ1, ..., θm1), W2(S), l = 0, 1, ... — пространства Соболева,

    image

    2

     

    а S˜ = {(r, θ) S, 0 < r < 1 .

    Имеет место [4].

    2

     

    Лемма. Пусть f (r, θ) W l(S). Если l m 1, то ряд

    kn

    f (r, θ) = f k (r)Y k

    (θ), (3)

    n

    n=0 k=1

    n,m

    а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p l m + 1, сходятся абсолютно и

    равномерно.

    Через φ¯k (r), ψk (t), τ¯k (r), ν¯k (r) обозначим коэффициенты разложения ряда (3) соответственно функ-

    n n n n

    ций φ(r, θ), ψ(t, θ), τ (r, θ) = u(r, θ, 0), ν(r, θ) = ut(r, θ, 0).

    Введем множество функций

     

    Bl(S˜) = {f (r, θ) : f W l(S˜),

    kn

    (||f k (r)||2

    + ||f k (r)||2

    ) exp 2(n2 + n(m 2)) < ,

     

    Тогда справедлива

    2

    n=0 k=1

    image

    2

     

    n C2 ((0, 1 )) n

    l m 1}.

    image

    2

     

    C([0, 1 ])

    Теорема. Если φ(r, θ) = r3φ(r, θ), φ(r, θ) Bl(S˜), ψ(t, θ) W l(Γ), l m + 1, то задача T разрешима

    неоднозначно.

    Отметим, что неединственность решения задачи T показана в [5].

     

  2. Разрешимость задачи 1

Доказательство теоремы. В сферических координатах уравнение (1) в области D+ имеет вид

m 1 1

где

m1

r r2

 

urr +

(

ur δu utt = 0, (4)

)

δ ≡ −

j=1 gj sin

1

image

mj1

θj θj

sinmj1 θj

image

∂θj

, g1

= 1, gj

= (sin θ1... sin θ

j1

)2, j > 1.

При t → −0 на S получим функциональное соотношение между τ (r, θ) и ν(r, θ) вида

m 1 1

r

 

τrr +

τ δτ = ν(r, θ), 0 < r < 1. (5)

r r2

Известно [4], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n + m 2), n = 0, 1, ...,

n,m

 

каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных функций Y k

(θ).

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 7–14

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 7–14 9

 

Искомое решение задачи T в области D+ будем искать в виде

kn

u(r, θ, t) = u¯k (r, t)Y k

(θ), (6)

n

n=0 k=1

n

 

где u¯k (r, t)функции, подлежащие определению.

n,m

n,m

 

Подставляя (6) в (4) и (5), используя ортогональность сферических функций Y k

(θ) [3], будем иметь

 

u¯k

 

m 1

+ k

k λn k

nrr

r u¯nr u¯ntt r2 u¯n = 0, (7)

τ¯k

 

k

 

m 1

+

λn k k

nrr

r τ¯nr r2 τ¯n = ν¯n (r), 0 < r < 1, (8)

при этом первое краевое условие (2) запишется в виде

image

u¯k (r, r) = φ¯k (r), 0 r 1 , k = 1, k

 

, n = 0, 1, ... . (9)

image

n n 2 n

(1m)

В (7)–(9) произведя замену u¯k (r, t) = r

2 uk (r, t) и полагая ξ = r+t , η = rt , соответственно полу-

чим

image

image

n n 2 2

λ¯n 1

image

image

uk k

η + (ξ + η)2 un = 0, 0 < η < ξ < 2 , (10)

λ¯n 1

image

τ k k k

ξ + ξ2 τn = νn(ξ), 0 < ξ < 2 , (11)

uk k 1

image

n(ξ, 0) = φn(ξ), 0 ξ 2 , (12)

k

 

k

 

k

 

(m1)

τ 2

k

 

k

 

(m1) 2

k

 

(m1) 2

n (ξ) = (2ξ)

τ¯n (2ξ), νn (ξ) = (2ξ)

ν¯n (2ξ), φn(ξ) = ξ

φ¯n(ξ),

image

λ¯n = ((m 1)(3 m) 4λn)/4, k = 1, kn, n = 0, 1, ... .

Используя общее решение уравнения (10), полученное в [6], в работе [7] показано, что решение задачи Коши для уравнения (10) имеет вид

uk 1 k 1 k

image

image

n(ξ, η) = 2 τn (η)R(η, η; ξ, η) + 2 τn (ξ)R(ξ, ξ, ; ξ, η)+

ξ

+ 1 [νk (ξ1)R(ξ1, ξ1; ξ, η) τ k (ξ1)

(13)

R(ξ1, η1; ξ, η)|ξ =η ]1,

image

image

2 n

η

n ∂N 1 1

image

(ξ1 +η1 )(ξ+η)

 

где R(ξ, η1; ξ, η) = Pµ [(ξ1 η1 )(ξη)+2(ξ1 η1 +ξη) ] функция Римана уравнения (10) [8], а Pµ(z)функция

image

2

 

Лежандра, µ = n + (m3) ,

∂N |ξ1 =η1 =

( ∂ξ1

∂N ∂η1

+ ∂η1

∂N ∂ξ1

)

|ξ1 =η1 ,

где Nнормаль к прямой ξ = η в точке (ξ1, η1), направленная в стороны полуплоскости η ξ.

Из (13) при η = 0 с учетом (12) получим интегральное уравнение Вольтерра первого рода

где

gk

 

n(ξ) =

ξ

n

 

νk (ξ1)Pµ

0

 

ξ

image

( ξ1 )

ξ

 

1, (14)

 

( ξ )

n(ξ) = 2φn(ξ) ξ

ψn(ξ1)Pµ

1,

image

image

gk k

d ( τ k

k 1

2 0 ξ

) = ψk k

(15)

image

n (ξ)

dξ ξ

n(ξ), ψn(0) = 0.

Уравнение (14) обратимо по формуле [7; 9], получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

ξ

νk 1 2

2 1

( ξ ) dgk

n

 

Далее, из (15), (16) имеем

image

n (ξ) = ξ

0

ξ1(ξ

image

ξ1 )

image

image

ξ

 

2 Pµ

1

1

1. (16)

ξ

νk k k

n (ξ) = fn (ξ) +

0

Gn(ξ, ξ1)ψn(ξ1)1, (17)

Алдашев С.А. Задача Трикоми для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения

10Aldashev S.A. Tricomi problem for multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equation

 

где

 

k 2 2

 

ξ

1

image

ξf (ξ) = 2 ξ1(ξ ξ ) 2 P

 

( ξ ) k

n dξ ,

n

0

1

1

( ξ ) ξ

image

µ ξ1

image

1

 

1

1

( ξ )

 

( ξ )

image

2ξGn(ξ, ξ1) = ξ2(ξ2 ξ2) 2 P

image

+ t(ξ2 t2) 2 Pµ

1 P

1 dt+

image

1 1 µ ξ1

ξ

ξ1

( ξ )

 

( ξ )

image

image

t µ t

image

P

 

1

 

µ

 

+ ξ1(ξ2 t2) 2

ξ1

image

image

P

 

1

t µ t

dt.

Ограниченным решением уравнения (11) является функция [10]

 

(s2 s1)τ k (ξ) =

 

ξ

(ξs2 ξ3s2 ξs1 ξ3s1 )νk (ξ1)1 + ck (s2 s1)ξs1 , 0 < ξ <

 

1

, (18)

image

n 1 1 n n 2

0

где s1 = n + (m1) , s2 = n (m3) , ck произвольная постоянная.

image

image

2 2 n

Подставляя (17) в (18), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

 

ξ

ψk k k

 

где

n(ξ) = Fn (ξ) +

0

 

ξ

Ln(ξ, ξ1)ψn(ξ1)1, (19)

F k k

s1 2 1

s2 2

3s2

s1 2

3s1 k

image

n (ξ) = (s1 1)cnξ

+

s2 s1

0

ξ

[(s2 1)ξ

ξ1 (s1 1)ξ

ξ1 ]fn (ξ1)1,

(s2 s1)Ln(ξ, ξ1) =

ξ1

[(s2 1)ξs2 2t3s2 (s1 1)ξs1 2t3s1 ]Gn(t, ξ1)dt.

n

 

Определяя из (19) ψk (ξ), найдем

 

ξ

τ k k 1

image

n (ξ) = ξ

0

ψn(ξ1)1, 0 ξ 2 , k = 1, kn, n = 0, 1, ... . (20)

Учитывая оценки [4; 11], имеем

image

|Pµ(z)| C, |z| 1, |Pµ(ch η)| C exp(µ 1 )η, η > 0,

p m 2

(21)

|kn| c2nm2, p Y k

(θ) c2n 2 +p1, |Y 1

(θ)| = c1, c, c1 = const,

image

∂θj

n,m

0,m

j = 1, m 1, p = 0, 1, ... , а также ограничения на заданную функцию φ(r, θ). Аналогично [7] можно показать, что ряд

(1m)

kn

(1m)

τ (r, θ) = r

2 τ 1(r)Y 1

(θ) + nlr

2 τ k (r)Y k

(θ) (22)

0 0,m

n=1 k=1

n n,m

image

2

 

сходится абсолютно и равномерно, если l > 3m .

Следовательно, в силу (19), задача (2), (4), (22) в области D+ имеет бесчисленное множество решений вида

(1m)

kn

(1m)

u(r, θ, t) = r

2 u1(r, t)Y 1

(θ) + r

2 uk (r, t)Y k

(θ), (23)

0 0,m

n=0 k=1

n n,m

image

где функции uk (r, t), k = 1, kn, n = 0, 1, ... находятся по формуле (13), в которой νk (ξ), τ k (ξ) определя-

n n n

ются из (17), (20) и принадлежит классу C(D¯ +) C1(D+ S) C2(D+).

Теперь задачу T будем изучать в области D.

В области D рассмотрим первую краевую задачу для уравнения

m 1 1

с условиямм

r r2

 

urr +

ur δu ut = 0 (24)

u|S = τ (r, θ), u|Γ = ψ(t, θ). (25)

Решение задачи (24), (25) будем искать в виде (6).

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 7–14

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 7–14 11

 

Подставляя (6) в (24), получим уравнение

λ¯n

image

uk k k

image

nrr unt + r2 un = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, ... , (26)

при этом краевое условие (25) имеет вид

image

uk k k k

n(r, 0) = gn(r), un(1, t) = ψn(t), k = 1, kn, n = 0, 1, ... , (27)

{ τ 1

gk

 

n(r) =

nlτ k

 

0 (r),

n (r), k = 1, kn, n = 1, 2, ... .

Произведя замену υk (r, t) = uk (r, t) ψk (t), задачу (26), (27) приведем к следующей задаче:

n n n

k υk

υk

λ¯n

+

 

υk = f k (r, t), (28)

n nrr

 

υk k

image

nt r2 n n

k

n(r, 0) = g˜n(r), υn(1, t) = 0, 0 < r < 1, (29)

λ¯n

f k k k k k k

image

n (r, t) = ψnt r2 ψn(t), g˜n(r) = gn(r) ψn(0).

Решение задачи (28), (29) ищем в виде υk (r, t) = υk

+ υk

где υk (r, t) — решение задачи

n 1n 2n 1n

 

n

 

1n

 

k = f k (r, t), (30)

υk k

2n

 

а υk (r, t)решение задачи

1n(r, 0) = 0, υ1n(1, t) = 0, (31)

 

υk k

 

=

 

2n

 

k 0, (32)

k

2n(r, 0) = g˜n(r), υ2n(1, t) = 0, 0 < r < 1. (33)

Решение вышеуказанных задач, аналогично [1], рассмотрим в виде

 

при этом пусть

 

υk

 

n(r, t) =

 

 

s=1

 

Rs(r)Ts(t), (34)

 

f k

 

n (r) =

k

 

 

s=1

as,n

k

 

k

 

(t)Rs(r), g˜n(r) =

 

s=1

bs,n

Rs(r). (35)

Подставляя (34) в (30),(31), с учетом (35) получим

λ¯n

image

Rsrr + r2 Rs + µRs = 0, 0 < r < 1, (36)

Rs(1) = 0, |Rs(0)| < , (37)

s,n

 

Tst + µT = ak

(t), (38)

Ts(0) = 0. (39)

Ограниченное решение задачи (36), (37) имеет вид [10]

image

Rs(r) = rJν (γs,nr), (40)

где ν = n + (m2) , Jν (z)функция Бесселя первого рода, γs,nее нули, µ = γ2 .

image

2

Решение задачи (38), (39) записывается в виде

s,n

 

t

Ts(t) =

0

Подставляя (40) в (35), получим

 

a

 

k s,n

s,n

 

(ξ) exp[γ2

(t ξ)]dξ. (41)

 

1

 

r2 f k k

image

n (r, t) =

 

s=1

as,n

(t)Jν (γs,nr), 0 < r < 1, (42)

image

1

 

r 2 g˜k (r) = bk

 

Jν (γs,nr), 0 < r < 1. (43)

n

s=1

s,n

Алдашев С.А. Задача Трикоми для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения

12Aldashev S.A. Tricomi problem for multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equation

 

Ряды (42), (43) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [12], если

1

image

2

 

ak ξf k (ξ, t)J (γ

ξ)dξ, (44)

image

s,n(t) = [J

 

ν+1

(γs,n

)]2 n

0

1

ν s,n

image

2

 

bk ξg˜k (ξ)J (γ

ξ)dξ, (45)

image

s,n = [J

 

ν+1

(γs,n

)]2

0

n ν s,n

где γs,n, s = 1, 2, ...положительные нули функции Бесселя, расположенные в порядке возрастания их

величины.

Из (40), (41) получим решение задачи (30), (31) в виде

υk

 

t

s,n

 

s,n

 

s,n

 

где ak

1n(r, t) =

 

(t) определяется из (44).

s=1

rJν (γs,nr){ ak

0

(ξ) exp[γ2

(t ξ)]}, (46)

Далее, подставляя (34) в (32), (33), будем иметь уравнение

 

 

решением которого является

s,n

 

Tst + γ2

T = 0,

 

 

Из (40), (47) с учетом (35) получим

s,n

 

Ts(t) = exp(γ2

t). (47)

 

 

s,n

 

где bk

 

находится из (45).

 

υk

 

2n(r, t) =

k

 

rbs,n

s=1

2

 

Jν (γs,nr) exp(γs,n

 

t), (48)

Следовательно, решение задачи (24), (25) в области D есть функция

 

kn

image

2

 

u(r, θ, t) = [ψk (t) + υk (r, t) + υk (r, t)]r (1m) Y k

(θ), (49)

n 1n 2n

n=0 k=1

n,m

где υk (r, t), υk (r, t) определяются из (46) и (48).

1n 2n

Учитывая ограничения на заданные функция φ(r, θ), ψ(t, θ), а также оценки (21), аналогично [1; 7],

можно показать, что полученные неоднозначные решения вида (23) и (49) принадлежит искомому классу.

Теорема доказана.

 

×

About the authors

S. A. Aldashev

Institute of Mathematics, Physics and Informatics, Abai Kazakh National Pedagogical University, 13, Dostyk ave., Almaty, 050100, Republic of Kazakhstan.

Author for correspondence.
Email: aldash51@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8223-6900

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, full professor

Kazakhstan

References

  1. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1977, 659 p. Available at: https://uch-lit.ru/matematika-2/dlya-studentov/tihonov-a-n-samarskiy-a-a-uravneniya-matematicheskoy-fiziki-onlayn (In Russ.)
  2. Bitsadze A.V. Some classes of partial differential equations. Moscow: Nauka, 1981, 448 p. Available at: https://www.studmed.ru/bicadze-av-nekotorye-klassy-uravneniy-v-chastnyh-proizvodnyh_5f371e781b6.html (In Russ.)
  3. Nakhushev A.M. Problems with displacement for partial differential equations. Moscow: Nauka, 2006, 287 p. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=17962288. (In Russ.)
  4. Mikhlin S.G. Multidimensional singular integrals and integral equations. Moscow: Fizmatgiz, 1962, 254 p. Available at: https://booksee.org/book/578442. (In Russ.)
  5. Aldashev S.A. Nonuniqueness of the solution of the Tricomi problem for a multidimensional hyperbolic-parabolic equation. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 4, pp. 541–545. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266114040120. (English; Russian original)
  6. Bitsadze A.V. Mixed-type equations. Moscow: Izd. AN SSSR, 1959, 164 p. Available at: https://1lib.education/book/1289692/1f5275?id=1289692&secret=1f5275. (In Russ.)
  7. Aldashev S.A. Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixed equations. Almaty: Gylym, 1994, 170 p. (In Russ.)
  8. Copson E.T. On the Riemann-Green function. (Archive for Rational Mechanics and Analysis), 1958, vol. 1, pp. 324–348. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00298013.
  9. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i tekhnika, 1987, 688 p. Available at: https://booksee.org/book/441860. (In Russ.)
  10. Kamke E. Handbook of ordinary differential equations. Moscow: Nauka, 1965, 703 p. Available at: https://booksee.org/book/567727. (In Russ.)
  11. Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Vol. 1. Moscow: Nauka, 1973, 294 p. Available at: http://ega-math.narod.ru/Books/Bateman.htm. (In Russ.)
  12. Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Vol. 2. Moscow: Nauka, 1974, 295 p. Available at: http://ega-math.narod.ru/Books/Bateman.htm. (In Russ.)

Copyright (c) 2021 Aldashev S.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies