ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО СМЕШАННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Полный текст

Введение

Задача Трикоми для гиперболо-параболических уравнений на плоскости изучена многими авторами (см.[3] и приведеную в ней библиографию). Однако их многомерные аналоги не исследованы.

Теория краевых задач для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучена, а их многомерные аналоги исследованы мало [2].

Задача Трикоми для указанных уравнений ранее исследована [1]. Насколько известно, это задача в пространстве не изучена. В данной статье показано, что для модельного многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения задача Трикоми имеет бесчисленное множество решений.

Алдашев С.А. Задача Трикоми для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения

8 Aldashev S.A. Tricomi problem for multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equation

 

1. Постановка задачи и результат

   Пусть D− конечная область евклидова пространства Em+1 точек (x1, ..., xm, t), ограниченная в по- лупространстве t > 0 конусами K0 : |x| = t, K1 : |x| = 1 − t,

   

   2

    

   0 � t � 1 , а при t < 0− цилиндрической поверхностью Γ = {(x, t) : |x| = 1} и плоскостью t = t0 = const,

   где |x|− длина вектора x = (x1, ..., xm).

   Обозначим через D+ и D− части области D, лежащие соответственно в полупространствах t > 0 и

   t < 0. Часть конусов K0, K1, ограничивающих области D+, обозначим через S0, S1 соответственно.

   Пусть S = {(x, t) : t = 0, 0 < |x| < 1}, Γ0 = {(x, t) : t = 0, |x| = 1}.

   В области D рассмотрим модельное смешанное гиперболо-параболическое уравнение

   { ∆xu − utt, t > 0,

   0 = (1)

   ∆xu − ut, t < 0,

   где ∆x− оператор Лапласа по переменным x1, ..., xm, m � 2.

   В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, ..., xm, t к сферическим

   r, θ1, ..., θm−1, t, r � 0, 0 � θ1 < 2π, 0 � θi � π, i = 2, 3, ..., m − 1, θ = (θ1, ..., θm−1).

   Следуя [3], в качестве многомерного аналога задачи Трикоми рассмотрим следующую задачу.

   Задача T. Найти решение уравнения (1) в области D при t ̸= 0 из класса

   C(D¯ \ Γ0) ∩ C1(D) ∩ C2(D+ ∪ D−), удовлетворяющее краевым условиям

   u|S0 = φ(r, θ), u|Γ = ψ(t, θ). (2)

   n,m

    

   Пусть {Y k

   (θ)} — система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 � k � kn,

   l

   (m − 2)!n!kn = (n + m − 3)!(2n + m − 2), θ = (θ1, ..., θm−1), W2(S), l = 0, 1, ... — пространства Соболева,

   

   2

    

   а S˜ = {(r, θ) ∈ S, 0 < r < 1 .

   Имеет место [4].

   2

    

   Лемма. Пусть f (r, θ) ∈ W l(S). Если l � m − 1, то ряд

   ∞ kn

   f (r, θ) = ∑ ∑ f k (r)Y k

   (θ), (3)

   n

   n=0 k=1

   n,m

   а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p � l − m + 1, сходятся абсолютно и

   равномерно.

   Через φ¯k (r), ψk (t), τ¯k (r), ν¯k (r) обозначим коэффициенты разложения ряда (3) соответственно функ-

   n n n n

   ций φ(r, θ), ψ(t, θ), τ (r, θ) = u(r, θ, 0), ν(r, θ) = ut(r, θ, 0).

   Введем множество функций

   ∞

    

   Bl(S˜) = {f (r, θ) : f ∈ W l(S˜), ∑

   kn

   ∑ (||f k (r)||2

   + ||f k (r)||2

   ) exp 2(n2 + n(m − 2)) < ∞,

    

   Тогда справедлива

   2

   n=0 k=1

   

   2

    

   n C2 ((0, 1 )) n

   l � m − 1}.

   

   2

    

   C([0, 1 ])

   Теорема. Если φ(r, θ) = r3φ∗(r, θ), φ∗(r, θ) ∈ Bl(S˜), ψ(t, θ) ∈ W l(Γ), l � m + 1, то задача T разрешима

   неоднозначно.

   Отметим, что неединственность решения задачи T показана в [5].

    

2. Разрешимость задачи 1

Доказательство теоремы. В сферических координатах уравнение (1) в области D+ имеет вид

m − 1 1

где

m−1

r r2

 

urr +

(

ur − δu − utt = 0, (4)

)

δ ≡ − ∑

j=1 gj sin

1

m−j−1

∂

θj ∂θj

sinm−j−1 θj

∂

∂θj

, g1

= 1, gj

= (sin θ1... sin θ

j−1

)2, j > 1.

При t → −0 на S получим функциональное соотношение между τ (r, θ) и ν(r, θ) вида

m − 1 1

r −

 

τrr +

τ δτ = ν(r, θ), 0 < r < 1. (5)

r r2

Известно [4], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n + m − 2), n = 0, 1, ...,

n,m

 

каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных функций Y k

(θ).

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 7–14

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 7–14 9

 

Искомое решение задачи T в области D+ будем искать в виде

∞ kn

u(r, θ, t) = ∑ ∑ u¯k (r, t)Y k

(θ), (6)

n

n=0 k=1

n

 

где u¯k (r, t)− функции, подлежащие определению.

n,m

n,m

 

Подставляя (6) в (4) и (5), используя ортогональность сферических функций Y k

(θ) [3], будем иметь

 

u¯k

−

 

m 1

+ k

k λn k

nrr

r u¯nr − u¯ntt − r2 u¯n = 0, (7)

τ¯k

−

 

k

 

m 1

+

λn k k

nrr

r τ¯nr − r2 τ¯n = ν¯n (r), 0 < r < 1, (8)

при этом первое краевое условие (2) запишется в виде

u¯k (r, r) = φ¯k (r), 0 � r � 1 , k = 1, k

 

, n = 0, 1, ... . (9)

n n 2 n

(1−m)

В (7)–(9) произведя замену u¯k (r, t) = r

2 uk (r, t) и полагая ξ = r+t , η = r−t , соответственно полу-

чим

n n 2 2

λ¯n 1

uk k

nξη + (ξ + η)2 un = 0, 0 < η < ξ < 2 , (10)

λ¯n 1

τ k k k

nξξ + ξ2 τn = νn(ξ), 0 < ξ < 2 , (11)

uk k 1

n(ξ, 0) = φn(ξ), 0 � ξ � 2 , (12)

k

 

k

 

k

 

(m−1)

τ 2

k

 

k

 

(m−1) 2

k

 

(m−1) 2

n (ξ) = (2ξ)

τ¯n (2ξ), νn (ξ) = (2ξ)

ν¯n (2ξ), φn(ξ) = ξ

φ¯n(ξ),

λ¯n = ((m − 1)(3 − m) − 4λn)/4, k = 1, kn, n = 0, 1, ... .

Используя общее решение уравнения (10), полученное в [6], в работе [7] показано, что решение задачи Коши для уравнения (10) имеет вид

uk 1 k 1 k

n(ξ, η) = 2 τn (η)R(η, η; ξ, η) + 2 τn (ξ)R(ξ, ξ, ; ξ, η)+

ξ

+ 1 ∫ [νk (ξ1)R(ξ1, ξ1; ξ, η) − τ k (ξ1) ∂

(13)

R(ξ1, η1; ξ, η)|ξ =η ]dξ1,

√2 n

η

n ∂N 1 1

(ξ1 +η1 )(ξ+η)

 

где R(ξ, η1; ξ, η) = Pµ [(ξ1 −η1 )(ξ−η)+2(ξ1 η1 +ξη) ] − функция Римана уравнения (10) [8], а Pµ(z)− функция

2

 

Лежандра, µ = n + (m−3) ,

∂

∂N |ξ1 =η1 =

( ∂ξ1 ∂

∂N⊥ ∂η1

+ ∂η1 ∂

∂N⊥ ∂ξ1

)

|ξ1 =η1 ,

где N⊥− нормаль к прямой ξ = η в точке (ξ1, η1), направленная в стороны полуплоскости η � ξ.

Из (13) при η = 0 с учетом (12) получим интегральное уравнение Вольтерра первого рода

где

gk

 

n(ξ) =

ξ

∫

n

 

νk (ξ1)Pµ

0

 

ξ

( ξ1 )

ξ

 

dξ1, (14)

 

( ξ )

n(ξ) = √2φn(ξ) − ξ

∫ ψn(ξ1)Pµ

dξ1,

gk k

d ( τ k

√ k 1

2 0 ξ

) = ψk k

(15)

n (ξ)

dξ ξ

n(ξ), ψn(0) = 0.

Уравнение (14) обратимо по формуле [7; 9], получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

ξ

νk 1 ∫ 2

2 − 1

( ξ ) dgk

n

 

′

Далее, из (15), (16) имеем

n (ξ) = ξ

0

ξ1(ξ

− ξ1 )

ξ

 

2 Pµ

1

dξ1

dξ1. (16)

ξ

∫

νk k k

n (ξ) = fn (ξ) +

0

Gn(ξ, ξ1)ψn(ξ1)dξ1, (17)

Алдашев С.А. Задача Трикоми для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения

10Aldashev S.A. Tricomi problem for multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equation

 

где

 

k √ ∫ 2 2

 

ξ

1

ξf (ξ) = 2 ξ1(ξ − ξ )− 2 P ′

 

( ξ ) dφk

n dξ ,

n

0

√ 1

1

( ξ ) ξ

µ ξ1

dξ1

 

1

1

( ξ )

 

( ξ )

− 2ξGn(ξ, ξ1) = ξ2(ξ2 − ξ2)− 2 P ′

+ ∫ t(ξ2 − t2)− 2 Pµ

1 P ′

1 dt+

1 1 µ ξ1

ξ

ξ1

( ξ )

 

( ξ )

t µ t

P

 

1

 

µ

 

+ ∫ ξ1(ξ2 − t2)− 2 ′

ξ1

P

 

′ 1

t µ t

dt.

Ограниченным решением уравнения (11) является функция [10]

 

(s2 − s1)τ k (ξ) =

 

ξ

∫

(ξs2 ξ3−s2 − ξs1 ξ3−s1 )νk (ξ1)dξ1 + ck (s2 − s1)ξs1 , 0 < ξ <

 

1

, (18)

n 1 1 n n 2

0

где s1 = n + (m−1) , s2 = −n − (m−3) , ck − произвольная постоянная.

2 2 n

Подставляя (17) в (18), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

 

ξ

∫

ψk k k

 

где

n(ξ) = Fn (ξ) +

0

 

ξ

Ln(ξ, ξ1)ψn(ξ1)dξ1, (19)

F k k

s1 −2 1 ∫

s2 −2

3−s2

s1 −2

3−s1 k

n (ξ) = (s1 − 1)cnξ

+

s2 − s1

0

ξ

[(s2 − 1)ξ

ξ1 − (s1 − 1)ξ

ξ1 ]fn (ξ1)dξ1,

∫

(s2 − s1)Ln(ξ, ξ1) =

ξ1

[(s2 − 1)ξs2 −2t3−s2 − (s1 − 1)ξs1 −2t3−s1 ]Gn(t, ξ1)dt.

n

 

Определяя из (19) ψk (ξ), найдем

 

ξ

τ k ∫ k 1

n (ξ) = ξ

0

ψn(ξ1)dξ1, 0 � ξ � 2 , k = 1, kn, n = 0, 1, ... . (20)

Учитывая оценки [4; 11], имеем

|Pµ(z)| � C, |z| � 1, |Pµ(ch η)| � C exp(µ − 1 )η, η > 0,

p m 2

(21)

|kn| � c2nm−2, ∂ p Y k

(θ) � c2n 2 +p−1, |Y 1

(θ)| = c1, c, c1 = const,

∂θj

n,m

0,m

j = 1, m − 1, p = 0, 1, ... , а также ограничения на заданную функцию φ(r, θ). Аналогично [7] можно показать, что ряд

(1−m)

∞ kn

(1−m)

τ (r, θ) = r

2 τ 1(r)Y 1

(θ) + ∑ ∑ n−lr

2 τ k (r)Y k

(θ) (22)

0 0,m

n=1 k=1

n n,m

2

 

сходится абсолютно и равномерно, если l > 3m .

Следовательно, в силу (19), задача (2), (4), (22) в области D+ имеет бесчисленное множество решений вида

(1−m)

∞ kn

(1−m)

u(r, θ, t) = r

2 u1(r, t)Y 1

(θ) + ∑ ∑ r

2 uk (r, t)Y k

(θ), (23)

0 0,m

n=0 k=1

n n,m

где функции uk (r, t), k = 1, kn, n = 0, 1, ... находятся по формуле (13), в которой νk (ξ), τ k (ξ) определя-

n n n

ются из (17), (20) и принадлежит классу C(D¯ +) ∩ C1(D+ ∪ S) ∩ C2(D+).

Теперь задачу T будем изучать в области D−.

В области D− рассмотрим первую краевую задачу для уравнения

m − 1 1

с условиямм

r r2

 

urr +

ur − δu − ut = 0 (24)

u|S = τ (r, θ), u|Γ = ψ(t, θ). (25)

Решение задачи (24), (25) будем искать в виде (6).

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 7–14

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 7–14 11

 

Подставляя (6) в (24), получим уравнение

λ¯n

uk k k

nrr − unt + r2 un = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, ... , (26)

при этом краевое условие (25) имеет вид

uk k k k

n(r, 0) = gn(r), un(1, t) = ψn(t), k = 1, kn, n = 0, 1, ... , (27)

{ τ 1

gk

 

n(r) =

n−lτ k

 

0 (r),

n (r), k = 1, kn, n = 1, 2, ... .

Произведя замену υk (r, t) = uk (r, t) − ψk (t), задачу (26), (27) приведем к следующей задаче:

n n n

Lυk ≡ υk

— υk

λ¯n

+

 

υk = f k (r, t), (28)

n nrr

 

υk k

nt r2 n n

k

n(r, 0) = g˜n(r), υn(1, t) = 0, 0 < r < 1, (29)

λ¯n

f k k k k k k

n (r, t) = ψnt − r2 ψn(t), g˜n(r) = gn(r) − ψn(0).

Решение задачи (28), (29) ищем в виде υk (r, t) = υk

+ υk

где υk (r, t) — решение задачи

n 1n 2n 1n

Lυ

 

n

 

1n

 

k = f k (r, t), (30)

υk k

2n

 

а υk (r, t)− решение задачи

1n(r, 0) = 0, υ1n(1, t) = 0, (31)

 

υk k

Lυ

 

=

 

2n

 

k 0, (32)

k

2n(r, 0) = g˜n(r), υ2n(1, t) = 0, 0 < r < 1. (33)

Решение вышеуказанных задач, аналогично [1], рассмотрим в виде

 

при этом пусть

 

υk

 

n(r, t) =

 

∞

∞

∑

 

s=1

 

Rs(r)Ts(t), (34)

 

∞

f k

 

n (r) =

k

 

∑

 

s=1

as,n

k

 

k

 

(t)Rs(r), g˜n(r) =

∑

 

s=1

bs,n

Rs(r). (35)

Подставляя (34) в (30),(31), с учетом (35) получим

λ¯n

Rsrr + r2 Rs + µRs = 0, 0 < r < 1, (36)

Rs(1) = 0, |Rs(0)| < ∞, (37)

s,n

 

Tst + µT = −ak

(t), (38)

Ts(0) = 0. (39)

Ограниченное решение задачи (36), (37) имеет вид [10]

Rs(r) = √rJν (γs,nr), (40)

где ν = n + (m−2) , Jν (z)− функция Бесселя первого рода, γs,n− ее нули, µ = γ2 .

2

Решение задачи (38), (39) записывается в виде

s,n

 

t

∫

Ts(t) = −

0

Подставляя (40) в (35), получим

 

a

 

k s,n

s,n

 

(ξ) exp[−γ2

(t − ξ)]dξ. (41)

 

∞

1

 

r− 2 f k ∑ k

n (r, t) =

 

s=1

as,n

(t)Jν (γs,nr), 0 < r < 1, (42)

∞

1

 

r− 2 g˜k (r) = ∑ bk

 

Jν (γs,nr), 0 < r < 1. (43)

n

s=1

s,n

Алдашев С.А. Задача Трикоми для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения

12Aldashev S.A. Tricomi problem for multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equation

 

Ряды (42), (43) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [12], если

1

2

 

ak ∫ √ξf k (ξ, t)J (γ

ξ)dξ, (44)

s,n(t) = [J

 

ν+1

(γs,n

)]2 n

0

1

ν s,n

2

 

bk ∫ √ξg˜k (ξ)J (γ

ξ)dξ, (45)

s,n = [J

 

ν+1

(γs,n

)]2

0

n ν s,n

где γs,n, s = 1, 2, ...− положительные нули функции Бесселя, расположенные в порядке возрастания их

величины.

Из (40), (41) получим решение задачи (30), (31) в виде

∞

υk ∑ √

 

t

∫

s,n

 

s,n

 

s,n

 

где ak

1n(r, t) = −

 

(t) определяется из (44).

s=1

rJν (γs,nr){ ak

0

(ξ) exp[−γ2

(t − ξ)]dξ}, (46)

Далее, подставляя (34) в (32), (33), будем иметь уравнение

 

 

решением которого является

s,n

 

Tst + γ2

T = 0,

 

 

Из (40), (47) с учетом (35) получим

s,n

 

Ts(t) = exp(−γ2

t). (47)

 

 

s,n

 

где bk

 

находится из (45).

 

υk

 

2n(r, t) =

∑ √ k

 

∞

rbs,n

s=1

2

 

Jν (γs,nr) exp(−γs,n

 

t), (48)

Следовательно, решение задачи (24), (25) в области D− есть функция

 

∞ kn

2

 

u(r, θ, t) = ∑ ∑[ψk (t) + υk (r, t) + υk (r, t)]r (1−m) Y k

(θ), (49)

n 1n 2n

n=0 k=1

n,m

где υk (r, t), υk (r, t) определяются из (46) и (48).

1n 2n

Учитывая ограничения на заданные функция φ(r, θ), ψ(t, θ), а также оценки (21), аналогично [1; 7],

можно показать, что полученные неоднозначные решения вида (23) и (49) принадлежит искомому классу.

Теорема доказана.

 

Об авторах

С. А. Алдашев

Институт математики, физики и информатики, КазНПУ им. Абая, 050100 Республика Казахстан, г. Алматы,
ул.Толе би, 86.

Автор, ответственный за переписку.
Email: aldash51@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8223-6900

доктор физико-математических наук, профессор

Казахстан

Список литературы

Дополнительные файлы