QUANTUM DYNAMICS OF THE CUBIT SYSTEM IN EXTERNAL FIELDS


Cite item

Abstract

A system of two dipole-dipole interacting two-level elements (qubits) in external fields is considered. It is shown that using the coherent states (CS) of the dynamic symmetry group of the SU(2)×SU(2) system, the time evolution can be reduced to the "classical" dynamics of the complex parameters of the CS. The trajectories of the CS are constructed and the time dependences of the probability of finding qubits at the upper levels are calculated.

Full Text

Введение

Для описания эволюции квантовых систем используется метод квантования динамических систем, фазовые пространства которых являются многообразиями Кэлера с неевклидовой метрикой [1]. Хорошо известно, что данный метод был предложен математиком Ф.А. Березиным.

Формализм вторичного квантования для бозонов и фермионов заключается в использовании методов комплексного анализа и интегралов по траекториям для описания оператора эволюции квантовой системы. В статье рассмотрены компактные комплексные многообразия Кэлера, связанные с группой движения SU (d), которые интересны для модельных задач квантовой оптики и квантовой информатики.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 68–75

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 68–75 69

 

Наряду с исследованием квантовых операций с системой кубитов, для которых группой динамической симметрии является группа SU (2), активно разрабатываются обобщения известных для кубитов схем квантовых вычислений и квантовых коммуникаций, в которых элементарными квантовыми ячейками будут выступать многомерные обобщения кубитов. Поэтому продолжает быть актуальной задача об исследовании временной динамики d-уровневых квантовых систем, взаимодействующих между собой и с внешними структурированными электромагнитными полями [2]. Рассмотрим квантовую систему,

гамильтониан которой имеет вид некоторой функции от генераторов унитарного представления группы Ли G, действующего в гильбертовом пространстве состояний системы

Tˆ(g)

 

а самосопряженные операторы

H = f (A 1, . . . , A r ), (1)

A 1, . . . , A r образуют базис представления алгебры Ли группы G.

Такую группу называют группой динамической симметрии гамильтониана удовлетворяют перестановочным соотношениям

H . Операторы

A 1, . . . , A r

αβ

 

[A α, A β ] = iCγ

image

A γ, i = 1, (2)

αβ

 

где Cγ

— структурные постоянные группы G. Для большинства реальных задач f имеет вид некоторой

полиномиальной зависимости генераторов

A 1, . . . , A r , а если f имеет вид линейной комбинации

генераторов, то в этом случае оператор эволюции такой квантовой системы может быть найден в виде

оператора унитарного неприводимого представления группы G. Когерентное состояние |CSстроится по формуле:

|CS= |Z= T(gZ )|Ψ0, (3)

здесь gZ — элемент группы G, соответствующий точке gZG0 однородного пространства G/G0, а

подгруппа G0G с точностью до фазового множителя оставляет инвариантным вектор |Ψ0. Эволюция

параметров когерентного состояния (КС) приводит к классической динамике для классического аналога

квантовой задачи, при этом фазовым пространством выступает фактор-пространство G/G0, на котором

естественным образом реализуется структура комплексного многообразия Кэлера. Рассмотрим систему

двух двухуровневых атомов, взаимодействующих с внешним классическим полем.

 

  1. Динамика когерентных состояний двух двухуровневых атомов с внешними полями

    Рассмотрим систему двух двухуровневых атомов, взаимодействующих с внешним классическим полем. Такая система может быть определена следующим оператором Гамильтона:

    Hˆ (t) = Hˆ1(t) + Hˆ2(t) + Hˆdd, (4)

    где

    Hˆj (t) — хорошо известный гамильтониан кубита (j = 1, 2) с учетом взаимодействия с внешним

    классическим электромагнитным полем [3]. Оператор Гамильтона для j-го атома имеет вид:

    (j)

    (j)

    (j)

    Hˆj (t) = ω0S3 + χj (t)S+ + χ¯j (t)S, (5)

    а внешнее поле определено таким образом:

    χj (t) = χ0jeiωt. (6)

    Введем в рассмотрение генераторы группы SU (2):

    1 ( 1 0 )

    ( 0 1 )

    ( 0 0 )

    S3 = 2

    0 1

    , S+ =

    0 0 ,

    S =

    1 0 .

    Наряду с внешним полем в современной квантовой оптике и квантовой информатике рассматривают

    так называемое диполь-дипольное взаимодействие между атомами. Этот оператор, как правило, для двухуровневых атомов (кубитов) определяется соотношением

    (1)

    (2)

    (1)

    (2)

    Hˆdd = Ω12(S+

    S+ S

    S+ ). (7)

    Здесь

    Hˆdd — оператор диполь-дипольного взаимодействия кубитов,

    (j)

    S и

     

    +

     

    S(j) — повышающий и

    понижающий операторы переходов между уровнями в j-м атоме, а 12 имеет смысл "константы"

    диполь-дипольного взаимодействия, которая зависит от расстояния между атомами, а для движущихся атомов – от времени.

    Введем матричный элемент полного гамильтониана (4) между КС группы SU (2) × SU (2) :

    H = z1, z2|H |z¯1, z¯2. (8)

    Горохов А.В., Ерёменко Г.И. Квантовая динамика системы кубитов во внешних полях

    70Gorokhov A.V., Eremenko G.I. Quantum dynamics of the cubit system in external fields

     

    Покажем, что для исследуемой системы эволюция параметров КС определяется уравнениями [4]:

    z˙1 = i(1 + z1z¯1)2

    H ,

    ∂z¯1

    z˙2 = i(1 + z2z¯2)2

    H

    ∂z¯2

     

    . (9)

    Для этого найдем вначале серию матричных элементов:

     

    (1)

    z1

     

    (1)

    z¯1

    z1|S+ |z¯1= 1 + z z¯ , z1|S|z¯1= 1 + z z¯ ,

    1 1 1 1

     

     

    (2)

    z2

     

    (2)

    z¯2

    z2|S+ |z¯2= 1 + z z¯ , z2|S|z¯2= 1 + z z¯ ,

    2 2 2 2

     

     

    (1)

    1 ( 1 z1z¯1 )

     

    (2)

    1 ( 1 z2z¯2 )

    z1|S3 |z¯1= 2

    1 + z z¯

    , z2|S3 |z¯2= 2

    .

    1 + z z¯

    1 1 2 2

    Матричные элементы оператора диполь-дипольного взаимодействия определяются согласно свойству:

     

    (1)

     

    (2)

     

    (1)

     

    (2)

    z1z¯2

    z1| ⊗ ⟨z2|S+

    S|z¯1⟩ ⊗ |z¯2= z1|S+ |z¯1⟩⟨z2|S|z¯2= (1 + z z¯ )(1 + z z¯ ) . (10)

    1 1 2 2

    (1)

     

    z1| ⊗ ⟨z2|S

    S(2)|z¯1⟩ ⊗ |z¯2= z1|S

     

    (1)

    (2)

     

    |z¯1⟩⟨z2|S+ |z¯2=

    z¯1z2 . (11)

     

    Кроме того,

    +

     

    � �

    ω0 ( 1 z1z¯1 )

     

    ( z1 )

    (1 + z1z¯1)(1 + z2z¯2)

    ( z¯1 )

    H1(z1, z¯1) = 2

    1 + z z¯

    + χ1(t)

    1 + z z¯

    + χ¯1(t)

    1 + z z¯

    , (12)

    1 1 1 1 1 1

    ω0 ( 1 z2z¯2 )

    ( z2 )

    ( z¯2 )

    H2(z2, z¯2) = 2

    1 + z z¯

    + χ2(t)

    1 + z z¯

    + χ¯2(t)

    1 + z z¯

    . (13)

    2 2 2 2 2 2

    Символ полного гамильтониана в результате приводится к виду:

    image

    image

    image

    image

    H(z1, z2, z¯1, z¯2) = ω0 ( 1z1 z¯1 ) ω0 ( 1z2 z¯2 ) +

    2 1+z1 z¯1

    2 1+z2 z¯2

    ( z¯2 )

    +χ1(t)

     

    ( z1

    image

    1+z1 z¯1

    + χ2(t)

     

    ) ( z2

    image

    1+z2 z¯2

    ) + χ¯1(t) (

    z¯1

    image

    1+z1 z¯1

    ) +χ¯2(t)

    image

    +

    1 + z2z¯2

    +Ω z1z¯2 + z¯1z2 . (14)

    12 (1 + z z¯ )(1 + z z¯ )

    1 1 2 2

    Вычисляя производные и производя соответствующие преобразования:

    H = ω0 ( z1(z1z¯1 + 1) z1(z1z¯1 1)) + χ¯1(t)(z1z¯1 + 1) z1(χ1(t)z1 + χ¯1(t)z¯1)+

    ∂z¯1 2

    (z1z¯1 + 1)2

    (z1z¯1 + 1)2

    z2(z1z¯1 + 1) z1(z1z¯2 + z¯1z2)

    +Ω12

    (z z¯ + 1)2(z z¯ + 1) , (15)

    1 1 2 2

    H = ω0 ( z2(z2z¯2 + 1) z2(z2z¯2 1)) + χ¯2(t)(z2z¯2 + 1) z2(χ2(t)z2 + χ¯2(t)z¯2)+

    ∂z¯2 2

    (z2z¯2 + 1)2

    (z2z¯2 + 1)2

    z1(z2z¯2 + 1) z2(z1z¯2 + z¯1z2)

    +Ω12

    (z z¯ + 1)2(z z¯ + 1) , (16)

    придём к явному виду уравнений для параметров КС:

    2 2 1 1

    2

     

    { z˙1 = 0z1 χ1(t)z2 + χ¯1(t) + Ω12 z2 +z¯2 z1 ,

    image

    1 1+z2 z¯2

    2

    (17)

    z˙2 = 0z2 χ2(t)z2 + χ¯2(t) + Ω12 z1 +z¯1 z2 .

    image

    2 1+z1 z¯1

  2. Траектории когерентных состояний и вероятности нахождения на верхнем уровне двух кубитов с учётом диполь-дипольного взаимодействия во внешнем поле

Для нахождения траекторий двух двухуровневых атомов численно решим систему уравнений (17). Уравнения в данной системе представляют собой уравнения Рикатти. Решим данную систему численно, воспользовавшись пакетом Wolfram Mathematica.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 68–75

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 68–75 71

 

Рассмотрим систему уравнений для классического поля в отсутствие диполь-дипольного взаимодействия, т. е. положим 12 = 0:

1

 

{ z˙1 = 0z1 χ1(t)z2 + χ¯1(t),

2

 

z˙2 = 0z2 χ2(t)z2

+ χ¯2

(t).

(18)

Зададим принципиально разные начальные условия для системы уравнений: пусть для первого

двухуровнего атома они будут комплексными, а для второго вещественными. Получим следующие траектории движения для двух двухуровневых атомов (рис 1, 2):

 

Re z1

image

4

 

2

 

image

z1

 

0

 

-2

 

-4

-4 -2 0 2 4

image

z (0) = 2 , ω0 = 1, ω = 0.999, χ1 = 0.5

Рис. 1. Траектория движения когерентного состояния z1 при заданных параметрах и начальных условиях

Fig. 1. The trajectory of motion of the coherent state z1 for given parameters and initial conditions

 

 

7.5

 

5.0

 

2.5

 

image

z2

 

0

 

-2.5

 

-5.0

 

-7.5

image

Re z2

 

-7.5 -5.0 -2.5 0 2.5 5.0 7.5

z2 (0) = 8, ω0 = 1, ω = 0.999, χ2 = 0.5

Рис. 2. Траектория движения когерентного состояния z2 при заданных параметрах и начальных условиях Fig. 2. Trajectory of motion of the coherent state z2 for given parameters and initial conditions

 

Определим вероятность нахождения на верхнем уровне следующим соотношением:

P = zj z¯j , (19)

j 1 + z z¯

j j

где j — порядковый номер двухуровнего атома.

Горохов А.В., Ерёменко Г.И. Квантовая динамика системы кубитов во внешних полях

72Gorokhov A.V., Eremenko G.I. Quantum dynamics of the cubit system in external fields

 

Тогда в модели, не учитывающей диполь-дипольное взаимодействие, находим следующие временные зависимости для вероятности нахождения j-го атома на верхнем уровне, показанной на рис. 3 для первого кубита и рис. 4 для второго.

 

image

0.9

 

P1 (t)

 

0.8

 

0.7

 

0.6

 

0 5 10 15 20

ω0 t

Рис. 3. Вероятность нахождения на верхнем уровне для первого кубита в отсутствие диполь-дипольного взаимодействия

Fig. 3. Probability of being at the upper level for the first qubit in the absence of dipole-dipole interaction

 

 

image

0.98

 

0.96

 

P2 (t)

 

0.94

 

0.92

 

0.90

 

0 5 10 15 20

ω0 t

Рис. 4. Вероятность нахождения на верхнем уровне для второго кубита в отсутствие диполь-дипольного взаимодействия

Fig. 4. Probability of being at the upper level for the second qubit in the absence of dipole-dipole interaction

 

Теперь рассмотрим систему (17), учтя диполь-дипольное взаимодействие. Пусть значение константы диполь-дипольного взаимодействия 12 будет небольшим для того, чтобы оценить влияение на насёленность уровней. Начальные условия для первого и второго атомов остаются такими же (рис. 5, 6).

 

 

5

 

image

z1

 

0

 

-5

 

-10

image

Re z1

 

-7.5 -5.0 -2.5 0 2.5 5.0 7.5

z1 (0) = 2 , ω0 = 1, ω = 0.999, χ1 = 0.5, Ω12 = 0.1

Рис. 5. Траектория движения когерентного состояния z1 при заданных параметрах и начальных условиях

с учётом диполь-дипольного взаимодействия

Fig. 5. Trajectory of motion of the coherent state z1 for given parameters and initial conditions taking into account the dipole-dipole interaction

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 68–75

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 68–75 73

 

 

10

 

5

 

z2

 

image 0

 

-5

 

-10

image

Re z2

 

-5.0 -2.5 0 2.5 5.0 7.5

z2 (0) = 8, ω0 = 1, ω = 0.999, χ2 = 0.5, Ω12 = 0.1

Рис. 6. Траектория движения когерентного состояния z2 при заданных параметрах и начальных условиях с учётом диполь-дипольного взаимодействия

Fig. 6. Trajectory of motion of the coherent state z2 for given parameters and initial conditions taking into account the dipole-dipole interaction

 

Аналогичным образом определим вероятность нахождения на верхнем уровне для первого и второго двухуровневых атомов с учётом диполь-дипольного взаимодействия согласно формуле (19) (рис. 7, 8).

 

image

1.0

 

0.9

 

P1 (t)

 

0.8

 

0.7

 

0.6

 

0 5 10 15 20

ω0 t

Рис. 7. Вероятность нахождения на верхнем уровне для первого кубита c учётом диполь-дипольного взаимодействия

Fig. 7. Probability of being at the upper level for the first qubit, taking into account the dipole-dipole interactions

 

image

1.0

 

0.9

 

P2 (t)

 

0.8

 

0.7

 

0.6

 

0 5 10 15 20

ω0 t

Рис. 8. Вероятность нахождения на верхнем уровне для второго кубита c учётом диполь-дипольного взаимодействия

Fig. 8. Probability of being at the upper level for the second qubit, taking into account the dipole-dipole interactions

Горохов А.В., Ерёменко Г.И. Квантовая динамика системы кубитов во внешних полях

74Gorokhov A.V., Eremenko G.I. Quantum dynamics of the cubit system in external fields

 

Выводы

Построив когерентные состояния для четырехмерного фундаментального представления группы SU (4), находим, что функция K(Z, Z¯), определяющая скобку Пуассона для символов двухкубитных операторов, равна

K(Z, Z¯) = (1 + ξ1ξ¯1 + ξ2ξ¯2 + ξ3ξ¯3),

где Z (ξ1, ξ2, ξ3) — локальные комплексные переменные в пространстве Кэлера SU (4)/U (3). Вычисляя символ оператора (2.4) и находя компоненты тензоров gαβ и gαβ , (α, β = 1, 2, 3), находим уравнения вида

z˙α = {zα, H}, z¯˙ α = {z¯α, H},

которые решаются численно при задании разных начальных условий, при которых могут быть

приготовлены кубиты, и для разных параметров системы (возможно учесть расстройку частот кубитов, рассмотреть внешнее поле в разных состояниях поляризации и возможную зависимость константы диполь-дипольного взаимодействия от времени). Эти уравнения достаточно громоздки, поэтому мы не приводим здесь их явный вид. Легко видеть, что в отличие от уравнений для параметров КС на

группе SU (2)×SU (2) здесь имеется дополнительное уравнение для комплексной переменной ξ3, которой

можно придать смысл параметра запутывания двух однокубитных когерентных состояний. В самом

деле, прямое произведение однокубитных КС |z1⟩ ⊗ |z2при вложении SU (2) × SU (2) SU (4) приводит

к частному виду параметра ξ˜3 z1 · z2, что отражает отсутствие запутывания в двухкубитной системе.

Кроме того, уравнения для параметров КС на группе SU (4) являются точными в отличие от уравнений

на группе SU (2) × SU (2), где без учета квантовых поправок вида

|Ψ(t)=

 

G/G0

F (Z, Z0|t)|Z(Z, Z¯)

нельзя получить запутанное (чистое) состояние кубитов из их начального незапутанного состояния. Детальный расчет на основе полной группы динамической симметрии SU (4) будет опубликован дополнительно.

×

About the authors

A. V. Gorokhov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: alvgorokhov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-6908-1166

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation

G. I. Eremenko

Samara National Research University

Email: phys.geom@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5801-9463

student of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation

References

  1. Berezin F.A. Covariant and contravariant symbols of operators. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1972, vol. 6, no. 5, pp. 1117–1151. DOI: http://dx.doi.org/10.1070/IM1972v006n05ABEH001913. (English; Russian original)
  2. Perelomov A.M. Generalized coherent states and their applications. Moscow: Nauka, 1986, 272 p. Available at: http://inis.jinr.ru/sl/vol2/Ax-books/Disk_02/MDManiac-2/Perelomov_Coherent-States.pdf. (In Russ.)
  3. Gorokhov A.V. Coherent States and Path Integrals for Model Hamiltonians in Quantum Optics. Bulletin of the Russian Academy of Sciences Physics, 2016, vol. 80, no. 7, pp. 788–794. DOI: http://dx.doi.org/10.3103/S1062873816070157.
  4. Gorokhov A.V. Symmetry principles and quantum dynamics. Samara: Izd-vo «Samarskii universitet», 2015, 220 p. Available at: http://repo.ssau.ru/bitstream/Uchebnye-posobiya/Matematicheskie-metody-sovremennoi-kvantovoioptiki-Elektronnyi-resurs-elektron-ucheb-posobie-68550/1/Горохов%20А.В.%20Математические.pdf. (In Russ.)

Copyright (c) 2021 Gorokhov A.V., Eremenko G.I.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies