ABOUT SOLVABILITY OF ONE PROBLEM WITH NONLOCAL CONDITIONS FOR HYPERBOLIC EQUATION

Full Text

Введение

Данная статья посвящена исследованию разрешимости задачи с нелокальными интегральными условиями второго рода для гиперболического уравнения. Изучение задач с нелокальными условиями началось в прошлом столетии со статей, посвященных рассмотрению уравнений параболического типа [1; 2]. Лишь в конце XX века ученые начали изучение нелокальных задач для гиперболических уравнений [3; 4]. Интерес к задачам с интегральными условиями обусловлен тем, что нелокальные условия возникают при исследовании различных физических процессов, когда невозможно произвести измерения непосредственно на границе области.

Специфика исследования задач с нелокальными условиями состоит в том, что методы, которые применимы к классическим задачам, оказываются неэффективными или порождают дополнительные трудности в процессе обоснования разрешимости нелокальной задачи. На данный момент разработаны некоторые методы, позволяющие исследовать нелокальные задачи [5–9].

В данной статье приводится результат исследования разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями второго рода для гиперболического уравнения. Существует несколько методов исследования подобных задач: вспомогательных задач, компактности и сведения к нагруженному уравнению [10–12]. В представленной работе использована идея, приведенная в статье [10], однако

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 36–43

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 36–43 37

 

метод доказательства разрешимости задачи кардинально отличается от примененного в упомянутой выше статье и продиктован одномерностью уравнения.

 

1. Постановка задачи

Рассмотрим гиперболическое уравнение в области QT = (0, l) × (0, T )

utt − (a(x, t)ux)x + c(x, t)u = f (x, t). (1)

Задача 1. Найти в области QT решение уравнения (1) , удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 (2)

и нелокальным условиям

l

∫

u(0, t) +

0

 

l

∫

K1(x)u(x, t)dx = 0, u(l, t) +

0

 

K2(x)u(x, t)dx = 0. (3)

2

 

Условия (3) являются интегральными условиями 2 рода с внеитегральными слагаемыми, которые представляет собой следы функции на границе. Для исследования разрешимости данной задачи применим метод сведения к задаче для нагруженного уравнения с однородными граничными условиями. Воспользуемся приемом, изложенным в статье [10] при исследовании нелокальной задачи для многомерного гиперболического уравнения. Заметим, что будем использовать только способ введения новой неизвестной функции, а метод доказательства разрешимости мы предлагаем другой. Выбранный нами метод позволил доказать разрешимость поставленной задачи в пространстве W 1(QT ) и ослабить

некоторые требования на входные данные.

Введем новую неизвестную функцию следующим образом:

 

иначе

l

∫

v(x, t) = u(x, t) +

0

l

x ∫

K1udx + l [

0

l

∫

K2udx −

0

 

K1udx], (4)

l

∫

v(x, t) = u(x, t) +

0

 

K1(ξ)(

l

l − x )u(ξ, t)dξ + ∫

l

0

x

K2(ξ)udξ. (5)

l

l

 

Обозначим H(x, ξ) = 1 ((l − x)K1(ξ) + xK2(ξ)).

Тогда (5) примет вид

 

Выразим u(x, t) из (6)

 

l

∫

v(x, t) = u(x, t) +

0

 

l

∫

u(x, t) = v(x, t) −

0

 

H(x, ξ)u(ξ, t)dξ. (6)

 

H(x, ξ)u(ξ, t)dξ. (7)

Полагая, что u(x, t)− решение задачи (1)–(3), подставим (7) в (1)

vtt − (avx)x + cv −

l

∫

H(x, ξ)utt(ξ, t)dξ +

0

l

∫

l

∫

(aHx(x, ξ))xu(ξ, t)dξ−

0

−c H(x, ξ)u(ξ, t)dξ = f (x, t).

0

В силу нашего предположения utt = (aux)x − cu + f, поэтому

l l

∫ ∫

H(x, ξ)utt(ξ, t)dξ =

0 0

H(x, ξ)[(auξ )ξ − cu + f ]dξ.

Проинтегрируем одно из слагаемых по частям

l l

∫ ∫

— H(x, ξ)(a(ξ, t)uξ (ξ, t))ξdξ = −

0 0

(Hξa)ξudξ + Hξ (x, t)a(l, t)u(l, t)−

Киричек В.А. О разрешимости одной задачи с нелокальными условиями для гиперболического уравнения

38Kirichek V.A. About solvability of one problem with nonlocal conditions for hyperbolic equation

 

 

Обозначив

−Hξ (x, 0)a(0, t)u(0, t)−

−H(x, l)a(l, t)ux(l, t) + H(x, 0)a(0, t)ux(0, t).

P (x, ξ, t) = −(Hξ (x, ξ)a(ξ, t))ξ + H(x, ξ)c(ξ, t) + (Hx(x, ξ)a(x, t))x − H(x, ξ)c(ξ, t)−

−Hξ (x, 0)a(0, t)K1(ξ) + Hξ (x, l)a(l, t)K2(ξ),

l

где g(x, t) = f (x, t) + ∫ H(x, ξ)f (ξ, t)dξ,

0

получим уравнение относительно новой неизвестной функции

 

l

∫

vtt − (avx)x + cv +

0

 

P (x, ξ, t)u(ξ, t)dξ + H(x, l)a(l, t)ux(l, t) − H(x, 0)a(0, t)ux(0, t) =

 

l

∫

= f (x, t) +

 

H(x, ξ)f (ξ, t)dξ.

0

Из (5) видно, что функция v(x, t) удовлетворяет условиям

v(0, t) = 0, v(l, t) = 0, v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0. (8)

Если функции Ki(x) таковы, что Ki(0) = Ki(l) = 0, то мы приходим к следующей задаче.

Задача 2. Найти в области QT решение уравнения

l

∫

vtt − (avx)x + cv +

0

P (x, ξ, t)u(ξ, t)dξ = g(x, t), (9)

 

l

где u и v связаны соотношением v(x, t) = u(x, t) + ∫ H(x, ξ)u(ξ, t)dξ, удовлетворяющее граничным

0

условиям

 

и начальным данным

 

v(0, t) = 0, v(l, t) = 0 (10)

 

v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0. (11)

Заметим, что новая неизвестная функция v(x, t) удовлетворяет обычным краевым условиям, но должна быть найдена как решение нагруженного уравнения.

 

2

 

Разрешимость задачи 2. Исследуем разрешимость задачи 2 в пространстве Соболева W 1(QT ). Введем определение обобщенного решения, следуя стандартной процедуре [13]. Выпишем тождество, на котором оно базируется

 

T l T l l

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(−vtηt + avxηx + cvη)dxdt + η

0 0 0 0 0

l T l

 

P (x, ξ, t)u(ξ, t)dξdxdt =

∫ ∫

= ψ(ξ)η(ξ, 0)dξ +

0 0

∫

gηdxdt. (12)

0

2

 

Определение. Обобщенным решением задачи (8)–(10) будем называть пару функции u, v ∈ W 1(QT ),

v(x, 0) = 0 и выполняется интегральное тождество (12) для любой функции η ∈ Wˆ 1(QT ) такой,

если 2

l

что η(0, t) = η(l, t) = η(x, T ) = 0, и равенство v(x, t) = u(x, t) + ∫ H(x, ξ)u(ξ, t)dξ.

0

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

a, at, att, ax c, ct ∈ C(Q¯T ), a(x, t) > 0 ∀(x, t) ∈ Q¯T , ||H||L2 < 1;

f, ft ∈ L2(QT ), H ∈ C2(Q¯T ).

Тогда существует единственное решение задачи 2.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 36–43

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 36–43 39

 

Доказательство

Будем искать приближенное решение из соотношений

 

T l T l

∫ ∫ ∫ ∫

(−vnηt + avnηx + cvnη)dxdt +

 

l T l

∫ ∫ ∫

η Pun−1dξdxdt =

 

fηdxdt, (13)

t x

0 0 0 0 0 0 0

 

полагая, что v0 = 0, u0 = 0.

 

l

∫

un +

0

 

Hundξ = vn, (14)

Покажем, что для любого n существуют функции un, vn, удовлетворяющие (12), (13).

Пусть n = 1, тогда (12) совпадает с тождеством, которое определяет обобщенное решение начально-краевой задачи

Utt − (aUx)x + cU = f, (15)

U (0, t) = U (l, t) = 0, U (x, 0) = Ut(x, 0) = 0.

2

 

Эта задача однозначно разрешима в W 1, если c(x, t) ∈ C(Q¯T ), at(x, t) ∈ C(Q¯T ) [13] и справедлива

2

 

оценка ||v||W 1 ::: C||F ||L2 .

2

 

Если выполняются условия теоремы 1, то это решение принадлежит W 2(QT ) [13, с. 216.] Для таких

решений справедливо равенство

 

l τ l

∫ ∫ ∫

[U 2(x, τ ) + a(x, τ )U 2(x, τ )]dx =

 

τ l

∫ ∫

atU 2dxdt − 2

 

τ l

∫ ∫

cUUtdxdt + 2

 

f Utdxdt, (16)

t x x

0 0 0 0 0 0 0

из которого можно получить неравенство

 

l τ

∫ ∫

[U 2(x, τ ) + U 2(x, τ ) + U 2(x, τ )]dx ::: C1

 

l

∫

[U 2 + U 2 + U 2]dxdt+

t x x t

0 0 0

 

τ l

∫ ∫

+c(ε)

0 0

 

τ l

∫ ∫

t

 

U 2dxdt + ε

0 0

 

f 2dxdt.

После применения к этому неравенсту леммы Гронуолла получим

 

l τ l

∫ ∫ ∫

[U 2(x, τ ) + U 2(x, τ ) + U 2(x, τ )]dx ::: εeC2 τ

 

f 2dxdt, (17)

t x

0 0 0

где C2 = C1 + c(ε).

Вернемся к задаче 2. Найдем v1(x, t) как решение краевой задачи (14), тогда из (13) получим u1(x, t),

так как в силу условия ||H||L2 < 1 интегральное уравнение однозначно разрешимо.

Действительно, при n = 1 u0 = 0, и v1 можно считать решением первой начально-краевой задачи

для уравнения

v1 1 1

tt − (avx)x + cv

= f (x, t),

2 (QT )

 

которое существует, единственно и удовлетворяет неравенству ||v1||W 1

::: C||||L2 (QT )

. Зная u1, будем

искать v2 из (12) при n = 2:

 

T l T l

∫ ∫ ∫ ∫

(−v2ηt + av2 ηx + cv2η)dxdt +

 

l T l

∫ ∫ ∫

η Pu1dξdxdt =

 

fηdxdt.

t x

0 0 0 0 0 0 0

Так как u1 известно, то v2 определяется как решение задачи (14) с новой правой частью уравнения:

l l

g − ∫ Pu1dξ. Покажем, что g − ∫ Pu1dξ ∈ L2(QT ).

0 0

T l l T l

Действительно, f ∈ L2(QT ) по условию, а так как

∫ ∫ (∫ H(x, ξ)f (ξ, t)dξ)2dxdt ::: ∫ ∫ f 2(x, t)dxdt :::

0 0 0 0 0

l

::: const в силу свойств H(x, ξ) и f (ξ, t), то g = f + ∫ Hfdξ ∈ L2(QT ).

0

Киричек В.А. О разрешимости одной задачи с нелокальными условиями для гиперболического уравнения

40Kirichek V.A. About solvability of one problem with nonlocal conditions for hyperbolic equation

 

l

Рассмотрим ∫ P (x, ξ, t)u1(ξ, t)dξ

0

T l l

∫ ∫ ∫

(

0 0 0

T l

∫ ∫

P (x, ξ, t)u1(ξ, t)dξ)2dxdt :::

0 0

l

∫

P 2(x, ξ, t)

0

l

∫

(u1(ξ, t))2dξdxdt

0

и в силу свойств P (x, ξ, t), вытекающих из условий теоремы, а также принадлежности u1(ξ, t)

l

пространству L2(QT ), ∫ P (x, ξ, t)u1(ξ, t)dξ ∈ L2(QT ).

0

Значит, v2(x, t) является решением краевой задачи (14) с правой частью уравнения: g −

l

2

 

− ∫ P (x, ξ, t)u1(ξ, t)dξ и v2 ∈ W 1(QT ).

0

Продолжим этот процесс, в итоге построим последовательность (vn, un).

Начнем вывод оценок. Обозначим

 

Из (12) получим

zn = vn − vn−1,

rn = un − un−1.

T l T l

∫ ∫ ∫ ∫

(−znηt + aznηx + cznη)dxdt = −

l

∫

η(x, t)

 

Prn−1dξdxdt, (18)

 

где

t x

0 0 0 0 0

 

l

∫

rn−1 +

0

l

Hrn−1dx = zn−1. (19)

Пусть F = ∫ Pzn−1dξ. Получим оценку для zn, использовав неравенство (16).

0

||z ||

 

n 2

W 1

 

2 (QT )

||L2

 

::: εM ||F 2 .

Оценим правую часть этого неравенства

τ l l

∫ ∫ ∫

2

 

||F ||L2 = (

0 0 0

l

 

Prn−1

τ

∫

dξ)2dxdt ::: P1

0

l

∫

(rn−1)2dxdt,

0

где P1 = max ∫ P 2dξ. Тогда

0

 

||z ||

 

n 2

W 1

 

2 (Qτ )

 

L2 (Qτ )

 

::: εMP1||rn−1||2

 

. (20)

l

Проведем оценку функции (rn)2. Функция rn удовлетворяет равенству rn = zn − ∫ Hrndx. Применим

0

неравенство Коши

 

откуда при 1 − 2h0lT > 0 следует

 

(rn)2 ::: 2(zn)2 + 2h0

∫ l

(rn)2dx,

0

||r ||

 

n 2

L2 (QT )

l

n 2

::: C1||z

 

,

 

||L2 (QT )

1

 

C = 2 1−2h0 lT

неравенства

. Продифференцируем rn = zn − ∫ Hrndx по t и по x и аналогичным образом получим два

0

||rn||2

::: C2||zn||2

||

 

, ||rn 2

||

 

::: C3||zn 2 ,

t L2 (QT )

t L2 (QT )

x L2 (QT )

x L2 (QT )

где постоянные C2, C3 зависят только от l, h0, T. В результате получим

n 2

r

 

|| ||W 1

::: N ||r

n−1 2

|| 1

. (21)

 

Из (19), (20) получим

2 (Qτ )

 

√

W2 (Qτ )

 

√ 2

||zn||W 1

:::

εB||zn−1|| 1

W 1

 

, ||rn|| 1

:::

εB||rn−1|| .

2 (Qτ )

где мы обозначили B = NMP1.

W2 (Qτ )

W2 (Qτ )

2 (Qτ )

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 36–43

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 36–43 41

 

n=1

 

Выберем ε1 так, чтобы √εB < 1, тогда ряды ∑∞

r и

 

n ∑∞

n=1

zn сходятся.

n=1

 

z =

 

Рассмотрим частичные суммы рядов ∑∞

n ∑∞

n=1

n=1

 

(vn − vn−1), ∑∞

r =

 

n ∑∞

n=1

(un − un−1) S1 = v1 −

— v0, так как v0 = 0, получаем S1 = v1, S2 = v1 + v2 − v1 = v2. Аналогично S1 = u1 − u0, так как u0 = 0, получаем S − 1 = u1, S − 2 = u1 + u2 − u1 = u2. Продолжив этот процесс, получим Sn = vn и Sn = un,

значит, последовательности частичных сумм сходятся. Следовательно, построенная последовательность

(un, vn) также сходится. Перейдем к пределу при n → ∞

 

T l T l

∫ ∫ ∫ ∫

(−vnηt + avnηx + cvnη)dxdt +

 

l l

∫ ∫

η Pun−1dξdxdt =

 

ψ(ξ)η(ξ, 0)dξ+

t x

0 0 0 0 0 0

 

T l

∫ ∫

+ gηdxdt,

0 0

l

∫

un−1 =

Hun−1dξ = vn−1,

0

убеждаемся в том, что предел выделенной подпоследовательности действительно есть искомое обобщенное решение задачи 2. В силу единственности предела последовательности единственность решения очевидна.

 

Разрешимость задачи 1.

Теорема 2. Если выполняются условия

a, at, ax c, ct ∈ C(Q¯T ), a(x, t) > 0 ∀(x, t) ∈ Q¯T ;

f, ft ∈ L2(QT ), Ki ∈ C2(Q¯T ), Ki(0) = Ki(l) = 0,

2

 

тогда существует единственное решение задачи 1. Если условия теоремы 2 будут выполнены, то и все условия теоремы 1 также выполняются. Тогда существует единственное решение задачи 2, принадлежащее пространству W 2(QT ). В силу граничных условий v(0, t) = v(l, t) = 0 выполняются интегральные условия (3), а также начальные условия (2). При подстановке (4) в (8) после некоторых преобразований убеждаемся, что u удовлетворяет (1).

About the authors

V. A. Kirichek

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: Vitalya29@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-9817-863X

postgraduate student, Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

References

Supplementary files