Comparative analysis of production function models of the machine building and metalworking industry in the Samara region

Full Text

Введение

Главными задачами промышленного производства являются удовлетворение спроса конечного потребителя в готовой продукции, получение прибыли и эффективное использование ресурсов. Поэтому основным процессом промышленного производства является переработка базовых видов ресурсов в конечный продукт, поступающий потребителю. Для получения максимальной прибыли производственной системе необходимо обеспечить эффективность процесса преобразования ресурсов. Требуется учесть, рассчитать и проанализировать показатели рационального использования всех видов ресурсов, задействованных в производственном процессе.

Одним из способов решения этой задачи является применение модельного подхода на основе экономико-математических моделей в классе производственных функции. В рамках этого подхода необходимо собрать и систематизировать официальную статистику о функционировании отрасли машиностроения и металлообработки Самарской области в период с 1965 по 2021 год. и идентифицировать параметры производственных функций Кобба–Дугласа на различных интервалах исследования в вариантах исходных и сглаженных фактических статистических данных.

В качестве интервалов идентификации параметров следует рассмотреть весь временной период исследования, а также локальные промежутки устойчивого и кризисного функционирования анализируемой производственной системы и провести сравнительный анализ параметров и характеристик полученных моделей.

Целью проведённого исследования является разработка, идентификация и сравнительный анализ решений математических моделей функционирования отрасли машиностроения и металлообработки Самарской области.

Научная новизна проведенного исследования заключается в построенном комплексе взаимосвязанных моделей на основе различных производственных функций и в результатах идентификации параметров моделей для отрасли машиностроения и металлообработки Самарского региона в период с 1965 по 2021 гг. с выделением периодов устойчивого и кризисного функционирования анализируемой системы.

Полученные результаты могут быть применены для построения прогнозов развития анализируемой отрасли и оценки эффективности функционирования других отраслей промышленности Самарской области.

Производственная функция – один из элементов математического аппарата при моделировании производственных систем. Производственная функция представляет собой модель экономического объекта, представляемого в виде «черного ящика», где происходит преобразование входных характеристик – ресурсов $\left(X_n\right)$ в выходные – конечные продукты $\left(Y_n\right)$. С помощью производственной функции можно количественно оценить зависимости входных и выходных характеристик [1].

В соответствии с таким подходом объект моделирования имеет следующую структуру:

 

Рис. 1: Структурная модель объекта.

Fig. 1: Structure of the object.

 

Одной из наиболее распространённых математических моделей в классе производственных функций является функция Викселля (Кобба–Дугласа) [2-5]. Викселль высказал предположение, что стоимость произведенного продукта $Y$ можно оценить с помощью затрат капитальных ресурсов $K$ и трудовых ресурсов $L$ [2]. Уточненный вариант этой производственной функции был предложен учеными П. Дугласом и Ч. Коббом. В своей работе они учли масштабный коэффициент $A$ и факторные эластичности $\alpha$ и $\beta$ [1]. Производственная функция Кобба–Дугласа имеет следующий вид:

 

$\begin{array}{c}F\left(t\right)=AK{\left(t\right)}^{\alpha }L{\left(t\right)}^{\beta }{e}^{\tau t},\end{array}$

(1)

 где $A$ – масштабный коэффициент; $K$ – капитальные затраты; $L$ – трудовые ресурсы; $e^{\tau t}$ – множитель, учитывающий влияние научно-технического прогресса (НТП).

В работе рассмотрены два частных случая функции вида (1):

$\alpha +\beta =1$ – однородная производственная функция Кобба–Дугласа;

$\alpha +\beta \ne 1$ – неоднородная производственная функция Кобба–Дугласа.

1. Постановка задачи и исходные данные

Задачей исследования является моделирование и сравнительный анализ параметров производственных функций типа Кобба–Дугласа с целью оценки эффективности функционирования отрасли машиностроения и металлообработки Самарской области. Модельные решения были получены для различных вариантов производственных функций Кобба–Дугласа в вариантах несглаженных и сглаженных исходных статистических данных.

На Рис. 2 представлены исходные статистические данные отрасли машиностроения и металлообработки Самарской области в период с 1965 по 2021 годы [6-11].

 

Рис. 2: Исходные статистические данные: 1 – выпуск продукции Y; 3 – объём основных фондов K; 5 – трудовые ресурсы L; пунктирные линии 2, 4, 6 – сглаженные данные.

Fig. 2: Initial statistical data: 1 – output Y; 3 – volume of fixed assets K; 5 – labor resources L; dotted lines 2, 4, 6 – smoothed data.

 

На Рис. 2 можно выделить три временных периода с различным поведением характеристик производственной системы. С 1965 по 1990 в рассматриваемой отрасли происходят достаточно стабильные изменения статистических данных. Объем выпускаемой продукции $Y$ вырос примерно в 4 раза, затраты капитальных ресурсов $K$ увеличились на 900% при стабильном использовании трудовых ресурсов $L$.

В период с 1990 по 2004 поведение характеристик становится менее постоянным: на графике виден постепенный спад объемов производства на 26%, а также затрат трудовых ресурсов более чем на 60%. Возникновение этой ситуации связано с распадом СССР и переходом от плановой экономики к рыночной, определившим структурные изменения в анализируемой системе.

С 2004 года поведение характеристик системы можно охарактеризовать резким ростом объема произведенной продукции в 8 раз за счет увеличения основных фондов на 370% при стабильном числе занятых в рассматриваемой отрасли на среднем уровне 2000 чел., такой вид изменения характеристик определен становлением новой системы хозяйствования и развитием производства в регионе.

Также для исходных статистических характеристик была проведена процедура сглаживания методом скользящего среднего. Сглаживание осуществлялось для устранения влияния выбросов статистических данных и получения адекватных модельных решений.

2. Методология и анализ модельных решений

Для идентификации неизвестных параметров производственной функции был применен метод наименьших квадратов (МНК). Суть МНК – минимизировать сумму квадратов отклонений значений, получаемых с помощью некоторой функции, от заранее известных экспериментальных данных [12-15]. Расчет методом наименьших квадратов не является сложным и спектр его применения достаточно широк. Для расчета методом наименьших квадратов необходимо привести рассматриваемую функцию к линейному виду. Рассмотрим пример постановки метода МНК для однородной производственной функции (1) без учёта фактора НТП, учитывая, что $\beta =1-\alpha$ линейная конструкция примет вид:

$\begin{array}{c}{L}_n\left(Y\right)=L_n\left(A\right)+\alpha L_n\left(K\right)-\alpha L_n\left(L\right)+L_n\left(L\right)\end{array}$

После преобразований и выполненной замены функция будет описываться уравнением:

$\begin{array}{c}y=c+\alpha x.\end{array}$ (42)

Необходимо найти такие коэффициенты линейной зависимости (2), при которых значения квадратичной невязки будет стремиться к своему наименьшему значению:

$\begin{array}{c}F(\alpha ;c)=\sum _{i=1}^n{(y_i-(c-\alpha \cdot x\left)\right)}^2\to \min \end{array}$ (3)

При полученных таким методом значений коэффициентов $\alpha$ и суммарное значение квадратов невязки между фактическими и расчётными данными минимальна. Для нахождения неизвестных коэффициентов $\alpha$ и $с$ необходимо приравнять частные производные выражения (3) к нулю и решить полученную систему линейных уравнений.

Исходя из ранее проанализированных свойств исходных статистических данных, предлагается два вида модельных решений: 

• моделирование производственной функции на всем временном интервале для оценки общей эффективности производственного процесса;
• моделирование производственной функции в два этапа: разделить временной интервал на два участка и найти параметры производственной функции для каждого периода отдельно, а затем свести («склеить») частные модели.

Выдвинем гипотезу, что качество модельных решений, основанных на статистике второго временного периода – с 2004 по 2021 гг., вероятно, окажется низким по причине резко отличающегося поведения статистических данных.

Для удобства введем обозначения для моделей, полученных на разных временных интервалах: полный период: 1965–2021 гг. – интервал $A$; первый период: 1965–2004 гг. – интервал $B$; второй период: 2004–2021 гг. – интервал $C$.

Графики однородных ПФ Кобба–Дугласа с не сглаженными и со сглаженными данными, приведены на Рис.3 и Рис.4.

 

Рис. 3: Однородная ПФ Кобба–Дугласа (данные не сглажены) 1 – исходные статистические данные; 2 – интервал A; 3 – интервал B; 4 – интервал C.

Fig. 3: Homogeneous Cobb-Douglas PF (data not smoothed) 1 – statistical data; 2 – interval A; 3 – interval B; 4 – interval C. 

 

Рис. 4: Однородная ПФ Кобба–Дугласа (данные сглажены) 1 – исходные статистические данные; 2 – интервал A; 3 – интервал B; 4 – интервал C.

Fig. 4: Homogeneous Cobb-Douglas PF (data smoothed) 1 – statistical data; 2 – interval A; 3 – interval B; 4 – interval C. 

 

Коэффициент детерминации $R^2$ позволяет оценить общее качество полученного уравнения регрессии – его аппроксимативное свойство. Чем ближе значение этого коэффициента к единице, тем лучше аппроксимация исходных статистических данных. Как видно из данных, представленных в таблице 1, на интервале $B$ значение $R^2$ увеличивается, что говорит об улучшении качества модели.

 

Таблица 1: Показатели качества и параметры ПФ.

Table 1: Quality indicators and PF parameters.

Вид ПФ	Параметр
	$\alpha$	$\beta$	$R^2$	$F$	$DW$
Данные не сглажены
Однородная (интервал A)	0,790	-	0,841	298,1	0,67
Однородная (интервал B)	0,569	-	0,862	239,2	1,2
Однородная (интервал C)	1,100	-	0,840	85,5	1,28
Данные сглажены
Однородная (интервал A)	0,792	-	0,848	305,9	0,37
Однородная (интервал B)	0,572	-	0,863	240,3	1,20
Однородная (интервал C)	0,990	-	0,819	72,8	1,11

 

Графики неоднородных ПФ Кобба–Дугласа с не сглаженными и со сглаженными данными, приведены на Рис.5 и Рис.6.

 

Рис. 5: Неоднородная ПФ Кобба–Дугласа (данные не сглажены) 1 – исходные статистические данные; 2 – интервал A; 3 – интервал B; 4 – интервал C.

Fig. 5: Heterogeneous Cobb-Douglas PF (data not smoothed) 1 – statistical data; 2 – interval A; 3 – interval B; 4 – interval C. 

 

Рис. 6: Неоднородная ПФ Кобба–Дугласа (данные сглажены) 1 – исходные статистические данные; 2 – интервал A; 3 – интервал B; 4 – интервал C.

Fig. 6: Heterogeneous Cobb-Douglas PF (data smoothed) 1 – statistical data; 2 – interval A; 3 – interval B; 4 – interval C.

 

Таблица 2: Показатели качества и параметры ПФ. 

Table 2: Quality indicators and PF parameters.

Вид ПФ	Параметр
	$\alpha$	$\beta$	$R^2$	$F$	$DW$
Данные не сглажены
Неоднородная (интервал A)	0,752	0,024	0,863	170,1	0,39
Неоднородная (интервал B)	0,587	0,693	0,884	140,5	1,44
Неоднородная (интервал C)	0,638	-0,942	0,880	56,2	1,46
Данные сглажены
Неоднородная (интервал A)	0,750	0,008	0,867	176,6	0,40
Неоднородная (интервал B)	0,590	0,667	0,884	141,0	1,43
Неоднородная (интервал C)	0,762	-0,762	0,881	55,4	1,42

 

$\alpha$ и $\beta$ – факторные эластичности, отражающие вклад соответствующих ресурсов, затраченных на выпуск продукции [16-18].

$\alpha$ – эластичность выпуска продукции по капиталу.

$\beta$ – эластичность выпуска продукции по труду. Отрицательное значение $\beta$ свидетельствует о неэффективном использовании трудовых ресурсов.

Графики неоднородных ПФ Кобба–Дугласа с НТП с не сглаженными и со сглаженными данными, приведены на Рис.7 и Рис.8.

 

Рис. 7: Неоднородная ПФ Кобба–Дугласа с НТП (данные не сглажены) 1 – исходные статистические данные; 2 – интервал A; 3 – интервал B; 4 – интервал C.

Fig. 7: Heterogeneous Cobb-Douglas PF with STP (data not smoothed) 1 – statistical data; 2 – interval A; 3 – interval B; 4 – interval C. 

 

Рис. 8: Неоднородная ПФ Кобба–Дугласа с НТП (данные сглажены) 1 – исходные статистические данные; 2 – интервал A; 3 – интервал B; 4 – интервал C.

Fig. 8: Heterogeneous Cobb-Douglas PF with STP (data smoothed) 1 – statistical data; 2 – interval A; 3 – interval B; 4 – interval C. 

 

Таблица 3: Показатели качества и параметры ПФ. 

Table 3: Quality indicators and PF parameters.

Вид ПФ	Параметр
	$\alpha$	$\beta$	$R^2$	$F$	$DW$
Данные не сглажены
Неоднородная с НТП (интервал A)	1,116	-0,538	0,892	224,8	0,51
Неоднородная с НТП (интервал B)	0,587	0,693	0,900	140,5	1,44
Неоднородная с НТП (интервал C)	0,639	-0,942	0,837	56,2	1,46
Данные сглажены
Неоднородная с НТП (интервал A)	1,159	-0,593	0,896	242,3	0,56
Неоднородная с НТП (интервал B)	0,429	0,936	0,943	145,7	1,6
Неоднородная с НТП (интервал C)	1,261	-2,057	0,886	45,9	1,85

 

Отрицательное значение $\beta$ говорит о высокой трудозатратности производственного процесса, однако при моделировании такого вида ПФ были достигнуты наибольшие значения показателя $R^2$.

Заключение

Анализ качества полученных модельных решений позволяет сделать следующие выводы: 

1. Значения $F$-статистики существенно превышают табличные значения при уровне значимости $\alpha =0,001$, при этом показатели $F$-статистики для сглаженных данных больше полученных значений этого критерия для несглаженных данных. Также, значения статистики Фишера $F$ говорят о статистически значимом (достоверном) значении коэффициента детерминации $R^2$.
2. Критерий Дарбина-Уотсона позволяет проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков при его значении, стремящемся к 2.
3. Во многих полученных моделях критерий $DW$ существенно отличен от 2, что говорит о наличии связи между невязками, что, в свою очередь, предполагает неучтенные при моделировании факторы и слабые прогностические свойства моделей.
4. Таким образом, анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что не все модели имеют удовлетворительные показатели качества, при этом наилучшим образом поведение анализируемой системы описывает неоднородная ПФ Кобба–Дугласа с учетом НТП, полученная при расчете на сглаженных исходных данных в случае раздельного моделирования на интервалах $B$ и $C$.
5. Подтвердилась выдвинутая в ходе исследования гипотеза о низких качественных характеристиках модельных решений интервала $C$.
6. При моделировании необходимо учитывать, что при использовании сглаженных значений исходной статистики в построении прогнозной модели велика вероятность ошибок прогнозирования, так как в процессе сглаживания вид исходных данных меняется.
7. Построенные модели позволяют решать задачи оценки эффективности функционирования отрасли промышленного производства и строить прогнозы её развития.

Конкурирующие интересы: Конкурирующих интересов нет.

About the authors

Mikhail V. Tsapenko

Samara National Research University

Email: tsapenko@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0002-7138-9514

Candidate of Economics, Associate Professor of the Department of Management and organization of production

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Angela A. Ermakova

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: khapalina.aa@samgtu.ru
ORCID iD: 0009-0009-7061-6162

Assistant of the Department of Management and system analysis of thermal power and socio-technical complexes

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files