Model of stochastic dynamics of a manufacturing enterprise, taking into account the optimal rates of domestic investment

Full Text

Введение

Устойчивый экономический рост производственных предприятий и экономических систем формирует стабильное развитие всей национальной экономики. Прогнозирование экономико-математическими методами показателей динамики развития субъектов экономики является одной из актуальных проблем современной экономической теории, успешное решение которой позволяет проводить полноценную аналитику бизнес-процессов, вычислять оптимальные объемы выпуска продукции, ресурсов, издержек и прибыли, которые способствуют выходу предприятий на эффективные производственные мощности. Классические положения теории экономического роста предприятий и экономических систем подробно представлены в работах [1–7].

На их основе разработан целый спектр моделей роста экономических систем, учитывающий роль технических инноваций и информационных технологий [8–32].

Динамика развития предприятий, которая в силу объективных обстоятельств носит, как правило, стохастический характер, определяется взаимодействием объемов инвестиций в производство и амортизационных отчислений на восстановление объемов ресурсов и затрат на модернизацию средств производства. Поэтому одним из главных математических инструментов для построения моделей экономического развития предприятий является аппарат стохастических дифференциальных уравнений и их систем [33–39].

Целью публикуемой работы является разработка новой экономико-математической модели динамики развития предприятия, которая учитывает случайный характер влияния сопровождающих издержек производства, амортизационных отчислений и внутренних инвестиций. Такая модель позволяет прогнозировать выход мощностей предприятия на эффективное предельное состояние производства, при котором прибыль предприятия становится максимальной.

 

Пусть предприятие для выпуска своей продукции привлекает объемы факторов производства , представляющие собой капитал, трудовые ресурсы, материалы, технологии, инновации и т. д.

Величины  предполагаются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми функциями времени.

Начальные значения  функций  считаются известными, их предельные значения  определяется динамикой развития предприятия и подлежат вычислению.

Объем выручки предприятия  обеспечивается многофакторной производственной функцией Кобба – Дугласа

 

.                                                                    (1)

 

Здесь показатели степени  представляют собой эластичности выпуска по соответствующим ресурсам , коэффициент  равен объему выручки, полученной от переработки единичных объемов ресурсов.

Пропорциональные издержки предприятия записываются в виде

 

.                                                           (2)

 

Здесь  – стоимости затрат на единичные объемы ресурсов,  – постоянные затраты предприятия.

Формула прибыли предприятия имеет вид

 

.                                              (3)

 

Для вычисления максимальной прибыли предприятия необходимо приравнять к нулю все частные производные функции прибыли (3):

 

,

 

и составить систему уравнений

 

.                                                           (4)

 

Решениями системы уравнений (4) являются значения ресурсов

 

 ,                                               (5)

 

соответствующих максимальному значению прибыли :

 

.                                      (6)

 

Предельные значения ресурсов , при которых прибыль предприятия обращается в нуль, находятся из уравнения

 

.                  (7)

 

Стохастический характер динамики развития производственного предприятия определяется объемами внутренних инвестиций и объемами амортизаций (износа) ресурсов, которые описываются случайными функциями времени. Поэтому приращение объемов ресурсов  за некоторый малый промежуток времени  можно выразить суммой трех компонентов:

 

.                                     (8)

 

Здесь  – частичные амортизационные утраты ресурсов  за время ,  – частичные восстановления ресурсов  за время  за счет внутренних инвестиций предприятия,  – случайные колебания объемов ресурсов предприятия.

Для пропорциональной амортизации величины  записываются в виде

 

.                                                    (9)

 

Здесь  – коэффициенты амортизации, выражающие доли утраченных объемов ресурсов  за единицу времени.

Величины , выражающие частичные восстановления ресурсов  за промежуток времени  за счет внутренних инвестиций предприятия, имеют вид

 

.                                                      (10)

 

Здесь  – внутренние инвестиции, восстанавливающие ресурсы;  – нормы инвестиций, доли выручки, инвестируемые в ресурсы . Функция времени

 

 

 

описывает пропорциональный рост нормы инвестиций и амортизаций ресурсов на всем рассматриваемом интервале времени .

Имманентная волатильность объемов внутренних инвестиций является причиной случайных колебаний величины , которые могут быть представлены в виде стохастических стандартных винеровских процессов [36]:

 

.                               (11)

 

Здесь  – стандартный винеровский процесс, ,  – показатель волатильности факторов производства ,  – случайная величина с нормальным законом распределения, нулевым средним значением  и единичной дисперсией .

Их формулы (11) следует, что в окрестности начальной точки  пространства  и в окрестности предельной точки  пространства  поведение функций  становится практически детерминированным.

Подставляя формулы (1), (9)–(11) в уравнения баланса (8), находим

 

.          (12)

 

Предельный переход в соотношениях (12) при  и  приводит к системе стохастических дифференциальных уравнений диффузии Ито

 

.                                                         (13)

 

Здесь

 

                                    (14)

 

– коэффициенты сноса системы (13),

 

                                                    (15)

 

– коэффициенты волатильности системы (13).

Начальные условия для системы уравнений (13) с коэффициентами (14) и (15) имеют вид

 

.                                                                 (16)

 

Уравнения (13)–(15) показывают, что увеличения объемов производственных факторов  и соответствующих им объемов выпуска продукции будут продолжаться до тех пор, пока объемы внутренних инвестиций будут превосходить объемы амортизационных отчислений. Рост величин  прекратится, и они достигнут своих предельных значений , когда объемы внутренних инвестиций и амортизационных отчислений совпадут. Поскольку в окрестности предельной точки  пространства  случайный процесс становится практически детерминированным, то величины  находятся из уравнения

 

.                                                      (17)

 

Целью любого производственного предприятия является организация такого режима его работы, при котором прибыль становится максимально возможной. Это достигается только в том случае, если все предельные величины ресурсов  будут совпадать со значениями ресурсов , отвечающими максимальной прибыли .

В этом случае оптимальные коэффициенты нормы внутренних инвестиций  находятся из соотношения (17)

 

.                                                                      (18)

 

Численное решение системы стохастических дифференциальных уравнений (13) с коэффициентами (14), (15) и начальными условиями (16) строятся на временном отрезке  разбитом системой точек  методом последовательных приближений Эйлера – Маруямы в соответствии с алгоритмом [25]:

.                                 (19)

Здесь .

Начиная с начальных значений ресурсов  на каждом временном интервале с шагом  генерируются случайные числа  и вычисляются следующие значения . Полученные случайные последовательности  и  на координатной плоскости образуют системы точек  и соответствующие им стохастические траектории. Повторная реализация алгоритма (19) всякий раз генерирует новые случайные значения величины ε и новые стохастические траектории.

Для вычисления математических ожиданий функций  необходимо статистически усреднить систему уравнений (13) с коэффициентами (14) и (15):

 

.                                  (20)

 

Рассмотрим важный частный случай , согласно которому число ресурсов сводится к одному, а выручка предприятия определяется одним фактором производства . В объем этого ресурса включены капитал, трудовые ресурсы, материалы, технологии, инновации и т. д.

Тогда формулы (1)–(3) принимают вид

 

,                                                              (21)

,                                                         (22)

                                                 (23)

 

Максимальное значение прибыли  и соответствующее ему значение ресурса  находятся из условия

 

.                                                   (24)

 

Решая уравнение (24), находим значение ресурса :

 

.                                                              (25)

 

Подставляя выражение (25) в формулу для прибыли (23), получаем максимальное значение прибыли:

                                     (26)

 

Уравнение (7) для предельных значений ресурсов, при которых прибыль предприятия обращается в нуль, принимает вид

 

.                                                        (27)

 

Система стохастических уравнений динамики роста производственных факторов (13) с коэффициентами (14), (15) для однофакторного предприятия принимает вид

 

                                     (28)

Начальное условие для системы (28) имеет вид

 

.                                                         (29)

Формула (18) для оптимального коэффициента нормы внутренних инвестиций  записывается в виде

.                                                         (30)

 

Алгоритм (19) численного решения стохастического дифференциального уравнения (28) методом итераций Эйлера – Маруямы принимает вид

 

.                                 (31)

 

При реализации алгоритма (31) получаются случайные системы точек  и соответствующие им стохастические траектории.

Для вычисления математического ожидания функции  необходимо статистически усреднить систему уравнений (28):

 

.                                                    (32)

 

Точное вычисление статистического момента  не представляется возможным, поэтому приближенное значение этого момента вычисляется в предположении, что флуктуации величины  относительно ее среднего значения пропорциональны случайной величине :

 

.                                                                          (33)

 

Здесь

 

                                                     (34)

– коэффициент пропорциональности.

Подставляя соотношение (34) в формулу (33), находим

 

.                                    (35)

 

В формуле (35) ограничимся тремя слагаемыми в разложении сходящегося биномиального ряда для малых флуктуаций :

 

.                          (36)

 

Усредняя соотношение (36), находим

 

.                                           (37)

 

Подстановка выражения (37) в уравнение (32) приводит к дифференциальному уравнению относительно

 

.                   (38)

 

Начальное условие для уравнения (38) имеет вид

 

.                                                                   (39)

 

Оптимальной организацией деятельности производственного предприятия является такой режим его работы, при котором нормы внутренних инвестиций  рассчитывается по формуле (30), функция прибыли стремится к своему максимальному значению , а функция ресурса  стремиться к значению , соответствующему этому максимальному значению прибыли. При выборе любой другой нормы внутренних инвестиций  функция прибыли будет стремиться к другому меньшему предельному значению , соответствующему другому предельному значению ресурса .

На рисунке показано сравнение графиков стохастических траекторий и математических ожиданий функций объемов прибыли , построенных по формуле (23), с результатами численной реализации алгоритма (31) и результатами численного решения задачи Коши (38), (39) для коэффициентов нормы инвестиций  и .

 

Расчетные значения: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

 

Графики функций объемов прибыли на рисунке показывают, что коэффициент нормы инвестиций  выбран неудачно. После достижения максимального значения прибыль предприятия начинает снижаться.

Следует отметить, что кривые математических ожиданий, построенные по результатам решения задачи Коши (38), (39), и средние значения стохастических траекторий, построенных по результатам двухсот реализаций алгоритма (31), практически совпадают.

 

 

 

Рисунок – Сравнение графиков стохастических траекторий и математических ожиданий функций объемов прибыли  построенных по формуле (23), с результатами численной реализации алгоритма (31) и результатами численного решения задачи Коши (38), (39) для коэффициентов нормы инвестиций  и

Figure – Comparison of graphs of stochastic trajectories and mathematical expectations of functions of profit  volumes constructed according to formula (23), the results of the numerical implementation of algorithm (31), and the results of the numerical solution of the Cauchy problem (38), (39) for the investment rate coefficients and

 

Заключение

1. Разработана новая стохастическая модель динамики развития предприятий, восстановление производственных ресурсов которых обеспечивается за счет внутренних инвестиций.
2. Для прогнозирования объемов производственных издержек, амортизационных отчислений, выручки и прибыли установлены системы стохастических дифференциальных уравнений.
3. Показано, что эффективность динамики развития предприятия зависит от выбора значений коэффициентов норм инвестиций. При неудачном выборе этих коэффициентов производственные мощности предприятий не способны выйти на режим работы с максимальной прибылью.
4. Получена система уравнений для вычисления эффективных коэффициентов норм инвестиций, при которых предприятия гарантированно выходят на режим работы с максимальной прибылью.

 

About the authors

Elena A. Ilyina

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: elenaalex.ilyina@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-2590-6138

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Leonid A. Saraev

Samara National Research University

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files