Stochastic models of the dynamics of the maximum and optimal profit of a manufacturing enterprise introducing technological innovations

Full Text

Введение

Предприятие не только производит продукцию, но и взаимодействует с социальной сферой, тратит деньги на поиск информации, переговоры, защиту прав и т. д. Это называется непроизводственной деятельностью и включает в себя транзакции, которые порождают непроизводственные транзакционные издержки. Руководство может направлять часть прибыли на социальные программы, такие как повышение квалификации сотрудников, экологию, благотворительность и т. д. Эти программы могут улучшить качество продукции, увеличить объемы продаж, привлечь инвестиции и способствовать развитию инноваций [1–9].

Основная цель предприятия – получение наибольшей прибыли, и для ее расчета обычно используется максимум функции прибыли. Однако при учете транзакционных издержек задача становится более сложной, и предприятие должно максимизировать не только функцию прибыли, но и транзакционную функцию полезности менеджмента, которая учитывает отток части прибыли на непроизводственные нужды и оппортунистические интересы руководства. Транзакционные издержки могут препятствовать предприятию в достижении максимальной прибыли, и ему приходится ограничиваться оптимальным значением [10–13].

Если предприятие модернизируется с помощью инновационных технологий, параметры производственной функции, функции общих издержек и прибыли изменяются во времени. В результате таких инновационных процессов максимальная прибыль предприятия может представляться функцией времени. Управляя параметрами внедрения инновационных технологий, становится возможным прогнозировать максимальную прибыль предприятия в нужные моменты времени [14–21].

Достаточно широкий набор известных статистических данных, описывающих динамику развития модернизируемых предприятий, демонстрируют ее стохастический характер. Поэтому для построения математических моделей динамического поведения производственных предприятий следует опираться на теорию случайных функций. Стохастическое моделирование позволяет наиболее полно учесть волатильность экономических показателей работы предприятия и внести существенные дополнения в имеющиеся аналогичные детерминистские модели.

Эффективным инструментом для построения недетерминированных моделей динамики развития предприятий является теория стохастических дифференциальных уравнений, учитывающая влияние случайных внешних воздействий. Построение на основе этой теории определяющих уравнений динамики выручки, издержек и прибыли предприятия существенно обогащает соответствующие известные детерминированные модели, в которых нельзя учесть внешние случайные возмущающие факторы. Методы исследования приложений теории стохастических дифференциальных уравнений для моделирования случайных процессов подробно изложены в работах [22–28].

Целью публикуемой работы является обобщение результатов экономико-математической модели динамики формирования прибыли производственных предприятий, полученных в работе [29], на случай стохастического характера внедрения в производство технологических инноваций.

Таким образом, создание математических моделей, учитывающих уровень транзакционных издержек, становится важным для расчета экономических показателей работы предприятия.

 

Постановка задачи

Объемы производственных ресурсов многофакторного производственного предприятия  можно разделить на две группы. Величины  – представляют собой основные, материальные, финансовые и трудовые ресурсы, а величины  – представляют собой ресурсы, обеспечивающие непроизводственную и социальную деятельность предприятия. При этом, ресурсы  формируют только производственные издержки, а ресурсы  формируют как производственные, так и транзакционные издержки [29].

Процесс внедрения технологических инноваций в производство рассматриваемого предприятия происходит на некотором временном интервале, поэтому все объемы ресурсов зависят от времени .

Производственная мультипликативная функция Кобба – Дугласа, пропорциональные издержки и прибыль предприятия задаются формулами [29]:

,                                              (1)

,                                   (2)

                                      (3)

Здесь  – эластичности выпуска по соответствующим ресурсам ;  – стоимость продукции произведенной на единичные объемы ресурсов;  – стоимости затрат на единичные объемы ресурсов,  – постоянные затраты предприятия.

Максимальное значение функции прибыли (3) соответствует наибольшему доходу рассматрива-
емого предприятия. Перераспределение прибыли предприятия, учитывающее отток ее части на непроизводственные нужды и оппортунистические интересы руководства, обеспечивается целевой транзакционной функцией полезности, которая зависит от прибыли  и ресурсов  и принимается здесь линейной:

.                                                      (4)

Здесь  – коэффициенты функции полезности (4). Следует отметить, что все коэффициенты функции полезности (6) неотрицательны .

Если выпуск продукции предприятием обеспечивается одним производственным фактором  и одним непроизводственным ресурсом , то формулы (1)–(4) принимают вид:

,                                                (5)

,                                     (6)

,             (7)

.                                                   (8)

Формула для целевой транзакционной функции полезности предприятия (8) показывает, что перераспределение прибыли в интересах руководства предприятия и для реализации социально
ориентированных программ полностью определяется параметром , который удовлетворяет неравенству

.                                                                     (9)

Нижняя граница параметра  соответствует частному случаю, при котором предприятие совершенно не финансирует никакие непроизводственные программы и функция полезности совпадает с функцией прибыли.

Верхняя граница параметра  соответствует ситуации, при которой в текущий момент времени t предприятие тратит на социальные программы всю прибыль.

Значения объемов ресурсов  и , при которых прибыль предприятия в текущий момент времени t обращается в нуль находятся из уравнения

.               (10)

Значения верхней границы неравенства (9)  в текущий момент времени t находятся из уравнения

.                                    (11)

Процесс внедрения инноваций на предприятии будем описывать безразмерной случайной функцией , а процесс оттока прибыли на реализацию социальных программ и обеспечения интересов менеджмента предприятия будем описывать безразмерной случайной функцией , , .

Значение функции  соответствует началу процесса внедрения инноваций в производство, значения функции  соответствуют завершению этого процесса.

Значение функции  соответствует началу процесса оттока прибыли на реализацию социальных программ и обслуживание интересов руководства предприятия, значения функции  соответствуют завершению этого процесса.

Приращения каждого показателя  и  за малый временной интервал  можно записать в виде суммы

                                                             (12)

Здесь  – частичные приращения показателей внедрения инноваций в производство предприятия за малый временной интервал , соответствующие начальному новаторскому этапу цифровой трансформации,  – частичные приращения показателей внедрения инноваций в производство предприятия за тот же малый временной интервал , соответствующие развернутому этапу цифровой трансформации,  – случайные колебания показателей внедрения инноваций в производство предприятия. Величины ;  и  можно представить в виде

                                     (13, 14)

Здесь  – коэффициенты начальной трансформации показателей;  – коэффициенты развернутой трансформации показателей;  – функция, описывающая относительную скорость процесса трансформации показателей; множители  и  описывают выход процессов трансформации показателей на их завершающую стадию;  – стандартный винеровский процесс, ,  – волатильность процесса внедрения инноваций,  – случайная величина с нормальным законом распределения, нулевым средним значением  и единичной дисперсией .

Подстановка формул (13, 14) в формулы (12) дает

                        (15)

Предельный переход при  в соотношениях (15) приводит к системе нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито [25]:

                                      (16)

Здесь

                                      (17)

– коэффициенты сноса системы (16),

                                         (18)

– коэффициенты волатильности системы (16).

Начальные условия для системы (16) имеют вид

                                                                          (19)

Численные решения систем стохастических дифференциальных уравнений (16) с коэффициентами (17), (18) и начальными условиями (19) строятся  на разбитом системой точек  временном отрезке  методом последовательных приближений Эйлера – Маруямы в соответствии с алгоритмами [25]

             (20)

−

На каждом временном шаге , начиная с начальных значений , генерируются случайные числа  и вычисляются следующие значения .

Таким образом, образуются случайные последовательности ,  и . На координатной плоскости эти последовательности образуют системы точек  и  и соответствующие им стохастические траектории.

При повторении реализации алгоритмов (20) всякий раз образуются новые стохастические траектории, поскольку каждый раз случайная величина  генерирует новые случайные значения.

Для вычисления математических ожиданий функций  и  необходимо статистически усреднить систему уравнений (16) с коэффициентами (17) и (18):

                                            (21)

В результате получается система дифференциальных уравнений, содержащих статистические моменты искомых функций второго порядка  и :

                              (22)

Последовательные вычисления моментов  и  приводят к появлению моментов третьего, четвертого и более высоких порядков. Образуется бесконечная цепочка статистических уравнений, которую необходимо оборвать, сделав определенные допущения.

В рассматриваемом случае естественно предположить, что флуктуации величин  и  определяются случайными колебаниями числа покупателей-имитаторов, и ее можно представить в виде [28]:

                                        (23)

Тогда

        (24)

Усреднение формул (24) дает

                                                 (25)

Подставляя формулы (25) в соотношения (22), находим систему дифференциальных уравнений относительно математических ожиданий величин  и :

             (26)

Начальные условия для системы (26) имеют вид

                                                                         (27)

На рисунке 1 представлены стохастическая траектория для функции , построенная по результатам численной реализации алгоритма Эйлера – Маруямы (20), и график функции математического ожидания , полученного в результате численного решения задачи Коши (25), (27).

В результате инновационной деятельности предприятия и мероприятий менеджмента по перераспределению прибыли функция стоимости продукции произведенной на единичный объем ресурса , функции эластичности выпуска , , коэффициенты издержек  и функция  будут изменяться во времени в соответствии с формулами:

                                                     (28)

 

Рисунок 1 – Стохастическая траектория для функции  и график функции математического ожидания . Расчетные значения: ; ; ;

Figure 1 – Stochastic trajectory for a function  and a graph of the function of mathematic expectation . Estimated values: ; ; ;

 

Здесь  – начальное и конечное значения величины ,  – начальное и конечное значения величины ,  – начальное и конечное значения величины ,  – начальное и конечное значения величины ,  – начальное и конечное значения величины ,  – начальное и конечное значения величины ,  – предельный коэффициент перераспределения прибыли предприятия. При  вся прибыль вкладывается в развитие производства, при  вся прибыль постепенно вкладывается в развитие социальных программ и обслуживание оппортунистических интересов руководства.

Поскольку с развитием процесса внедрения технологических инноваций выручка предприятия возрастает, а издержки убывают, то

, , , и , .

Очевидно, что математические ожидания функций (30) выражаются формулами

                                                         (29)

 

Модель стохастической динамики развития производственного предприятия в краткосрочный период

Временной интервал, в течение которого существенных изменений основных и трудовых ресурсов не происходит, называется краткосрочным периодом. В рамках этого периода можно считать, что  и .

Тогда формулы (5)–(8), принимают вид:

,                                                             (30)

,                                                    (31)

                               (32)

.                                                          (33)

Функция максимальных значений прибыли  и соответствующая ей функция ресурса  находится из условия

.                               (34)

Здесь .

Решая уравнение (34) относительно  и вычисляя по формуле (32) максимальную прибыль, находим

        (35)

Пренебрегая в соотношениях (35) флуктуациями величин, получим приближенные формулы для математических ожиданий величин  и :

            (36)

Величины (36) ограничены снизу и сверху своими предельными значениями

                                                         (37)

Здесь

                (38)

Для вычисления оптимального значения прибыли необходимо оптимизировать целевую транзакционную функцию полезности (33), которая с учетом выражения (32) принимает вид

        (39)

Функция оптимальных значений прибыли  и соответствующая ей функция ресурса  находится из условия

.                           (40)

Решение уравнения (40) и вычисление по формуле (32) максимальной прибыли дает оптимальное значение ресурса , оптимальное значение прибыли :

     (41)

Здесь .

Пренебрегая в соотношениях (41) флуктуациями величин, получим приближенные формулы для математических ожиданий величин  и :

            (42)

Из неотрицательности коэффициентов  следует, что имеет место неравенства:

                                                        (43)

Уравнения (10) и (11) записываются в виде

                  (44)

Соответствующие соотношения для математических ожиданий принимают вид

                           (45)

 

На рисунке 2 изображена поверхность математического ожидания функции прибыли

.                          (46)

На поверхность (46) нанесены пространственные линии ее касания с поверхностями безразличия математического ожидания целевой транзакционной функции полезности , построенные по формулам (42) при различных значениях параметра . Каждая такая линия сопровождается пространственными стохастическими траекториями, построенными по формулам (41) при различных значениях параметра . Плоские линии на координатной плоскости  соответствуют решениям уравнений (44), (46) относительно функций  и .

Линии на рисунке 2, соответствующие параметрам  и , представляют собой верхнюю и нижнюю границы всевозможных вариантов перераспределения прибыли предприятия между производственными и непроизводственными затратами. Один из таких вариантов построен для значения параметров .

 

Рисунок 2 – График поверхности математического ожидания функции прибыли (46) с нанесенными на нее пространственными линиями ее касания с поверхностями безразличия математического ожидания целевой транзакционной функции полезности , построенных по формулам (42) при различных значениях параметра . Каждой такой линии соответствует пространственная стохастическая траектория, построенная по формулам (41) при различных значениях параметра . Плоские линии на координатной плоскости  соответствуют решениям уравнений (44), (46) относительно функций  и

Figure 2 – Graph of the surface of the mathematical expectation of the profit function (46) with the spatial lines of its contact with the indifference surfaces of the mathematical expectation of the target transactional utility function built according to formulas (42) for various values of the parameter . To each such lines a spatial stochastic trajectory corresponds built according to formulas (41) at different values of the parameter . Flat lines on the coordinate plane  corresponds to the solutions of equations (44), (46) with respect to the functions  и

 

На рисунке 3 приведены проекции на координатную плоскость  поверхности математического ожидания функции прибыли (48) и пространственных линий ее касания с поверхностями
безразличия математического ожидания целевой транзакционной функции полезности , построенные по формулам (44) при различных значениях параметра . Каждая такая проекция сопровождается пространственными стохастическими траекториями, построенными по формулам (43) при различных значениях параметра .

Расчетные значения: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

 

Модель стохастической динамики развития производственного предприятия в долгосрочный период

В долгосрочном периоде работы предприятия  производственный фактор  и эластичность  являются переменными величинами, а функции выпуска продукции, издержек и прибыли описываются формулами (5)–(8).

Значения функции прибыли (7), отвечающие ее максимуму, находятся из условий:

 

                             (47)

Здесь .

Уравнения (49) эквивалентны системе

 

                                                  (48)

 

 

Рисунок 3 –  Проекции на координатную плоскость  поверхности математического ожидания функции прибыли (48) и пространственных линий ее касания с поверхностями безразличия математического ожидания целевой транзакционной функции полезности , построенные по формулам (42) при различных значениях параметра . Каждой такой линии соответствует проекция пространственной стохастической траектории, построенной по формулам (41) при различных значениях параметра

Figure 3 – Projections onto the coordinate plane  of the surface of mathematical expectation of the profit (48) and spatial lines of its contact with the indifference surfaces of mathematical expectation of the target transactional utility function , built according to formulas (42) at different values of the parameter . Each such line corresponds to the projection of a spatial stochastic trajectory constructed according to formulas (41) for various values of the parameter

 

Из системы уравнений (48) следует, что величины  и  связаны соотношением

 

.                                                       (49)

 

Подставляя формулу (49) в первое уравнение системы (48), находим

 

.                                           (50)

 

Решая уравнения (49), (50) относительно  и , и вычисляя по формуле (7) максимальную прибыль, находим

                                          (51)

Пренебрегая в соотношениях (51) флуктуациями величин, получим приближенные формулы для математических ожиданий величин ,  и :

    (52)

Значения оптимальной прибыли предприятия, связанные с целевой транзакционной функцией полезности (10), находятся из условий

             (53)

Решая уравнения (53) относительно  и  и вычисляя по формуле (7) оптимальную прибыль, находим

                                                   (54)

Пренебрегая в соотношениях (54) флуктуациями величин, получим приближенные формулы для математических ожиданий величин ,  и :

               (55)

Построить график поверхности математического ожидания функции прибыли

,                (56)

и графики поверхности безразличия математического ожидания целевой транзакционной функции полезности  для случая долгосрочного периода работы предприятия невозможно, поскольку они являются объектами четырехмерного пространства. Поэтому ограничимся проекциями этих объектов на координатную плоскость .

На рисунке 4 приведены проекции на координатную плоскость  поверхности математического ожидания функции прибыли (56) и пространственных линий ее касания с поверхностями
безразличия математического ожидания целевой транзакционной функции полезности , построенные по формулам (55) при различных значениях параметра . Каждая такая проекция сопровождается пространственными стохастическими траекториями, построенными по формулам (54) при различных значениях параметра .

 

 

Рисунок 4 – Проекции на координатную плоскость  поверхности математического ожидания функции прибыли (56) и пространственных линий ее касания с поверхностями безразличия математического ожидания целевой транзакционной функции полезности , построенные по формулам (55) при различных значениях параметра . Каждой такой линии соответствует проекция пространственной стохастической траектории, построенной по формулам (54) при различных значениях параметра

Figure 4 – Projections onto the coordinate plane  of the surface of the mathematical expectation of the profit function (56) and the spatial lines of its contact with the indifference surfaces of the mathematical expectation of the target transactional utility function , constructed according to formulas (55) for various values of the parameter . Each such line corresponds to a projection of a spatial stochastic trajectory constructed according to formulas (54) for various values of the parameter

 

Расчетные значения: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

 

Заключение

1. Представлены новые стохастические модели, описывающие динамику прибыли производственных предприятий, использующих инновационные технологии.
2. Исследована зависимость прибыли предприятия не только от уровня производственных (трансформационных) издержек, но и от уровня непроизводственных (транзакционных) издержек, возникающих в результате поиска и обработки экономической информации, финансирования процедур проведения переговоров, заключения контрактов с партнерами, защиты прав собственности и оплаты оппортунистического поведения сотрудников и руководства предприятия.
3. Установлено, что для отыскания оптимальных значений прибыли необходимо максимизировать не только функцию прибыли, но и целевую транзакционную функцию полезности, перераспределяющую прибыль предприятия, как в интересах руководства, так и для реализации социально ориентированных программ.
4. Показано, что наличие транзакционных издержек делает недостижимым получение предприятием максимально возможного значения прибыли, вместо которого приходится ограничиваться его меньшим оптимальным значением.
5. Для показателей инновационных преобразований производства предприятия, влияющих на увеличение выпуска продукции и снижение издержек, установлены стохастические дифференциальные уравнения, случайные решения которых описывают стохастический диффузионный процесс внедрения технологических инноваций.
6. Алгоритмы численного решения стохастических дифференциальных уравнений модели построены методом Эйлера – Маруямы, в соответствии с которым каждая их реализация представляет собой стохастические траектории случайных функций показателей динамики развития производственных предприятий.
7. Для математических ожиданий рассматриваемых случайных функций получены соответству-
   ющие дифференциальные уравнения.
8. Численный анализ разработанной модели показал, что учет в стохастической модели внешнего случайного возмущающего фактора приводит к существенным отклонениям от детерминированной модели динамики формирования прибыли производственных предприятий.

About the authors

Elena A. Ilyina

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: elenaalex.ilyina@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-2590-6138

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Leonid A. Saraev

Samara National Research University

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files