Models of the dynamics of maximal and optimal profits of a manufacturing enterprise implementing technological innovations

Full Text

Введение
Любое производственное предприятие, используя свои производственные мощности, мате-риальные, финансовые и трудовые ресурсы, обеспечивает выпуск продукции, несет производ-ственные издержки и формирует свою прибыль. Кроме того, предприятие вынуждено взаимо-действовать с окружающей его социальной сферой, тратить часть полученной прибыли на по-иск экономической информации, на измерения параметров различных благ, на усиление мер по повышению качества выпускаемой продукции с новыми повышенными потребительскими свой-ствами, на ведение переговоров и заключение контрактов, на создание спецификаций и защиту прав собственности, на социальную поддержку своих работников, на оппортунистическое пове-дение руководства и т. д. Такая деятельность предприятия относится к непроизводственной сфере и представляет собой некоторый набор транзакций, порождающих непроизводственные транзакционные издержки. Определенная часть прибыли в виде транзакционных издержек мо-жет направляться руководством на социальные программы для персонала, на программы повы-шения квалификации сотрудников, на экологию, на научные и благотворительные проекты и т. д. [1–9].
Очевидно, что подобные социальные программы могут способствовать повышению качества выпускаемой продукции, увеличению объемов продаж, развитию инновационных компонентов производственных мощностей, привлечению новых объемов инвестиций. 
Основной целью работы производственного предприятия всегда является получение наибольшей прибыли, для расчета которой обычно находят максимум функции прибыли. Одна-ко, при учете транзакционных издержек задача существенно меняется, и приходится максими-зировать не только функцию прибыли, но и транзакционную функцию полезности менеджмента, которая учитывает отток части прибыли предприятия на непроизводственные нужды и оппор-тунистические интересы руководства.
Транзакционные издержки не дают возможности предприятию достичь максимально возмож-ной прибыли, и ему приходится ограничиваться ее оптимальным значением. [10–13].
Если предприятие подвергается определенному переоснащению или модернизации путем внедрения инновационных технологий, то параметры производственной функции, функции об-щих издержек и прибыли изменяются во времени. В результате таких инновационных процессов вместо точечных значений максимальной прибыли и соответствующих ей объемов производ-ственных факторов получается целый спектр таких значений, представляющий функции време-ни. Управляя соответствующим образом параметрами внедрения инновационных технологий, становится возможным прогнозировать максимальную прибыль предприятия в нужные моменты времени [14–21]. 
Таким образом, задача создания математических моделей расчета экономических показате-лей работы предприятия, учитывающих уровень транзакционных издержек, представляется весьма актуальной.

Постановка задачи
Многофакторное производственное предприятие использует в своей работе набор ресурсов в виде объемов факторов производства
 .                                       (1)
Здесь величины   – основные, материальные, финансовые и трудовые ресурсы, величины   – ресурсы, обеспечивающие непроизводственную и социальную деятельность предприятия. Следует отметить, что ресурсы   формируют только производственные издержки, а ресурсы   формируют как производственные, так и транзакционные издержки.
Производственная функция многих переменных  
 ,                                   (2)
представляет собой объем выручки от реализации.
Ограничимся здесь мультипликативной производственной функцией Кобба–Дугласа
 .                                                  (3)
Здесь   – эластичности выпуска по соответствующим ресурсам  ,   – стоимость продукции произведенной на единичные объемы ресурсов.
Общие пропорциональные производственные и транзакционные издержки предприятия с та-кими ресурсами задаются выражением
 .                                  (4)
Здесь   – стоимости затрат на единичные объемы ресурсов,   – постоянные затра-ты предприятия. 
Функция прибыли   для рассматриваемого предприятия записывается в виде
 .            (5)
Максимальное значение функции прибыли (5) соответствует наибольшему доходу рассмат-риваемого предприятия. Перераспределение прибыли предприятия, учитывающий отток ее ча-сти на непроизводственные нужды и оппортунистические интересы руководства, обеспечивает-ся целевой транзакционной функцией полезности, которая зависит от прибыли   и ресурсов   и принимается здесь линейной
 .                        (6)
Здесь   – коэффициенты функции полезности (6). Следует отметить, что все коэффициенты функции полезности (6) неотрицательны  .
Процесс внедрения технологических инноваций в производство рассматриваемого предприя-тия происходит на некотором временном интервале, поэтому объемы ресурсов, параметры функций выручки, издержек и прибыли зависят от времени  .
Если выпуск продукции предприятием обеспечивается одним производственным фактором   и одним непроизводственным ресурсом  , то (3) – (6) принимают вид
 .                                      (7)
 .                            (8)
 .        (9)
 .                                        (10)
Формула для целевой транзакционной функции полезности предприятия (10) показывает, что перераспределение прибыли в интересах руководства предприятия и для реализации социально-ориентированных программ полностью определяется параметром  , который удовлетворяет неравенству
 .                                                   (11)
Нижняя граница параметра   соответствует частному случаю, при котором предприя-тие совершенно не финансирует никакие непроизводственные программы и функция полезности совпадает с функцией прибыли. 
Верхняя граница параметра   соответствует ситуации, при которой в текущий мо-мент времени   предприятие тратит на социальные программы всю прибыль. 
Значения объемов ресурсов   и  , при которых прибыль предприятия в текущий момент времени   обращается в нуль находятся из уравнения
 .        (12)
Значения верхней границы неравенства (11)   в текущий момент времени   находятся из уравнения
 .                  (13)
Если процесс внедрения инновационных технологий на предприятии выходит на стационар-ный завершающий режим, то вместо неравенства (11) можно использовать неравенство 
 .                                                       (14)
Здесь  .
Введем безразмерный показатель внедрения инноваций на предприятии   и безраз-мерный показатель оттока прибыли на  реализацию социальных программ и обеспечения инте-ресов менеджмента предприятия и для  . Функции   и   являются ограниченными  ,  , непрерывными и непрерывно дифференцируемыми на интервале  . 
Значение функции   соответствует началу процесса внедрения инноваций в производ-ство, значения функции   соответствуют завершению этого процесса.
Значение функции   соответствует началу процесса оттока прибыли на реализацию со-циальных программ и обслуживание интересов руководства предприятия, значения функции   соответствуют завершению этого процесса.
Приращения каждого показателя   и   за малый временной интервал   можно запи-сать в виде суммы
                                                  (15)
Здесь   – частичные приращения показателей внедрения инноваций в производ-ство предприятия за малый временной интервал  , соответствующие начальному новатор-скому этапу цифровой трансформации,   – частичные приращения показателей внед-рения инноваций в производство предприятия за тот же малый временной интервал  , соот-ветствующие развернутому этапу цифровой трансформации. Величины   и   можно представить в виде
                       (16)
Здесь   – коэффициенты начальной трансформации показателей,   – коэффициенты развернутой трансформации показателей,   – функция, описывающая отно-сительную скорость процесса трансформации показателей, множители   и   описывает выход процессов трансформации показателей на их завершающую стадию. Из фор-мул (15) и (16) следует
                      (17)
Предельный переход при   в соотношении (17) приводит к системе нелинейных диф-ференциальных уравнений
                        (18)
с нулевыми начальными условиями
                                                      (19)
Решение задач Коши (18), (19) можно записать в виде
                     (20)
На поведение функций трансформации показателей (20) существенно влияют особенности функции относительной скорости инновационного процесса  . 
Близкие к единице значения величины   соответствуют монотонному возрастанию функ-ций (20) и стабильному поступательному процессу внедрения инноваций. 
Близкие к нулю значения величины   соответствуют горизонтальным участкам кривых функций (20) и процессу стагнации внедрения инноваций. 
Отрицательные значения величины   соответствуют монотонному убыванию функций (20) и процессу некоторого сворачивания внедрения инноваций.
Величину   можно описать функцией вида [20]
                                               (21)
Здесь   – максимальный размер отклонения функции   от единицы,   – центр временно-го интервала стагнации и некоторого сворачивания процесса внедрения технологических инно-ваций на предприятия,   – радиус временного интервала стагнации и некоторого сворачивания процесса внедрения технологических инноваций на предприятия.
Значение параметра   соответствует монотонному процессу внедрения технологиче-ских инноваций, значение параметра  , соответствует стагнации процесса внедрения техно-логических инноваций на временном интервале  , значения параметра  , соот-ветствуют сворачиванию процесса внедрения технологических инноваций на временном интер-вале  .
Если на предприятии имеется несколько временных интервалов стагнации и сворачивания процесса внедрения технологических инноваций, то в качестве функции относительной удель-ной скорости трансформации целесообразно выбрать произведение функций вида (21)
 .                               (22)
Очевидно, что если функция   тождественно равна единице, то уравнения (18) совпадают с соответствующими уравнениями Ф. Басса [14].
В результате инновационной деятельности предприятия и мероприятий менеджмента по пе-рераспределению прибыли функция стоимости продукции произведенной на единичный объем ресурса  , функции эластичности выпуска  ,  , коэффициенты издержек   и функция   будут изменяться во времени в соответствии с формулами

 . (23)

Здесь   – начальное и конечное значения величины  ,   – начальное и конеч-ное значения величины  ,   – начальное и конечное значения величины  ,   – начальное и конечное значения величины  ,   – начальное и конечное значения величины  ,   – начальное и конечное значения величины  ,   – предельный коэффициент перераспределения прибыли предприятия. При   вся прибыль вкладывается в развитие производства, при   вся прибыль постепенно вкладывается в развитие социальных программ и обслуживание оппортунистических интересов руководства.
Поскольку с развитием процесса внедрения технологических инноваций выручка предприя-тия возрастают, а издержки убывают, то

 ,  ,  ,  и  ,  .

 

Динамика развития производственного предприятия в краткосрочный период
Временной интервал, в течении которого существенных изменений основных и трудовых ре-сурсов не происходит, называется краткосрочным периодом. В рамках этого периода можно считать, что   и  . 
Тогда формулы (7) – (10), принимают вид
 ,                                        (24)
 ,                               (25)
               (26)
 .                                        (27)
Функция максимальных значений прибыли   и соответствующая ей функция ресурса   находится из условия
 .                   (28)
Здесь  . 
Решая уравнение (28) относительно  , находим функцию  
 .                                            (29)
Подставляя выражение (29) в формулу для прибыли (26), получаем функцию максимальной прибыли
           (30)
Величины (24) и (25) ограничены снизу и сверху своими предельными значениями
                                          (31)
Здесь
              (32)
Для вычисления оптимального значения прибыли необходимо оптимизировать целевую транзакционную функцию полезности (27), которая с учетом выражения (26) принимает вид
    (33)
Функция оптимальных значений прибыли   и соответствующая ей функция ресурса   находится из условия
 .                (34)
Решение уравнения (34) дает оптимальное значение ресурса  
 .                                          (35)
Здесь  .
Из неотрицательности коэффициентов   следует, что имеет место неравенство  , сравнивая с помощью которого значения величин (30) и (35) получаем
 .                                                 (36)
Функция оптимальной прибыли имеет вид
         (37)
Таким образом, из соотношений (25), (31) и (32) следует, что 
 .                                      (38)
Уравнения (12) и (13) принимают вид
 ,                  (39)
 .                                    (40)
На рисунке 1 изображена поверхность функции прибыли (26), на которой нанесены про-странственные линии ее касания с поверхностями безразличия целевой транзакционной функ-ции полезности   при различных значениях параметра  . Простран-ственные линии соответствуют решениям уравнений (30), (32) и показывают изменения во вре-мени максимальной и оптимальной прибыли предприятия. Плоская линия на координатной плоскости   соответствует решению уравнения (34) относительно функции  .
 
Рисунок 1 – График поверхности функции прибыли (26) с нанесенными на нее простран-ственными линиями ее касания с поверхностями безразличия целевой транзакционной функ-ции полезности   для различных значений параметра  . Плоская линия на координатной плоскости   соответствует решению уравнения (34) относительно функции  
Figure 1 – Graph of the surface of the profit function (26) with the spatial lines of its contact with the indifference surfaces of the target transactional utility function   for var-ious parameter values. A flat line on the coordinate plane corresponds to the solution of equation (34) with respect to the function   .

Линии на рисунке 1, соответствующие параметрам   и  , представляют собой верх-нюю и нижнюю границы всевозможных вариантов перераспределения прибыли предприятия между производственными и непроизводственными затратами. Один из таких вариантов по-строен для значения параметров  .
На рисунке 2 приведены проекции на координатную плоскость   поверхности функции прибыли (26) и пространственных линий ее касания с поверхностями безразличия целевой тран-закционной функции полезности   при различных значениях параметра  .
 
Рисунок 2 – Проекции на координатную плоскость   поверхности функции прибыли (26) и пространственных линий ее касания с поверхностями безразличия целевой транзакционной функции полезности   при различных значениях параметра  
Figure 2 – Projections on the coordinate plane   of the surface of the profit function (26) and the spatial lines of its contact with the indifference surfaces of the target transactional utility func-tion  at different parameter values

Расчетные значения:  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; ;  .

Динамика долгосрочного периода работы производственного предприятия
В долгосрочном периоде работы предприятия  производственный фактор   и эла-стичность   являются переменными величинами, а функции выпуска продукции, издер-жек и прибыли описываются формулами (7)–(10).
Значения функции прибыли (9), отвечающие ее максимуму, находятся из условий
                 (41)
Здесь  . 
Уравнения (41) эквивалентны системе
                                 (42)
Из системы уравнений (42) следует, что величины   и   связаны соотношением
 .                                            (43)
Подставляя формулу (43) в первое уравнение системы (42), находим
 .                            (44)
Таким образом, уравнения (430 и (44) принимают вид
                             (45)
С помощью формул (45) вычисляется максимальное значение прибыли
 .                           (46)
Значения оптимальной прибыли предприятия, связанные с целевой транзакционной функцией полезности (10), находятся из условий
           (47)
Решение системы уравнений (42) имеет вид
                                (48)
Из формул (45) и (48) следуют очевидные неравенства
 .                               (49)
С помощью формул (48) вычисляется оптимальное значение прибыли
                               (50)
Из соотношений (46), (49) и (50) следует очевидное неравенство
 .                        (51)

Построить графики поверхности функции прибыли  , графики поверхности безразличия целевой транзакционной функции полезности   и графики про-странственных линий их касания для случая долгосрочного периода работы предприятия не-возможно, поскольку они являются объектами четырехмерного пространства. Поэтому ограни-чимся проекциями этих объектов на координатную плоскость  .
На рисунке 3 приведены проекции на координатную плоскость   пространственных ли-ний касания графика поверхности функции прибыли (9) с поверхностями безразличия целевой транзакционной функции полезности   при различных значениях параметра  .

 
Рисунок 3 – Проекции на координатную плоскость   пространственных линий касания графика поверхности функции прибыли (9) с поверхностями безразличия целевой транзакци-онной функции полезности   при различных значениях параметра  
Figure 3 – Projections on the coordinate plane  of spatial tangency lines of the graph of the surface of the profit function (9) with the indifference surfaces of the target transactional utility function   at different parameter values

Расчетные значения:  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; ;  .

Заключение
1. Представлены новые математические модели, которые описывают динамику развития производственных предприятий, использующих инновационные технологии. 
2. Показано, что уровень использования инновационных технологий на предприятии зависит от безразмерных коэффициентов, которые описывают диффузионный процесс внедрения техно-логических инноваций и влияют на увеличение выпуска продукции и снижение издержек. 
3. Исследована зависимость прибыли предприятия от уровней производственных и транзак-ционных издержек. 
4. Установлено, что формирование транзакционных издержек вынуждают руководство пред-приятия максимизировать не только функцию прибыли, но и целевую транзакционную функцию полезности, учитывающую перераспределение прибыли в интересах руководства предприятия и для реализации социально-ориентированных программ.
5. Вычислены безразмерные коэффициенты перераспределения, определяющие тот размер части прибыли, которая используется непроизводственных целей. 
6. Показано, что при наличии транзакционных издержек, предельным значением прибыли предприятия становится не его максимально возможное значение, а его меньшее оптимальное значение.

 

About the authors

Elena A. Ilyina

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: elenaalex.ilyina@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-2590-6138

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files