Economic and mathematical models of transformation manufacturing enterprise, taking into account the dynamics of its innovative potential

Full Text

Введение
Важнейшим приоритетным направлением развития национальной экономики является инно-вационная трансформация ее производственных предприятий [1].
Ресурсные, цифровые, финансовые, кадровые, научные, патентные и лицензионные компо-ненты инновационной трансформации предприятия образуют его инновационный потенциал.
Он образует технологическую основу инновационной деятельности предприятия, выпускаю-щего новые виды продукции и осваивающие новые методы их производства, и существенно влияет на сценарии его динамического развития [2–7].
Технологические инновации предприятия представляют собой результаты его инновацион-ной деятельности, которая обеспечивает внедрение в производство [8–18]:
 комплексной автоматизации технологических процессов производства; 
 новых материалов; 
 высококвалифицированного персонала;
 робототехники, манипуляторов и гибких производственных систем; 
 элементов искусственного интеллекта;
 промышленного интернета вещей;
 цифровых технологий и т. д. 
С помощью технологических инноваций инновационный потенциал предприятия может быть реализован либо в виде принципиально нового выпускаемого продукта, либо в виде нового биз-нес-процесса или способа производства. 
В первом случае технологическая инновация является продуктовой инновацией, выводящей на рынок нового товара, либо значительное усовершенствование существующих товаров.
Во втором случае технологическая инновация представляется в виде процессной инновации, внедряющей новый или значительно улучшенный производственный способ производства про-дукции.
Очевидно, что на практике возможно сочетание таких вариантов применения инновационно-го потенциала, при которых продуктовые инновации и процессные инновации реализуются од-новременно, генерируя и новый продукт, и новый процесс производства [19–24].
Различные способы применения инновационного потенциала могут формировать различные сценарии развития предприятия.
Применение определенных инновационных технологий в производстве способно существен-но повысить выручку предприятия, выпуская большее количество изделий той же номенклату-ры.
Используя другие инновационные технологии, предприятие может увеличить свою выручку, выпуская то же число изделий, но более высокого качества и более высокой цене.
Наконец, продвинутые инновационные технологии могут помочь предприятию решить одно-временно обе вышеуказанные задачи, и выпускать большее число новых качественных и более дорогих изделий [25–29].
Таким образом, математическое моделирование подобных сценариев является актуальной задачей современной экономической теории, успешное решение которой может помочь эконо-мическим системам и предприятиям правильно выбирать свой инновационный вектор развития, эффективно управляя инновационными процессами и инновационным потенциалом. 
Целью предлагаемой работы является построение математической модели формирования и функционирования инновационного потенциала и его применения для разработки сценариев развития предприятия.

1. Постановка задачи
Выпуск готовой продукции производственного предприятия обеспечивается ресурсами в ви-де основного и оборотного капиталов, привлекаемых трудовых ресурсов, используемых мате-риалов, технологий и т. д. Ограничимся здесь однофакторной моделью, согласно которой все вышеперечисленные факторы производства представляются в денежном выражении и сведены в один общий ресурс объемом  .
Переменная величина объема этого фактора производства предполагается непрерывной, непрерывно дифференцируемой и ограниченной на числовой полуоси   функцией  . Единицей измерения непрерывного аргумента времени   служит соответствующий обстоятельствам рыночный период (месяц, квартал, год).
Рассматриваемое предприятие, внедряет в структуру своего производства определенные технологические инновации, совокупность которых образует инновационный потенциал пред-приятия  , модернизирующий его производственные мощности и трансформирующий его биз-нес-процессы. 
Переменная величина объема этого инновационного потенциала также предполагается не-прерывной, непрерывно дифференцируемой и ограниченной на числовой полуоси   функцией  .
Объем инновационного потенциала   представляются в денежном выражении и формирует-ся из определенной части выручки предприятия по решению руководства.
Технологические инновации потенциала   трансформируют производственные мощно-сти предприятия и его бизнес-процессы, непрерывно изменяя значения экономических показате-лей. 
Поэтому объемы выручки предприятия следует описывать определенными вариантами од-нофакторных производственных функций Кобба–Дугласа, соответствующими различным сце-нариям трансформации производственных мощностей
 .                              (1.1)
Здесь объем выручки   – соответствует варианту, при котором внедрения технологиче-ских инноваций не вообще происходит, объем выручки   – соответствует варианту, при котором в производство внедряются продуктовые технологические инновации, объем выручки   соответствует варианту, при котором в производство внедряются процессные технологи-ческие инновации, объем выручки   – соответствует варианту, при котором в производство одновременно внедряются как продуктовые так и процессные технологические инновации, объ-ем выручки   – соответствует варианту, при котором все технологические инновации были полностью внедрены с самого начала.
Введем общие обозначения функций выручки, производственных факторов и инновационных потенциалов для различных сценариев инновационной трансформации предприятия  , где индекс   принимает последовательно значения  .
Области изменений функций   и функций потенциалов   имеют вид
 .
 .
Здесь   – известные заданные начальные значения факторов производства  ,   – их предельные значения, которые подлежат вычислению,   – заданные начальные значения инновационных потенциалов,   – их предельные значения, которые подлежат вычислению, показатели степени   – представляют собой начальную и предельную эластичности выпусков продукции по ресурсам  ,  , коэффициенты   – представляют собой начальную и предельную стоимости продукции произведенной на единичные объемы ресурсов  ,  .
Выражения для производственных функций (1.1) описывает плавный переход от начальной производственной функции  , соответствующей полному отсутствию объема инно-вационного потенциала  , до предельной производственной функции  , соответствующей предельному значению объема инновационного потенциала  .

2. Модели вариантов развития предприятия, учитывающие динамику его инновацион-ного потенциала
Для оценки динамики вариантов сценариев развития рассматриваемого предприятия необхо-димо составить уравнения балансов для объемов фактора производства   и инновационно-го потенциала  . 
Рассмотрим некоторый малый отрезок времени  . Приращения объемов ресурса   и инновационного потенциала   за время   могут быть представлены в виде
                                                  (1.2)
Здесь   – частичные амортизации факторов производства   и иннова-ционных потенциалов   за время  ,   – частичные восстановления фак-торов производства   и инновационных потенциалов   за счет внутренних инвести-ций за время  .
Приращения частичных амортизаций   за время   имеют вид
                                     (1.3)
Приращения частичных восстановлений фактора производства   и инновационного по-тенциала   за счет внутренних инвестиций за время   можно определить соотношения-ми
                                                   (1.4)
Здесь   – коэффициенты амортизации, доли выбывших за единицу времени объемов фактора производства   и инновационного потенциала  ;   – инвестиции, восстанавливающие ресурс   и инновационного потенциала  
                                            (1.5)
  – нормы накопления внутренних инвестиций для факторов производства   и инновационных потенциалов  ,   – функция, описывающая особенности формирова-ния инновационного потенциала.
Подстановка формул (1.1), (1.3) – (1.5) в уравнения (1.2) дает
                                    (1.6)
Предельный переход в соотношениях (1.6) при условии  , приводит к системе связан-ных нелинейных дифференциальных уравнений
                                           (1.7)
Начальные условия для системы уравнений (1.7) имеют вид
                                                  (1.8)
Решение системы уравнений (1.6) существенным образом зависит от вида функции , ко-торая задает особенности формирования инновационного потенциала. Если эта функция прини-мает значения близкие к нулю, то система уравнений (1.6) будет описывать начальный вариант развития предприятия, при котором отсутствует любое внедрение в структуру производства любых технологических инноваций. Если функция   принимает значения близкие к едини-це, то система уравнений (1.6) будет описывать вариант развития предприятия, при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру производства с самого начала. Все остальные варианты развития предприятия, соответствующие поэтапному внедрению в производство технологических инноваций, будут соответствовать изменениям значений функ-ции   от нуля до единицы.
Сроки начала и конца процесса внедрения инноваций устанавливается руководством пред-приятия. 
Если процесс внедрения инноваций выполняется строго на отрезке времени  , то в качестве функции   следует выбрать кусочно-линейную функцию [29].
 .                                    (1.9)
Следует отметить, что в центре отрезка   при   функция (1.9) принимает значение  .
Если на предприятии до момента времени   уже имели место элементы внедрения ин-новаций, а после момента времени   еще оставались фрагменты производства не подвер-женные инновациям, то в этом случае качестве функции   следует выбрать логистическую функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения [30]. 
 ,                                       (1.10)
с начальным условием
 .                                                  (1.11)
Решение задачи Коши (1.10), (1.11) имеет вид
 .                                               (1.12)
На рисунке 1 представлены графики функции  , построенные по формулам (1.9) и (1.12).
 
Рисунок 1 – Графики функции  , построенные по формулам (1.9) и (1.12) 
Figure 1 – Graphs of the function   constructed by formulas (1.9) and (1.12)

Расчетные значения:  ;  . Штриховая линия соответствует формуле (1.9), сплошная линия соответствует формуле (1.12).
Структура уравнений системы (1.7) показывает, что предприятие будет поступательно раз-виваться до тех пор, пока объем внутренних инвестиций будет превосходить амортизационные отчисления. Процесс развития предприятия выйдет на свою предельную мощность, как только значения этих объемов сравняются. При этом объемы инновационных потенциалов достигнут своих предельных значений. 
Таким образом, предельные значения   объемов производственных факторов   нахо-дятся из уравнений
                                    (1.13)
и равны
                                                   (1.14)
Предельные значения   объемов инновационных потенциалов   находятся из уравне-ний
                        (1.15)
и равны
   (1.16)
Рассмотрим различные численные реализации построенных моделей внедрения технологи-ческих инноваций для объемов инновационных потенциалов  ,  ,  ,  , , объемов производственных факторов  ,  ,  ,  ,  и объемов вы-ручки  ,  ,  ,  , . Ограничимся здесь вариантом, при котором все тех-нологические инновации практически внедряются в структуру производства с самого начала  , и вариантом, при котором все технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале  , а функция   описывается фор-мулой (1.12).
 
Рисунок 2 – Сравнение графиков функций объемов инновационных потенциалов  , по-строенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.14) и (1.16), для слу-чая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру произ-водства с самого начала  
Figure 2 – Comparison of graphs of the volume functions of innovative potentials  con-structed from numerical solutions of Cauchy problems (1.7), (1.8) and formulas (1.14) and (1.16), for the case in which all technological innovations are practically introduced into the production structure from the very beginning  

На рисунке 2 представлено сравнение графиков функций объемов инновационных потенциа-лов  , построенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.14) и (1.16), для случая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру производства с самого начала  .
На рисунке 3 представлено сравнение графиков функций объемов производственных факто-ров  , построенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.14) и (1.16), для случая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру производства с самого начала  .
 
Рисунок 3 – Сравнение графиков функций объемов производственных факторов  , по-строенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.14) и (1.16), для слу-чая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру произ-водства с самого начала  
Figure 3 – Comparison of graphs of production factors   volume functions based on numeri-cal solutions of Cauchy problems (1.7), (1.8) and formulas (1.14) and (1.16), for the case in which all technological innovations are practically introduced into the production structure from the very beginning  
 
Рисунок 4 – Сравнение графиков функций объемов производственных факторов  , по-строенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.1), (1.14) и (1.16), для случая при котором все технологические инновации практически внедряются в структу-ру производства с самого начала  
Figure 4 – Comparison of graphs of production factors   volume functions based on numeri-cal solutions of Cauchy problems (1.7), (1.8) and formulas (1.1), (1.14) and (1.16), for the case in which all technological innovations are practically introduced into the production structure from the very beginning  

На рисунке 4 представлено сравнение графиков функций объемов выручки  , построен-ных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.1), (1.14) и (1.16), для случая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру производства с самого начала  .
 

Рисунок 5 – Сравнение графиков функций объемов инновационных потенциалов  , по-строенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.14) и (1.16), для слу-чая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру произ-водства во временном интервале  . Функция   задается формулой (1.12) с параметрами  ;  
Figure 5 – Comparison of graphs of the volume functions of innovative potentials  con-structed from numerical solutions of Cauchy problems (1.7), (1.8) and formulas (1.14) and (1.16), for the case in which all technological innovations are practically introduced into the production structure in a time interval . The function   is given by the formula (1.12) with parameters:  ; 
 
Рисунок 6 – Сравнение графиков функций объемов производственных факторов  , по-строенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.14) и (1.16), для слу-чая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру произ-водства во временном интервале  . Функция   задается формулой (1.12) с параметрами  ;  
Figure 6 – Comparison of graphs of production factors  volume functions based on numeri-cal solutions of Cauchy problems (1.7), (1.8) and formulas (1.14) and (1.16), for the case in which all technological innovations are practically introduced into the production structure in a time inter-val  . The function  is given by the formula (1.12) with parameters:  ;   
На рисунке 5 представлено сравнение графиков функций объемов инновационных потенциа-лов  , построенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.14) и (1.16), для случая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру производства во временном интервале  , а функция   описы-вается формулой (1.12).
На рисунке 6 представлено сравнение графиков функций объемов производственных факто-ров  , построенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.14) и (1.16), для случая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру производства во временном интервале  , а функция   описы-вается формулой (1.12).
На рисунке 7 представлено сравнение графиков функций объемов выручки  , построен-ных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.1), (1.14) и (1.16), для случая при котором все технологические инновации практически внедряются в структуру производства во временном интервале  , а функция   описывается формулой (1.12)
При выполнении численных расчетов и построении графиков функций на рисунках 2 – 7 бы-ли использованы значения:  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  .
С помощью этих значений по формулам (1.14) и (1.16) были вычислены предельные пара-метры дифференциальных уравнений (1.7):  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  

 

Рисунок 7 – Сравнение графиков функций объемов производственных факторов  , по-строенных по численным решениям задач Коши (1.7), (1.8) и формул (1.1), (1.14) и (1.16), для случая при котором все технологические инновации практически внедряются в структу-ру производства во временном интервале  . Функция   задается формулой (1.12) с параметрами  ;  
Figure 7 – Comparison of graphs of production factors   volume functions based on numeri-cal solutions of Cauchy problems (1.7), (1.8) and formulas (1.1), (1.14) and (1.16), for the case in which all technological innovations are practically introduced into the production structure in a time interval  . The function is given by the formula (1.12) with parameters:  ; 

Заключение.
1. Разработаны экономико-математические модели предприятия, описывающие влияние его инновационного потенциала на динамику роста выручки и ресурсов.
2. Модели представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно ресур-сов предприятия и функции его инновационного потенциала.
3. Рассмотрены три случая формирования инновационного потенциала предприятия из внед-ряемых в производство продуктовых технологических инноваций, процессных технологических инноваций и смешанных технологических инноваций.
4. Построены сценарии развития предприятия, соответствующие отсутствию инновационного потенциала, продуктовому инновационному потенциалу, процессному инновационному потен-циалу, смешанному инновационному потенциалу и случаю полной реализации инновационного потенциала.
5. Представлены вариант сценариев развития предприятия, при котором инновационный по-тенциал внедряется с самого начала, и вариант сценариев развития предприятия, при котором инновационный потенциал внедряется с некоторого момента времени.

 

About the authors

Vladimir I. Aksinin

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: aksininvladimir@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6959-8053

postgraduate of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Leonid A. Saraev

Samara National Research University

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files