Classes of task problems for determining the effectiveness of investment projects, taking into account the uncertainty of the external environment and multi-criteria

Full Text

Введение

В настоящей работе исследуется вопрос классификации задач оценки эффективности инвестиционных проектов в условиях неопределенности внешней среды. В основу предлагаемой классификации положены следующие признаки: количество критериев эффективности проектов К, принципы оптимальности выбора в условиях неопределенности G_n; подходы к многокритериальному сопоставлению вариантов G_m. В качестве критериев эффективности инвестиционных проектов используются: чистая текущая стоимость ЧТС, индекс доходности ИД, внутренняя норма доходности ВНД, срок окупаемости инвестиций Т_ок. Принципы оптимальности Gn – это принципы оптимизма G_опт, пессимизма G_пес, гарантированного результата G_г, Сэвиджа G_c, гарантированных потерь G_ГП [1, 2]. В качестве подходов к многокритериальному выбору вариантов выступают принципы [2]: доминирования G_d, Парето G_p, использования комплексных показателей G_k, выделения главного критерия с переводом остальных в разряд ограничений G_u.

Необходимость формирования предлагаемой классификации обусловлена особенностями задач сравнительной оценки эффективности инвестиционных проектов [3], необходимостью учета при этой оценке неопределенности внешней среды и сравнения вариантов по совокупности несводимых друг к другу критериев [4]. В имеющейся научной литературе [4–11] задачи оценки эффективности инвестиционных проектов, как правило, рассматриваются в отрыве от задач многокритериального выбора и выбора в условиях неопределенности. При таком подходе объективность принимаемых решений может быть невысокой и приводить к тому или иному ущербу, который в ряде случаев может быть значительным. В настоящей работе реализуется комплексный подход к определению эффективности анализируемых проектов с учетом многокритериальности и с поправкой на действие неуправляемых факторов во внешней среде проектов.

Классы задач оценки сравнительной эффективности инвестиционных проектов при наличии неопределенности внешней среды и многокритериальности

Первый класс задач

К данному классу относятся задачи сравнительной оценки проектов с использованием единственного критерия эффективности К_I на основе одного принципа оптимальности G_n, при наличии неопределенности внешней среды и единственного принципа многокритериального выбора G_м. В качестве набора управляемых факторов Х рассматриваются сами сравниваемые проекты. С учетом неуправляемых факторов У можно составить матрицу эффективности инвестиционных проектов $||K_1\left(X_i, Y_j\right)||$ на основе критерия К₁.

С помощью данной матрицы и определяется наилучшее решение в соответствии с принципом оптимальности G_n.

Пример 1. Производится сравнительная оценка эффективности набора проектов Пр. В качестве фактора неопределенности выступает ставка дисконтирования инвестора Еи, набор возможных значений которой известен. Предполагается, что на начальных этапах проектирования выбор ставки дисконтирования, который устроит инвестора, неизвестен. Путем анализа внешней среды удается определить только возможный набор ставок дисконтирования инвестора. В качестве критерия эффективности К₁ инвестиционного проекта выбирается один из основных критериев – ЧТС. Для получения гарантированных результатов определения эффективности проекта при наличии неопределенности ставки дисконтирования Еи в качестве принципа выбора эффективных решений в условиях неопределенности G_n принимается принцип гарантированного результата. Принцип многокритериального выбора G_m представляет принцип удовлетворения потребностей потребителя.

Матрица эффективности представлена в виде таблицы 1.

 

Таблица 1 – Матрица эффективности

Table 1 – Efficiency matrix

Наименование	Еи1	Еи2	…	Еиn
Пр1	ЧТС1,1	ЧТС1,2	…	ЧТС1,n
Пр2	ЧТС2,1	ЧТС2,2	…	ЧТС2,n
…	…	…	…	…
Прm	ЧТСm,1	ЧТСm,2	…	ЧТСm,n

 

В соответствии с принципом гарантированного результата будем иметь

${\mathrm{ЧТС}}_{\mathrm{г}}=\underset{\mathrm{Пр}}{\max }\underset{{\mathrm{Е}}_{\mathrm{И}}}{\min }\mathrm{ЧТС}\left(\mathrm{Пр}, {\mathrm{Е}}_{\mathrm{И}}\right)$.

Полученное значение ЧТС_г сравнивается с запланированным значением показателя чистой текущей стоимости, на основе чего принимается решение об эффективности проекта.

Рассмотрим пример решения задачи с количественными данными (табл. 2).

 

Таблица 2 – Пример решения задачи с количественными данными

Table 2 – Example of solving a problem with quantitative data

Наименование	Еи1	Еи2	Еи3	ЧТС min
Пр1	10	5	8	5
Пр2	7	9	4	4
Пр3	6	4	3	3

 

В данном примере ЧТС_г = 5 ед. Наиболее эффективный проект Пр_э.= Пр₁.

Второй класс задач

Данный класс образуют задачи сравнительной оценки эффективности проектов, в которых эти проекты сравниваются с помощью одного показателя эффективности проектов К_I, но при использовании нескольких принципов оптимальности $G_{n1}, G_{n1}... G_{nm}$ в условиях неопределенности внешней среды. В качестве принципов G_n используются принципы: оптимизма, пессимизма, гарантированного результата и др. Поскольку критерий эффективности один, то, несмотря на применение нескольких принципов, возможно использование единственной матрицы эффективности проектов для анализируемого показателя К₁.

К этой матрице эффективности по очереди применяются все необходимые принципы оптимальности: пессимизма, оптимизма, гарантированного результата и др. Оптимальные решения, принимаемые по каждому из принципов, в общем случае не совпадают, т. е. ${\mathrm{Х}}_{\mathrm{опт}} \left({\mathrm{C}}_1\right) \ne {\mathrm{Х}}_{\mathrm{опт}} \left({\mathrm{G}}_2\right) \ne {\mathrm{Х}}_{\mathrm{опт}} \left({\mathrm{G}}_{\mathrm{n}}\right)$. Поскольку оптимальные решения по разным принципам не совпадают, приходится производить согласование указанных решений.

В качестве критерия эффективности проектов может выступать, например, критерий индекса доходности ИД. Матрица эффективности в этом случае имеет вид табл. 3. Неопределенность внешней среды характеризуется показателем величины инвестиций по проектам И.

 

Таблица 3 – Матрица эффективности нового вида

Table 3 – A new kind of efficiency matrix

Наименование	И1	И2		Иn
Пр1	ИД1,1	ИД1,2		ИД1,n
Пр2	ИД2,1	ИД2,2		ИД2,n
…	…	…	…	…
Прm	ИДm,1	ИДm,2		ИДm,n

 

В качестве принципов оптимальности принимаемых решений с учетом фактора неопределенности принимаются принципы: оптимизма и гарантированного результата. Применение принципа оптимизма позволяет определить верхнюю границу эффективности проекта. Эта оценка не должна быть ниже требуемого значения. Как уже отмечалось, с помощью принципа гарантированного результата, определяется гарантированное значение показателя ЧТС независимо от действий инвестора.

Принцип оптимизма записывается в виде

${\mathrm{ИД}}_{\mathrm{ОПТ}}=\underset{\mathrm{Пр}}{\max }\underset{\mathrm{И}}{\max }\mathrm{ИД}(\mathrm{Пр}, \mathrm{И})$

Принцип гарантированного результата формулируется следующим образом:

${\mathrm{ИД}}_{\mathrm{Г}}=\underset{\mathrm{Пр}}{\max }\underset{\mathrm{И}}{\min }\mathrm{ИД}(\mathrm{Пр}, \mathrm{И})$

Пример 2. При использовании принципов оптимизма и гарантированного результата составляется матрица эффективности с условными данными ИД (табл. 4).

 

Таблица 4 – Матрица эффективности с условными данными ИД

Table 4 – Efficiency matrix with conditional ID data

Наименование	И1	И2	И3	Max ИД	Min ИД
Пр1	1	1,5	1,2	1,5	1
Пр2	1,3	1,4	1,3	1,4	1,3
Пр3	1,4	1.3	1	1,4	1

 

Анализ табл. 4 позволил сделать следующие выводы: ИД_опт = 1,5. Наиболее эффективный проект Пр_э= Пр₁. ИД_г = 1,3. Наиболее эффективный проект Пр₂.

Третий класс задач

В задачах данного класса для выбора оптимального варианта инвестиций используется несколько критериев эффективности проектов [6; 11; 12–14], один принцип оптимальности G_n, один принцип многокритериального выбора G_m.

Разные критерии оптимальности могут вступать между собой в противоречие, когда оптимальные решения по ним не совпадают. Это порождает необходимость в согласовании принимаемых решений.

Допустим, что в качестве критериев эффективности проектов выступают ЧТС и срок окупаемости инвестиций Ток. Принцип принятия решений в условиях неопределенности представляет принцип гарантированного результата. В качестве принципа многокритериального выбора выступает принцип Парето. Матрицы эффективности имеют вид, представленный в табл. 5 и табл. 6.

 

Таблица 5 – Матрица значений срока окупаемости

Table 5 – Matrix of payback period values

Наименование	Еи1	Еи2	…	Еиn
Пр1	Ток.1,1	Ток.1,2	…	Ток.1,n
Пр2	Ток.2,1	Ток.2,2	…	Ток2,n
…	…	…	…	…
Прm	Ток.m,1	Ток.m,2	…	Ток.m,n

 

Таблица 6 – Матрица значений ЧТС

Table 6 – Matrix of values of CHTs

Наименование	Еи1	Еи2	…	Еиn
Пр1	ЧТС1,1	ЧТС1,2	…	ЧТС1,n
Пр2	ЧТС2,1	ЧТС2,2	…	ЧТС2,n
…	…	…	…	…
Прm	ЧТСm,1	ЧТСm,2	…	ЧТСm,n

 

Пример 3. Рассмотрим приведенную выше задачу с условными количественными данными (табл. 7 – матрица эффективности для срока окупаемости, табл. 8 – матрица эффективности для ЧТС).

 

Таблица 7 – Матрица эффективности для срока окупаемости

Table 7 – Efficiency matrix for payback period

Наименование	Еи1	Еи2	Еи3	Max Ток
Пр1	5	3	2	5
Пр2	2	4	5	5
Пр3	3	4	3	4

 

Таблица 8 – Матрица эффективности для ЧТС

Table 8 – Efficiency matrix for CHTS

Наименование	Еи1	Еи2	Еи3	ЧТС min
Пр1	20	13	8	8
Пр2	7	9	5	5
Пр3	12	15	3	3

 

Гарантированное значение срока окупаемости находится из выражения

${\mathrm{Т}}_{{\mathrm{ок}}_{\mathrm{ОПТ}}}=\underset{\mathrm{Пр}}{\min }\underset{{\mathrm{Е}}_{\mathrm{И}}}{\max }{\mathrm{Т}}_{\mathrm{ок}}(\mathrm{Пр}, {\mathrm{Е}}_{\mathrm{И}})$.

Из табл. 7 следует: Ток._г =4 ед. Наиболее эффективный проект Пр. э= Пр. 3.

Гарантированное значение ЧТС определяется из условия:

${\mathrm{ЧТС}}_{\mathrm{r}}=\underset{\mathrm{Пр}}{\max }\underset{{\mathrm{Е}}_{\mathrm{И}}}{\min }\mathrm{XNC}(\mathrm{Пр}, {\mathrm{Е}}_{\mathrm{И}})$

Из табл. 8 следует, что ЧТС _г = 8 ед. Наиболее эффективный проект Пр. э = Пр. 1.

Так как эффективные решения при использовании критериев Т_ок и ЧТС не совпадают, для выбора предпочтительного решения применяется принцип многокритериального выбора Парето. В данном случае в множество Парето (множество несравнимых проектов, которые доминируют над остальными проектами) попадают проекты Пр₁ и Пр₃. Для выбора единственного эффективного проекта потребуется применение других принципов многокритериального выбора.

Четвертый класс задач

Четвертый класс задач включает в себя задачи сравнения инвестиционных проектов, характеризующиеся следующими параметрами: проекты сравниваются по совокупности из нескольких критериев эффективности проектов, выбор осуществляется на основе нескольких принципов оптимальности в условиях неопределенности G_n и одного принципа многокритериального выбора G_m.

В данном случае для оценки эффективности проектов составляется столько же матриц эффективности, сколько критериев задействовано. Для каждой матрицы применяется весь набор принципов оптимальности G_n с учетом неопределенности внешней среды. Определяются оптимальные решения для каждого принципа оптимальности G_n по каждому критерию. Производится сравнение полученных оптимальных решений и при необходимости их согласование на основе принципа G_m.

Допустим, что в качестве критериев эффективности выступают критерии удельных капитальных вложений К_уд и себестоимости продукции С [6; 12; 14; 15]. Принципы выбора эффективных проектов представляют принцип гарантированного результата и принцип Сэвиджа. Матрица эффективности при использовании критерия Куд показана в виде табл. 9.

 

Таблица 9 – Матрица эффективности при использовании критерия Куд

Table 9 – Efficiency matrix when using the criterion

Наименование	Еи1	Еи2	…	Еиn
Пр1	Куд1,1	Куд1,2	…	Куд1,n
Пр2	Куд2,1	Куд2,2	…	Куд2,n
	…	…	…	…
Прm	Кудm,1	Кудm,2	…	Кудm,n

 

Табл. 10 представляет матрицу эффективности проектов при использовании критерия себестоимости продукции (в частности производства электроэнергии).

 

Таблица 10 – Матрица эффективности проектов при использовании критерия себестоимости продукции

Table 10 – Matrix of project effectiveness when using the cost of production criterion

Наименование	Еи1	Еи2	…	Еиn
Пр1	С1,1	С1,2	…	С1,n
Пр2	С2,1	С2,2	…	С2,n
…	…	…	…	…
Прm	Сm,1	Сm,2	…	Сm,n

 

Пример 4. Рассмотрим решение поставленной выше задачи с условными количественными данными. В таблице 11 представлены данные для критерия удельных капиталовложений.

 

Таблица 11 – Данные для критерия удельных капиталовложений

Table 11 – Data for the criterion of specific investments

Наименование	Еи1	Еи2	Еи3	Мах Куд.
Пр1	4	8	5	8
Пр2	2	4	7	7
Пр3	10	4	6	10

 

Из табл. 11 следует, что при использовании принципа гарантированного результата наиболее эффективным является проект Пр₂, обеспечивающий гарантированные удельные капитальные вложения равные 7 ед.

В табл. 12 представлены условные данные для критерия себестоимости продукции С.

 

Таблица 12 – Условные данные для критерия себестоимости продукции С

Table 12 – Conditional data for the criterion of the cost of production С

Наименование	Еи1	Еи2	Еи3	Мах С
Пр1	8	6	7	8
Пр2	5	7	9	9
Пр3	4	9	6	9

 

Анализ табл. 12 показывает, что наиболее эффективным при использовании критерия гарантированной себестоимости является проект Пр₁, себестоимость которого равняется 8 ед.

Применим принцип Сэвиджа при использовании табл. 11 и 12, который записывается в виде

${\mathrm{У}}_{\mathrm{Г}}=\underset{\mathrm{Пр}}{\min } \underset{{\mathrm{Е}}_{\mathrm{И}}}{\max }\mathrm{У}(\mathrm{Пр},\hspace{0.17em}{\mathrm{Е}}_{\mathrm{И}})$

где У_г – гарантированная величина ущерба.

Для определения гарантированного ущерба при применении принципа Сэвиджа при использовании критерия удельных капитальных вложений составляется матрица ущербов 1 (табл. 13) на основе табл. 11.

 

Таблица 13 – Матрица ущербов 1

Table 13 – Damage matrix 1

Наименование	Еи1	Еи2	Еи3	Мах У(Куд)
Пр1	2	4	0	4
Пр2	0	0	2	2
Пр3	8	0	1	8

 

Из табл. 13 следует: У_г = 2 ед. Наиболее эффективный проект Пр₂.

Для определения гарантированного ущерба при использовании критерия себестоимости составляется матрица ущербов 2 (табл.14) с использованием таблицы 12.

 

Таблица 14 – Матрица ущербов 2

Table 14 – Damage matrix 2

Наименование	Еи1	Еи2	Еи3	Мах У(С)
Пр1	4	0	1	4
Пр2	1	1	3	3
Пр3	0	3	0	3

 

В соответствии с данными табл. 14 определяются наиболее эффективные проекты Пр₂ и Пр₃, имеющие гарантированный ущерб, равный 3ед. Проект Пр₂ характеризуется оптимальными значениями по обоим критериям, поэтому он доминирует над всеми остальными. Применение же принципа гарантированного результата не позволяет выявить единственный доминирующий вариант, в силу чего необходимо согласование вариантов.

Пятый класс задач

К данному классу относятся задачи, характеризующиеся следующими параметрами: решение принимается по нескольким критериям эффективности проектов К на основе нескольких принципов оптимальности принятия решений в условиях неопределенности G_n и нескольких принципов многокритериального выбора G_m.

Для определения эффективности проектов составляется несколько матриц эффективности (по количеству применяемых критериев К). Для каждой матрицы применяется набор принципов оптимальности G_n с учетом неопределенности внешней среды. Определяются оптимальные решения для каждого принципа оптимальности G_n. Осуществляется выбор эффективных решений с использованием принципов многокритериального выбора G_m. Производится сравнение полученных оптимальных решений и при необходимости их согласование.

Пример 5. При определении эффективности инвестиционных проектов применяются принципы G_n с учетом фактора неопределенности: принцип гарантированного результата G_г , принцип Сэвиджа G_с (принцип гарантированного ущерба). В качестве принципов многокритериального выбора принимаются принципы: Парето, принцип выделения главного показателя и перевод остальных в разряд ограничений. Показатели эффективности проектов – чистая текущая стоимость ЧТС, индекс доходности ИД, срок окупаемости инвестиций Т_ок.

В данном случае вопросы согласования принимаемых решений становятся особенно острыми, так как возникают противоречия между показателями эффективности К, принципами оптимальности G_n, принципами многокритериального выбора G_m.

При рассмотрении данного примера используются данные примера четвертого класса задач при условии, что для определения эффективного решения используется не один принцип многокритериального выбора, а несколько.

В данном случае реализуется следующий порядок выбора эффективного решения.

1. Определяются эффективные решения при использовании принципа гарантированного результата. Были получены следующие результаты. При применении показателя эффективности проектов Куд эффективным является Пр₂. При использовании показателя себестоимости эффективным является Пр₁. Для окончательного принятия решения потребуется применение принципа выделения главного показателя и перевод остальных в разряд ограничений. Предлагается принять в качестве главного показателя показатель удельных капитальных вложений при условии, что себестоимость будет удовлетворять предъявляемым требованиям.
2. Определяются эффективные решения при использовании принципа Сэвиджа. В данном случае при использовании показателя удельных капитальных вложений Куд наиболее эффективным является Пр₂. В случае применения показателя себестоимости предпочтение следует отдать проекту Пр₁.
3. Для окончательного решения потребуется выбрать наиболее важный показатель с переводом остальных в разряд ограничений. Это будет определяться спецификой решаемых задач.

Выводы

1. При определении эффективности инвестиционных проектов возникают следующие проблемы:
   
   • проблема неопределенности внешней среды;
   • проблема многокритериального выбора проектов;
   • комплексный анализ проблем неопределенности и многокритериальности.
2. В существующей научной литературе комплексному анализу указанных проблем уделяется явно недостаточное внимание.
3. Предлагаемая в настоящей работе классификация задач оценки эффективности инвестиционных проектов может найти применение при анализе проектов различного содержания и выборе оптимальных решений.

About the authors

Felix F. Yurlov

Nizhny Novgorod State Technical University named after R.E. Alekseev

Email: ffyurlov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-6026-0408

honored scientist of the Russian Federation, Doctor of Technical Sciences, professor of the Department of Digital Economy

Russian Federation, Nizhny Novgorod

Sergey N. Yashin

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

Email: jashinsn@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-3039-4146

Doctor of Economics, professor, head of the Department of Management and Public Administration

Russian Federation, Nizhny Novgorod

Anna F. Plekhanova

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

Author for correspondence.
Email: docplekhanova@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7820-5634

Doctor of Economics, professor of the Department of Finance and Credit

Russian Federation, Nizhny Novgorod

References

Supplementary files