Parametrical synthesis of various radio devices with the set quantity of cascades of type «the mixed two-port network – nonlinear part»

Alexander A. Golovkov; Головков Александр Афанасьевич

doi:10.18469/1810-3189.2024.27.1.48-60

Параметрический синтез различных радиоустройств с заданным количеством каскадов типа «смешанный четырехполюсник – нелинейная часть»

Авторы: Головков А.А.¹
Учреждения:
1. Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия»
Выпуск: Том 27, № 1 (2024)
Страницы: 48-60
Раздел: Оригинальные исследования
URL: https://journals.ssau.ru/pwp/article/view/27283
DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2024.27.1.48-60
ID: 27283

Цитировать

Полный текст

Аннотация
Полный текст
Об авторах
Список литературы
Дополнительные файлы
Статистика

Аннотация

Обоснование. Наличие возможности аналитического определения части параметров различных радиоустройств, оптимальных по критерию обеспечения заданных значений модулей и фаз передаточных функций на необходимом количестве частот, значительно уменьшает время численной оптимизации остальной части параметров по критерию формирования требуемых АЧХ и ФЧХ в полосе частот. До настоящего времени такие задачи решались в отношении радиоустройств только с одним каскадом типа «нелинейная часть – согласующее устройство» или «согласующее устройство - нелинейная часть». В качестве согласующего устройства использовались реактивные, резистивные, комплексные или смешанные четырехполюсники. Решена также задача многокаскадных радиоустройств с реактивными четырехполюсниками. Изменение базиса для согласующих четырехполюсников и места включения нелинейной части приводит к изменению области физической реализуемости.

Цель. Разработка алгоритмов параметрического синтеза радиоустройств с произвольным количеством одинаковых и неодинаковых каскадов типа «согласующий смешанный четырехполюсник – нелинейная часть» по критерию обеспечения заданных частотных характеристик. Нелинейные части представлены в виде нелинейного элемента и параллельной или последовательной по току или напряжению обратной связи.

Методы. Теория четырехполюсников, матричная алгебра, метод декомпозиции, метод синтеза управляющих устройств СВЧ, численные методы оптимизации.

Результаты. В интересах достижения указанной цели сформированы и решены системы алгебраических уравнений. Получены модели оптимальных смешанных четырехполюсников в виде математических выражений для определения взаимосвязей между элементами их классической матрицы передачи и для отыскания зависимостей сопротивлений двухполюсников от частоты. Показано, что при определенных соотношениях между количеством одинаковых каскадов и значениями сопротивлений источника сигнала и нагрузки однокаскадного радиоустройства частотные характеристики однокаскадного и многокаскадного радиоустройств оказываются идентичными или подобными. Такие схемы названы эквивалентными. Использование неодинаковых каскадов приводит к значительному увеличению рабочей полосы частот.

Заключение. Сравнительный анализ теоретических результатов (АЧХ и ФЧХ радиоустройств, значения параметров), полученных путем математического моделирования в системе MathCad, и экспериментальных результатов, полученных путем схемотехнического моделирования в системах OrCad и MicroCap, показывает их удовлетворительное совпадение.

Ключевые слова

параметрический синтез резистивных четырехполюсников, заданные частотные характеристики многокаскадных радиоустройств

Полный текст

Введение

В работе [1] предложены алгоритмы параметрического синтеза плоско-слоистых сред (ПСС), содержащих заданное количество управляемых и неуправляемых слоев, по критерию обеспечения заданной амплитудно-фазовой модуляции рассеянного сигнала. Управляемые слои – это двумерно-периодические решетки проводящих стержней или полосок, в разрывы которых включены нелинейные элементы, управляемые низкочастотным сигналом. Неуправляемые слои (НС) – это однородные диэлектрические слои без потерь или двумерно-периодические решетки стержней или полосок. В общем случае ПСС функционирует в смешанном режиме – присутствует как отраженная, так и проходная волна. Если один из НС, расположенный последним по направлению падающей волны, выполнен в виде проводящего экрана, то ПСС является отражающей. В этом случае ПСС может быть использована в качестве основы для построения перспективной курсо-глиссадной системы [2]. Суть алгоритмов состоит в формировании систем алгебраических уравнений, отвечающих требованиям к системным операторам (коэффициентам отражения и передаточным функциям) в заданном количестве состояний, удовлетворяющих заданным уровням низкочастотного сигнала. Результатом решения этих уравнений является система взаимосвязей между элементами классической матрицы передачи некоторых НС, отнесенных к неуправляемой части. Оставшаяся часть НС отнесена к управляемой части ПСС. Система взаимосвязей – это исходная система уравнений для отыскания параметров НС.

Разработанные алгоритмы могут быть использованы практически в любом диапазоне радиочастот. Отличие состоит лишь в реализации элементов классической матрицы передачи НС. В соответствующих диапазонах частот это могут быть элементы либо с распределенными параметрами [1; 2], либо с сосредоточенными параметрами [3–7]. Для реализации геометрических размеров неуправляемых и управляемых решеток ПСС [1; 2] необходимо привлечение результатов решения задач дифракции электромагнитных волн на различных проводящих телах [8].

Наиболее полно метод решения задач параметрического синтеза различных радиоустройств (за исключением многокаскадных) с обоими типами элементов изложен в работе [9].

В данной работе предлагается рассмотреть особенности этих алгоритмов с учетом наличия каскадов типа «смешанный четырехполюсник (СЧ) – нелинейная часть (НЧ)». Эти каскады включены между источником сигнала с сопротивлением $z_{0} = r_{0} + j x_{0}$ и нагрузкой $z_{н} = r_{н} + j x_{н}$ (рис. 1, 2). При этом учитывалось, что НЧ состоит из трехполюсного нелинейного элемента (НЭ) и охватывающей его цепи обратной связи (ЦОС – параллельной или последовательной по току или напряжению). Оптимизация параметров двухполюсников, не входящих в СЧ, осуществляется с помощью известных численных методов [10] по критерию обеспечения заданной рабочей полосы частот.

Рис. 1. Структурные схемы многокаскадных радиоустройств с параллельной по напряжению (а) и последовательной по току (б) ЦОС, включенными между СЧ и нагрузкой

Fig. 1. Block diagrams of multi-stage radio devices with voltage-parallel (a) and current-series (b) DSPs connected between the midrange and the load

Рис. 2. Структурные схемы многокаскадных радиоустройств с последовательной по напряжению (а) и параллельной по току (б) ЦОС, включенными между СЧ и нагрузкой

Fig. 2. Block diagrams of multistage radio devices with voltage-sequential (a) and current-parallel (b) feedback circuits connected between the midrange and the load

Все обозначения не описанных величин в данной статье соответствуют принятым в [9].

Алгоритм синтеза многокаскадных радиоустройств с учетом наличия каскадов типа «СЧ – НЧ» приведен в работе [11].

1. Результаты параметрического синтеза

Здесь в качестве примера приводятся некоторые из решений, полученных для типовых схем СЧ при использовании параллельной по напряжению обратной связи (рис. 1, а). Если для одинаковых каскадов типа «СЧ – НЧ» в качестве СЧ используются два Г-образных звена из четырех сопротивлений $R_{1,3},$ $X_{2,4}$ (рис. 3, а), то зависимости этих сопротивлений от частоты определяются следующим образом (аргументы опущены):

$R_{1} = {[d_{x} (X_{2} + X_{4}) - c_{r}] R_{3} + X_{2} (c_{x} + X_{4} d_{r})} /$ (1)

$/ {[d_{r} + e_{r} - 1 - b_{x} (X_{2} + X_{4})] R_{3} + c_{r} - X_{4} (d_{x} + X_{2} b_{r})};$

$X_{2} = \frac{- B_{2} \pm \sqrt{B_{2}^{2} - 4 A_{2} C_{2}}}{2 A_{2}}$ ,

где

$A_{2} = (R_{3}^{2} + R_{4}^{2}) (b_{x} d_{r} - b_{r} d_{x}) + c_{x} +$

$+ R_{3} (d_{x} - b_{r} c_{x} + b_{x} c_{r}) + X_{4} (d_{r} + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x});$

$B_{2} = - (c_{r}^{2} + c_{x}^{2}) - (R_{3}^{2} + R_{4}^{2}) (d_{r}^{2} + d_{x}^{2}) +$

$+ {d_{r} - X_{4} [2 (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x} -$

$- d_{r} e_{r} - d_{x} e_{x}]} R_{3}^{2} + [2 c_{r} d_{x} - 2 c_{x} d_{r} -$

$- R_{3} (d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r})] X_{4} - R_{3} (2 c_{r} d_{r} + 2 c_{x} d_{x} + c_{r} e_{r} + c_{x} e_{x});$

$C_{2} = [X_{4} (b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) -$

$- (c_{x} + X_{4} d_{r}) (d_{r} + e_{r} - 1) + C_{0}] R_{3}^{2};$

$C_{0} = (c_{r} - X_{4} d_{x}) (d_{x} + e_{x}) - X_{4}^{2} (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) .$

$R_{1} = {[d_{x} (X_{2} + X_{4}) - c_{r}] R_{3} + X_{2} (c_{x} + X_{4} d_{r})} /$ (2)

$/ {[d_{r} + e_{r} - 1 - b_{x} (X_{2} + X_{4})] R_{3} + c_{r} - X_{4} (d_{x} + X_{2} b_{r})};$

$R_{3} = \frac{- B_{3} \pm \sqrt{B_{3}^{2} - 4 A_{3} C_{3}}}{2 A_{3}}$ ,

где

$A_{3} = [b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x} - d_{x} (d_{x} + e_{x}) -$

$- d_{r} (d_{r} + e_{r} - 1)] (X_{2} + X_{4}) +$

$+ (b_{x} d_{r} - b_{r} d_{x}) {(X_{2} + X_{4})}^{2} +$

$+ c_{r} (d_{x} + e_{x}) - c_{x} (d_{r} + e_{r} - 1);$

$B_{3} = X_{2} [X_{4} (d_{x} e_{r} - d_{r} e_{x}) -$

$- c_{r} (2 d_{r} + e_{r}) - c_{x} (2 d_{x} + e_{x})] +$

$+ X_{2}^{2} (d_{x} - b_{r} c_{x} + b_{x} c_{r});$

$C_{3} = - X_{2} [{(c_{r} - X_{4} d_{x})}^{2} + {(c_{x} + X_{4} d_{r})}^{2} +$

$+ X_{2}^{2} [(b_{x} d_{r} - b_{r} d_{x}) X_{4}^{2} + (d_{r} + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) X_{4} + c_{x}] .$

$R_{1} = {[d_{x} (X_{2} + X_{4}) - c_{r}] R_{3} + X_{2} (c_{x} + X_{4} d_{r})} /$ (3)

$/ {[d_{r} + e_{r} - 1 - b_{x} (X_{2} + X_{4})] R_{3} + c_{r} - X_{4} (d_{x} + X_{2} b_{r})};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = (b_{x} d_{r} - b_{r} d_{x}) (R_{3}^{2} + X_{2}^{2}) - X_{2} (d_{r}^{2} + d_{x}^{2});$

$B_{4} = [2 R_{3}^{2} (b_{x} d_{r} - b_{r} d_{x}) +$

$+ (d_{x} e_{r} - d_{r} e_{x}) R_{3} + 2 (c_{r} d_{x} - c_{x} d_{r})] X_{2} +$

$+ (R_{3}^{2} + X_{2}^{2}) (d_{r} + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) -$

$- R_{3}^{2} (d_{r}^{2} + d_{x}^{2} + e_{r} d_{r} + e_{x} d_{x});$

$C_{4} = [C_{0} - X_{2}^{2} (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r})] R_{3}^{2} +$

$+ X_{2}^{2} c_{x} - X_{2} (c_{r}^{2} + c_{x}^{2}) + [X_{2}^{2} (d_{x} - b_{r} c_{x} + b_{x} c_{r}) -$

$- X_{2} (2 c_{r} d_{r} + 2 c_{x} d_{x} + c_{r} e_{r} + c_{x} e_{x})] R_{3};$

$C_{0} = X_{2} (b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) - (c_{x} + X_{2} d_{r}) (d_{r} + e_{r} - 1) +$

$+ (c_{r} - X_{2} d_{x}) (d_{x} + e_{x}) .$

$X_{2} = {(c_{r} - X_{4} d_{x}) (R_{1} + R_{3}) +$ (4)

$+ R_{1} R_{3} (d_{r} + e_{r} - 1 - X_{4} b_{x})} / {R_{3} (d_{x} + R_{1} b_{x}) +$

$+ c_{x} + X_{4} (d_{r} + R_{1} b_{r})};$

$R_{3} = \frac{- B_{3} \pm \sqrt{B_{3}^{2} - 4 A_{3} C_{3}}}{2 A_{3}}$ ,

где

$A_{3} = R_{1} (d_{x} + R_{1} b_{x}) (d_{x} + e_{x}) + R_{1} (b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) +$

$+ c_{r} d_{r} + c_{x} d_{x} + R_{1} (d_{r} + R_{1} b_{r}) (d_{r} + e_{r} - 1);$

$B_{3} = X_{4} [(2 b_{x} + b_{r} e_{x} - b_{x} e_{r}) R_{1}^{2} + B_{0}] +$

$+ R_{1}^{2} (b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x} + 1 - d_{r} - e_{r}) +$

$+ R_{1} [(2 d_{r} + e_{r} - 2) c_{r} + c_{x} (2 d_{x} + e_{x})] +$

$+ c_{r}^{2} + c_{x}^{2} + X_{4}^{2} [{(d_{r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{x} + R_{1} b_{x})}^{2}];$

$B_{0} = R_{1} [2 (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r}) +$

$+ d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r}] - 2 c_{r} d_{x} + 2 c_{x} d_{r};$

$C_{3} = [X_{4}^{2} (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) + (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r}) X_{4} - c_{r}] R_{1}^{2} +$

$+ [{(c_{r} - X_{4} d_{x})}^{2} + {(c_{x} + X_{4} d_{r})}^{2}] R_{1} .$

$X_{2} = {(c_{r} - X_{4} d_{x}) (R_{1} + R_{3}) +$ (5)

$+ R_{1} R_{3} (d_{r} + e_{r} - 1 - X_{4} b_{x})} /$

$/ {R_{3} (d_{x} + R_{1} b_{x}) + c_{x} + X_{4} (d_{r} + R_{1} b_{r})};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = [{(d_{r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{x} + R_{1} b_{x})}^{2}] R_{3} +$

$+ (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) R_{1}^{2} + (d_{r}^{2} + d_{x}^{2}) R_{1};$

$B_{4} = (R_{1}^{2} + 2 R_{1} R_{3}) (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r}) -$

$- 2 (c_{r} d_{x} - c_{x} d_{r}) (R_{1} + R_{3}) +$

$+ R_{3} [(2 b_{x} + b_{r} e_{x} - b_{x} e_{r}) R_{1}^{2} + (d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r}) R_{1}];$

$C_{4} = {R_{3} [c_{r} (2 d_{r} + e_{r} - 2) + c_{x} (2 d_{x} + e_{x})] + C_{0}} R_{1} +$

$+ R_{3}^{2} [R_{1} (b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) + c_{r} d_{r} + c_{x} d_{x}] -$

$- R_{1}^{2} [c_{r} - R_{3} (b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x})] + (R_{1} + R_{3}) (c_{r}^{2} + c_{x}^{2});$

$C_{0} = R_{3}^{2} (d_{x} + R_{1} b_{x}) (d_{x} + e_{x}) +$

$+ R_{3} (R_{3} d_{r} - R_{1} + R_{1} R_{3} b_{r}) (d_{r} + e_{r} - 1) .$

$R_{3} = \frac{X_{4} [X_{2} (d_{r} + R_{1} b_{r}) + R_{1} d_{x}] - R_{1} c_{r} + X_{2} c_{x}}{c_{r} - (d_{x} + R_{1} b_{x}) (X_{2} + X_{4}) + R_{1} (d_{r} + e_{r} - 1)};$ (6)

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = [{(d_{r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{x} + R_{1} b_{x})}^{2}] X_{2} +$

$+ (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) R_{1}^{2};$

$B_{4} = X_{2} {[(2 d_{x} + e_{x}) b_{r} - b_{x} (2 d_{r} + e_{r} - 2)] R_{1}^{2} + B_{0}} +$

$+ R_{1}^{2} [d_{r} (d_{r} + e_{r} - 1) + d_{x} (d_{x} + e_{x}) - b_{r} c_{r} - b_{x} c_{x}] +$

$+ X_{2}^{2} [{(d_{r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{x} + R_{1} b_{x})}^{2}];$

$B_{0} = [2 (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r}) + d_{r} e_{x} -$

$- d_{x} e_{r}] R_{1} - 2 (c_{r} d_{x} - c_{x} d_{r});$

$C_{4} = [c_{r}^{2} + c_{r}^{2} + R_{1} (c_{r} e_{r} + c_{x} e_{x} - 2 c_{r})] X_{2} +$

$+ X_{2}^{2} [R_{1} (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r}) - c_{r} d_{x} + c_{x} d_{r}] -$

$- R_{1}^{2} [X_{2} (b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) - X_{2}^{2} b_{x} +$

$+ c_{r} (d_{x} + e_{x}) + (X_{2} - c_{x}) (d_{r} + e_{r} - 1)] .$

Два Г-образных звена из четырех сопротивлений $R_{1,2},$ $X_{3,4}$ (рис. 3, б):

$R_{1} = {[c_{r} - d_{x} (X_{3} + X_{4})] R_{2} -$ (7)

$- X_{3} (c_{x} + X_{4} d_{r})} / {(d_{x} + R_{2} b_{x}) (X_{3} + X_{4}) +$

$+ R_{2} - c_{r} + X_{3} [e_{x} + X_{4} b_{r}]};$

$R_{2} = \frac{- B_{2} \pm \sqrt{B_{2}^{2} - 4 A_{2} C_{2}}}{2 A_{2}},$

где

$A_{2} = {(X_{3} + X_{4})}^{2} (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) - c_{x} -$

$- (X_{3} + X_{4}) (d_{r} + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x});$

$B_{2} = (b_{r} c_{x} - d_{x} - b_{x} c_{r}) X_{3}^{2} -$

$- X_{3} [c_{r} e_{r} + c_{x} e_{x} + (d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r}) (X_{3} + X_{4})];$

$C_{2} = [(X_{4} d_{x} - c_{r}) (d_{x} + e_{x}) + C_{0}] X_{3}^{2} +$

$+ [{(c_{x} + X_{4} d_{r})}^{2} + {(c_{r} - X_{4} d_{x})}^{2}] X_{3};$

$C_{0} = (c_{x} + X_{4} d_{r}) (d_{r} + e_{r} - 1) -$

$- X_{4} (b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) + X_{4}^{2} (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) .$

$R_{1} = {[c_{r} - d_{x} (X_{3} + X_{4})] R_{2} -$ (8)

$- X_{3} (c_{x} + X_{4} d_{r})} / {(d_{x} + R_{2} b_{x}) (X_{3} + X_{4}) +$

$+ R_{2} - c_{r} + X_{3} [e_{x} + X_{4} b_{r}]};$

$X_{3} = \frac{- B_{3} \pm \sqrt{B_{3}^{2} - 4 A_{3} C_{3}}}{2 A_{3}}$ ,

где

$A_{3} = (X_{4} d_{x} - c_{r}) (d_{x} + e_{x}) + (X_{4} d_{r} + c_{x}) (d_{r} + e_{r} - 1) -$

$- X_{4} (b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) + (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) (R_{2}^{2} + X_{4}^{2}) -$

$- R_{2} (d_{x} - b_{r} c_{x} + b_{x} c_{r} + d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r});$

$B_{3} = [2 X_{4} (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) - d_{r} - b_{r} c_{r} - b_{x} c_{x}] R_{2}^{2} +$

$+ X_{4}^{2} (d_{r}^{2} + d_{x}^{2}) + [X_{4} (d_{x} e_{r} - d_{r} e_{x}) - c_{r} e_{r} - c_{x} e_{x}] R_{2} -$

$- 2 X_{4} (c_{r} d_{x} - c_{x} d_{r}) + c_{r}^{2} + c_{x}^{2};$

$C_{3} = R_{2}^{2} [(b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) X_{4}^{2} - (d_{r} + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) X_{4} - c_{x}] .$

$R_{1} = {[c_{r} - d_{x} (X_{3} + X_{4})] R_{2} -$ (9)

$- X_{3} (c_{x} + X_{4} d_{r})} / {(d_{x} + R_{2} b_{x}) (X_{3} + X_{4}) +$

$+ R_{2} - c_{r} + X_{3} [e_{x} + X_{4} b_{r}]};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = (R_{2}^{2} + X_{3}^{2}) (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) + X_{3} (d_{r}^{2} + d_{x}^{2});$

$B_{4} = X_{3} [(d_{x} e_{r} - d_{r} e_{x}) R_{2} + 2 R_{2}^{2} (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) -$

$- 2 (c_{r} d_{x} - c_{x} d_{r})] - (R_{2}^{2} + X_{3}^{2}) (d_{r} + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) +$

$+ (d_{r}^{2} + d_{x}^{2} + e_{r} d_{r} + e_{x} d_{x}) X_{3}^{2};$

$C_{4} = [(b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) R_{2}^{2} + (b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r} - d_{x} - d_{r} e_{x} +$

$+ d_{x} e_{r}) R_{2} + C_{0}] X_{3}^{2} + [c_{r}^{2} + c_{x}^{2} - R_{2} (c_{r} e_{r} + c_{x} e_{x}) -$

$- R_{2}^{2} (d_{r} + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x})] X_{3} - R_{2}^{2} c_{x};$

$C_{0} = (d_{r} + e_{r} - 1) c_{x} - c_{r} (d_{x} + e_{x}) .$

$R_{2} = {(c_{r} - X_{4} d_{x}) R_{1} - X_{3} [c_{x} + X_{4} d_{r} +$ (10)

$+ R_{1} (d_{x} + e_{x} + X_{4} b_{r})]} / {R_{1} - c_{r} + (d_{x} + R_{1} b_{x}) (X_{3} + X_{4})};$

$X_{3} = \frac{- B_{3} \pm \sqrt{B_{3}^{2} - 4 A_{3} C_{3}}}{2 A_{3}}$ ,

где

$A_{3} = R_{1}^{2} [(d_{x} + e_{x}) b_{r} - b_{x} (d_{r} + e_{r} - 1)] +$

$+ X_{4} [{(d_{r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{x} + R_{1} b_{x})}^{2}] - c_{r} d_{x} + c_{x} d_{r} +$

$+ R_{1} (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r} + d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r});$

$B_{3} = c_{r}^{2} + c_{r}^{2} + X_{4} [(2 d_{x} + e_{x}) b_{r} - b_{x} (2 d_{r} + e_{r} - 2)] R_{1}^{2} -$

$- 2 (c_{r} d_{x} - c_{x} d_{r}) + B_{0}] + X_{4}^{2} [{(d_{r} + R_{1} b_{r})}^{2} +$

$+ {(d_{x} + R_{1} b_{x})}^{2}] + R_{1} (c_{r} e_{r} - 2 c_{r} + c_{x} e_{x}) -$

$- R_{1}^{2} (d_{r} + e_{r} - 1 + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x});$

$B_{0} = [2 (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r}) + d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r})] R_{1};$

$C_{3} = [(b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) X_{4}^{2} - (d_{r} + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) X_{4} - c_{x}] R_{1}^{2} .$

$R_{2} = {(c_{r} - X_{4} d_{x}) R_{1} - X_{3} [c_{x} + X_{4} d_{r} +$ (11)

$+ R_{1} (d_{x} + e_{x} + X_{4} b_{r})]} / {R_{1} - c_{r} +$

$+ (d_{x} + R_{1} b_{x}) (X_{3} + X_{4})};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = [{(d_{r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{x} + R_{1} b_{x})}^{2}] X_{3} +$

$+ R_{1}^{2} (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r});$

$B_{4} = [{(d_{r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{x} + R_{1} b_{x})}^{2}] X_{3}^{2} +$

$+ X_{3} {R_{1} [2 (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r}) + d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r}] -$

$- 2 (c_{r} d_{x} - c_{x} d_{r})} - R_{1}^{2} {d_{r} + X_{3} [(2 d_{r} + e_{r} - 2) b_{x} -$

$- b_{r} (2 d_{x} + e_{x})] + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}};$

$C_{4} = {[(d_{x} + e_{x}) b_{r} - b_{x} (d_{r} + e_{r} - 1)] R_{1}^{2} + C_{0}} X_{3}^{2} +$

$+ [c_{r}^{2} + c_{x}^{2} - R_{1}^{2} (d_{r} + e_{r} - 1 + b_{r} c_{r} + b_{x} c_{x}) +$

$+ C_{01}] X_{3} - R_{1}^{2} c_{x};$

$C_{0} = (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r} + d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r}) R_{1} - c_{r} d_{x} + c_{x} d_{r};$

$C_{01} = R_{2} (c_{r} e_{r} - 2 c_{r} + c_{x} e_{x}) .$

$X_{3} = {(c_{r} - X_{4} d_{x}) (R_{1} + R_{2}) -$ (12)

$- R_{1} R_{2} (X_{4} b_{x} + 1)} / {(d_{x} + e_{x} +$

$+ R_{2} b_{x} + X_{4} b_{r}) R_{1} + c_{x} + R_{2} d_{x} + X_{4} d_{r}};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = [{(d_{r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{x} + R_{1} b_{x})}^{2}] R_{2} +$

$+ R_{1} (d_{r}^{2} + d_{x}^{2}) + (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) R_{1}^{2};$

$B_{4} = [R_{1} (d_{r} e_{x} - d_{x} e_{r}) - 2 (c_{r} d_{x} - c_{x} d_{r})] (R_{1} + R_{2}) +$

$+ R_{1} (R_{1} + 2 R_{2}) (d_{x} + b_{r} c_{x} - b_{x} c_{r}) + R_{1}^{2} R_{2} (2 b_{x} + b_{r} e_{x} - b_{x} e_{r});$

$C_{4} = (c_{r} d_{r} + c_{x} d_{x}) {(R_{1} + R_{2})}^{2} -$

$- R_{1}^{2} [b_{r} R_{2}^{2} + R_{2} (e_{r} - 1)] + {c_{r}^{2} + c_{x}^{2} + R_{1} [c_{r} e_{r} + c_{x} e_{x} +$

$+ R_{2} (b_{r} c_{r} - d_{r} + b_{x} c_{x})]} (R_{1} + R_{2}) + R_{1} c_{r} (R_{1} + 2 R_{2}) .$

Пусть теперь для неодинаковых каскадов [2; 3] типа «СЧ – НЧ» в качестве одного из СЧ используется соединение, изображенное на рис. 3, а. Тогда зависимости сопротивлений от частоты можно записать следующим образом:

$R_{1} = {X_{4} (R_{3} d_{1 x} + X_{2} d_{1 r}) -$ (13)

$- R_{3} (c_{2 r} - X_{2} d_{1 x}) + X_{2} c_{2 x}} / {c_{2 r} + X_{2} d_{x} +$

$+ R_{3} (C_{d} - X_{2} b_{x}) - X_{4} (d_{1 x} + R_{3} b_{x} + X_{2} b_{r})};$

$X_{2} = \frac{- B_{2} \pm \sqrt{B_{2}^{2} - 4 A_{2} C_{2}}}{2 A_{2}}$ ,

где

$A_{2} = (R_{3}^{2} + R_{4}^{2}) (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) +$

$+ R_{3} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} - d_{r} d_{1 x} + d_{x} d_{1 r}) -$

$- X_{4} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) + c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r};$

$B_{2} = [(c_{2 r} - X_{4} d_{1 x}) (C_{d} + d_{r}) +$

$+ (c_{2 x} + X_{4} d_{1 r}) (D_{c} + d_{x}) + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}] R_{3} +$

$+ R_{3}^{2} [2 X_{4} (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) + C_{d} d_{1 r} + D_{c} d_{1 x} -$

$- b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x}] + {(c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})}^{2} + {(c_{2 r} - X_{4} d_{1 x})}^{2};$

$C_{2} = R_{3}^{2} [C_{0} + (C_{d} d_{1 r} + D_{c} d_{1 x} - b_{r} c_{2 r} -$

$- b_{x} c_{2 x}) X_{4} + C_{d} c_{2 x} - D_{c} c_{2 r}];$

$C_{0} = (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) X_{4}^{2};$

$C_{d} = c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r};$

$D_{c} = c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x} .$

$R_{1} = {X_{4} (R_{3} d_{1 x} + X_{2} d_{1 r}) -$ (14)

$- R_{3} (c_{2 r} - X_{2} d_{1 x}) + X_{2} c_{2 x}} / {c_{2 r} + X_{2} d_{x} +$

$+ R_{3} (C_{d} - X_{2} b_{x}) - X_{4} (d_{1 x} + R_{3} b_{x} + X_{2} b_{r})};$

$X_{3} = \frac{- B_{3} \pm \sqrt{B_{3}^{2} - 4 A_{3} C_{3}}}{2 A_{3}}$ ,

где

$A_{3} = (X_{2} + X_{4}) (C_{d} d_{1 r} + D_{c} d_{1 r} - b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x}) +$

$+ (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) {(X_{2} + X_{4})}^{2} + C_{d} c_{2 x} - D_{c} c_{2 r};$

$B_{3} = (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} - d_{r} d_{1 x} + d_{x} d_{1 r}) X_{2}^{2} + [B_{0}] X_{2};$

$B_{0} = (c_{2 r} - X_{4} d_{1 x}) (C_{d} + d_{r}) +$

$+ (c_{2 x} + X_{4} d_{1 r}) (D_{c} + d_{x}) + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x};$

$C_{3} = X_{2} [{(c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})}^{2} + {(c_{2 r} - X_{4} d_{1 x})}^{2}] -$

$- X_{2}^{2} [(b_{x} d_{1 r} - b_{r} d_{1 x}) X_{4}^{2} - c_{2 r} d_{x} + c_{2 x} d_{r} + C_{0}];$

$C_{0} = (b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) X_{4} .$

$R_{1} = {X_{4} (R_{3} d_{1 x} + X_{2} d_{1 r}) -$ (15)

$- R_{3} (c_{2 r} - X_{2} d_{1 x}) + X_{2} c_{2 x}} / {c_{2 r} + X_{2} d_{x} +$

$+ R_{3} (C_{d} - X_{2} b_{x}) - X_{4} (d_{1 x} + R_{3} b_{x} + X_{2} b_{r})};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = (R_{3}^{2} + X_{2}^{2}) (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) + X_{2} (d_{1 r}^{2} + d_{1 x}^{2});$

$B_{4} = [2 X_{2} (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) + C_{d} d_{1 r} + D_{c} d_{1 x}] R_{3}^{2} -$

$- [2 X_{2} (c_{2 r} d_{1 x} - c_{2 x} d_{1 r}) - X_{2}^{2} (d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) -$

$- (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) (R_{3}^{2} + X_{2}^{2}) -$

$- R_{3} X_{2} [d_{1 x} (C_{d} + d_{r}) - d_{1 r} (D_{c} + d_{x})];$

$C_{4} = X_{2} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}) + X_{2}^{2} (c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r}) +$

$+ R_{3} {(b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} - d_{r} d_{1 x} + d_{x} d_{1 r}) X_{2}^{2} +$

$+ [(D_{c} + d_{x} + d_{1 x}) c_{2 x} + c_{2 r} (C_{d} + d_{r} + d_{1 r})] X_{2}} +$

$+ R_{3}^{2} [(b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) X_{2}^{2} + (C_{d} d_{1 r} + D_{c} d_{1 x} -$

$- b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x}) X_{2} + C_{d} c_{2 x} - D_{c} c_{2 r})] .$

$X_{2} = {(c_{2 r} - X_{4} d_{1 x}) (R_{1} + R_{3}) +$ (16)

$+ R_{1} R_{3} (C_{d} - X_{4} b_{x})} / {c_{2 x} - R_{1} d_{x} +$

$+ R_{3} (d_{1 x} + R_{1} b_{x}) + X_{4} (d_{1 r} + R_{1} b_{r})};$

$R_{3} = \frac{- B_{3} \pm \sqrt{B_{3}^{2} - 4 A_{3} C_{3}}}{2 A_{3}}$ ,

где

$A_{3} = (C_{d} b_{r} + D_{c} b_{x}) R_{1}^{2} + (C_{d} d_{1 r} + D_{c} d_{1 x} +$

$+ b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) R_{1} + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x};$

$B_{3} = X_{4}^{2} [{(d_{1 r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{1 x} + R_{1} b_{x})}^{2}] +$

$+ {(C_{d} - d_{r}) [c_{2 r} - X_{4} (d_{1 x} + R_{1} b_{x})] +$

$+ (D_{c} - d_{x}) [c_{2 x} + X_{4} (d_{1 r} + R_{1} b_{r})] + B_{0}} R_{1} -$

$- X_{4} [R_{1}^{2} (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) -$

$- 2 R_{1} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) + 2 (c_{2 r} d_{1 x} - c_{2 x} d_{1 r})] -$

$- R_{1}^{2} (C_{d} d_{r} + D_{c} d_{x} - b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x});$

$B_{0} = c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x};$

$C_{4} = [{(c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})}^{2} + {(c_{2 r} - X_{4} d_{1 x})}^{2}] R_{1} +$

$+ [(b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}) X_{4}^{2} + (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} +$

$+ d_{r} d_{1 x} - d_{x} d_{1 r}) X_{4} - C_{0}] R_{1}^{2};$

$C_{0} = c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x} .$

$X_{2} = {(c_{2 r} - X_{4} d_{1 x}) (R_{1} + R_{3}) +$ (17)

$+ R_{1} R_{3} (C_{d} - X_{4} b_{x})} / {c_{2 x} - R_{1} d_{x} +$

$+ R_{3} (d_{1 x} + R_{1} b_{x}) + X_{4} (d_{1 r} + R_{1} b_{r})};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = R_{1} (d_{1 r}^{2} + d_{1 x}^{2}) + R_{3} [{(d_{1 r} + R_{1} b_{r})}^{2} +$

$+ {(d_{1 x} + R_{1} b_{x})}^{2}] + R_{1}^{2} (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x});$

$B_{4} = R_{1} (R_{1} + 2 R_{3}) (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) +$

$+ R_{1}^{2} (d_{r} d_{1 x} - d_{x} d_{1 r}) - R_{3} [R_{1}^{2} (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) +$

$+ R_{1} (C_{d} - d_{r}) (d_{1 x} + R_{1} b_{x}) -$

$- (D_{c} - d_{x}) (d_{1 r} + R_{1} b_{r})] - 2 (c_{2 r} d_{1 x} - c_{2 x} d_{1 r}) (R_{1} + R_{3});$

$C_{4} = {C_{d} [c_{2 r} - R_{1} d_{r} + R_{3} (d_{1 r} + R_{1} b_{r})] + C_{0}] R_{1} R_{3} +$

$+ (R_{1} + R_{3}) [R_{3} (c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}) -$

$- R_{1} (c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x}) + c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} + C_{01}];$

$C_{0} = D_{c} [c_{2 x} - R_{1} d_{x} + R_{3} (d_{1 x} + R_{1} b_{x})];$

$C_{01} = R_{1} R_{3} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) .$

$R_{3} = {[c_{2 x} - R_{1} d_{x} + X_{4} (d_{1 r} + R_{1} b_{r})] X_{2} -$ (18)

$- R_{1} (c_{2 r} - X_{4} d_{1 x})} / {c_{2 r} + C_{d} R_{1} -$

$- (d_{1 x} + R_{1} b_{x}) (X_{2} + X_{4})};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = X_{2} [{(d_{1 r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{1 x} + R_{1} b_{x})}^{2}] +$

$+ R_{1}^{2} (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r});$

$B_{4} = [(D_{c} - d_{x}) (d_{1 r} + R_{1} b_{r}) -$

$- (C_{d} - d_{r}) (d_{1 x} + R_{1} b_{x})] R_{1} X_{2} +$

$+ X_{2}^{2} [{(d_{1 r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{1 x} + R_{1} b_{x})}^{2}] +$

$+ R_{1}^{2} (C_{d} d_{1 r} + D_{c} d_{1 x} - b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x}) +$

$+ X_{2} [(b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) R_{1}^{2} +$

$+ 2 R_{1} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) + 2 (c_{2 x} d_{1 r} - c_{2 r} d_{1 x})];$

$C_{4} = [C_{d} c_{2 x} - D_{c} c_{2 r} - X_{2} (C_{d} d_{r} + D_{c} d_{x} +$

$+ b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x})] R_{1}^{2} + X_{2} {c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} -$

$- R_{1} [c_{2 r} (d_{r} - C_{d} + d_{1 r}) + c_{2 x} (d_{x} - D_{c} + d_{1 x})} +$

$+ X_{2}^{2} [(b_{x} d_{r} - b_{r} d_{x}) R_{1}^{2} + (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} +$

$+ d_{r} d_{1 x} - d_{x} d_{1 r}) R_{1} - c_{2 r} d_{1 x} + c_{2 x} d_{1 r}] .$

Соединение, представленное на рис. 3, б:

$R_{1} = {[c_{2 r} - d_{1 x} (X_{3} + X_{4})] R_{2} -$ (19)

$- X_{3} (c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})} / {[d_{r} + b_{x} (X_{3} + X_{4})] R_{2} +$

$+ X_{4} (d_{1 x} + X_{3} b_{r}) - c_{2 r} + D_{c} X_{3}};$

$R_{2} = \frac{- B_{2} \pm \sqrt{B_{2}^{2} - 4 A_{2} C_{2}}}{2 A_{2}}$ ,

где

$A_{2} = (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) (X_{3} + X_{4}) +$

$+ c_{2 x} d_{r} - c_{2 r} d_{x} - (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) {(X_{3} + X_{4})}^{2};$

$B_{2} = [c_{2 r} (C_{d} + d_{r} - d_{1 r}) + c_{2 x} (D_{c} + d_{x} - d_{1 x})] X_{3} -$

$- X_{3}^{2} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) - X_{3} (C_{d} d_{1 x} - D_{c} d_{1 r}) (X_{3} + X_{4}) -$

$- X_{3} X_{4} (d_{r} d_{1 x} - d_{x} d_{1 r});$

$C_{2} = [(b_{x} d_{1 r} - b_{r} d_{1 x}) X_{4}^{2} + C_{0}] X_{3}^{2} -$

$- [{(c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})}^{2} + {(c_{2 r} - X_{4} d_{1 x})}^{2}] X_{3};$

$C_{0} = (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - D_{c} d_{1 x} -$

$- C_{d} d_{1 r}) X_{4} - C_{d} c_{2 x} + D_{c} c_{2 r} .$

$R_{1} = {[c_{2 r} - d_{1 x} (X_{3} + X_{4})] R_{2} -$ (20)

$- X_{3} (c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})} / {[d_{r} + b_{x} (X_{3} + X_{4})] R_{2} +$

$+ X_{4} (d_{1 x} + X_{3} b_{r}) - c_{2 r} + D_{c} X_{3}};$

$X_{3} = \frac{- B_{3} \pm \sqrt{B_{3}^{2} - 4 A_{3} C_{3}}}{2 A_{3}}$ ,

где

$A_{3} = (R_{2}^{2} + X_{4}^{2}) (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) + C_{d} c_{2 x} - D_{c} c_{2 r} +$

$+ R_{2} (C_{d} d_{1 x} - D_{c} d_{1 r} + b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) +$

$+ X_{4} (C_{d} d_{1 r} + D_{c} d_{1 x} - b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x});$

$B_{3} = {(c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})}^{2} + {(c_{2 r} - X_{4} d_{1 x})}^{2} +$

$+ X_{4} {2 (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) R_{2}^{2} + [d_{1 x} (C_{d} + d_{r}) -$

$- d_{1 r} (D_{c} + d_{x})] R_{2}} - R_{2} [c_{2 r} (C_{d} + d_{r} - d_{1 r}) +$

$+ c_{2 x} (D_{c} + d_{x} - d_{1 x})] - R_{2}^{2} (b_{r} c_{2 r} +$

$+ b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x});$

$C_{3} = (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) R_{2}^{2} X_{4}^{2} + (c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r}) R_{2}^{2} -$

$- (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) R_{2}^{2} X_{4} .$

$R_{1} = {[c_{2 r} - d_{1 x} (X_{3} + X_{4})] R_{2} -$ (21)

$- X_{3} (c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})} / {[d_{r} + b_{x} (X_{3} + X_{4})] R_{2} +$

$+ X_{4} (d_{1 x} + X_{3} b_{r}) - c_{2 r} + D_{c} X_{3}};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) (R_{2}^{2} + X_{3}^{2}) + (d_{1 r}^{2} + d_{1 x}^{2}) X_{3};$

$B_{4} = X_{3} [2 (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) R_{2}^{2} + 2 (c_{2 x} d_{1 r} - c_{2 r} d_{1 x}) + B_{0}] +$

$+ X_{3}^{2} (C_{d} d_{1 r} + D_{c} d_{1 x} - b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x}) -$

$- R_{2}^{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x});$

$B_{0} = [d_{1 x} (C_{d} + d_{r}) - d_{1 r} (D_{c} + d_{x})] R_{2};$

$C_{4} = X_{3}^{2} [(b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) R_{2}^{2} + (C_{d} d_{1 x} - D_{c} d_{1 r} +$

$+ b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) R_{2} + C_{d} c_{2 x} - D_{c} c_{2 r}] +$

$+ R_{2}^{2} (c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r}) + X_{3} [R_{2}^{2} (b_{r} c_{2 r} +$

$+ b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) - C_{0}];$

$C_{0} = R_{2} [c_{2 r} (C_{d} + d_{r} - d_{1 r}) +$

$+ c_{2 x} (D_{c} + d_{x} - d_{1 x})] - c_{2 r}^{2} - c_{2 x}^{2} .$

$R_{2} = {[X_{4} (d_{1 x} + X_{3} b_{r}) - c_{2 r} + D_{c} X_{3}] R_{1} +$ (22)

$+ X_{3} (c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})} / {c_{2 r} - R_{1} d_{r} -$

$- (d_{1 x} + R_{1} b_{x}) (X_{3} + X_{4})};$

$X_{3} = \frac{- B_{3} \pm \sqrt{B_{3}^{2} - 4 A_{3} C_{3}}}{2 A_{3}}$ ,

где

$A_{3} = X_{4} [{(d_{1 r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{1 x} + R_{1} b_{x})}^{2}] -$

$- R_{1}^{2} (C_{d} b_{x} - D_{c} b_{r}) - R_{1} (C_{d} d_{1 x} - D_{c} d_{1 r} -$

$- b_{r} c_{2 x} + b_{x} c_{2 r}) - c_{2 r} d_{1 x} + c_{2 x} d_{1 r};$

$B_{3} = {(C_{d} - d_{r}) [c_{2 r} - X_{4} (d_{1 x} + R_{1} b_{x})] +$

$+ (D_{c} - d_{x}) [c_{2 x} + X_{4} (d_{1 r} + R_{1} b_{r})] + B_{0}} R_{1} +$

$+ X_{4}^{2} [{(d_{1 r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{1 x} + R_{1} b_{x})}^{2}] + c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} -$

$- R_{1}^{2} (C_{d} d_{r} + D_{c} d_{x} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) +$

$+ X_{4} [(b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) R_{1}^{2} + 2 (c_{2 x} d_{1 r} - c_{2 r} d_{1 x});$

$B_{0} = 2 X_{4} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) - c_{2 r} d_{1 r} - c_{2 x} d_{1 x};$

$C_{3} = (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) R_{1}^{2} X_{4}^{2} + (c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r}) R_{1}^{2} -$

$- (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) R_{1}^{2} X_{4} .$

$R_{2} = {[X_{4} (d_{1 x} + X_{3} b_{r}) - c_{2 r} + D_{c} X_{3}] R_{1} +$ (23)

$+ X_{3} (c_{2 x} + X_{4} d_{1 r})} / {c_{2 r} - R_{1} d_{r} -$

$- (d_{1 x} + R_{1} b_{x}) (X_{3} + X_{4})};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = X_{3} [{(d_{1 r} + R_{1} b_{r})}^{2} +$

$+ {(d_{1 x} + R_{1} b_{x})}^{2}] + R_{1}^{2} (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r});$

$B_{4} = [(D_{c} - d_{x}) (d_{1 r} + R_{1} b_{r}) -$

$- (C_{d} - d_{r}) (d_{1 x} + R_{1} b_{x})] R_{1} X_{3} +$

$+ X_{3} [2 R_{1} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) + R_{1}^{2} (b_{r} d_{1 x} -$

$- b_{x} d_{1 r}) + 2 (c_{2 x} d_{1 r} - c_{2 r} d_{1 x}) -$

$- R_{1}^{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) +$

$+ X_{3}^{2} [{(d_{1 r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{1 x} + R_{1} b_{x})}^{2}];$

$C_{4} = X_{3}^{2} [D_{c} b_{r} R_{1}^{2} + (D_{c} d_{1 r} + b_{r} c_{2 x} -$

$- b_{x} c_{2 r}) R_{1} - c_{2 r} d_{1 x} + c_{2 x} d_{1 r}] +$

$+ X_{3} {c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} - R_{1} [c_{2 x} (d_{x} - D_{c} + d_{1 x}) +$

$+ c_{2 r} (d_{r} + d_{1 r})] - C_{0}} - C_{d} R_{1} X_{3} [X_{3} (d_{1 x} + R_{1} b_{x}) -$

$- c_{2 r} + R_{1} d_{r}] + (c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r}) R_{1}^{2};$

$C_{0} = R_{1}^{2} (D_{c} d_{x} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) .$

$X_{3} = {(c_{2 r} - X_{4} d_{1 x}) (R_{1} + R_{2}) -$ (24)

$- R_{1} R_{2} (d_{r} + X_{4} b_{x})} / {(D_{c} + R_{2} b_{x} +$

$+ X_{4} b_{r}) R_{1} + c_{2 x} + R_{2} d_{1 x} + X_{4} d_{1 r}};$

$X_{4} = \frac{- B_{4} \pm \sqrt{B_{4}^{2} - 4 A_{4} C_{4}}}{2 A_{4}}$ ,

где

$A_{4} = R_{2} [{(d_{1 r} + R_{1} b_{r})}^{2} + {(d_{1 x} + R_{1} b_{x})}^{2}] +$

$+ R_{1} (d_{1 r}^{2} + d_{1 x}^{2}) + R_{1}^{2} (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x});$

$B_{4} = R_{1} (R_{1} + 2 R_{2}) (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) -$

$- R_{2} [B_{0} - R_{1} (d_{r} d_{1 x} - d_{x} d_{1 r})] +$

$+ [2 (c_{2 x} d_{1 r} - c_{2 r} d_{1 x}) - B_{01}] (R_{1} + R_{2});$

$B_{0} = R_{1}^{2} [(d_{x} - D_{c} + d_{1 x}) b_{r} - b_{x} (d_{r} - C_{d} + d_{1 r})];$

$B_{01} = R_{1} (C_{d} d_{1 x} - D_{c} d_{1 r});$

$C_{4} = {c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} + C_{0}} (R_{1} + R_{2}) -$

$- R_{2} [(C_{d} d_{r} + D_{c} d_{x}) R_{1}^{2} + (c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x}) R_{1}] +$

$+ R_{2}^{2} [(b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) R_{1}^{2} + R_{1} (d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x})];$

$C_{0} = [R_{2} (d_{1 r} + R_{1} b_{r}) + C_{d} R_{1}] c_{2 r} +$

$+ c_{2 x} [R_{2} (d_{1 x} + R_{1} b_{x}) + D_{c} R_{1}] .$

Рис. 3. Синтезированные СЧ в виде двух Г-образных звеньев

ig. 3. Synthesized midranges in the form of two L-shaped units

Оптимизация параметров двухполюсников, свободных от ограничений типа (1)–(24) (то есть находящихся в правой части этих выражений), производится с помощью известных численных методов [10].

2. Математическое и схемотехническое моделирование

На рис. 4–10 для примера показаны принципиальные и эквивалентные схемы однокаскадных и двухкаскадных усилителей, соответствующие исследуемой структурной схеме с параллельной по напряжению связью, представленной на рис. 1, а, а также их теоретические и экспериментальные характеристики. Использован транзистор типа $BFQ17PH$ (рис. 4, а, 5). Схема НЧ выполнена в виде параллельно соединенных транзистора и ЦОС (П-образного соединения трех элементов $C_{78},$ $R_{105},$ $R_{110})$ на однокаскадной схеме (рис. 4, а) и $C_{78},$ $R_{105},$ $R_{110}$ , $C_{83},$ $R_{126},$ $R_{127}$ на двухкаскадной схеме (рис. 5). Нагрузка и сопротивление источника сигнала выполнены на элементах $R_{114}$ и $R_{117},$ соответственно. Схемы СЧ собраны в виде Г-образных четырехполюсников на элементах $R_{119},$ $R_{120},$ $C_{79},$ $L_{2}$ (рис. 4, а), $R_{119},$ $R_{120},$ $C_{79},$ $L_{2},$ $R_{130},$ $R_{131},$ $C_{84},$ $L_{4}$ (рис. 5), параметры которых определялись по формулам (5).

Рис. 4. Принципиальная схема однокаскадного усилителя (а), соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), при напряжении U = 34,8 В, АЧХ и ФЧХ (б), исследуемые в системе MicroCap

Fig. 4. Schematic diagram of a single-stage amplifier (a), corresponding to the block diagram (Fig. 1, a), at a voltage U = 34,8 V, frequency response and phase response (b), studied in the MicroCap system

Рис. 5. Принципиальная схема усилителя из двух одинаковых каскадов, соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), частотные характеристики (рис. 4, б) которого идентичны соответствующим характеристикам (рис. 4, б) однокаскадного усилителя (рис. 4, а)

Fig. 5. Schematic diagram of an amplifier consisting of two identical stages, corresponding to the block diagram (Fig. 1, a), the frequency characteristics (Fig. 4, b) of which are identical to the corresponding characteristics (Fig. 4, b) of a single-stage amplifier (Fig. 4, a)

Эквивалентная схема нелинейного элемента выполнена в виде перекрытого Т-образного четырехполюсника на элементах $R_{10},$ $C_{9},$ $R_{13},$ $L_{7},$ $R_{11},$ $L_{9},$ $R_{9},$ $L_{5}$ (рис. 6). Параметры эквивалентной схемы НЭ выбраны из условия совпадения выходного сопротивления НЧ с выходным сопротивлением НЧ с использованием реального транзистора [9]. Схема НЧ реализована в виде параллельно соединенных эквивалентной схемы нелинейного элемента и цепи обратной связи из П-образного соединения трех элементов $C_{8},$ $R_{19},$ $R_{22} .$ Параметры ЦОС заданы произвольно. Схема СЧ собрана на основе двух обратных Г-образных звеньев из четырех элементов $R_{24},$ $R_{25},$ $L_{10},$ $C_{10} .$

Рис. 6. Эквивалентная схема однокаскадного усилителя (рис. 4, а), соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), исследуемая в системе OrCad

Fig. 6. Equivalent circuit of a single-stage amplifier (Fig. 4, a), corresponding to the structural diagram (Fig. 1, a), studied in the OrCad system

Частотные характеристики принципиальных схем, показанные на рис. 4, б (сопротивления источника сигнала и нагрузки равны 100 Ом) и 5 (сопротивления источника сигнала и нагрузки равны 50 Ом), идентичны. Это соответствует выводам, сделанным на основе анализа полученных ранее [3] выражений для передаточных функций исследуемых многокаскадных структурных схем (рис. 1, а).

Таким образом, при использовании СЧ также наблюдается новое явление, состоящее в том, что при определенных соотношениях между количеством каскадов и значениями сопротивлений источника сигнала и нагрузки однокаскадного радиоустройства частотные характеристики однокаскадного и многокаскадного радиоустройств оказываются идентичными или подобными [3]. Такие схемы названы эквивалентными. Необходимо отметить, что это явление наблюдается при любой сложности каскадов типа «СЧ – НЧ», а также при отсутствии НЧ или СЧ. Указанное явление не зависит от структуры схемы, включенной между источником сигнала и нагрузкой, и значений параметров этой схемы.

Анализ также показывает, что экспериментальные (рис. 4, б) частотные характеристики принципиальной схемы усилителя (рис. 4, а, 5) удовлетворительно совпадают с характеристиками эквивалентной схемы (рис. 6) усилителя, полученными расчетным путем (рис. 7, а) и экспериментально (рис. 7, б).

Рис. 7. Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) эквивалентной схемы (рис. 7), полученные в системе MathCad (а) и OrCad (б)

Fig. 7. Frequency characteristics (frequency response and phase response) of the equivalent circuit (Fig. 7), obtained in the MathCad (a) and OrCad (b) systems

Средняя частота эквивалентной схемы $f \approx 836$ МГц (рис. 7, а и б) незначительно отличается от средней частоты принципиальной схемы $f \approx 836, 3$ МГц (рис. 4, б).

При использовании неодинаковых каскадов возникает возможность значительно увеличить рабочую полосу частот.

Например, для двухкаскадной схемы (рис. 8) произведение коэффициента усиления на полосу частот составляет примерно 2600 (рис. 9). Это почти в 12 раз больше, чем произведение коэффициента усиления на полосу частот однокаскадного усилителя. Параметры и характеристики принципиальной (рис. 8) и эквивалентной (рис. 10) схем совпадают удовлетворительно.

Рис. 8. Принципиальная схема двухкаскадного усилителя с неодинаковыми каскадами, соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), исследуемая в системе MicroCap, частотные характеристики которой показаны на рис. 10, а

Fig. 8. Schematic diagram of a two-stage amplifier with unequal stages, corresponding to the structural diagram (Fig. 1, a), studied in the MicroCap system, the frequency characteristics of which are shown in Fig. 10, a

Рис. 9. Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) принципиальной (рис. 8) и эквивалентной схем (рис. 10), полученные в системе MicroCap (а), MathCad (б) и OrCad (в)

Fig. 9. Frequency characteristics (frequency response and phase response) of the principle (Fig. 8) and equivalent circuit (Fig. 10), obtained in the MicroCap (a), MathCad (b) and OrCad (c) system

Рис. 10. Эквивалентная схема усилителя из двух неодинаковых каскадов (рис. 8), соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), исследуемая в системе MathCad (рис. 9, б) и OrCad (рис. 9, в)

Fig. 10. Equivalent circuit of an amplifier consisting of two unequal stages (Fig. 8), corresponding to the structural diagram (Fig. 1, a), studied in the MathCad (Fig. 9, b) and OrCad (Fig. 9, c) systems

В работе [12] показано, что результаты схемотехнического моделирования удовлетворительно совпадают с результатами экспериментальных исследований физических макетов радиоустройств.

Заключение

Таким образом, полученные математические модели СЧ типа (1)–(12) могут быть использованы для технического проектирования усилителей с заданными частотными характеристиками. Возможность изменения величины эквивалентного сопротивления источника сигнала и нагрузки путем включения произвольного количества одинаковых каскадов типа «СЧ – НЧ» значительно упрощает решение многих задач радиоэлектроники [13], например задач обеспечения однонаправленности распространения сигнала и независимости процессов, происходящих в предыдущем и последующем динамических звеньях систем автоматического регулирования. Применение неодинаковых каскадов с оптимизированными параметрами одного из СЧ с помощью выражений (13)–(24) позволяет значительно увеличить рабочую полосу частот.

Об авторах

Александр Афанасьевич Головков

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия»

Автор, ответственный за переписку.
Email: valgol2595@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-8468-0055

доктор технических наук, профессор, заслуженный изобретатель РФ, профессор кафедры авиационных систем и комплексов радионавигации и радиосвязи

Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54

Список литературы

Головков А.А., Волобуев А.Г. Алгоритмы синтеза и анализа активных плоско-слоистых сред отражательного и смешанного типов // Физика волновых процессов и радиотехнические сигналы. 2003. Т. 6, № 2. С. 39–43.
Головков А.А., Головков В.А. Принципы построения и основные характеристики перспективной курсо-глиссадной системы // Физика волновых процессов и радиотехнические сигналы. 2022. Т. 25, № 1. С. 27–35. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2022.25.1.27-35
Головков А.А., Фомин А.В. Параметрический синтез радиоустройств с заданным количеством одинаковых каскадов для вариантов включения реактивных четырехполюсников между источником сигнала и нелинейной частью // Физика волновых процессов и радиотехнические сигналы. 2021. Т. 24, № 3. С. 46–55. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2021.24.3.46-55
Головков А.А., Головков В.А., Фомин А.В. Параметрический синтез радиоустройств с заданным количеством неодинаковых каскадов для вариантов включения реактивных четырехполюсников между нелинейной частью и нагрузкой // Физика волновых процессов и радиотехнические сигналы. 2021. Т. 24, № 3. С. 63–70. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2021.24.3.63-70
Головков А.А., Головков В.А. Алгоритм параметрического синтеза каскадно-включенных согласующих смешанных четырехполюсников по критерию обеспечения стационарного режима генерации // Физика волновых процессов и радиотехнические сигналы. 2022. Т. 25, № 1. С. 45–54. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2022.25.1.45-54
Головков А.А., Головков В.А. Параметрический синтез динамических звеньев для вариантов их включения между нелинейной частью и нагрузкой автоматических систем радиоуправления с общей обратной связью // Физика волновых процессов и радиотехнические сигналы. 2022. Т. 25, № 2. С. 40–50. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2022.25.2.40-50
Головков А.А., Головков В.А. Параметрический синтез комплексных четырехполюсников для вариантов их включения между источником сигнала и нелинейной частью по критерию обеспечения заданных частотных характеристик усилителей с общей обратной связью // Физика волновых процессов и радиотехнические сигналы. 2022. Т. 25, № 2. С. 51–59. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2022.25.2.51-59
Табаков Д.П., Морозов С.В., Клюев Д.С. Применение тонкопроволочного интегрального представления электромагнитного поля к решению задач дифракции электромагнитных волн на проводящих телах // Физика волновых процессов и радиотехнические сигналы. 2022. Т. 25, № 2. С. 7–14. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2022.25.2.7-14
Головков А.А., Головков В.А. Параметрический синтез радиотехнических устройств и систем. Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА», 2018. 588 с.
Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. 376 с.
Головков А.А. Параметрический синтез различных радиоустройств с заданным количеством каскадов типа «комплексный четырехполюсник – нелинейная часть» // Физика волновых процессов и радиотехнические сигналы. 2023. Т. 26, № 3. С. 20–31. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2023.26.3.20-31
Разевиг В.Д. Схемотехническое моделирование с помощью MicroCap-7. М.: Горячая линия – Телеком, 2003. 268 с.
Справочник по радиоэлектронике: в 3-х томах / под ред. А.А. Куликовского. М.: Энергия, 1970. Т. 3. 413 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Структурные схемы многокаскадных радиоустройств с параллельной по напряжению (а) и последовательной по току (б) ЦОС, включенными между СЧ и нагрузкой

Скачать (64KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Структурные схемы многокаскадных радиоустройств с последовательной по напряжению (а) и параллельной по току (б) ЦОС, включенными между СЧ и нагрузкой

Скачать (63KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Синтезированные СЧ в виде двух Г-образных звеньев

Скачать (28KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Принципиальная схема однокаскадного усилителя (а), соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), при напряжении U = 34,8 В, АЧХ и ФЧХ (б), исследуемые в системе MicroCap

Скачать (233KB)

Метаданные

6. Рис. 5. Принципиальная схема усилителя из двух одинаковых каскадов, соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), частотные характеристики (рис. 4, б) которого идентичны соответствующим характеристикам (рис. 4, б) однокаскадного усилителя (рис. 4, а)

Скачать (309KB)

Метаданные

7. Рис. 6. Эквивалентная схема однокаскадного усилителя (рис. 4, а), соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), исследуемая в системе OrCad

Скачать (182KB)

Метаданные

8. Рис. 7. Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) эквивалентной схемы (рис. 7), полученные в системе MathCad (а) и OrCad (б)

Скачать (275KB)

Метаданные

9. Рис. 8. Принципиальная схема двухкаскадного усилителя с неодинаковыми каскадами, соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), исследуемая в системе MicroCap, частотные характеристики которой показаны на рис. 10, а

Скачать (311KB)

Метаданные

10. Рис. 9. Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) принципиальной (рис. 8) и эквивалентной схем (рис. 10), полученные в системе MicroCap (а), MathCad (б) и OrCad (в)

Скачать (400KB)

Метаданные

11. Рис. 10. Эквивалентная схема усилителя из двух неодинаковых каскадов (рис. 8), соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), исследуемая в системе MathCad (рис. 9, б) и OrCad (рис. 9, в)

Скачать (300KB)

Метаданные

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

Параметрический синтез различных радиоустройств с заданным количеством каскадов типа «смешанный четырехполюсник – нелинейная часть»

Полный текст

Аннотация

Ключевые слова

Полный текст

Введение

1. Результаты параметрического синтеза

2. Математическое и схемотехническое моделирование

Заключение

Об авторах

Александр Афанасьевич Головков

Список литературы

Дополнительные файлы

Данный сайт использует cookie-файлы