Разработка математической модели кирального метаматериала на основе цилиндрических спиральных элементов с учетом дисперсии и концентрации

Полный текст

Введение

В настоящее время существует громадное количество разнообразных материалов, таких как полимеры, композиты, керамика, сплавы, ферромагнетики и т. п. Многие материалы обладают естественными, присущими им свойствами взаимодействия с электромагнитным полем. Однако существует возможность изменить естественные свойства путем изменения пространственной структуры материалов. В большинстве случаев изменение электромагнитных свойств материалов связано с добавлением в них композитов различного рода. Одним из типов композиционных материалов являются так называемые метаматериалы [1–8]. Они активно исследуются различными учеными с начала XXI века. Наиболее сильный интерес к изучению метаматериалов возник после ряда публикаций [9–11] о возможности получения для них отрицательных значений показателя преломления, диэлектрической и магнитной проницаемостей, хотя о таких возможностях было известно давно [12]. Такие метаматериалы получили названия сред с отрицательным преломлением (LHM – Left Handed Media).

Любой метаматериал в СВЧ-диапазоне представляет собой совокупность некоторой среды, называемой контейнером, и некоторой совокупности композитов из материала с другими электрофизическими и геометрическими параметрами. Благодаря своим нестандартным свойствам взаимодействия с электромагнитным полем, метаматериалы находят широкое применение при разработке таких устройств, как антенны [13–17], поглотители [18–19], концентраторы СВЧ-энергии [20–21] и т. п.

Одним из важных типов метаматериалов являются искусственные киральные материалы (среды). Подобные среды исследуются уже давно – с 80-х гг. XX века [22–27]. Для создания киральной среды используются проводящие композиты с зеркально-асимметричной пространственной конфигурацией. В случае киральной (взаимной биизотропной) среды все зеркально-асимметричные композиты равномерно размещаются и хаотически ориентируются в однородной среде-контейнере. В случае одинаковой ориентации всех композитов среда называется бианизотропной. Киральные среды являются в некотором роде СВЧ-аналогами оптически активных сред и позволяют поворачивать плоскость поляризации электромагнитной волны на значительные углы в сантиметровом и миллиметровом диапазонах длин волн [28]. В качестве проводящих зеркальных композитов используется множество элементов с разной пространственной структурой, такие как элементы Теллегена [29], цилиндрические одно- и многозаходные тонкопроволочные спирали [30], S-элементы [31–33], гаммадионы [34] и т. п. Для описания свойств киральной среды вводится относительный параметр киральности $\chi .$ Основными свойствами электромагнитного излучения в киральной среде является распространение волн с право- (ПКП) и левокруговыми (ЛКП) поляризациями, а также кросс-поляризация падающей волны. Как следствие, возникают явления поворота плоскости поляризации и круговой дихроизм.

Вопросы о математической модели киральной среды возникают уже давно. В основе модели лежат материальные уравнения, которые записываются в различных формах [22–24]. В начале исследований электромагнитных свойств киральной среды ее материальные параметры считались постоянными, не зависящими от частоты. С одной стороны, в дальнейшем исследователи выбирали различные дисперсионные модели для диэлектрической проницаемости и параметра киральности [35–36]. В основном для диэлектрической проницаемости использовалась модель Лоренца, а для параметра киральности, по аналогии с оптически активной средой, модель Кондона. Также в научной литературе известно использование дисперсионных моделей и для магнитной проницаемости [36].

С другой стороны, киральная среда является двухкомпонентной, то есть проявляет свойства гетерогенности. Впервые для описания свойства гетерогенности A.H. Sihvola использовал модель Максвелла Гарнетта [37], причем он применял эту модель для всех трех материальных параметров киральной среды. Также в [37] была предложена дисперсионная модель киральной среды на основе формулы Кондона. В [38] также для учета гетерогенности была применена модель Максвелла Гарнетта.

В работах [39; 40] также предложены варианты математической модели киральной среды, учитывающие одновременно дисперсию материальных параметров и гетерогенность. В частности, было показано, что при малых концентрациях зеркально-асимметричных включений для учета гетерогенности среды можно использовать двухкомпонентные модели Максвелла Гарнетта [41; 42] или Бруггемана [41; 43].

Заметим, что в большинстве случаев дисперсионные и гетерогенные модели применяются в достаточной степени независимо друг от друга. В частности, необходима унификация зависимостей материальных параметров от концентрации зеркально-асимметричных включений различного типа. Во-первых, в диэлектрической проницаемости дисперсия должна учитываться не в среде-контейнере, а только в областях, в которых расположены проводящие включения. Во-вторых, необходимо использование безразмерной объемной концентрации микроэлементов (входящей в модели Максвелла Гарнетта и Бруггемана) как в соотношениях для диэлектрической проницаемости, так и для параметра киральности метаматериала.

Данная работа посвящена разработке математической модели кирального метаматериала на основе периодической матрицы произвольно ориентированных проводящих тонкопроволочных цилиндрических спиральных элементов, расположенных в однородной изотропной среде-контейнере. Предлагаемая модель кирального метаматериала одновременно учитывает зависимости эффективной диэлектрической проницаемости и параметра киральности от частоты и концентрации спиральных микровключений. При этом показана возможность некоторой унификации указанных зависимостей для различных типов зеркально-асимметричных включений.

1. Постановка задачи

Рассмотрим киральный метаматериал (КММ), представляющий собой равномерную матрицу из тонкопроволочных проводящих однозаходных спиральных элементов, расположенных в однородном диэлектрическом контейнере с относительной диэлектрической проницаемостью ${\epsilon }_{\text{c}}.$ Будем считать, что спиральные элементы намотаны вокруг цилиндров с относительной диэлектрической проницаемостью ${\epsilon }_{\text{c}}$ и их высота равна высоте кирального метаматериала $h.$ Метаматериал имеет геометрические размеры вдоль трех координатных осей $l_x,$ $l_y$ и $h,$ соответственно. Период матрицы из спиральных элементов определяется радиусом витка спирали (цилиндра) $R$ и расстоянием между центрами цилиндров $d; d_1=2R+d.$ При постановке задачи считается, что периоды вдоль осей $Ox$ и $Oy$ равны между собой.

Безразмерная концентрация спиральных элементов определяется следующим образом:

$\alpha =\frac{N{V}_1}{V},$ (1)

где $N$ – общее количество спиральных элементов в метаматериале; $V$ – объем метаматериала (объем параллелепипеда: $V=l_x{l}_{y}h);$ $V_1$ – объем трехмерной фигуры, в которую вписан киральный элемент (для спиралей – объем цилиндра: $V_1=\pi R^{2}h).$

Количество спиральных элементов определяется пространственным периодом матрицы элементов $d_1=2R+d$ и линейными размерами $l_x, l_y$ контейнера кирального метаматериала.

Геометрия задачи приведена на рис. 1.

 

Рис. 1. Геометрия метаматериала

Fig. 1. Geometry of the metamaterial

 

2. Связь концентрации киральных элементов и расстояния между ними

На первом этапе построения математической модели необходимо связать безразмерную концентрацию спиральных элементов с расстоянием между соседними элементами $d.$

Назовем элементарной ячейкой КММ область, содержащую одну спираль и промежуток до соседнего спирального элемента. Пространственный период элементарной ячейки $d_1=2R+d.$

Количество элементарных ячеек вдоль оси $Ox$ будет определяться следующим образом:

$N_x=\frac{l_x}{d_1}=\frac{l_x}{2R+d}.$ (2)

Количество элементарных ячеек вдоль оси $Oy$ будет рассчитывается как

$N_y=\frac{l_y}{d_1}=\frac{l_y}{2R+d}.$ (3)

Общее количество элементарных ячеек находится как

$N=N_x{N}_y=\frac{l_x{l}_y}{{\left(2R+d\right)}^2}=\frac{S}{{\left(2R+d\right)}^2},$ (4)

где $S$ – площадь поверхности метаматериала.

Из формулы (1) получаем:

$\alpha =\frac{S{V}_1}{{\left(2R+d\right)}^{2}Sh}=\frac{V_1}{{\left(2R+d\right)}^{2}h},$ (5)

где $V_1=\pi R^{2}h.$

Окончательно из соотношения (5) имеем:

$\alpha =\frac{\pi R^2}{{\left(2R+d\right)}^2}.$ (6)

Из формулы (6) получим квадратное уравнение относительно расстояния между спиральными элементами

$d^2+4Rd+4R^2\left(1-\frac{\pi }{4\alpha }\right)=0.$ (7)

Решение уравнения (7) имеет вид

$d=d\left(\alpha \right)=R\left[\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}-2\right].$ (8)

Из соотношения (8) можно получить и обратное выражение:

$\alpha =\frac{\pi R^2}{{\left(2R+d\right)}^2}.$ (9)

Из соотношения (9) следует обобщение зависимости на случай произвольных киральных элементов:

$\alpha =\frac{S_{\text{elem}}}{d_1^2},$ (10)

то есть безразмерная концентрация киральных элементов в КММ равна отношению площади, занятой киральным элементом $S_{\text{elem}}$ к квадрату периода пространственной ячейки.

На рис. 2 представлена зависимость при различных значениях радиуса витка спирали.

 

Рис. 2. Зависимость $\mathit{d}\mathbf{=}\mathit{d}\left(\alpha \right)$ при различных значениях радиуса витка спирали

Fig. 2. Dependence $\mathit{d}\mathbf{=}\mathit{d}\left(\alpha \right)$ at different values of the radius of the spiral turn

 

3. Дисперсионная модель параметра киральности

Для описания частотной зависимости параметра киральности будем использовать обобщенную модель Кондона [1]:

$\chi \left(\omega \right)=\frac{{\Omega }_{\chi }{\omega }_0\omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega },$ (11)

где ${\omega }_0$ – резонансная частота кирального элемента (определяется из квазистатической модели для конкретного типа элемента); $\gamma$ – частота демпфирования; ${\Omega }_{\chi }$ – «сила» резонанса параметра киральности.

4. Расчет резонансной частоты спирального элемента

Зеркально-асимметричный элемент представляет собой тонкопроволочную проводящую однозаходную спираль, состоящую из $N$ витков радиуса $R,$ расположенных друг от друга на расстоянии $s$ (шаг спирали). Обозначим через $l$ длину спирали в развернутом состоянии, а через $r$ – радиус тонкой проволоки. На рис. 3 показано поперечное сечение спирального элемента. На рис. 3 введены следующие обозначения: $h$ – высота контейнера; $s$ – расстояние между витками спирали; $R$ – внутренний радиус спирали; $r$ – радиус проволоки; $\alpha$ – угол накрутки спирали; $N$ – число витков спирали.

 

Рис. 3. Поперечное сечение спирального элемента

Fig. 3. Cross section of the spiral element

 

Для расчета резонансной частоты спирали использовалось квазистатическое приближение, расчет производился по формуле Томсона:

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},$ (12)

где $L$ – индуктивность спирали; $C$ – емкость спирали, учитывающая межвитковую и межэлементную емкости, а также емкость самого проводника (проволоки).

Методика расчета резонансной частоты спирального элемента приведена в [15].

Резонансная частота спирали, показанной на рис. 3, вычисляется по следующей формуле:

${\omega }_0=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}\sqrt{K}};$ (13)

$K=\frac{\pi N^2{R}^2}{18\ln \left(\frac{2l}{r}\right)-1}+\frac{{\pi }^2{N}^2{R}^2\left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{hl}+$

$+\frac{\pi R^{2}r\left(R+r\right)N^3}{ld\cos \left[\frac{\pi }{2\left(N+1\right)}\right]},$

где $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ – скорость электромагнитной волны в вакууме.

Подставляя в формулу (13) выражение для расстояния между элементами через концентрацию (8), получаем выражение для резонансной частоты спирального элемента в следующем виде:

${\omega }_0=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}\sqrt{K}};K=K_{\text{self}}+K_{\mathrm{int}};$ (14)

$K_{\text{self}}=\frac{\pi N^2{R}^2}{18\ln \left(\frac{2l}{r}\right)-1}+\frac{{\pi }^2{N}^2{R}^2\left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{hl};$

$K_{\mathrm{int}}=\frac{\pi Rr\left(R+r\right)N^3}{l\left[\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}-2\right]\cos \left[\frac{\pi }{2\left(N+1\right)}\right]}.$

Используя соотношения (11) и (14), получаем дисперсионную модель параметра киральности:

$\chi \left(\omega \right)=\frac{{\Omega }_{\chi }{\omega }_0\omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega };{\omega }_0=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}\sqrt{K}};$ (15)

$K=K_{\text{self}}+K_{\mathrm{int}};$

$K_{\text{self}}=\frac{\pi N^2{R}^2}{18\ln \left(\frac{2l}{r}\right)-1}+$

$+\frac{{\pi }^2{N}^2{R}^2\left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{hl};$

$K_{\mathrm{int}}=\frac{\pi Rr\left(R+r\right)N^3}{l\left[\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}-2\right]\cos \left[\frac{\pi }{2\left(N+1\right)}\right]}.$

5. Учет гетерогенности метаматериала

Гетерогенность учитываем по закону Максвелла Гарнетта [2]:

$\epsilon ={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}};{\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\epsilon }_{\text{s}}-{\epsilon }_{\text{c}}}{{\epsilon }_{\text{s}}+2{\epsilon }_{\text{c}}},$ (16)

где $\epsilon$ – относительная эффективная диэлектрическая проницаемость метаматериала (как пространственной структуры, состоящей из контейнера и компонентов); ${\epsilon }_{\text{c}}$ – относительная диэлектрическая проницаемость контейнера; ${\epsilon }_{\text{s}}$ – относительная диэлектрическая проницаемость области, занятой компонентом; $\alpha$ – объемная безразмерная концентрация компонентов.

6. Дисперсионная модель диэлектрической проницаемости

Для описания частотной зависимости диэлектрической проницаемости области, занятой киральным элементом, будем использовать модель Лоренца [1]:

${\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)=\frac{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega },$ (17)

где ${\omega }_0$ – резонансная частота кирального элемента (определяется из квазистатической модели для конкретного типа элемента); $\gamma$ – частота демпфирования; ${\Omega }_{\epsilon }$ – «сила» резонанса диэлектрической проницаемости.

Подставляя выражение (17) в (16), получаем дисперсионную модель диэлектрической проницаемости КММ с учетом гетерогенности:

$\epsilon ={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}};{\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2-{\epsilon }_{\text{c}}\left({\omega }_0^2-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right)}{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2+2{\epsilon }_{\text{c}}\left({\omega }_0^2-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right)}.$ (18)

7. Материальные параметры кирального метаматериала на основе тонкопроволочных однозаходных спиральных элементов с учетом дисперсии и гетерогенности

Для описания КММ будем использовать следующий набор материальных параметров, определяемый из (15), (16) и (18):

$\epsilon \left(\omega ;\alpha \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)};$ (19)

$\chi \left(\omega ;\alpha \right)=\frac{{\Omega }_{\chi }{\omega }_0\left(\alpha \right)\omega }{{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega };$

${\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)=\frac{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\epsilon }_{\text{c}}\left[{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right]}{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2\left(\alpha \right)+2{\epsilon }_{\text{c}}\left[{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right]};$

${\omega }_0\left(\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}\sqrt{K\left(\alpha \right)}};K\left(\alpha \right)=K_{\text{self}}+K_{\mathrm{int}}\left(\alpha \right);$

$K_{\text{self}}=\frac{\pi N^2{R}^2}{18\ln \left(\frac{2l}{r}\right)-1}+$

$+\frac{{\pi }^2{N}^2{R}^2\left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{hl};$

$K_{\mathrm{int}}\left(\alpha \right)=\frac{\pi Rr\left(R+r\right)N^3}{l\left[\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}-2\right]\cos \left[\frac{\pi }{2\left(N+1\right)}\right]}.$

8. Материальные уравнения для кирального метаматериала на основе тонкопроволочных однозаходных спиральных элементов с учетом дисперсии и гетерогенности

Материальные уравнения для киральной среды имеют вид [3]:

$\overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E}\mp i\chi \overrightarrow{H};\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}\pm i\chi \overrightarrow{E},$ (20)

где $\epsilon$ – относительная эффективная диэлектрическая проницаемость; $\mu$ – относительная магнитная проницаемость; $\chi$ – относительный параметр киральности метаматериала.

Материальные уравнения (20) являются частотно-зависимыми, а также материальные параметры КММ в них зависят от объемной безразмерной концентрации киральных микроэлементов $\alpha \text{:}$

$\overrightarrow{D}=\epsilon \left(\omega ;\alpha \right)\overrightarrow{E}\mp i\chi \left(\omega ;\alpha \right)\overrightarrow{H};\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}\pm i\chi \left(\omega ;\alpha \right)\overrightarrow{E},$ (21)

где

$\epsilon \left(\omega ;\alpha \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)};$ (22)

$\chi \left(\omega ;\alpha \right)=\frac{{\Omega }_{\chi }{\omega }_0\left(\alpha \right)\omega }{{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega };$

${\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)=\frac{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\epsilon }_{\text{c}}\left[{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right]}{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2\left(\alpha \right)+2{\epsilon }_{\text{c}}\left[{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right]};$

${\omega }_0\left(\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}\sqrt{K\left(\alpha \right)}};K\left(\alpha \right)=K_{\text{self}}+K_{\mathrm{int}}\left(\alpha \right);$

$K_{\text{self}}=\frac{\pi N^2{R}^2}{18\ln \left(\frac{2l}{r}\right)-1}+\frac{{\pi }^2{N}^2{R}^2\left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{hl};$

$K_{\mathrm{int}}\left(\alpha \right)=\frac{\pi Rr\left(R+r\right)N^3}{l\left[\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}-2\right]\cos \left[\frac{\pi }{2\left(N+1\right)}\right]}.$

Математическая модель, определяемая соотношениями (21) и (22), описывает киральный метаматериал, созданный на основе равномерно размещенных тонкопроволочных проводящих однозаходных спиральных элементов (рис. 1).

9. Дисперсионные уравнения для нормальных волн кирального метаматериала на основе тонкопроволочных однозаходных спиральных элементов с учетом дисперсии и гетерогенности

Расчет дисперсионных характеристик (постоянных распространения) нормальных волн кирального метаматериала с право- и левокруговыми поляризациями осуществляется по следующим формулам:

$k_{\text{R,L}}\left(\omega ;\alpha \right)=\frac{\omega }{c}\left[\sqrt{\epsilon \left(\omega ;\alpha \right)\mu }\pm \chi \left(\omega ;\alpha \right)\right],$ (23)

где

$\epsilon \left(\omega ;\alpha \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)};$

$\chi \left(\omega ;\alpha \right)=\frac{{\Omega }_{\chi }{\omega }_0\left(\alpha \right)\omega }{{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega };$

${\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)=\frac{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\epsilon }_{\text{c}}\left[{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right]}{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2\left(\alpha \right)+2{\epsilon }_{\text{c}}\left[{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right]};$

${\omega }_0\left(\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}\sqrt{K\left(\alpha \right)}};K\left(\alpha \right)=K_{\text{self}}+K_{\mathrm{int}}\left(\alpha \right);$

$K_{\text{self}}=\frac{\pi N^2{R}^2}{18\ln \left(\frac{2l}{r}\right)-1}+$

$+\frac{{\pi }^2{N}^2{R}^2\left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{hl};$

$K_{\mathrm{int}}\left(\alpha \right)=\frac{\pi Rr\left(R+r\right)N^3}{l\left[\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}-2\right]\cos \left[\frac{\pi }{2\left(N+1\right)}\right]}.$

10. Обобщение модели КММ при одновременном учете дисперсии и гетерогенности

Представим емкостной коэффициент $K\left(\alpha \right)=K_{\text{self}}+K_{\mathrm{int}}\left(\alpha \right)$ в виде

$K\left(\alpha \right)=K_{\text{self}}+K_{\mathrm{int}}\left(\alpha \right);$ (24)

$K_{\text{self}}=k_1=\frac{\pi N^2{R}^2}{18\ln \left(\frac{2l}{r}\right)-1}+$

$+\frac{{\pi }^2{N}^2{R}^2\left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{hl};$

$K_{\mathrm{int}}\left(\alpha \right)=\frac{k_2\sqrt{\alpha }}{1-\zeta \sqrt{\alpha }};$

$k_2=\frac{\pi Rr\left(R+r\right)N^3}{2l\sqrt{\frac{\pi }{4\alpha }}\cos \left[\frac{\pi }{2\left(N+1\right)}\right]};\zeta =\frac{2}{\sqrt{\pi }}.$

Формулу для резонансной частоты в зависимости от безразмерной объемной концентрации можно обобщить следующим образом:

${\omega }_0\left(\alpha \right)=\frac{v}{\sqrt{k_1+\frac{k_2\sqrt{\alpha }}{1-\zeta \sqrt{\alpha }}}},$ (25)

где $v=c/\left(\sqrt{{\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}\right)$ – фазовая скорость электромагнитной волны в среде-контейнере; коэффициенты $k_j\left(j=\mathrm{1,2}\right)$ имеют размерность квадрата длины и определяются геометрическими размерами киральных элементов и их типом; $\zeta$ – безразмерная константа.

С использованием формулы (25) можно получить обобщенную зависимость относительного параметра киральности от безразмерной объемной концентрации:

$\begin{array}{l}\chi \left(\omega ;\alpha \right)=\frac{{\Omega }_{\chi }{\omega }_0\left(\alpha \right)\omega }{{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega };\\ {\omega }_0\left(\alpha \right)=\frac{v}{\sqrt{k_1+\frac{k_2\sqrt{\alpha }}{1-\zeta \sqrt{\alpha }}}}.\end{array}$ (26)

Аналогично с использованием формулы (26) можно получить обобщенную зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от безразмерной объемной концентрации:

$\epsilon \left(\omega ;\alpha \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)};$ (27)

${\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega ;\alpha \right)=\frac{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\epsilon }_{\text{c}}\left[{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right]}{{\Omega }_{\epsilon }{\omega }_0^2\left(\alpha \right)+2{\epsilon }_{\text{c}}\left[{\omega }_0^2\left(\alpha \right)-{\omega }^2-\text{i\hspace{0.17em}}\gamma \omega \right]};$

${\omega }_0\left(\alpha \right)=\frac{v}{\sqrt{k_1+\frac{k_2\sqrt{\alpha }}{1-\zeta \sqrt{\alpha }}}}.$

Формулы (26) и (27) описывают обобщенные зависимости материальных параметров кирального метаматериала от частоты и безразмерной объемной концентрации киральных элементов $\alpha .$

Заключение

В работе рассмотрены принципы построения математической модели кирального метаматериала на основе периодической матрицы произвольно ориентированных проводящих тонкопроволочных цилиндрических спиральных элементов, расположенных в однородной изотропной среде-контейнере.

Построенная математическая модель кирального метаматериала на основе периодической матрицы произвольно ориентированных проводящих тонкопроволочных цилиндрических спиральных элементов учитывает гетерогенность кирального метаматериала, дисперсию диэлектрической проницаемости, дисперсию параметра киральности, а также зависимость материальных параметров от концентрации спиральных включений.

Предложенная методика построения математической модели может быть применена для киральных метаматериалов на основе периодических матриц проводящих элементов произвольной зеркально-асимметричной пространственной конфигурации.

Об авторах

Иван Юрьевич Бучнев

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: v.buchnev@psuti.ru

аспирант кафедры высшей математики

Россия, Самара

Дмитрий Сергеевич Клюев

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: klyuevd@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-9125-7076

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой радиоэлектронных систем

Россия, Самара

Юлия Сергеевна Мамошина

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: u.mamoshina@psuti.ru

аспирант кафедры теоретических основ радиотехники и связи

Самара

Олег Владимирович Осипов

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: o.osipov@psuti.ru

доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики

Россия, Самара

Дмитрий Николаевич Панин

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: d.panin@psuti.ru

кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой теоретических основ радиотехники и связи

Самара

Список литературы

Дополнительные файлы