Тепловое перепутывание в двухатомной модели Тависса – Каммингса с учетом диполь-дипольного взаимодействия

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Обоснование. Интерес к изучению перепутанных состояний систем естественных и искусственных атомов (кубитов), взаимодействующих с выделенными модами микроволновых резонаторов, связан с их использованием в качестве логических элементов квантовых компьютеров. При этом важнейшей задачей физики квантовых вычислений является выбор наиболее эффективных механизмов контроля и управления перепутанными состояниями кубитов в таких устройствах. Цель. В работе исследована динамика перепутывания двух дипольно-связанных сверхпроводящих джозефсоновских кубитов, индуцированного тепловым шумом копланарного резонатора, для различных начальных состояний кубитов. Методы. На основе точного решения квантового уравнения Лиувилля для полной матрицы плотности рассматриваемой системы найдено временное поведение параметра перепутывания кубитов (отрицательности) для хаотических тепловых, чистых сепарабельных и перепутанных начальных состояний кубитов. Результаты. Показано, что перепутывание кубитов, индуцированное тепловым шумом резонатора, возможно как для хаотического теплового состояния, так и сепарабельных состояний кубитов, за исключением случая, когда оба кубита возбуждены. Установлено также, что для малых значений параметра диполь-дипольного взаимодействия учет такого взаимодействия приводит к увеличению степени перепутывания. Для значений параметра диполь-дипольного взаимодействия, больших некоторого предельного значения, имеет место обратный эффект. Найдено, что для перепутанных начальных состояний кубитов включение прямого взаимодействия слабо влияет на динамику перепутывания. Показано, что начальная когерентность состояний кубитов может приводить к существенному увеличению степени их перепутывания при наличии диполь-дипольного взаимодействия. Заключение. Диполь-дипольное взаимодействие может выступать в качестве эффективного механизма контроля и управления перепутаванием кубитов.

Полный текст

Введение

В настоящее время изучение перепутанных состояний является одной из наиболее актуальных задач квантовой теории в связи с широкими возможными применениями таких состояний в квантовой информатике, квантовой телепортации, квантовой криптография и квантовом плотном кодировании [1–3]. В качестве одного из способов генерации атомных перепутанных состояний используется взаимодействие естественных и искусственных атомов (примесных спинов, сверхпроводящих джозефсоновских колец, квантовых точек и др.) с квантовыми электромагнитными полями резонаторов [4]. При этом особое внимание в последнее время уделялось изучению возможности перепутывания атомов за счет взаимодействия с тепловым электромагнитным полем. Обычно считалось, что тепловое состояние поля содержит минимальную информацию о системе и может определяться как «хаотичное». При этом многомодовые тепловые поля часто применялись для анализа декогеренции квантовых атомных систем. Однако Ким с соавторами [5] показали, что такое тепловое некоррелированное поле может перепутывать атомы в резонаторе. Они изучали эволюцию двух идентичных двухуровневых атомов, резонансно взаимодействующих с одномодовым тепловым полем в резонаторе без потерь, и вычислили параметр перепутывания атомов как функцию времени. При этом было показано, что степень перепутывания атомов существенно зависит от их начального состояния. С одной стороны, если один атом изначально находится в основном состоянии, а другой ‒ в возбужденном состоянии, то тепловое поле может привести к заметной степени атом-атомного перепутывания. С другой стороны, если оба атома изначально находятся в возбужденных состояниях, то в резонансном приближении перепутывание атомов невозможно. Аналогичный эффект имеет место и для двухатомной модели с мнофотонными переходами [6; 7]. Занг [8] обобщил работу Кима с соавторами [5] на случай, когда частоты перехода в атомах слегка отстроены от частоты моды теплового поля резонатора, и изучил, как такая расстройка влияет на запутывание атомов. При этом было показано, что при подходящем выборе расстройки для начального состояния атомной системы, в котором один атом находится в возбужденном состоянии, а другой – в основном состоянии, перепутывание атомов может приближаться к максимальному значению. Кроме того, выявлено, что значительное перепутывание атомов может быть достигнуто даже тогда, когда оба атома изначально находятся в возбужденных состояниях.

Как хорошо известно, диполь-дипольное взаимодействие атомных систем является естественным механизмом возникновения атомного перепутывания. Наличие диполь-дипольного взаимодействия атомов, в частности, может привести к значительному увеличению степени перепутывания двух атомов, взаимодействующих с модой теплового поля в идеальном резонаторе как посредством однофотонных переходов [9], так и двухфотонных вырожденных [13] и невырожденных переходов [10; 11]. Заметим также, что для искусственных атомов диполь-дипольное взаимодействие может быть значительно больше, чем для обычных атомов и ионов. Например, для сверхпроводящих джозефсоновских кубитов эффективная константа диполь-дипольного (индуктивного взаимодействия сверхпроводящих кубитов) может существенно превосходить не только константу кубит-фотонного взаимодействия, нои исходную энергию перехода между уровнями самого кубита [12; 13]. Представляет интерес рассмотреть влияние диполь-дипольного взаимодействия кубитов на максимальную степень их перепутывания, индуцированного тепловым полем резонатора, для их различных начальных состояний. При изучении точной динамики кубитов в резонаторе (см. ссылки в [14–17]) авторы, с одной стороны, использовали различные методы решения квантового временного уравнения Шредингера для полной волновой функции или квантового уравнения Лиувилля для полной матрицы плотности в зависмости от выбора начальных состояний кубитов и поля резонатора. С другой стороны, для резонансной двухкубитоной модели с однофотонными переходами и прямым диполь-дипольным взаимодействием кубитов найдено точное решение уравнения для оператора эволюции [9]. При этом авторы указанной работы использовали найденное точное решение для оператора эволюции при вычисления параметра перепутывания кубитов, индуцированного тепловым полем резонатора, для простейшего случая, когда один из кубитов приготовлен в возбужденном, а другой – в основном состоянии.

В настоящей работе нами исследовано влияние диполь-дипольного взаимодействия кубитов на динамику их перепутывания в двухкубитной резонансой однофотонной модели, индуцированного тепловым полем резонатора, для различных начальных состояний кубитов: перепутанных состояний белловского типа, тепловых и когерентных.

  1. Модель и ее точное решение

Рассмотрим два идентичных сверхпроводящих кубита A и B, которые резонансно взаимодействуют с общим квантовым одномодовым электромагнитным полем идеального микроволнового копланарного резонатора. Будем учитывать прямое диполь-дипольное взаимодействие кубитов, принимая во внимание, что для сверхпроводящих кубитов константа такого взаимодействия может существенно превосходить константу кубит-полевого взаимодействия. Тогда гамильтониан взаимодействия системы в приближении вращающейся волны можно представить в виде

H=gi=A,B(σi+a+a+σi)+J(σA+σB+σAσB+). (1)

Здесь σ1z и σ2z ‒ операторы инверсии для кубитов A и B соответственно; σi++ii и σiii+ ‒ операторы переходов между возбужденным +i и основным i состояниями в i-м кубите (i=A,B),a+ и a ‒ операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды поля; g ‒ константа взаимодействия между кубитом и полем; J ‒ константа прямого диполь-дипольного взаимодействия кубитов.

Предположим, что резонаторное поле находится в начальный момент времени в одномодовом состоянии с матрицей плотности

ρF(0)=npn|nn|, (2)

где весовые коээфициеты pn=n¯n/(1+n¯)n+1. Здесь n¯ ‒ среднее число тепловых фотонов в резонаторе n¯=(exp[ωi/kBT]1]1, где kB ‒ постоянная Больцмана и T ‒ равновесная температура резонатора.

В качестве начального состояния кубитов выберем:

а) чистое сепарабельное когерентное состояние вида

|Ψ(0)AB=|Ψ(0)A|Ψ(0)B, (3)

|Ψ(0)A=cosθA|+A+sinθA|A,

|Ψ(0)B=cosθB|+B+sinθB|B,

где θi – парамеры, определяющие начальную когерентность состояния i-кубита;

б) смешанное состояние с матрицей плотности вида

ρ(0)AB=i=A,Bλ|+ii+|+(1λ)|ii|, (4)

где λ1λ=exp[ω0/kBT] и ω0 – резонансная частота перехода между первым возбужденным и основным состоянием кубита;

в) перепутанное состояние белловского типа

|Ψ(0)AB=cosθ|+,+sinθ|,+, (5)

|Ψ(0)AB=cosθ|+,++sinθ|,, (6)

где θ ‒ параметр, определяющий начальную степень перепутывания кубитов.

Зависящая от времени матрица плотности изучаемой системы может быть найдена при решении квантового уравнения Лиувилля

iρt=[H,ρ] (7)

с начальным условием

ρ(0)=ρAB(0)ρF(0).

В случае чистых начальных состояний кубитов

ρAB(0)=|Ψ(0)ABABΨ(0)|.

Представим формальное решение уравнения (7) в виде

ρ(t)=U+(t)ρ(0)U(t),

где оператор эволюции системы с гамильтонианом (1) в базисе

|,,|+,,|,+,|+,+

имеет вид [12]

U(t)=U11U12U13U14U21U22U23U24U31U32U33U34U41U42U43U44, (8)

где

U11=1+2aAλa+,U14=2aAλa,

U41=2a+Aλa+,U44=1+2a+Aλa,

U12=U13=aBθ,U21=U31=Bθa+,

U24=U34=Bθa,U42=U43=a+Bθ,

U22=U33=expig2(α+θ)t4θ×

×[1exp(igθt)]α+2θexp(ig2(3α+θ)t]+θ[1+exp(igθt)],

U23=U32=expig2(α+θ)t4θ×

×[1exp(igθt)]α2θexp(ig2(3α+θ)t]+θ[1+exp(igθt)],

A=expigα2tcosgθ2t+iαθsingθ2t1,

B=expig2(α+θ)t1exp(igθt),

α=Jg,λ=2(aa++a+a),θ=8(aa++a+a)+α2.

Имея оператор эволюции (8), мы можем найти явный вид временной матрицы плотности рассматриваемой системы для любых начальных состояний кубитов. В настоящей работе мы используем точное решение квантового уравнения Лиувилля для исследовании временной динамики перепутывания кубитов. В настоящее время строгие критерии перепутывания получены в квантовой информатике для двухкубитных систем. Одним из таких критериев является критерий Переса – Хородецких или отрицательность [18; 19]. В настоящей работе для количественной оценки степени перепутывания кубитов мы будем использовать отрицательность в форме

ε=2μi, (9)

где μi ‒ отрицательные собственные значенич частично транпонированной по переменным одного кубита редуцированной двухкубитной матрицы плотности ρABT1(t). Двухкубитная редуцированная матрица плотности может быть найдена путем усреднения полной матрицы плотности системы по переменным поля

ρAB(t)=TrFρ(t).

Используя явный вид оператора эволюции после достаточно громозких вычислений для редуцированной матрицы плотности кубитов получаем в двухкубитном базисе |,, |+,, |,+, |+,+.

ρA(t)=ρ11(t)ρ12(t)ρ13(t)ρ14(t)ρ12*(t)ρ22(t)ρ23(t)ρ24(t)ρ13*(t)ρ23*(t)ρ33(t)ρ34(t)ρ14*(t)ρ24*(t)ρ34*(t)ρ44(t), (10)

ρ11(t)=n=1pnρ111+2(n+1)Qn+1(t)++(ρ11+ρ23+ρ32+ρ33)|Sn|2n+ρ444(n1)Qn1(t),

ρ12(t)=n=0pn(ρ24+ρ24)Sn(t)Sn1*(t)n++(ρ12U22,n*+ρ13U23,n*)1+2(n+1)Qn+1(t),

ρ12(t)=n=0pn(ρ24+ρ24)Sn(t)Sn1*(t)n++(ρ12U23,n*+ρ13U22,n*)1+2(n+1)Qn+1(t),

ρ12(t)=n=1pnρ141+2(n+1)Qn+1(t)1+2nQn1(t),

ρ22(t)=n=0pnρ11(n+1)Sn+1(t)2++ρ44nSn1(t)2+ρ22|U22,n|2+

+n=0pn[ρ23U22,nU23,n*++ρ23*U23,nU22,n*+ρ33|U23,n|2],

ρ33(t)=n=1pnρ11(n+1)Sn+1(t)2+ρ44nSn1(t)2+

+n=1pn[ρ22|U23,n|2+ρ23U23,nU22,n*++ρ23*U22,nU23,n*+ρ33|U22,n|2],

ρ33(t)=n=1pnρ11(n+1)Sn+1(t)2+ρ44nSn1(t)2+

+n=1pn[ρ22|U23,n|2+ρ23U23,nU22,n*++ρ23*U22,nU23,n*+ρ33|U22,n|2],

ρ24(t)=n=1pn(ρ24U22,n+ρ34U23,n)2nQn1(t)+1++(ρ12+ρ13)(n+1)Sn+1(t)Sn1*(t),

ρ24(t)=n=1pn(ρ34U22,n+ρ24U23,n)2nSn1(t)+1*++(ρ12+ρ13)(n+1)Sn+1(t)Sn1*(t),

ρ44(t)=1ρ11(t)ρ22(t)ρ33(t).

Здесь

U23,n(t)=Expi(α+θn)2t4θn(1Exp[iθnt])α2θnExpi(3α+θn)t2+θn(1+Exp[iθnt]),

U22,n=Expi(α+θn)2t4θn(1Exp[iθnt])α++2θnExpi(3α+θn)t2+θn(1+Exp[iθnt]),

Qn=Anλn,Sn=Bnθn,

An=expigα2tcosgθn2t+iαθnsingθn2t1,

Bn=expig2(α+θn)t1exp(igθnt),

λn=2(2n+1),θn=8(2n+1)+α2.

Начальные значения элементов двухкубитной матрицы плотности для когерентного начального состояния кубитов (3), теплового состояния (4) и перепутанных состояний (5) и (6) равны, соответственно

ρ11=sinθAsinθB,ρ12=ρ13=ρ14=ρ24=ρ34=0,

ρ44(0)=cosθAcosθB,ρ23(0)=cosθAsinθB,

ρ32(0)=cosθsinθ,ρ33(0)=sin2θ;

ρ12=ρ13=ρ14=ρ23=ρ24=ρ34=0,

ρ11=λ2,ρ22=ρ33=λ(1λ),ρ44=(1λ)2;

ρ11=ρ12=ρ13=ρ14=ρ24=ρ34=0,

ρ22(0)=cos2θ,ρ23(0)=cosθsinθ,

ρ32(0)=cosθsinθ,ρ33(0)=sin2θ

и

ρ11(0)=sin2θ,ρ44(0)=cos2θ,ρ23(0)=cosθsinθ,

ρ12=ρ13=ρ14=ρ22=ρ24=ρ33=ρ34=0.

Частично транспонированная по переменным одного кубита двухкубитная матрица для (10) имеет вид

ρAT(t)=ρ11ρ12ρ13ρ23*ρ12*ρ22ρ14*ρ24ρ13*ρ14ρ33ρ34ρ23ρ24*ρ34*ρ34. (11)

Нами найдены явные выражения для собственных значений частично транспонированной по переменным одного кубита матрицы (11). В настящей работе указанные выражения не приведены ввиду их чрезвычайно громоздкого вида. При этом все четыре собственных значения могут принимать отрицательные значения и, соответственно, должны быть учтены в сумме (9). Результаты компьютерного моделирования параметра отрицательности показаны на рис. 1–6.

  1. Результаты и обсуждение

На рис. 1 показана отрицательность как функция безразмерного времени gt для когерентного начального состояния (3) с θ1=π/4, θ2=π/4 и некогерентного начального состояния кубитов вида |+,. Параметр диполь-дипольного взаимодействия кубитов выбран равным α=0,1. Среднее число фотонов n¯=10. Из рис. 1 хорошо видно, что начальная когерентность кубитов приводит к существенному увеличению степени перепутывания кубитов, индуцированного тепловым полем резонатора в сравнении с начальными состояниями без когерентности. На рис. 2 показана отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного начального состояния (3) с θ1=π/4, θ2=π/4 и некогерентного начального состояния кубитов вида |+,. Параметр диполь-дипольного взаимодействия кубитов выбран равным α=0,1. Среднее число фотонов n¯=20. Из рис. 1 и 2 видно, что при увеличении интенсивности теплового поля максимальная степень перепутывания кубитов уменьшается значительно сильнее для некогерентных начальных состояний.

 

Рис. 1. Отрицательность как функция безразмерного времени gt для когерентного состояния (3) с θ1=π/4, θ2=π/4 (сплошная линия) и некогерентного состояния |+, (штриховая линия). Параметр диполь-дипольного взаимодействия α=0,1. Среднее число тепловых фотонов n¯=10

Fig. 1. Negativity as a function of dimensionless time gt for the coherent state (3) with θ1=π/4, θ2=π/4 (solid line) and the incoherent state |+, (dashed line). Dipole-dipole communication parameter α=0,1. Average number of thermal photons n¯=10

 

 

Рис. 2. Отрицательность как функция безразмерного времени gt для когерентного состояния (3) с θ1=π/4, θ2=π/4 (сплошная линия) и некогерентного состояния |+, (штриховая линия). Параметр диполь-дипольного взаимодействия α=0,1. Среднее число тепловых фотонов n¯=20

Fig. 2. Negativity as a function of dimensionless time gt for the coherent state (3) with θ1=π/4, θ2=π/4(solid line) and incoherent state |+, (dashed line). Dipole-dipole communication parameter α=0,1. Average number of thermal photons n¯=20

 

На рис. 3 показана отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного начального состояния (3) с θ1=π/4,θ2=π/4 в отсутствие диполь-дипольного взаимодействия кубитов (штриховая линия) и в присутствии такового взаимодействия в случае α=0,1 (сплошная линия). Среднее число фотонов n¯=10. Из рис. 3 следует, что резкое увеличение степени перепутывания кубитов в случае начального когерентного состояния имеет место только при наличии диполь-дипольного взаимодействия кубитов. Таким образом, одновременное использование начальной когерентности состояний кубитов и диполь-дипольного взаимодействия может быть применено для эффективного управления и контроля за степенью их перепутывания. Такой эффект может быть использован при реализации эффективных схем применения перепутанных состояний в физике квантовых вычислений. На рис. 4 показана отрицательность как функция безразмерного времени для хаотичного теплового начального распределения кубитов по уровню энергии (4) с λ=0,005. Интересно заметить, что даже для хаотичного начального состояния кубитов хаотичное тепловое поле резонатора может индуцировать перепутывание кубитов. Максимальная степень перепутывания кубитов для такого состояния имеет место для λ=0 (т. е. для состояния |,). При этом, как видно из рис. 4, включение диполь-дипольного взаимодействия приводит к увеличению максимальной степени перепутывания кубитов. Для состояний λ>0,01 с перепутывания кубитов в ходе их эволюции в тепловом резонаторе не возникает. На рис. 5 и 6 показана отрицательность как функция безразмерного времени для белловских перепутанных состояний кубитов (5) и (6) соответственно при выборе в обоих случаях θ=π/4. Штриховая линия на рис. 5 и 6 соответствует модели без диполь-дипольного взаимодействия кубитов, сплошная линия ‒ модели с дипольно-связанными кубитами в случае α=1. Среднее число фотонов n¯=1. Из этих рисунков хорошо видно, что в случае начальных перепутанных состояний кубитов, включение диполь-дипольного взаимодействия практически не влияет ни на характер поведения отрицательности, ни на максимальные значения степени перепутывания кубитов.

 

Рис. 3. Отрицательность как функция безразмерного времени gt для когерентного состояния (3) с θ1=π/4, θ2=π/4. Параметр диполь-дипольного взаимодействия α=0 (штриховая линия) и α=0,2 (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов n¯=10

Fig. 3. Negativity as a function of dimensionless time gt for the coherent state (3) with θ1=π/4, θ2=π/4. The dipole-dipole interaction parameter α=0 (dashed line) and α=0,2 (solid line). Average number of thermal photons n¯=10

 

Рис. 4. Отрицательность как функция безразмерного времени gt для смешанного состояния кубитов (4) с λ=0,005. Параметр диполь-дипольного взаимодействия α=0 (сплошная линия) и α=0,5 (штриховая линия). Среднее число тепловых фотонов n¯=0,5

Fig. 4. Negativity as a function of dimensionless time gt for the mixed state of qubits (4) with λ=0,005. Dipole-dipole interaction parameter α=0 (solid line) and α=0,5 (dashed line). Average number of thermal photons n¯=0,5

 

Рис. 5. Отрицательность как функция безразмерного времени gt для белловского перепутанного (5) с θ=π/4. Параметр диполь-дипольного взаимодействия α=0 (штриховая линия) и α=1 (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов n¯=1

Fig. 5. Negativity as a function of dimensionless time gt for Bell entangled (5) with θ=π/4. Dipole-dipole interaction parameter α=0 (dashed line) and α=1 (solid line). Average number of thermal photons n¯=1

 

Рис. 6. Отрицательность как функция безразмерного времени gt для белловского перепутанного (6) с θ=π/4. Параметр диполь-дипольного взаимодействия α=0 (штриховая линия) и α=1 (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов n¯=1

Fig. 6. Negativity as a function of dimensionless time gt for Bell entangled (6) with θ=π/4. Dipole-dipole interaction parameter α=0 (dashed line) and α=1 (solid line). Average number of thermal photons n¯=1

 

Заключение

В настоящей работе нами найдено точное решение квантового уравнения эволюции системы двух дипольно-связанных сверхпроводящих кубитов, взаимодействующих с модой квантового теплового элекромагнитного поля идеального резонатора для когерентных, хаотических и перепутанных начальных состояний кубитов белловского типа. На основе точного решения уравнения эволюции удалось вычислить в аналитическом виде параметр перепутывания кубитов (отрицательность). Результаты компьютерного моделирования отрицательности для начального когерентного состояния кубитов показывают, что при аналичии диполь-дипольного взаимодействия учет начальной когерентности состояний кубитов приводит к существенному возрастанию максимальной степени их перепутывания. Выявлено также, что тепловое поле резонатора индуцирует перепутывание кубитов даже в случае их хаотического начального состояния. При этом показано, что указанные эффекты могут быть использованы для эффективного контроля за степенью перепутанности кубитов, необходимого при квантовой обработке информации. В случае начальных перепутанных состояний кубитов включение диполь-дипольного взаимодействия существенно не влияет на перепутывание кубитов.

×

Об авторах

Евгений Константинович Башкиров

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0003-2569-1322

доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики

Россия, Самара

Список литературы

  1. Buluta I., Ashhab S., Nori F. Natural and artificial atoms for quantum computation // Rep. Prog. Phys. 2011. Vol. 74, no. 10. P. 104401. DOI: https://doi.org/10.1088/0034-4885/74/10/104401
  2. Hybrid quantum circuits: Superconducting circuits interacting with other quantum systems / Z.-L. Xiang [et al.] // Rev. Mod. Phys. 2013. Vol. 85 (2). P. 623–653. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.85.623
  3. Georgescu I.M., Ashhab S., Nori F. Quantum simulation // Rev. Mod. Phys. 2014. Vol. 88 (1). P. 153–185. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.86.153
  4. Microwave photonics with superconducting quantum circuits / X. Gu [et al.] // Phys. Repts. 2017. Vol. 718–719. P. 1–102. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physrep.2017.10.002
  5. Entanglement induced by a single-mode heat environment / M.S. Kim [et al.] // Phys. Rev. 2002. Vol. A65 (4). P. 040101. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.65.040101
  6. Zhou L., Song H.S. Entanglement induced by a single-mode thermal field and criteria for entanglement // J. Opt. 2002. Vol. B4. P. 425–429. DOI: https://doi.org/10.1088/1464-4266/4/6/310
  7. Bashkirov E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise // Laser Phys. Lett. 2006. Vol. 3, no 3. P. 145–150. DOI: https://doi.org/10.1002/lapl.200510081
  8. Zhang B. Entanglement between two qubits interacting with a slightly detuned thermal feld // Opt. Commun. 2010. Vol. 283. P. 4676–4679. DOI: https://doi.org/10.1016/j.optcom.2010.06.094
  9. The entanglement of two dipole-dipole coupled in a cavity interacting with a thermal field / L.S. Aguiar [et al.] // J. Opt. 2005. Vol. B7. P. S769‒S771. DOI: https://doi.org/10.1088/1464-4266/7/12/049
  10. The entanglement of two dipole-dipole coupled atoms interacting with a thermal field via two-photon process / X.-P. Liao [et al.] // Chin. Phys. 2008. Vol. B17, no. 6. P. 2137‒2142. DOI: https://doi.org/10.1088/1674-1056/17/6/032
  11. Bashkirov E.K., Stupatskaya M.P. The entanglement of two dipole-dipole coupled atoms induced by nondegenerate two-mode thermal noise // Laser Phys. 2009. Vol. 19, no. 3. P. 525–530. DOI: https://doi.org/10.1134/S1054660X09030281
  12. Izmalkov A. et al. Evidence for entangled states of two coupled flux qubits // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. P. 037003. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.93.037003
  13. Spectroscopy on two coupled flux qubits / J.B. Majer [et al.] // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. P. 090501. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.94.090501
  14. Bashkirov E.K. Entanglement of two dipole-coupled qubits interacting with a detuned cavity thermal field // Proc. SPIE. 2019. Vol. 11066. P. 110660K. DOI: https://doi.org/10.1117/12.2522476
  15. Башкиров Е.К. Динамика перепутывания атомов с двухфотонными переходами, индуцированного тепловым полем // Компьютерная оптика. 2020. Т. 44, № 2. С. 167–176. DOI: https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-595
  16. Башкиров Е.К., Гуслянникова М. Тепловое перепутывание в двойной модели Джейнса – Каммингса // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2020. Т. 23, № 2. С. 7–13. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2020.23.2.7-13
  17. Башкиров Е.К. Перепутывание двух сверхпроводящих кубитов, индуцированное тепловым шумом резонатора со средой Керра, при наличии начальной атомной когерентности // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2022. Т. 25, № 1. С. 7–15. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2022.25.1.7-15
  18. Peres A. Separability criterion for density matrices // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77. P. 1413–1415. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.1413
  19. Horodecki R., Horodecki M., Horodecki P. Separability of mixed states: Necessary and sufficient condition // Phys. Lett. 1996. Vol. A223. P. 333–339. DOI: https://doi.org/10.1016/S0375-9601(96)00706-2

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
2. Рис. 1. Отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного состояния (3) с (сплошная линия) и некогерентного состояния (штриховая линия). Параметр диполь-дипольного взаимодействия Среднее число тепловых фотонов

Скачать (231KB)
3. Рис. 2. Отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного состояния (3) с (сплошная линия) и некогерентного состояния (штриховая линия). Параметр диполь-дипольного взаимодействия Среднее число тепловых фотонов

Скачать (181KB)
4. Рис. 3. Отрицательность как функция безразмерного времени для когерентного состояния (3) с Параметр диполь-дипольного взаимодействия (штриховая линия) и (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов

Скачать (137KB)
5. Рис. 4. Отрицательность как функция безразмерного времени для смешанного состояния кубитов (4) с Параметр диполь-дипольного взаимодействия (сплошная линия) и (штриховая линия). Среднее число тепловых фотонов

Скачать (124KB)
6. Рис. 5. Отрицательность как функция безразмерного времени для белловского перепутанного (5) с Параметр диполь-дипольного взаимодействия (штриховая линия) и (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов

Скачать (237KB)
7. Рис. 6. Отрицательность как функция безразмерного времени для белловского перепутанного (6) с Параметр диполь-дипольного взаимодействия (штриховая линия) и (сплошная линия). Среднее число тепловых фотонов

Скачать (162KB)

© Башкиров Е.К., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

СМИ зарегистрировано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор).
Регистрационный номер и дата принятия решения о регистрации СМИ: серия ФС 77 - 68199 от 27.12.2016.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах