Влияние быстрых релеевских замираний и частотного рассогласования частот субканалов приема и передачи на характеристики OFDM-сигналов

Полный текст

Введение

Хорошо известно, что отдельные субканалы системы OFDM теряют взаимную ортогональность, когда канал изменяется в течение длительности символа OFDM, т. е. когда доплеровское рассеивание в частотной области составляет значительную часть расстояния между поднесущими субканалов. Кроме того, в силу высокой степени спектральной эффективности OFDM оборотной стороной этой эффективности выступает сильная чувствительность характеристик OFDM к взаимным «сдвигам частот поднесущих» между передающей и приемной сторонами канала. В публикациях достаточно подробно исследовано проявление переходных помех между отдельными субканалами (МКП), вызываемых нарушениями ортогональности каждым из двух приведенных факторов по отдельности. В данной работе рассмотрены одновременное воздействие обоих факторов и их влияние на величину МКП.

1. Постановка задачи

В непрерывном случае, без учета дискретизации по времени, OFDM-сигнал имеет вид

$S\left(t\right)=\sum _{k=1}^N{S}_k{e}^{j2\pi f_{k}t},0\le t\le T,$ (1)

где

$f_k=f_0+k\Delta f=f_0+\frac{k}{T}$;

$S_k=\sqrt{2E_S{d}_m},d_m=d_{mr}+j{d}_{mj};$

$S_k$ – передаваемый на k-й поднесущей комплексный сигнал; $d_m$ – символ передаваемых данных с нулевым математическим ожиданием дисперсией $D\left(d_m\right)=1;$ $d_{k,r}, d_{k,i}$ – статистически независимы, идентично распределены и имеют математические ожидания, равные нулю.

Рассмотрим характеристики МКП, возникающие в канале с частотно-селективными, быстрыми релеевскими замираниями [1]. Полагаем канал стационарным в широком смысле с некоррелированными рассеивателями на интервале локальной стационарности и факторизуемой двумерной корреляционной функцией:

$R\left(\tau ,f\right)=R_1\left(\tau \right)R_2\left(k-l\right),$ (2)

где $R_1\left(\tau \right)$ – корреляционная функция во времени; $R_2\left(k-l\right)$ – корреляционная функция по частоте между поднесущими k-го и l-го субканалов.

Импульсная характеристика (ИХ) субканала k-й поднесущей:

$h_k\left(t,\tau \right)={\beta }_k\left(t\right)\delta \left(\tau \right),$ (3)

где $\delta \left(\tau \right)$ – дельта-функция.

2. Ухудшение качества каналов для OFDM-сигналов

Далее используем возможность представления ${\beta }_k\left(t\right)$ рядом Тейлора, введенного Bello и учитывая сравнительно небольшую скорость изменения канала на интервале длительности OFDM-символа ограничимся линейной аппроксимацией:

${\beta }_k\left(t\right)={\beta }_0\left(t_0\right)+{{\beta }_k}^{\text{'}}\left(t_0\right)\left(t-t_0\right),$ (4)

где $t_0=T/2$.

Присутствующий в канале аддитивный белый гауссовский шум $n\left(t\right)$ имеет одностороннюю спектральную плотность мощности $N_0$ [Вт/Гц].

Для $k=\mathrm{1,...}N$ ${\beta }_k\left(t\right)$ обладают идентичными статистическими характеристиками гауссова вида с нулевым средним и комплексными значениями.

Принимаемый сигнал OFDM имеет вид

$y\left(t\right)=\sum _{k=1}^N{\beta }_k\left(t\right)S\left(t\right),$ (5)

и сигнал на выходе m-го субканала с учетом (1), (5):

$\begin{array}{l}{Y}_m=\frac{1}{T}\sum _{k=1}^N\left\{\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k\left(t\right)e^{-j2\pi \left(f_m-f_k\right)t}dt\right\}{S}_k=\\ =g_0{S}_m+\sum _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne m\end{array}}^N{g}_{m-k}{S}_k;\end{array}$ (6)

где

$g_l\triangleq \frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k\left(t\right)e^{-j2\pi l\Delta ft}\alpha t,$ (6а)

$g_l=\left|g_0\right|e^{i{\phi }_0},l=0$ – коэффициент передачи субканала для полезного сигнала; $\left|g_l\right|e^{i{\phi }_l},l\ne 0$ – комплексный коэффициент взаимного влияния субканалов.

Если в канале присутствует «частотный сдвиг», то в (6) добавляется фазовый множитель

$u\left(t\right)=e^{j2\pi \alpha \Delta ft}=e^{\theta t},$ (7)

где $\alpha =\delta f/\Delta f, \delta f$ – «сдвиг частот», вызванный расхождением частот передачи и приема.

Суммарный эффект, вызываемый совместным влиянием доплеровского рассеивания и частотным сдвигом поднесущих, может быть оценен по величине ${\alpha }_{kl},$ коэффициента влияния k-го субканала на m-й субканал:

${\alpha }_{kl}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k\left(t\right)u\left(t\right)e^{-j2\pi l\Delta f}\alpha t,$ (8)

здесь и далее $l=m-k; k=1-N; m=1-N.$

Получаем для (8) с учетом (4):

$\begin{array}{l}{\alpha }_{kl}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k\left(t_0\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{j\theta t}{e}^{-j2\pi l\Delta ft}\alpha t+\\ +\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(t-t_0\right)e^{j\theta t}{e}^{-j2\pi l\Delta ft}\alpha t.\end{array}$ (9)

Для первого слагаемого в (9) можно видеть из [2], что оно равняется

${\beta }_k\left(t_0\right)\frac{\sin \pi \left(l-\alpha \right)}{\pi \left(l-\alpha \right)}{e}^{-j\pi \left(l-\alpha \right)};$ (10а)

или эквивалентно

${\beta }_k\left(t_0\right)\left(-\frac{\sin \left(\pi l\right)}{\pi \left(l-\alpha \right)}{e}^{j\pi \alpha }\right).$ (10b)

Представим второе слагаемое (9) в виде суммы двух интегралов. В результате получим, используя свойства ряда Фурье [10]:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}t{e}^{j\theta t}{e}^{-j2\pi l\Delta ft}dt=j{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\frac{dS\left(w_l\right)}{d{w}_l},$ (11)

где $S\left(w_l\right)$ – спектральная плотность [2] функции, определяемой в (7), где $w_l=2\pi l\Delta f.$

Второе слагаемое из суммы интегралов равно

$-{\beta }_k\left(t_0\right)t_{0}S\left(w_l\right).$ (12)

3. Оценка мощности МКП с моделируемым влиянием доплеровского распространения и смещения частоты

Введем следующие обозначения с учетом

$F_l=-\frac{\sin \left(\pi l\right)}{\pi \left(l-\alpha \right)}{e}^{j\pi \alpha };F_0=\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}{e}^{j\pi \alpha };$

$\begin{array}{l}{F}_l^{\text{'}}=j\frac{dS\left(w_l\right)}{d{w}_l}=\\ =j{e}^{j\pi \alpha }\frac{\alpha }{2l\left(\Delta f\right)\pi \left(l-\alpha \right)}\left[e^{j\cdot \pi \cdot \alpha }+\frac{\sin \left(\pi l\right)}{\pi \left(l-\alpha \right)}\right];\end{array}$ (13)

$F_0^{\text{'}}=\frac{e^{j\pi \alpha }}{j\alpha \left(2\Delta f\right)}\left[1-\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}\right].$

Теперь выразим составляющую переданного символа ${\widehat{d}}_m\text{:}$

${\widehat{d}}_m=d_m\left[{\beta }_m\left(t_0\right)F_0+{\beta }_m^{\text{'}}\left(t_0\right)F_l^{\text{'}}-{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\frac{1}{\left(2\Delta f\right)}{F}_l\right],$ (14)

и составляющую межканальной помехи ${\left(МКП\right)}_m$:

${\left(МКП\right)}_m=\sum _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne m\end{array}}^N{d}_k\left[{\beta }_k\left(t_0\right)F_l+{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)F_l^{\text{'}}-{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\frac{1}{\left(2\Delta f\right)}{F}_l\right].$ (15)

Для вычисления мощностей (14) и (15) согласно [1] используем следующие статистические свойства случайных величин    все суммируемые слагаемые в (14) и (15) являются взаимно независимыми, так как:

1. гауссовские случайные величины ${\beta }_k, \beta {\text{'}}_k$:
   $M\left[{\beta }_k\left(t_0\right),{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\right]=0\text{\hspace{1em}для\hspace{0.33em}всех\hspace{1em}}\left[k,m\right]\in \overline{\mathrm{1,}N}.$
2. произведения ${\beta }_m\left(t_0\right){\beta }_k\left(t_0\right)$ – это произведения взаимно независимых от $d_m{d}_k$ для которых математическое ожидание $M\left(d_k\right)=0.$

Если спектр доплеровского рассеивания имеет вид рассеивания Джейкса [1; 2], то дисперсия ${\beta }_k^{\text{'}}\left(t\right)$ равняется

$M\left[{\left|{\beta }_k^{\text{'}}\left(t\right)\right|}^2\right]=2{\pi }^2{F_d}^2,$ (16)

где $F_d$ – максимальное значение рассеивания Доплера.

Выполнив алгебраические преобразования и приведения подобных членов и обозначив нормированную величину максимального значения доплеровского рассеивания $\beta =\frac{F_d}{\Delta f}$ получаем [9]:

$\begin{array}{l}M\left[{\left|d_m\right|}^2\right]={\left[\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}\right]}^2+\\ +{\left(\pi \beta \right)}^2\left[{\left(\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}\right)}^2+\frac{1}{{\left(\pi \alpha \right)}^2}{\left(1-\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}\right)}^2\right],\end{array}$ (17)

и для средней мощности МКП:

$\begin{array}{l}{Р}_{МКП}={\left|МКП\right|}^2=\\ =\sum _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne m\end{array}}^N\frac{1}{{\pi }^2{\left(k-m-\alpha \right)}^2}\left\{{\sin }^2\left(\pi \alpha \right)+{\left(\pi \beta \right)}^2\times \right.\end{array}$ (18)

$\begin{array}{l}\times 〈{\sin }^2\left(\pi \alpha \right){\left(1-\frac{\left(\pi \alpha \right)}{\pi \left(k-m\right)}\right)}^2+\\ \left.+\frac{{\left(\pi \alpha \right)}^2}{{\left(\pi \left(k-m\right)\right)}^2}{\left[\cos \left(\pi \alpha \right)+\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\pi \left(k-m\right)}\right]}^2〉\right\}.\end{array}$

Графики, иллюстрирующие зависимости (17) и (18), приводятся на рис. 1–3 соответственно для $N=64.$

 

Рис. 1. Графики, иллюстрирующие (17) от $\beta$

 

Рис. 2. Графики, иллюстрирующие (17) от $\beta$

 

Рис. 3. Графики, иллюстрирующие (18) от $\beta$

 

Величина отношения мощностей сигнал/МКП, рассчитанная делением (17) на (18) и обозначенная $P_{dm}/P_{МКП}$ иллюстрируется графиком рис. 4.

 

Рис. 4. Зависимость отношения мощностей сигнал/МКП и $P_{dm}/P_{МКП}$

 

4. Результаты ухудшения производительности OFDM-систем

Помехоустойчивость цифровых систем связи, в частности систем OFDM, – это функция аргумента – величины SNR, определяемой отношением $P_c$ мощности сигнала к $P_n$ мощности аддитивного шума в канале. Появление МКП, величина мощности которой не зависит от  учитывается введением показателя SINR-отношения мощностей сигнала к $P_n+P_{МКП}$ [7; 8]:

$SINR=\frac{P_c}{P_n+P_{МКП}},$ (19)

Легко видеть меру уменьшения величины SINR относительно величины SNR в системе OFDM, не подверженной воздействию доплеровского воздействия и сдвигу частот субканалов:

$\Delta SNR=SNR-SINR=SNR\left(1-\frac{1}{1+\frac{P_{МКП}}{P_N}}\right).$ (20)

В формуле (20) учтено, что в данной работе предполагались величина мощности передаваемого символа, равная 1, и неизменной величина мощности шума. Ниже на графиках рис. 4 приведены результаты расчетов по формулам (20) и (18). Расчеты  для канала в отсутствие доплеровского рассеивания $\left(\beta =0\right)$ выполненные по (20) с учетом $\beta =0$ в (17) и (18), проиллюстрированы графиком рис. 5. А расчеты $∆SNR$ для канала с быстрыми замираниями и с нулевым частотным рассогласованием получены при $P_{МКП}$ позаимствованной из [3–6], график рис. 6.

 

Рис. 5. $∆SNR$ в отсутствие доплеровского рассеивания,

 

Рис. 6. $∆SNR$ для канала с быстрыми замираниями и с нулевым частотным рассогласованием

 

Заключение

Сравнивая полученные результаты, можно оценить, насколько сочетанное влияние обоих рассмотренных источников нарушения ортогональности субканалов в системе OFDM увеличивает МКП и уменьшает отношение сигнал/шум по сравнению со случаями парциального воздействия каждого источника по отдельности. Что, в свою очередь, открывает возможность определения, насколько должны быть ужесточены требования к точности согласования частот при работе систем OFDM в каналах с быстрыми замираниями, т. е. при высокоскоростной мобильности пользователей.

Об авторах

Сергей Николаевич Елисеев

Московский технический университет связи и информатики

Email: fgupnrsnr@yandex.ru

доктор технических наук, профессор кафедры теории электрических цепей Московского технического университета связи и информатики, г. Москва, Россия.

Область научных интересов: цифровая обработка сигналов, мобильная связь, телерадиовещание.

Россия, 111024, г. Москва, ул. Авиамоторная, 8а

Людмила Николаевна Филимонова

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: lyudmila.trifonova.2012@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6761-8292

аспирант, инженер кафедры радиоэлектронных систем Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия. В 2019 г. окончила магистратуру Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики с отличием по направлению подготовки «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».

Область научных интересов: нанотехнологии, методы и средства цифровой обработки сигналов и их применение в системах радиосвязи и радиовещания и телевидения.

Россия, 443010, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

Список литературы

Дополнительные файлы