The effect of fast relay fading and frequency mismatch of the frequencies of the receiving and transmitting channels on the characteristics of the OFDM signal

Full Text

Введение

Хорошо известно, что отдельные субканалы системы OFDM теряют взаимную ортогональность, когда канал изменяется в течение длительности символа OFDM, т. е. когда доплеровское рассеивание в частотной области составляет значительную часть расстояния между поднесущими субканалов. Кроме того, в силу высокой степени спектральной эффективности OFDM оборотной стороной этой эффективности выступает сильная чувствительность характеристик OFDM к взаимным «сдвигам частот поднесущих» между передающей и приемной сторонами канала. В публикациях достаточно подробно исследовано проявление переходных помех между отдельными субканалами (МКП), вызываемых нарушениями ортогональности каждым из двух приведенных факторов по отдельности. В данной работе рассмотрены одновременное воздействие обоих факторов и их влияние на величину МКП.

1. Постановка задачи

В непрерывном случае, без учета дискретизации по времени, OFDM-сигнал имеет вид

$S\left(t\right)=\sum _{k=1}^N{S}_k{e}^{j2\pi f_{k}t},0\le t\le T,$ (1)

где

$f_k=f_0+k\Delta f=f_0+\frac{k}{T}$;

$S_k=\sqrt{2E_S{d}_m},d_m=d_{mr}+j{d}_{mj};$

$S_k$ – передаваемый на k-й поднесущей комплексный сигнал; $d_m$ – символ передаваемых данных с нулевым математическим ожиданием дисперсией $D\left(d_m\right)=1;$ $d_{k,r}, d_{k,i}$ – статистически независимы, идентично распределены и имеют математические ожидания, равные нулю.

Рассмотрим характеристики МКП, возникающие в канале с частотно-селективными, быстрыми релеевскими замираниями [1]. Полагаем канал стационарным в широком смысле с некоррелированными рассеивателями на интервале локальной стационарности и факторизуемой двумерной корреляционной функцией:

$R\left(\tau ,f\right)=R_1\left(\tau \right)R_2\left(k-l\right),$ (2)

где $R_1\left(\tau \right)$ – корреляционная функция во времени; $R_2\left(k-l\right)$ – корреляционная функция по частоте между поднесущими k-го и l-го субканалов.

Импульсная характеристика (ИХ) субканала k-й поднесущей:

$h_k\left(t,\tau \right)={\beta }_k\left(t\right)\delta \left(\tau \right),$ (3)

где $\delta \left(\tau \right)$ – дельта-функция.

2. Ухудшение качества каналов для OFDM-сигналов

Далее используем возможность представления ${\beta }_k\left(t\right)$ рядом Тейлора, введенного Bello и учитывая сравнительно небольшую скорость изменения канала на интервале длительности OFDM-символа ограничимся линейной аппроксимацией:

${\beta }_k\left(t\right)={\beta }_0\left(t_0\right)+{{\beta }_k}^{\text{'}}\left(t_0\right)\left(t-t_0\right),$ (4)

где $t_0=T/2$.

Присутствующий в канале аддитивный белый гауссовский шум $n\left(t\right)$ имеет одностороннюю спектральную плотность мощности $N_0$ [Вт/Гц].

Для $k=\mathrm{1,...}N$ ${\beta }_k\left(t\right)$ обладают идентичными статистическими характеристиками гауссова вида с нулевым средним и комплексными значениями.

Принимаемый сигнал OFDM имеет вид

$y\left(t\right)=\sum _{k=1}^N{\beta }_k\left(t\right)S\left(t\right),$ (5)

и сигнал на выходе m-го субканала с учетом (1), (5):

$\begin{array}{l}{Y}_m=\frac{1}{T}\sum _{k=1}^N\left\{\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k\left(t\right)e^{-j2\pi \left(f_m-f_k\right)t}dt\right\}{S}_k=\\ =g_0{S}_m+\sum _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne m\end{array}}^N{g}_{m-k}{S}_k;\end{array}$ (6)

где

$g_l\triangleq \frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k\left(t\right)e^{-j2\pi l\Delta ft}\alpha t,$ (6а)

$g_l=\left|g_0\right|e^{i{\phi }_0},l=0$ – коэффициент передачи субканала для полезного сигнала; $\left|g_l\right|e^{i{\phi }_l},l\ne 0$ – комплексный коэффициент взаимного влияния субканалов.

Если в канале присутствует «частотный сдвиг», то в (6) добавляется фазовый множитель

$u\left(t\right)=e^{j2\pi \alpha \Delta ft}=e^{\theta t},$ (7)

где $\alpha =\delta f/\Delta f, \delta f$ – «сдвиг частот», вызванный расхождением частот передачи и приема.

Суммарный эффект, вызываемый совместным влиянием доплеровского рассеивания и частотным сдвигом поднесущих, может быть оценен по величине ${\alpha }_{kl},$ коэффициента влияния k-го субканала на m-й субканал:

${\alpha }_{kl}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k\left(t\right)u\left(t\right)e^{-j2\pi l\Delta f}\alpha t,$ (8)

здесь и далее $l=m-k; k=1-N; m=1-N.$

Получаем для (8) с учетом (4):

$\begin{array}{l}{\alpha }_{kl}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k\left(t_0\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{j\theta t}{e}^{-j2\pi l\Delta ft}\alpha t+\\ +\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(t-t_0\right)e^{j\theta t}{e}^{-j2\pi l\Delta ft}\alpha t.\end{array}$ (9)

Для первого слагаемого в (9) можно видеть из [2], что оно равняется

${\beta }_k\left(t_0\right)\frac{\sin \pi \left(l-\alpha \right)}{\pi \left(l-\alpha \right)}{e}^{-j\pi \left(l-\alpha \right)};$ (10а)

или эквивалентно

${\beta }_k\left(t_0\right)\left(-\frac{\sin \left(\pi l\right)}{\pi \left(l-\alpha \right)}{e}^{j\pi \alpha }\right).$ (10b)

Представим второе слагаемое (9) в виде суммы двух интегралов. В результате получим, используя свойства ряда Фурье [10]:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}t{e}^{j\theta t}{e}^{-j2\pi l\Delta ft}dt=j{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\frac{dS\left(w_l\right)}{d{w}_l},$ (11)

где $S\left(w_l\right)$ – спектральная плотность [2] функции, определяемой в (7), где $w_l=2\pi l\Delta f.$

Второе слагаемое из суммы интегралов равно

$-{\beta }_k\left(t_0\right)t_{0}S\left(w_l\right).$ (12)

3. Оценка мощности МКП с моделируемым влиянием доплеровского распространения и смещения частоты

Введем следующие обозначения с учетом

$F_l=-\frac{\sin \left(\pi l\right)}{\pi \left(l-\alpha \right)}{e}^{j\pi \alpha };F_0=\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}{e}^{j\pi \alpha };$

$\begin{array}{l}{F}_l^{\text{'}}=j\frac{dS\left(w_l\right)}{d{w}_l}=\\ =j{e}^{j\pi \alpha }\frac{\alpha }{2l\left(\Delta f\right)\pi \left(l-\alpha \right)}\left[e^{j\cdot \pi \cdot \alpha }+\frac{\sin \left(\pi l\right)}{\pi \left(l-\alpha \right)}\right];\end{array}$ (13)

$F_0^{\text{'}}=\frac{e^{j\pi \alpha }}{j\alpha \left(2\Delta f\right)}\left[1-\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}\right].$

Теперь выразим составляющую переданного символа ${\widehat{d}}_m\text{:}$

${\widehat{d}}_m=d_m\left[{\beta }_m\left(t_0\right)F_0+{\beta }_m^{\text{'}}\left(t_0\right)F_l^{\text{'}}-{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\frac{1}{\left(2\Delta f\right)}{F}_l\right],$ (14)

и составляющую межканальной помехи ${\left(МКП\right)}_m$:

${\left(МКП\right)}_m=\sum _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne m\end{array}}^N{d}_k\left[{\beta }_k\left(t_0\right)F_l+{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)F_l^{\text{'}}-{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\frac{1}{\left(2\Delta f\right)}{F}_l\right].$ (15)

Для вычисления мощностей (14) и (15) согласно [1] используем следующие статистические свойства случайных величин    все суммируемые слагаемые в (14) и (15) являются взаимно независимыми, так как:

1. гауссовские случайные величины ${\beta }_k, \beta {\text{'}}_k$:
   $M\left[{\beta }_k\left(t_0\right),{\beta }_k^{\text{'}}\left(t_0\right)\right]=0\text{\hspace{1em}для\hspace{0.33em}всех\hspace{1em}}\left[k,m\right]\in \overline{\mathrm{1,}N}.$
2. произведения ${\beta }_m\left(t_0\right){\beta }_k\left(t_0\right)$ – это произведения взаимно независимых от $d_m{d}_k$ для которых математическое ожидание $M\left(d_k\right)=0.$

Если спектр доплеровского рассеивания имеет вид рассеивания Джейкса [1; 2], то дисперсия ${\beta }_k^{\text{'}}\left(t\right)$ равняется

$M\left[{\left|{\beta }_k^{\text{'}}\left(t\right)\right|}^2\right]=2{\pi }^2{F_d}^2,$ (16)

где $F_d$ – максимальное значение рассеивания Доплера.

Выполнив алгебраические преобразования и приведения подобных членов и обозначив нормированную величину максимального значения доплеровского рассеивания $\beta =\frac{F_d}{\Delta f}$ получаем [9]:

$\begin{array}{l}M\left[{\left|d_m\right|}^2\right]={\left[\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}\right]}^2+\\ +{\left(\pi \beta \right)}^2\left[{\left(\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}\right)}^2+\frac{1}{{\left(\pi \alpha \right)}^2}{\left(1-\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\left(\pi \alpha \right)}\right)}^2\right],\end{array}$ (17)

и для средней мощности МКП:

$\begin{array}{l}{Р}_{МКП}={\left|МКП\right|}^2=\\ =\sum _{\begin{array}{l}k=1\\ k\ne m\end{array}}^N\frac{1}{{\pi }^2{\left(k-m-\alpha \right)}^2}\left\{{\sin }^2\left(\pi \alpha \right)+{\left(\pi \beta \right)}^2\times \right.\end{array}$ (18)

$\begin{array}{l}\times 〈{\sin }^2\left(\pi \alpha \right){\left(1-\frac{\left(\pi \alpha \right)}{\pi \left(k-m\right)}\right)}^2+\\ \left.+\frac{{\left(\pi \alpha \right)}^2}{{\left(\pi \left(k-m\right)\right)}^2}{\left[\cos \left(\pi \alpha \right)+\frac{\sin \left(\pi \alpha \right)}{\pi \left(k-m\right)}\right]}^2〉\right\}.\end{array}$

Графики, иллюстрирующие зависимости (17) и (18), приводятся на рис. 1–3 соответственно для $N=64.$

 

Рис. 1. Графики, иллюстрирующие (17) от $\beta$

 

Рис. 2. Графики, иллюстрирующие (17) от $\beta$

 

Рис. 3. Графики, иллюстрирующие (18) от $\beta$

 

Величина отношения мощностей сигнал/МКП, рассчитанная делением (17) на (18) и обозначенная $P_{dm}/P_{МКП}$ иллюстрируется графиком рис. 4.

 

Рис. 4. Зависимость отношения мощностей сигнал/МКП и $P_{dm}/P_{МКП}$

 

4. Результаты ухудшения производительности OFDM-систем

Помехоустойчивость цифровых систем связи, в частности систем OFDM, – это функция аргумента – величины SNR, определяемой отношением $P_c$ мощности сигнала к $P_n$ мощности аддитивного шума в канале. Появление МКП, величина мощности которой не зависит от  учитывается введением показателя SINR-отношения мощностей сигнала к $P_n+P_{МКП}$ [7; 8]:

$SINR=\frac{P_c}{P_n+P_{МКП}},$ (19)

Легко видеть меру уменьшения величины SINR относительно величины SNR в системе OFDM, не подверженной воздействию доплеровского воздействия и сдвигу частот субканалов:

$\Delta SNR=SNR-SINR=SNR\left(1-\frac{1}{1+\frac{P_{МКП}}{P_N}}\right).$ (20)

В формуле (20) учтено, что в данной работе предполагались величина мощности передаваемого символа, равная 1, и неизменной величина мощности шума. Ниже на графиках рис. 4 приведены результаты расчетов по формулам (20) и (18). Расчеты  для канала в отсутствие доплеровского рассеивания $\left(\beta =0\right)$ выполненные по (20) с учетом $\beta =0$ в (17) и (18), проиллюстрированы графиком рис. 5. А расчеты $∆SNR$ для канала с быстрыми замираниями и с нулевым частотным рассогласованием получены при $P_{МКП}$ позаимствованной из [3–6], график рис. 6.

 

Рис. 5. $∆SNR$ в отсутствие доплеровского рассеивания,

 

Рис. 6. $∆SNR$ для канала с быстрыми замираниями и с нулевым частотным рассогласованием

 

Заключение

Сравнивая полученные результаты, можно оценить, насколько сочетанное влияние обоих рассмотренных источников нарушения ортогональности субканалов в системе OFDM увеличивает МКП и уменьшает отношение сигнал/шум по сравнению со случаями парциального воздействия каждого источника по отдельности. Что, в свою очередь, открывает возможность определения, насколько должны быть ужесточены требования к точности согласования частот при работе систем OFDM в каналах с быстрыми замираниями, т. е. при высокоскоростной мобильности пользователей.

About the authors

Sergey N. Eliseev

Moscow Technical University of Communications and Informatics

Email: fgupnrsnr@yandex.ru

Doctor of Technical Sciences, professor of the Department of Theory of Electrical Circuits, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia.

Research interests: digital signal processing, mobile communications, television and audio broadcasting.

Russian Federation, 8a, Aviamotornaya Street, Moscow, 111024

Lyudmila N. Filimonova

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: lyudmila.trifonova.2012@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6761-8292

postgraduate student, engineer of the Department of Radio Electronic Systems, Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russia. In 2019, she graduated from the Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics magistracy with honors in the field of training «Infocommunication technologies and communication systems».

Research interests: nanotechnology, methods and means of digital signal processing and their application in radio communication and radio broadcasting and television systems.

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

References

Supplementary files