Сингулярное интегральное уравнение для электрического вибратора с учетом конечной проводимости металла, из которого он изготовлен

Полный текст

Введение

Проблема определения электромагнитных полей (ЭМП) непосредственно вблизи радиотехнических устройств (с точки зрения терминологии теории антенн – в ближней зоне антенны) связана с исследованиями в областях электромагнитной совместимости (ЭМС), электромагнитной экологии (ЭМЭ), а также в области антенных измерений. Обычно электромагнитное поле излучения электрического вибратора (рис. 1) вычисляется с помощью z-составляющей векторного электродинамического потенциала $A_z^{\text{e}},$ определяемой через z-составляющую тока на вибраторе $I_z\left(z\right)=2\pi a{\eta }_z^{}\left(z\right)$ $({\eta }_z^{}$ – z-составляющая поверхностной плотности тока на вибраторе,  – радиус вибратора) [1–3]:

$A_z^{\text{e}}\left(\rho ,z\right)=\underset{-l}{\overset{l}{\int }}{I}_z\left(z^{\text{'}}\right)G\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}},$ (1)

$G\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)=\frac{1}{4\pi R}\exp \left\{-ikR\right\},$ (2)

где $R=\sqrt{{\left(z-z^{\text{'}}\right)}^2+{\rho }^2};$ $k=\omega \sqrt{\epsilon {\epsilon }_0\mu {\mu }_0}$ – волновое число; $\omega$ – циклическая частота; ${\epsilon }_0$ – электрическая постоянная, ${\mu }_0$ – магнитная постоянная;
$\epsilon ,$ $\mu$ – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, окружающей вибратор, соответственно; $2l$ – длина вибратора. Очевидно, что $G\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)$ – функция Грина свободного пространства от точечного источника, помещенного в точку $\left(\rho =\mathrm{0,}z=z^{\text{'}}\right),$ т. е. на линию $\rho =0.$ Неизвестное распределение тока $I_z\left(z\right)$ по вибратору обычно определяется либо из интегрального уравнения Поклингтона, либо из интегрального уравнения Халлена. Зная функцию $I_z\left(z\right),$ путем обычного дифференцирования выражения (1) по координатам $\rho$ и $z$ [1–3] несложно получить выражения для составляющих электромагнитного поля излучения вибратора в любой точке пространства. Полученные таким образом численные значения полей $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{H}$ в ближней зоне электрического вибратора по крайней мере по двум причинам должны проверяться на достоверность. Во-первых, определение неизвестного тока $I_z\left(z\right)$ по вибратору из интегральных уравнений Поклингтона и Халлена (интегральных уравнений Фредгольма первого рода) приводит к некорректно поставленной задаче [4]. Во-вторых, использование при расчетах поля функции Грина (2) приводит к несамосогласованной постановке задачи, т. к. в этом случае отсутствует предельный переход от поля в ближней зоне к полю (току) на поверхности вибратора. В-третьих, в этих уравнениях не учитывается конечная проводимость плеч вибратора.

 

Рис. 1. Геометрия электрического вибратора

Fig. 1. Geometry of the electric vibrator

 

В [5–8] развит метод сингулярных интегральных уравнений (СИУ), позволяющий задачу расчета распределения тока по электрическому вибратору свести к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Этот подход дает возможность математически корректно подойти к определению распределения поверхностной плотности тока на вибраторе. Однако полученное в этих работах СИУ имеет тот же недостаток – в нем не учтена конечная проводимость плеч вибратора.

Данная работа является обобщением работ [5–8] в том смысле, что получено СИУ для электрических вибраторов с конечной проводимостью плеч, а следовательно, оно позволяет учитывать тепловые потери.

1. Постановка задачи. Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля

Будем рассматривать не зависящее от угла  электромагнитное поле электрического вибратора [6; 7] длиной $2l$ и радиуса a, возбуждаемого в области разрыва $\left(z\in \left[l_0-b,l_0+b\right]\right)$ генератором высокой частоты (на рис. 1 показана геометрия вибратора), не зависящее от угла $\phi .$ В предположении отсутствия вариации поля вдоль координаты  уравнения Максвелла распадаются на две независимые системы относительно составляющих $\left\{E_{\rho },E_z,H_{\phi }\right\}$ и $\left\{E_{\phi },H_{\rho },H_z\right\}.$ Очевидно, что при рассмотрении поля излучения вибраторов относительно малого радиуса $\left(a<\lambda \right)$ необходимо исходить из системы уравнений Максвелла, описывающей поведение составляющих $E_{\rho },$ $E_z$ и $H_{\phi }.$ В этом случае на поверхности вибратора существует только продольная составляющая поверхностной плотности тока ${\eta }_z^{}.$

Исходным для получения СИП электромагнитного поля вибратора является выражение (1) для z-составляющей векторного электродинамического потенциала для электрического тока $A_z^{\text{e}}$ через z-составляющую поверхностной плотности тока ${\eta }_z^{}$ на вибраторе, но с другой функцией Грина [9]:

$G\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)=\frac{1}{8\pi i}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-ih\left(z-z^{\text{'}}\right)}g\left(h,\rho \right)dh,$ (3)

где

$g\left(h,\rho \right)=\left\{\begin{array}{l}{J}_0\left(-i\rho \nu \right)H_0^{\left(2\right)}\left(-ia\nu \right)\text{\hspace{1em}при\hspace{1em}}\rho \le a\text{,}\\ J_0\left(-ia\nu \right)H_0^{\left(2\right)}\left(-i\rho \nu \right)\text{\hspace{1em}при\hspace{1em}}\rho >a\text{.}\end{array}\right.$

$J_0\left(x\right)$ – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; $H_0^{\left(2\right)}\left(x\right)$ – функция Ханкеля второго рода нулевого порядка, $\nu =\sqrt{h^2-k_{}^2}.$

Выражение (3) есть функция Грина свободного пространства, записанная в цилиндрической системе координат с учетом отсутствия зависимости поля от координаты $\phi ,$ от точечного источника, расположенного в точке $\left(\rho =а,z=z^{\text{'}}\right),$ т. е. на поверхности электрического вибратора. Здесь необходимо отметить, что выбор функции Грина $G\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)$ в (1) в виде (3) соответствует физической модели трубчатого вибратора, согласно которой вибратор представляется в виде двух полых трубок конечных размеров [6; 7]. Составляющие электромагнитного поля излучения вибратора при этом определяются по формулам:

$\begin{array}{l}{E}_{\rho }=\frac{1}{i\omega {\epsilon }_0\epsilon }\frac{{\partial }^2{A}_z^{\text{e}}}{\partial \rho \partial z},\\ E_z=-i\omega {\mu }_0\mu A_z^{\text{e}}+\frac{1}{i\omega {\epsilon }_0\epsilon }\frac{{\partial }^2{A}_z^{\text{e}}}{\partial z^2},\\ H_{\phi }=-\frac{\partial A_z^{\text{e}}}{\partial \rho }.\end{array}$ (4)

Подстановка (1) с функцией Грина (3) в (4) приводит к следующим интегральным представлениям для составляющих электромагнитного поля вибратора в любой точке пространства через ток $I_z\left(z\right)$ на его поверхности:

$E_{\rho }\left(\rho ,z\right)=\frac{1}{i\omega \epsilon {\epsilon }_0}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}{I}_z\left(z^{\text{'}}\right)G_{\rho }^{\left(1\right)}\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}},$

$E_z\left(\rho ,z\right)=\frac{1}{i\omega \epsilon {\epsilon }_0}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}{I}_z\left(z^{\text{'}}\right)G_z^{\left(1\right)}\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}},$ (5)

$H_{\phi }\left(\rho ,z\right)=-\underset{-l}{\overset{l}{\int }}{I}_z\left(z^{\text{'}}\right)G_{\phi }^{\left(1\right)}\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}},$

где

$G_{\rho }^{\left(1\right)}=\frac{1}{8\pi i}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-ih\left(z-z^{\text{'}}\right)}{g}_{\rho }\left(h,\rho \right)dh,$

$G_z^{\left(1\right)}=\frac{1}{8\pi i}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-ih\left(z-z^{\text{'}}\right)}{g}_z\left(h,\rho \right)dh,$ (6)

$G_{\phi }^{\left(1\right)}=\frac{1}{8\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-ih\left(z-z^{\text{'}}\right)}{g}_{\phi }\left(h,\rho \right)dh.$

В соотношениях (6)

$g_{\phi }\left(h,\rho \right)=\nu J_0\left(-ia\nu \right)H_1^{\left(2\right)}\left(-i\rho \nu \right),$

$g_{\rho }\left(h,\rho \right)=h{g}_{\phi }\left(h,\rho \right),$

$g_z\left(h,\rho \right)={\nu }^2{J}_0\left(-ia\nu \right)H_0^{\left(2\right)}\left(-i\rho \nu \right)$ для $\rho >a,$

и

$g_{\phi }\left(h,\rho \right)=\nu J_0\left(-i\rho \nu \right)H_1^{\left(2\right)}\left(-ia\nu \right),$

$g_{\rho }\left(h,\rho \right)=h{g}_{\phi }\left(h,\rho \right),$

$g_z\left(h,\rho \right)={\nu }^2{J}_0\left(-i\rho \nu \right)H_0^{\left(2\right)}\left(-ia\nu \right)$ для $\rho \le a.$

Можно показать, что при $\rho =a$

$\underset{\left|h\right|\to \infty }{\lim }{g}_{\phi }\left(h,a\right)=\frac{1}{\pi a},$

$\underset{\left|h\right|\to \infty }{\lim }{g}_{\rho }\left(h,a\right)=-\frac{ih}{\pi a},$

$\underset{\left|h\right|\to \infty }{\lim }{g}_z\left(h,a\right)=-i\mathrm{sgn}\left(h\right)\frac{h}{\pi a}.$

Таким образом, несобственные интегралы (6) в интегральных представлениях (5) не сходятся, и простое усечение в них бесконечных пределов может привести к неверным физическим результатам. Поэтому непосредственный переход выражений (5) при $\rho \to a$ в известные граничные условия невозможен.

Выделим особенности в (6) в явном виде. С этой целью из подынтегральных функций $g_z,$ $g_{\rho },$ $g_{\phi }$ в (6) вычтем их асимптотические выражения и перей­дем от функции $I_z\left(z\right)$ к ее производной $J_z\left(z\right)=d{I}_z\left(z\right)/dz$ в соотношениях для $E_{\rho }$ и $E_z.$ В результате получим следующие СИП:

$\begin{array}{l}{E}_{\rho }\left(\rho ,z\right)=\\ =\frac{1}{i\omega \epsilon {\epsilon }_0}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}{J}_z\left(z^{\text{'}}\right)\left[G_{\phi }\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)+S_1\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)\right]d{z}^{\text{'}},\end{array}$

$\begin{array}{l}{E}_z\left(\rho ,z\right)=\\ =\frac{1}{i\omega \epsilon {\epsilon }_0}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}{J}_z\left(z^{\text{'}}\right)\left[G_z\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)+S_2\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)\right]d{z}^{\text{'}},\end{array}$ (7)

$\begin{array}{l}{H}_{\phi }\left(\rho ,z\right)=\\ =-\underset{-l}{\overset{l}{\int }}{I}_z\left(z^{\text{'}}\right)\left[G_{\phi }\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)+S_1\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)\right]d{z}^{\text{'}},\end{array}$

определяющие поле электрического вибратора в любой точке пространства через функции $J_z\left(z\right)$ и $I_z\left(z\right),$ определенные на его поверхности. Функции Грина $G_{\phi }$ и $G_z$ представляют собой сходящиеся интегралы:

$\begin{array}{l}{G}_{\phi }\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)=\frac{1}{8\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-ih\left(z-z^{\text{'}}\right)}\Delta g_{\phi }\left(h,\rho \right)dh,\\ G_z\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)=\frac{1}{8\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-ih\left(z-z^{\text{'}}\right)}\Delta g_z\left(h,\rho \right)dh,\end{array}$ (8)

где

$\begin{array}{l}\Delta g_{\phi }\left(h,\rho \right)=\\ =\nu J_0\left(-ia\nu \right)H_1^{\left(2\right)}\left(-i\rho \nu \right)+\frac{1}{\pi \sqrt{a\rho }}{e}^{-\left(\rho -a\right)\left|h\right|},\end{array}$

$\begin{array}{l}\Delta g_z\left(h,\rho \right)=\frac{{\nu }^2}{h}{J}_0\left(-ia\nu \right)H_0^{\left(2\right)}\left(-i\rho \nu \right)-\\ -\frac{i}{\pi \sqrt{a\rho }}\mathrm{sgn}\left(h\right)e^{-\left(\rho -a\right)\left|h\right|}\text{\hspace{1em}для\hspace{1em}}\rho \ge a.\end{array}$

Анализ показывает, что функции $\Delta g_z,$ $\Delta g_{\phi }$ при $\left|h\right|\to \infty$ убывают не медленнее, чем $O\left(h^{-2}\right).$ Функции $S_1$ и $S_2$ при $\rho \to a$ имеют выделенные особенности:

$\begin{array}{l}{S}_1\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)=-\frac{1}{4{\pi }^2\sqrt{a\rho }}\left[\frac{\rho -a}{{\left(z-z^{\text{'}}\right)}^2+{\left(\rho -a\right)}^2}\right],\\ S_2\left(\rho ,z-z^{\text{'}}\right)=\frac{1}{4{\pi }^2\sqrt{a\rho }}\left[\frac{z-z^{\text{'}}}{{\left(z-z^{\text{'}}\right)}^2+{\left(\rho -a\right)}^2}\right].\end{array}$ (9)

2. Сингулярное интегральное уравнение, получаемое из интегрального представления электромагнитного поля

Одно из достоинств СИП (7) состоит в том, что они справедливы для любой точки пространства, включая саму излучающую поверхность вибратора $\rho =a.$ В этом случае $E_z^{}$ из СИП (7) можно записать в виде

$\begin{array}{l}{E}_z^{}\left(z\right)=\frac{1}{i4\pi a\omega \epsilon {\epsilon }_0}\times \\ \times \left(\underset{-l}{\overset{l}{\int }}{J}_z\left(z^{\text{'}}\right)M\left(z-z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}}+\frac{1}{\pi }\underset{-l}{\overset{l}{\int }}\frac{J_z\left(z^{\text{'}}\right)}{z-z^{\text{'}}}d{z}^{\text{'}}\right),\end{array}$ (10)

где

$\begin{array}{l}M\left(z-z^{\text{'}}\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-ih\left(z-z^{\text{'}}\right)}\times \\ \times \left[\frac{\pi a{\nu }^2}{h}{J}_0\left(-ia\nu \right)H_0^{\left(2\right)}\left(-ia\nu \right)-i\mathrm{sgn}\left(h\right)\right]dh.\end{array}$

Если воспользоваться граничным условием для идеального проводника на поверхности вибратора $\rho =a\text{:}$

$E_z=\left\{\begin{array}{l}0\text{\hspace{1em}при\hspace{1em}}z\in \left[-l,l_0-b\right]\cup \left[l_0+b,l\right],\\ -E_z^{\text{ст}}\text{\hspace{1em}при\hspace{1em}}z\in \left[l_0-b,l_0+b\right]\text{,}\end{array}\right.$

где $E_z^{\text{ст}}$ – z-составляющая стороннего электрического поля в зазоре вибратора, то СИП (10) переходит в известное СИУ [5–8]. Однако это уравнение не учитывает тепловые потери в плечах вибратора, потому что они считаются идеально проводящими, т. е. их проводимость равна бесконечности. У реальных вибраторов электрическая проводимость конечна, поэтому ток, протекающий по ним, в общем случае распределен по всему поперечному сечению проводника, но основная его часть будет сосредоточена в скин-слое. Так как на высоких частотах скин-слой весьма тонкий, то реальную объемную плотность тока заменяют эквивалентной поверхностной плотностью тока [11]. В этом случае на печах вибратора z-составляющая напряженности электрического поля уже не будет равна нулю, а будет удовлетворять граничным условиям Леонтовича – Щукина [11]:

$E_z=\left\{\begin{array}{l}{Z}_S{\eta }_z^{\text{экв}}\left(z\right)\\ \text{при\hspace{1em}}z\in \left[-l,l_0-b\right]\cup \left[l_0+b,l\right],\\ -E_z^{\text{ст}}\text{\hspace{1em}при\hspace{1em}}z\in \left[l_0-b,l_0+b\right].\end{array}\right.$ (11)

где ${\eta }_z^{\text{экв}}\left(z\right)$ – z-составляющая эквивалентной поверхностной плотности тока;  – поверхностное сопротивление плечей вибратора, равное [11]:

$Z_S=\frac{k_p}{\sigma }\frac{J_0\left(k_{\text{p}}a\right)}{J_1\left(k_{\text{p}}a\right)},$

где

$k_{\text{p}}=\left(1-i\right)\sqrt{\frac{\omega {\mu }_{\text{p}}{\mu }_0\sigma }{2}},$

$\sigma$ – удельная проводимость плеч вибратора; $J_0,$ $J_1$ – функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков соответственно; ${\mu }_{\text{p}}$ – относительная магнитная проницаемость плеч вибратора.

Ток на вибраторе связан с эквивалентной поверхностной плотностью тока соотношением

$I_z\left(z\right)=2\pi a{\eta }_z^{\text{экв}}\left(z\right),$

поэтому граничные условия (11) можно переписать в виде

$E_z=\left\{\begin{array}{l}\frac{Z_S}{2\pi a}{I}_z\left(z\right)\\ \text{при\hspace{1em}}z\in \left[-l,l_0-b\right]\cup \left[l_0+b,l\right],\\ -E_z^{\text{ст}}\text{\hspace{1em}при\hspace{1em}}z\in \left[l_0-b,l_0+b\right].\end{array}\right.$

Подставив граничные условия (11) в СИП (10), получаем СИУ, аналогичное полученному в [5–8], но в котором учтена конечная проводимость плеч вибратора, а значит, и тепловые потери:

$\begin{array}{l}\frac{1}{\pi }\underset{-l}{\overset{l}{\int }}\frac{J_z\left(z^{\text{'}}\right)}{z-z^{\text{'}}}d{z}^{\text{'}}=\\ =i4\pi a\omega \epsilon {\epsilon }_0{E}_z^{}\left(z\right)-\underset{-l}{\overset{l}{\int }}{J}_z\left(z^{\text{'}}\right)M\left(z-z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}}.\end{array}$ (12)

Как видно, в случае идеального проводника СИУ (12) переходит в СИУ, полученное в [5–8].

Для решения СИУ (12) применим к нему формулу обращения интеграла типа Коши неограниченного на концах интервала $\left[-l,l\right].$

$\begin{array}{l}{J}_z\left(z\right)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{\sqrt{l^2-z^2}}\times \\ \times \left(-i4\pi a\omega \epsilon {\epsilon }_0\left(\frac{Z_S}{2\pi a}\left(\underset{-l}{\overset{l_0-b}{\int }}\frac{\sqrt{l^2-{z^{\text{'}}}^2}}{z^{\text{'}}-z}{I}_z\left(z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}}+\right.\right.\right.\end{array}$

$\left.+\underset{l_0+b}{\overset{l}{\int }}\frac{\sqrt{l^2-{z^{\text{'}}}^2}}{z^{\text{'}}-z}I\left(z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}}\right)-$ (13)

$\begin{array}{l}\left.-\underset{l_0-b}{\overset{l_0+b}{\int }}\frac{\sqrt{l^2-{z^{\text{'}}}^2}}{z^{\text{'}}-z}{E}_z^{\text{ст}}\left(z^{\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}}\right)+\\ +\left.\underset{-l}{\overset{l}{\int }}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}\frac{\sqrt{l^2-{z^{\text{'}}}^2}}{z^{\text{'}}-z}{J}_z\left(z^{\text{'}\text{'}}\right)M\left(z^{\text{'}}-z^{\text{'}\text{'}}\right)d{z}^{\text{'}}d{z}^{\text{'}\text{'}}\right).\end{array}$

Решать уравнение (13) можно, например, методом моментов. Для этого неизвестные функции $I_z\left(z\right)$ и $J_z\left(z\right)$ необходимо представить в виде разложений в ряды по полиномам Чебышева первого $U_n$ и второго рода $T_n.$

$\begin{array}{l}{I}_z\left(z\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{A_n}{n}\sqrt{1-{\left(z/l\right)}^2}{U}_{n-1}\left(z/l\right),\\ J_z\left(z\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{A_n{T}_n\left(z/l\right)}{\sqrt{1-{\left(z/l\right)}^2}},\end{array}$ (14)

где $A_n$ – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Другие методы решения уравнений подобного рода подробно описаны в [11].

Заключение

Большинство существующих математических моделей электрического вибратора построены в приближении идеального проводника, поэтому не позволяют учитывать тепловые потери, оказыва­ющие существенное влияние на его КПД. Для исследуемой антенны необходимо решить внутреннюю задачу анализа в строгой электродинамической постановке, т. е. определить поверхностную плотность электрического тока на металлической поверхности с учетом ее конечной проводимости. В настоящее время известен весьма эффективный математический аппарат – аппарат СИУ, который позволяет математически корректно решать такие задачи. В статье с помощью данного аппарата получено СИУ для электрического вибратора, позволяющее, в отличие от известных, учитывать конечную проводимость металла, из которого он изготовлен.

Описанный в статье метод может быть (без особых принципиальных трудностей) применен на другие излучающие структуры, например полосковые вибраторные и рамочные антенны, для которых были получены СИУ в приближении идеального проводника.

Об авторах

Дмитрий Сергеевич Клюев

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: klyuevd@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-9125-7076

доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой радиоэлектронных систем 

Россия, Самара

Юлия Владимировна Соколова

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: ula.81.81@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-2873-8675

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры радиоэлектронных систем 

Россия, Самара

Список литературы

Дополнительные файлы