Mathematical model of a communication channel with an unmanned aerial vehicle

Full Text

Введение

В настоящее время особый интерес вызывают вопросы развития и применения комплексов связи УКВ-диапазона на беспилотных летательных аппаратах (БПЛА) [1–3]. Построение адекватных математических моделей, способных при относительной универсальности и простоте математических обозначений, сформировать адекватное представление физического процесса приема/передачи сигналов между БПЛА и наземным пунктом связи (НПС), как правило, положено в основу формирования подобных систем. В то же время существующие математические модели канала связи БПЛА – НПС [3–6] не способны в полной мере учесть специфику мест размещения НПС при определении эффектов рефракции, дифракции и интерференции электромагнитных волн на участке связи БПЛА – НПС при одновременном сохранении простоты формируемого решения.

В этой связи построение адекватной математической модели канала связи БПЛА с наземным пунктом связи представляется актуальной.

1. Содержательная постановка задачи математического моделирования

Содержательное описание модели формируется из следующих представлений (рис. 1).

 

Рис. 1. Геометрическое представление канала связи с БПЛА

Fig. 1. Geometric representation of the communication channel with the UAV

 

Параметры, характеризующие взаимное положение НПС и БПЛА при формировании канала связи относительно среды распространения, определены следующими переменными: H – высота БПЛА над поверхностью Земли (м); h – высота антенны НПС над земной поверхностью (м); D – дальность связи (км); d – расстояние между точками проекции на поверхность Земли БПЛА и НПС; $R=\sqrt{d^2+{\left(H-h\right)}^2}$ – наклонная дальность между НПС и БПЛА. Взаимосвязь переменных D и d устанавливается при аппроксимации земной поверхности сферой радиуса $R_{\text{э}}=\text{6366,1977}$ км соотношением $d=2R_{\text{э}}\sin \left(\mathrm{0,5}D/R_{\text{э}}\right).$

Для формирования математической модели канала связи с БПЛА задаются первое и второе уравнения передачи. Первое уравнение передачи относительно прямого (НПС – БПЛА) и обратного (БПЛА – НПС) каналов определяет уровень сигналов на входах приемников [7]:

$\begin{array}{l}{P}_{прм}^{БПЛА}=P_{прд}^{НПС}-{\eta }_{прд}^{НПС}+G_{прд}^{НПС}-\\ -W_{\Sigma }^{\text{П}}+G_{прм}^{БПЛА}-{\eta }_{прм}^{БПЛА};\end{array}$ (1)

$\begin{array}{l}{P}_{прм}^{НПС}=P_{прд}^{БПЛА}-{\eta }_{прд}^{БПЛА}+\\ +G_{прд}^{БПЛА}-W_{\Sigma }^{\text{О}}+G_{прм}^{НПС}-{\eta }_{прм}^{НПС},\end{array}$ (2)

где $P_{прм}^{БПЛА}$ и $P_{прм}^{НПС}$ – уровень сигнала на входе приемников БПЛА и НПС (дБВт); ${\eta }_{прд}^{БПЛА}, {\eta }_{прм}^{БПЛА}$ и ${\eta }_{прд}^{НПС}, {\eta }_{прм}^{НПС}$  – затухания в трактах передачи, приема для БПЛА и НПС (дБ);  $G_{прд}^{БПЛА}, G_{прм}^{БПЛА}$ и $G_{прд}^{НПС}, G_{прм}^{НПС}$ – коэффициенты усиления антенн в режимах передачи и приема для БПЛА и НПС (дБ); $P_{прд}^{БПЛА}$и $P_{прд}^{НПС}$ – мощность передатчиков БПЛА и НПС (дБВт); $W_{\Sigma }^{\text{П}}, W_{\Sigma }^{\text{О}}$ – затухание в среде распространения для прямого и обратного каналов (дБ).

Взаимосвязь вычисляемых из (1), (2) значений $P_{прм}^{БПЛА},$ $P_{прм}^{НПС}$ с показателем качества связи (определяется битовой ошибкой – BER) в зависимости от параметров передаваемого сигнала (информационная скорость $V_{\text{инф}},$ скорость кодирования $V_k,$ вид модуляции) определяется вторым уравнением передачи. Вероятностное сопоставление $P_{прм}^{БПЛА}, P_{прм}^{НПС}$  со значениями реальной и пороговой чувствительностями приемников для БПЛА формируют математические модели авиационного канала связи [4; 8; 9], асимптотические оценки зависимости BER от отношения сигнал/шум в которых отличны от общеизвестных [5; 6].

Указанные обобщенные представления первого и второго уравнения передачи при формировании математической модели канала связи с БПЛА предполагают последовательность решений, включающих два основных этапа: 1) определение соотношений, характеризующих элементы в уравнениях (1), (2); 2) определение соотношений для вычисления отношения сигнал/шум $h_{\text{БПЛА}}^2,$ $h_{\text{НПС}}^2$ на входе демодуляторов БПЛА, НПС с последующей оценкой зависимости BER от $h_{}^2.$

2. Определение энергетических составляющих первого уравнения передачи

Исходными данными относительно (1), (2) являются $G_{прд}^{БПЛА}, G_{прм}^{БПЛА}, G_{прд}^{НПС}, G_{прм}^{НПС}, P_{прд}^{БПЛА}$ и $P_{прд}^{НПС}.$ Величины потерь в фидерных трактах ${\eta }_{прд}^{БПЛА},$ ${\eta }_{прм}^{БПЛА},$ ${\eta }_{прд}^{НПС},$ ${\eta }_{прм}^{НПС}$ определяются с учетом условий (как правило – «на наихудший случай») конструктивно-технологической реализации антенной системы. Особенность расчета (1), (2) заключается в корректном вычислении $W_{\Sigma }^{\text{П}},$ $W_{\Sigma }^{\text{О}},$ которое выполняется в соответствии с известными теоретическими и экспериментальными исследовании в теории распространении и рассеивания радиоволн наземных радиолиний [7; 10; 11] и существующих рекомендаций МСЭ (ITU-R P.526, ITU-R P.834, ITU-R.453, ITU-R.679, ITU-R.372). Различие в величинах $W_{\Sigma }^{\text{П}}$ и $W_{\Sigma }^{\text{О}}$ определяется отличием частот в прямом $f_{\text{П}}$ и обратном $f_{\text{О}}$ каналах связи. Методика определения $W_{\Sigma }^{\text{П}}$ и $W_{\Sigma }^{\text{О}}$ является единой. Поэтому решение по вычислению $W_{\Sigma }^{\text{П}}$ и $W_{\Sigma }^{\text{О}}$ рассмотрим относительно суммарного затухания радиосигнала $W_{\Sigma }^{}$ на интервале НПС – БПЛА, передаваемого на частоте f. Значение $W_{\Sigma }^{}$ вычисляется при суммировании

$W_{\Sigma }^{}=W_{\text{св}}^{}+W_{\text{ат}}^{}+W_{\text{р}}^{},$ (3)

где $W_{\text{св}}^{}=20\lg \left(4\pi Rf/c_0\right)$ – величины затуханий в свободном пространстве, (с0, м/с – скорость света в вакууме); $W_{\text{ат}}^{}$ – затухание в газах атмосферы; $W_{\text{р}}^{}$ – затухание, учитывающее степень влияния земной поверхности на энергетические параметры интервала с учетом тропосферной рефракции.

Затухание в газах атмосферы $W_{\text{ат}}^{}$ вычисляется в соответствии с рекомендацией МСЭ ITU-R P.676-9 приближенным соотношением, верифицированным в диапазоне частот 1–350 ГГц, $W_{\text{ат}}^{}=R\left({\gamma }_0+{\gamma }_w\right)\cdot {10}^{-3},$ где ${\gamma }_0$ и ${\gamma }_w$ – погонное затухание в сухом воздухе и в водяных парах соответственно. Для частот ниже 1 ГГц величина  пренебрежимо мала в сравнении с $W_{\text{р}}^{},$ $W_{\text{св}}^{}$ и приравнивается к нулю.

Для канала связи с БПЛА в (3) основную проблему составляет корректный учет затуханий $W_{\text{р}}^{},$ обусловленных влиянием земной поверхности на энергетические параметры интервала. Характер влияния земной поверхности существенным образом определяется ее электрическими параметрами – удельной проводимостью $\sigma ,$ относительными диэлектрической $\epsilon$ и магнитной $\mu$ проницаемостями и их естественным различием от аналогичных параметров атмосферы.

Основу вычисления $W_{\text{р}}^{},$ при заданных геометрических параметрах представления канала связи с БПЛА составляют следующие подзадачи [7]:

– определение влияния гладкой поверхности Земли при представлении этой поверхности сферическим сегментом или плоскостью;

– определение влияния переотражений от гладкой поверхности Земли;

– определение влияния рельефа местности.

В рассматриваемых задачах предполагается гладкое определение земной поверхности. Справедливость указанного допущения при максимальной высоте неровностей $\Delta h_{\max }=\lambda /\left(8÷16\right)\cos {\vartheta }_0,$ определяется критерием Рэлея, следуя которому отражающую поверхность еще можно считать гладкой, если высота ее неровностей $\Delta h_{\text{н}}$ удовлетворяет неравенству $\Delta h_{\text{н}}<\Delta h_{\max }$ $(\lambda$ – длина волны, ${\vartheta }_0$ – угол отражения). При решении указанных подзадач под переменной D понимается дальность связи по земной поверхности эквивалентного радиуса $R_{\text{э}}^0=k_{\text{рф}}^{}{R}_{\text{э}},$ где коэффициент рефракции устанавливается равным величине $k_{\text{рф}}^{}=4/3,$ соответствующей условиям нормальной рефракции [7].

Первые две из указанных подзадач рассматриваются для случая, когда $R$ не превышает расстояния прямой видимости $R_0.$ В данном случае прямая, соединяющая передающую и приемную антенны, касается земной поверхности с эквивалентным радиусом $R_{\text{э}}^0=k_{\text{рф}}^{}{R}_{\text{э}}\text{:}$

$R_0=\sqrt{{\left(R_{\text{э}}^0+h\right)}^2-{\left[R_{\text{э}}^0\right]}^2}+\sqrt{{\left(R_{\text{э}}^0+H\right)}^2-{\left[R_{\text{э}}^0\right]}^2}.$ (4)

Относительно $R_0$ введем параметр дальности $D_0,$ задаваемый выражением: $D_0=2R_{\text{э}}^0\arcsin \left(\mathrm{0,5}{R}_0/R_{\text{э}}^0\right).$ В зависимости от соотношения $R$ и $R_0$ в общих задачах распространения радиоволн вблизи земной поверхности рассматривают три зоны: зона прямой видимости $R<R_0;$ зона полутени $R\approx R_0;$ зона тени $R>R_0.$ Для корректного определения зон прямой видимости, полутени и тени относительно установленных геометрических параметров интервала НПС – БПЛА в соответствии с решением дифракционной задачи Френеля методом Кирхгофа определяются области минимального и существенного распространения радиоволн. Известно, что форма этих областей является эллипсоидом вращения, а в фокусах эллипсоида располагаются фазовые центры антенн НПС и БПЛА соответственно. Радиусы областей минимального ${\rho }_{\min }$ и существенного ${\rho }_{\text{sign}}$ распространения радиоволн, конфокальные соответствующим эллипсоидам зон Френеля, определяются соотношениями:

${\rho }_{\min }\approx \sqrt{\lambda R/12};$ (5)

${\rho }_{\text{sign}}\approx \sqrt{{\left[2\pi \right]}^{-1}\arcsin \left(\mathrm{0,8}\right)\lambda R}.$ (6)

При использовании правил (5), (6) и корректного учета $W_{\text{р}}^{},$ в соответствии с [7] , выделим три основные модели: 1) короткий пролет $R\le \mathrm{0,2}{R}_0,$ для которого сферичность земной поверхности мало влияет на параметры электромагнитного поля (ЭМП) в точке приема и область минимального распространения ЭМВ не пересекается с поверхностью Земли; 2) пролеты средней протяженности $\mathrm{0,2}{R}_0<R\le \mathrm{0,8}{R}_0,$ для которых минимальная область распространения ЭМВ не пересекается с поверхностью Земли, но сферичность земли учитывается; 3) пролеты большой протяженности $R>\mathrm{0,8}{R}_0,$ для которых необходимо учитывать поле дифракции на земном шаре.

Существо указанных моделей при вычислении $W_{\text{р}}^{}$ составляет решение трех канонических задач дифракции. Их общую основу определяет задание комплексного коэффициента отражения  плоской волны на границе раздела двух сред – свободное пространство и почва. Исходя из того что любая плоская ЭМВ может быть представлена суперпозицией двух волн горизонтальной и вертикальной поляризации, определение коэффициента отражения производится относительно двух составляющих:

– вертикальной:

${\Gamma }_{\text{в}}=\left(Z_1^0\cos \vartheta -Z_{}^0\right)/\left(Z_1^0\cos \vartheta +Z_{}^0\right);$ (7)

– горизонтальной:

${\Gamma }_{\text{г}}=\left(Z_1^0-Z_{}^0\cos \vartheta \right)/\left(Z_1^0+Z_{}^0\cos \vartheta \right).$ (8)

где $Z^0=\sqrt{{\mu }_0/{\epsilon }_0}=120\pi$ – волновое сопротивление свободного пространства; $Z_1^0$ – $\sqrt{\mu {\mu }_0/{\epsilon }^{\text{'}}}$ – волновое сопротивление почвы; ${\epsilon }^{\text{'}}=\epsilon {\epsilon }_0+\sigma {\omega }^{-1}i$ – комплексная диэлектрическая проницаемость почвы; $\vartheta$ – угол падения плоской ЭМВ на поверхность раздела.

Для первой задачи $(R\le \mathrm{0,2}{R}_0)$ $W_{\text{р}}^{}$ вычисляется по правилу [10]:

$\begin{array}{l}{W}_{R\le \mathrm{0,2}{R}_0}=\left|1+R{D^{\text{'}}}^{-1}{e}^{i\beta \left(D^{\text{'}}-R\right)}\left(\Gamma \left({\vartheta }_0\right)-\right.\right.\\ {\left.\left.-i{\left(2\beta D^{\text{'}}\right)}^{-1}\left[{\Gamma }^{\text{'}\text{'}}\left({\vartheta }_0\right)+{\Gamma }^{\text{'}}\left({\vartheta }_0\right)\text{ctg}{\vartheta }_0\right]\right)\right|}^{-1}.\end{array}$ (9)

где $D^{\text{'}}=\left(h+H\right)/\cos {\vartheta }_0=d/\sin {\vartheta }_0$ – расстояние между точкой положения БПЛА и точкой зеркального относительно поверхности Земли отображения положения НПС; ${\Gamma }^{\text{'}}\left({\vartheta }_0\right),$ ${\Gamma }^{\text{'}\text{'}}\left({\vartheta }_0\right)$ – первая и вторая производные коэффициента отражения по $\vartheta ,$ взятые в точке $\vartheta ={\vartheta }_0;$ $\beta =2\pi /\lambda$ – волновое число.

Для второй канонической задачи $(\mathrm{0,2}{R}_0<R\le \mathrm{0,8}{R}_0)$ $W_{\text{р}}^{}$ вычисляется по правилу [7]:

$\begin{array}{l}{W}_{\mathrm{0,2}{R}_0<R\le \mathrm{0,8}{R}_0}=\left(1+{\left|\Gamma \left({\vartheta }_0\right)\right|}^2{{\rm P}}^2+2\left|\Gamma \left({\vartheta }_0\right)\right|{\rm P}\times \right.\\ {\left.\times \cos \left(4\pi h^{\text{'}}{H}^{\text{'}}/\left(\lambda D\right)+\arg \left(\Gamma \left({\vartheta }_0\right)\right)\right)\right)}^{-1/2},\end{array}$ (10)

где

$h^{\text{'}}\approx h-\Delta h;$   $H^{\text{'}}\approx H-\Delta H;$

$\Delta h=D^2{K}^2/\left(2R_{\text{э}}\right);$   $\Delta H=D^2{\left(1-K\right)}^2/\left(2R_{\text{э}}^0\right);$

$K=\mathrm{0,5}\left[h/\left(h+H\right)+\sqrt{h}/\left(\sqrt{h}+\sqrt{H}\right)\right];$

${\rm P}=1/\sqrt{1+2D^2{h}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}/\left[{\left[R_{\text{э}}^0\right]}^2{\left(h^{\text{'}}+H^{\text{'}}\right)}^2\right]}.$

Относительно решения [11] для третьей модельной задачи выделяются две подзадачи $R\ge R_0$ и $\mathrm{0,8}{R}_0<R<R_0.$ В первом случае $W_{\text{р}}^{}$ вычисляется выражением:

$\begin{array}{l}{W}_{R\ge R_0}=\left|\begin{array}{l}\\ \end{array}\right.e^{i\pi /4}2\sqrt{\pi x_0}\sum _{j=1}^{\infty }{e}^{i{x}_0{t}_j}{w}_1\left(t_j-y_1\right)\times \\ \times w_1\left(t_j-y_2\right)/\left[\left(t_j-q_{\text{в,г}}^2\right)w_1^2\left(t_j\right)\right]{\left.\begin{array}{l}\\ \end{array}\right|}^{-1},\end{array}$ (11)

где

$x_0=R_{\text{э}}^0\theta {\left({\mathrm{0,5}\beta /\left[R_{\text{э}}^0\right]}^2\right)}^{1/3};$

$q_{\text{в}}=im\sqrt{\eta -1}/\eta ;$   $q_{\text{г}}=im\eta /\sqrt{\eta -1};$

$\eta ={\beta }_{\text{з}}^2/{\beta }^2;$   $m={\left(\mathrm{0,5}\beta R_{\text{э}}^0\right)}^{1/3};$

$y_1=H\beta /m;$   $y_2=h\beta /m;$

${\beta }_{\text{з}}=\sqrt{{\omega }^2{\epsilon }^{\text{'}}\mu {\mu }_0}=\beta c\sqrt{{\epsilon }^{\text{'}}\mu {\mu }_0};$

$\omega$ – угловая частота; $\theta$ – угол между орт-векторами, характеризующих положение НПС и БПЛА в геоцентрической систем координат; $t_j$ – корни уравнения ${w^{\text{'}}}_1\left(t\right)-q{w}_1\left(t\right)=0;$ ${w^{\text{'}}}_1\left(t\right)=d{w}_1\left(t\right)/dt;$ $w_1\left(t\right)$ – функция Эйри, определяемая Фоком через функцию Ханкеля первого рода:

$\begin{array}{l}{w}_1\left(t\right)=e^{2\pi i/3}{\left(\pi /3\right)}^{1/2}{\left(-t\right)}^{1/2}\times \\ \times H_{1/3}^{\left(1\right)}\left({\left(-t\right)}^{3/2}2/3\right)\text{,\hspace{1em}}t>0.\end{array}$ (12)

При $\mathrm{0,8}{R}_0<R<R_0$ для вычисления $W_{\text{р}}^{}$ используются приближение (11), известное из [11] и определяемое для вертикальной и горизонтальной составляющих:

$\begin{array}{l}{W}_{\text{в}}=e^{i\tau }\left(1-\left(q-ip\right)/\left(q+ip\right)\sqrt{p/\left(p+p_1\right)}{e}^{2i{p}_1{p}^2}\right);\\ W_{\text{г}}=e^{i\tau }\left(1-\left(q_1-ip\right)/\left(q_1+ip\right)\sqrt{p/\left(p+p_1\right)}{e}^{2i{p}_1{p}^2}\right),\end{array}$ (13)

где

$p=m\cos {\vartheta }_0;$   $\tau =\beta \left(R-m\theta \right);$

$p_1=x_0^{-1}\left(2p{x}_0+x_0^2-y_1-y_2\right).$

В целом соотношения (9)–(11), (13) определяют множитель ослабления в разах и при переводе в децибелы составляют $W_{\text{р}}^{}$ в (3). Отдельно следует подчеркнуть, что переход применения соотношений (9) и (10) осуществляется в соответствии с условиями $R\le \mathrm{0,2}{R}_0$ и $\mathrm{0,2}{R}_0<R\le \mathrm{0,8}{R}_0.$ Переход от (10) к (13) с учетом требований $\mathrm{0,2}{R}_0<R\le \mathrm{0,8}{R}_0$ и $\mathrm{0,8}{R}_0<R<R_0$ является условным и выполняется в том случае, если область существенного распространения ЭМВ пересекает поверхность Земли. Переход от (13) к (11) выполняется при пересечении области минимального распространения ЭМВ поверхности Земли. Примеры графической зависимости $W_{\Sigma }^{}$ от частоты f, высоты H БПЛА над поверхностью Земли и дальности связи D приведены на рис. 2 при h = 2 м и параметрах почвы $\sigma =5\cdot {10}^{-3}$ См/м, $\epsilon =\mathrm{5,} \mu =1.$

 

Рис. 2. Зависимости ${\mathit{W}}_{\mathbf{\Sigma }}^{}$ от $\mathit{f}$ и D для H = 100 м (а) и H = 50 м (б)

Fig. 2. Dependences of ${\mathit{W}}_{\mathbf{\Sigma }}^{}$ on $\mathit{f}$ and D for H = 100 m (a) and H = 50 m (b)

 

Таким образом, заданные соотношения позволяют установить унифицированную математическую взаимосвязь между исходными данными для определения энергетических составляющих первого уравнения передачи интервала НПС – БПЛА (1), (2).

3. Определение зависимости отношения сигнал/шум на входе демодулятора и BER в канале связи с БПЛА

Из задаваемых по правилам (1), (2) уровней сигналов $P_{прм}^{БПЛА},$ $P_{прм}^{НПС}$ (дБВт) на входах приемников БПЛА, НПС соответствующие величины отношений сигнал/шум определяются при вычитании

$\begin{array}{l}{h}_{\text{БПЛА}}^2=P_{прм}^{БПЛА}-P_{пор}^{БПЛА};\\ h_{\text{НПС}}^2=P_{прм}^{НПС}-P_{пор}^{НПС},\end{array}$ (14)

значений $P_{пор}^{БПЛА}, P_{пор}^{НПС}$ (дБВт), характеризующих мощность шума в полосе соответствующих приемных устройств. Величины $P_{пор}^{БПЛА},$ $P_{пор}^{НПС}$ определяются в соответствии с соотношениями:

$\begin{array}{l}{P}_{пор}^{БПЛА}=10\lg \left(k{T}_{\Sigma }^{БПЛА}\Delta f_{\Sigma }^{БПЛА}\right);\\ P_{пор}^{НПС}=10\lg \left(k{T}_{\Sigma }^{НПС}\Delta f_{\Sigma }^{НПС}\right),\end{array}$ (15)

где $\Delta f_{\Sigma }^{БПЛА},$ $\Delta f_{\Sigma }^{НПС}$ – шумовая полоса пропускания соответствующего приемника БПЛА, НПС (определяется полосой пропускания фильтра нижних частот на входе решающей схемы демодулятора и соответствует технической скорости); $T_{\Sigma }^{БПЛА},$ $T_{\Sigma }^{НПС}$ – эффективная шумовая температура приемного тракта; $k=\mathrm{1,380649}\cdot {10}^{-23}$  – постоянная Больцмана.

Взаимосвязь между рассчитанным по правилу (14) отношением сигнал/шум на входе демодулятора $h^2$ и ${Р}_{\text{ош}}$ (BER) с учетом известных параметров о ширине спектра радиосигнала $\Delta f_{\text{рс}},$ вида модуляции (обозначим параметром $\gamma ),$ размера сигнального алфавита (обозначим параметром m), способа демодуляции (обозначим параметром $\kappa ),$ вида помехоустойчивого кодирования (обозначим параметром ${\rm K})$ относительно второго уравнения передачи первично задается ${Р}_{\text{ош}}=\varphi \left(h^2,\Delta f_{\text{рс}},\gamma \text{,\hspace{0.33em}}m,\kappa \text{, }{\rm K}\right)$ через некоторую функцию f(•), устанавливающую связь энергетических и сигнальных параметров канала связи с БПЛА при оценке его качества. Предварительный этап в задании f(•) состоит в переопределении $h^2$ в отношении энергии символа, получаемого с выхода модема, к спектральной мощности плотности шума $h_0^2\text{:}$

$h_0^2=h^2{V}_{\text{инф}}/\left(\Delta f_{\text{рс}}{V}_k\right).$ (16)

В основе аналитического представления f(•) от входных параметров лежит статистическая дискретно-временная модель многолучевого канала при дополнительных предположениях относительно того, что амплитуда прямого луча преобладает над переотраженными. В подобном определении амплитуда $\zeta \left(t_n\right)$ $(n=\mathrm{0,1,...};$ $\Delta t=t_{n+1}-t_n)$ поступающего на вход демодулятора сигнала представляется суммой регулярной ${\zeta }^0\left(t_n\right)$ и случайной $\tilde{\zeta }\left(t_n\right)$ компонент и подчиняется райсовскому распределению. Обозначим среднюю мощность ${\zeta }^0\left(t_n\right)$ и $\tilde{\zeta }\left(t_n\right)$ величинами ${\rho }^0$ и $\tilde{\rho }.$ В подобной модели канала функция плотности вероятности распределения отношения сигнал/шум $\rho$ сигнала $\zeta \left(t_n\right)$ будет задаваться следующим выражением [12]:

$f\left(\rho \right)={\tilde{\rho }}^{-1}\exp \left[-\left({\rho }^0+\rho \right){\tilde{\rho }}^{-1}\right]I_0\left(2{\tilde{\rho }}^{-1}\sqrt{\rho {\rho }^0}\right),$ (17)

где $I_0\left(x\right)$ – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка первого рода.

С учетом заданных соотношениями (9)–(11), (13) решений по определению величины $W_{\text{р}}^{}$ (дБ), которая с учетом заданных представлений характеризуется отношением $1/{10}^{\mathrm{0,05}{W}_{\text{р}}^{}}-1=\sqrt{{\rho }^0{\tilde{\rho }}^{-1}}=\mu ,$ при тождественном обозначении $h_0^2={\rho }^0+\tilde{\rho }$ переопределим (17) в виде

$\begin{array}{l}f\left(\rho \right)=\left({\mu }^2+1\right)/h_0^2\exp \left[-{\mu }^2-\left({\mu }^2+1\right)\rho /h_0^2\right]\times \\ \times I_0\left(2\sqrt{\rho {\mu }^2\left({\mu }^2+1\right)/h_0^2}\right).\end{array}$ (18)

 

Рис. 3. Примеры зависимостей ${\mathit{Р}}_{\mathbf{\text{ош}}}^{\mathbf{*}}$ от ${\mathit{h}}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}$ и ${\mathit{W}}_{\mathbf{\text{р}}}^{}$ для BPSK (а) и QAM-16 (б)

Fig. 3. Examples of dependencies ${\mathit{Р}}_{\mathbf{\text{ош}}}^{\mathbf{*}}$ on ${\mathit{h}}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}$ and ${\mathit{W}}_{\mathbf{\text{р}}}^{}$ for BPSK (a) and QAM-16 (b)

 

Для заданной функции плотности вероятность символьной ошибки ${Р}_{\text{ош}}^{*}$ оценивается относительно битовой последовательности на входе помехоустойчивого декодера. Для m позиционных ортогональных сигналов при когерентном приеме величина ${Р}_{\text{ош}}^{*}$ определяется при вычислении интеграла вида [13]:

${Р}_{\text{ош}}^{*}=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}E\left(\rho ,m\right)f\left(\rho \right)d\rho ,$ (19)

где при $m=2$

$E\left(\rho ,m\right)=1-\text{erf}\left(\sqrt{2}\rho \right);$

при $m>2$

$\begin{array}{l}E\left(\rho ,m\right)=1-{\left({\log }_{2}m\right)}^{-1}-\\ -\mathrm{0,5}\text{erf}\left(\sqrt{2}\rho \sin \left(\pi /{\log }_{2}m\right)\right)-\\ -2V\left(\sqrt{2}\rho \sin \left(\pi /{\log }_{2}m\right),\sqrt{2}\rho \cos \left(\pi /{\log }_{2}m\right)\right);\end{array}$

$V\left(x,y\right)={\left(2\sqrt{2\pi }\right)}^{-1}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\text{erf}\left(ty/\left[\sqrt{2}x\right]\right)e^{-t^2/2}dt$

– табулированная функция Никольсона [13];

$\text{erf}\left(x\right)=2/\sqrt{\pi }\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt$ – функция ошибок. Примеры графиков зависимости ${Р}_{\text{ош}}^{*}$ от $h_0^2$ для BPSK и QAM-16 и различных $W_{\text{р}}^{}$ приведены на рис. 3.

Заключение

На основе разработанной математической модели канала связи с беспилотными летательными аппаратами получены аналитические выражения для расчета суммарного затухания радиосигнала (WS) на интервалах радиолинии БПЛА – НПС с учетом влияния поверхности Земли, аппроксимируемой гладкой сферой, с реальными параметрами: относительной диэлектрической проницаемостью – e и проводимостью – s. Получены аналитические выражения, позволяющие с высокой степенью адекватности оценить показатели качества связи в виде зависимости $P_{\text{ОШ}}\left(h^2\right),$ что позволяет производить энергетический расчет радиолиний БПЛА – НПС с учетом реальной поверхности Земли и заданными параметрами качества передачи сигналов.

Анализ полученных результатов в виде зависимости WS от длины радиолинии и рабочей частоты (рис. 2) показывает: 1) существенную зависимость затухания от частоты; 2) наличие глубоких замираний сигнала в ближней зоне $R\le \mathrm{0,2}{R}_0$ за счет интерференции (зона интерференции). Глубина интерференционных замираний увеличивается с ростом частоты и на частоте 900 МГц достигает 25…30 дБ, в то время как на частотах 100…300 МГц составляет не более 3 дБ. В целом результаты проведенного моделирования (рис. 2, 3) определяют предпочтительное использование при организации связи с БПЛА диапазона метровых волн, обеспечивающих в сравнении с дециметровыми наименьшее затухание в областях тени п полутени. Последнее с применением помехоустойчивых видов модуляции (рис. 3) во взаимосвязи с современными методами пространственно-временной обработки сигналов [14; 15] является принципиальным при обеспечении требуемой надежности связи при расположении БПЛА на большом расстоянии D от НПС и незначительной высоте полета H.

About the authors

Nikolay S. Arkhipov

JSC «Eureka»; JSC «Technological Institute of Adaptive Systems»

Email: arhns97@mail.ru

Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Advisor to the General Director for Science 

Russian Federation, Saint Petersburg; Saint Petersburg

Ivan S. Polyansky

JSC «Technological Institute of Adaptive Systems»; Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Email: van341@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1282-1522

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, member of the Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Russian Federation, Saint Petersburg; Oryol

Yuri N. Yakovlev

JSC «Technological Institute of Adaptive Systems»

Email: yur.jakovleff2017@yandex.ru

Candidate of Technical Sciences, Leading Researcher 

Russian Federation, Saint Petersburg

Alexander V. Subbotenko

Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Author for correspondence.
Email: subbiki@yandex.ru

Candidate of Technical Sciences, member 

Russian Federation, Oryol

References

Supplementary files