Parametrical synthesis of radio devices with the set quantity of identical cascades for variants of inclusion of jet two-port networks between a source of a signal and a nonlinear part

Full Text

Введение

В работах [1–3] предложены алгоритмы параметрического синтеза согласующих четырехполюсников по критерию обеспечения заданных частотных характеристик усилителей, генераторов, модуляторов и демодуляторов. Предполагалось, что нелинейная часть (НЧ) состоит из трехполюсного нелинейного элемента (НЭ) и охватывающей его цепи обратной связи (параллельной или последовательной по току или напряжению).

Цель данной работы состоит в расширении функциональных возможностей таких радиоустройств путем включения произвольного количества N дополнительных одинаковых каскадов типа «реактивный четырехполюсник (РЧ) – НЧ»; между источником сигнала с сопротивлением $z_0=r_0+j{x}_0$ и нагрузкой $z_{\text{н}}=r_{\text{н}}+j{x}_{\text{н}}$ (рис. 1). Каскады между собой соединены с использованием того вида обратной связи, по которому соединены НЭ и цепь обратной связи (ЦОС).

Для достижения этой цели делается попытка определения минимального количества двухполюсников РЧ и значения их параметров, при которых обеспечиваются заданные частотные характеристики (зависимости модуля m и фазы  передаточной функции H от частоты) перечисленных радиоустройств в одном из режимов работы НЭ (аргументы опущены):

$H=m(\cos \phi +j\sin \phi ).$ (1)

Согласующий РЧ характеризуется искомыми элементами классической матрицы передачи a, jb, jc, d.

 

Рис. 1. Структурные схемы многокаскадных радиоустройств с параллельной по напряжению (а), последовательной по току (б), последовательной по напряжению (в), параллельной по току (г) цепями обратной связи, включенными между РЧ и нагрузкой

Fig. 1. Block diagrams of multistage radio devices with parallel in voltage (a), sequential in current (b), sequential in voltage (c), parallel in current (d) feedback circuits connected between the RF and the load

 

1. Алгоритм параметрического синтеза

Для отыскания передаточных функций исследуемых радиоустройств можно использовать известные правила применения матриц различных параметров для описания четырехполюсников и их соединений, а также условия нормировки общей матрицы передачи узла «РЧ – НЧ» [1; 4]. Рассмотрим вариант структурной схемы с параллельной по напряжению обратной связью (рис. 1, а). Для этой схемы комплексные элементы классической матрицы передачи НЧ одного каскада можно записать следующим образом:

$\begin{array}{l}{a}_y=\frac{-y_{22}}{y_{21}}\text{;\hspace{1em}}{b}_y=\frac{1}{y_{21}}\text{;}\\ c_y=\frac{-(y_{11}{y}_{22}-y_{12}{y}_{21})}{y_{21}}\text{;\hspace{1em}}{d}_y=\frac{y_{11}}{y_{21}}\text{,}\end{array}$ (2)

где $y_{11}=y_{11}^{нэ}+y_{11}^{oc};$ $y_{12}=y_{12}^{нэ}+y_{12}^{oc};$ $y_{21}=y_{21}^{нэ}+y_{21}^{oc};$ $y_{22}=y_{22}^{нэ}+y_{22}^{oc}$ – известные суммарные элементы матрицы проводимостей НЧ (НЭ и ЦОС).

Перемножим матрицы передачи РЧ и НЧ одного каскада. Получим общую матрицу передачи и общую матрицу проводимостей каскада:

$A_{к}=\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ C_1& D_1\end{array}\right|$;   $Y_{к}=\left|\begin{array}{cc}{Y}_{11}& Y_{12}\\ Y_{21}& Y_{22}\end{array}\right|$, (3)

где 

$A_1=a{a}_y+jb{c}_y; B_1=a{b}_y+jb{d}_y;$

$C_1=c_{y}d+a_{y}jc; D_1=b_{y}jc+d_{y}d;$

$Y_{11}=\frac{D_1}{B_1};Y_{12}=\frac{-(A_1{D}_1-B_1{C}_1)}{B_1};$

$Y_{21}=\frac{1}{B_1};Y_{22}=\frac{-A_1}{B_1}.$

Общая матрица проводимостей всех $N$ каскадов находится путем суммирования матриц проводимостей отдельных каскадов. Поэтому общая передаточная функция всего устройства может быть записана следующим образом:

$\begin{array}{l}H=N{z}_{н}/\left\{\right(jb+Nd{z}_0\left)\right(d_y+N{c}_y{z}_{н})+\\ +(a+Njc{z}_0)(b_y+N{a}_y{z}_{н})\}.\end{array}$ (4)

Подставим (4) в (1). Получим комплексное уравнение, решение которого приводит к взаимосвязи элементов классической матрицы передачи РЧ, оптимальной по критерию (1):

$d=Aa+Bb+Cc+D,$ (5)

где

$A=\frac{-(b_y+N{a}_y{z}_{н})}{N{z}_0(d_y+N{c}_y{z}_{н})}=a_r+j{a}_x;$

$B=\frac{-j}{N{z}_0}=b_r+j{b}_x;$

$C=-\frac{j(b_y+N{a}_y{z}_{н})}{d_y+N{c}_y{z}_{н}}=c_r+j{c}_x;$

$D=\frac{z_{н}}{m\left[\cos \right(\phi )+j\sin (\phi \left)\right]z_0(d_y+N{c}_y{z}_{н})}=d_r+j{d}_x.$

Аналогичные операции проводим для остальных вариантов. При использовании последовательной по току ЦОС (рис. 1, б) элементы классической матрицы передачи НЧ одного каскада удобно выразить через элементы матрицы сопротивлений:

$\begin{array}{l}{a}_y=\frac{z_{11}}{z_{21}};b_y=\frac{-(z_{11}{z}_{22}-z_{12}{z}_{21})}{z_{21}};\\ c_y=\frac{1}{z_{21}};d_y=\frac{-z_{22}}{z_{21}},\end{array}$ (6)

где $z_{11}=z_{11}^{нэ}+z_{11}^{oc};$ $z_{12}=z_{12}^{нэ}+z_{12}^{oc};$ $z_{21}=z_{21}^{нэ}+z_{21}^{oc};$ $z_{22}=z_{22}^{нэ}+z_{22}^{oc}$ – известные суммарные элементы матрицы сопротивлений НЧ (НЭ и ЦОС).

Перемножим матрицы передачи РЧ и НЧ одного каскада. Получим общую матрицу передачи (3) и общую матрицу сопротивлений каскада:

$Z_{к}=\left|\begin{array}{cc}{Z}_{11}& Z_{12}\\ Z_{21}& Z_{22}\end{array}\right|$, (7)

где

$Z_{11}=\frac{A_1}{C_1};Z_{12}=\frac{-(A_1{D}_1-B_1{C}_1)}{C_1};$

$Z_{21}=\frac{1}{C_1};Z_{22}=\frac{-D_1}{C_1}.$

Общая матрица сопротивлений всех $N$ каскадов находится путем суммирования матриц сопротивлений отдельных каскадов. Поэтому общая передаточная функция всего устройства может быть записана следующим образом:

$\begin{array}{l}H=N{z}_{н}/\left\{\right(N{b}_y+a_y{z}_{н}\left)\right(Na+jc{z}_0)+\\ +(N{d}_y+c_y{z}_{н})(Njb+d{z}_0)\}.\end{array}$ (8)

Подставим (8) в (1). Получим комплексное уравнение, решение которого приводит к взаимосвязи (5) элементов классической матрицы передачи РЧ, оптимальной по критерию (1), но с другими коэффициентами:

$A=-\frac{N(N{b}_y+a_y{z}_{н})}{z_0(N{d}_y+c_y{z}_{н})}=a_r+j{a}_x;$

$\begin{array}{l}B=\frac{-jN}{z_0}=b_r+j{b}_x;\\ C=-\frac{j(N{b}_y+a_y{z}_{н})}{N{d}_y+c_y{z}_{н}}=c_r+j{c}_x;\end{array}$ (9)

$D=\frac{N{z}_{н}}{m\left[\cos \right(\phi )+j\sin (\phi \left)\right]z_0(N{d}_y+c_y{z}_{н})}=d_r+j{d}_x.$

При использовании последовательной по напряжению ЦОС (рис. 1, в) элементы классической матрицы передачи НЧ одного каскада целесообразно определить через элементы смешанной матрицы h:

$\begin{array}{l}{a}_y=\frac{-(h_{11}{h}_{22}-h_{12}{h}_{21})}{h_{21}};b_y=\frac{h_{11}}{h_{21}};\\ c_y=\frac{-h_{22}}{h_{21}};d_y=\frac{1}{h_{21}},\end{array}$ (10)

где $h_{11}=h_{11}^{нэ}+h_{11}^{oc};$ $h_{12}=h_{12}^{нэ}+h_{12}^{oc};$ $h_{21}=h_{21}^{нэ}+h_{21}^{oc};$ $h_{22}=h_{22}^{нэ}+h_{22}^{oc}$ – известные суммарные элементы смешанной матрицы  НЧ (НЭ и ЦОС).

Перемножим матрицы передачи РЧ и НЧ одного каскада. Получим общую матрицу передачи (3) и общую смешанную матрицу $H_k$ каскада:

$H_{к}=\left|\begin{array}{cc}{H}_{11}& H_{12}\\ H_{21}& H_{22}\end{array}\right|$, (11)

где

$H_{11}=\frac{B_1}{D_1};H_{12}=\frac{(A_1{D}_1-B_1{C}_1)}{D_1};$

$H_{21}=\frac{1}{D_1};H_{22}=\frac{-C_1}{D_1}.$

Общая смешанная матрица всех $N$ каскадов находится путем суммирования смешанных матриц $H_k$ отдельных каскадов. Поэтому общая передаточная функция всего устройства может быть записана следующим образом:

$\begin{array}{l}H=N{z}_{н}/\left\{\right(d_y+N{c}_y{z}_{н}\left)\right(d{z}_0+Njb)+\\ +(jc{z}_0+Na)(b_y+N{a}_y{z}_{н})\}.\end{array}$ (12)

Подставим (12) в (1). Получим комплексное уравнение, решение которого приводит к взаимосвязи (5) элементов классической матрицы передачи РЧ, оптимальной по критерию (1), но с уточненными коэффициентами:

$A=-\frac{N(b_y+N{a}_y{z}_{н})}{z_0(d_y+N{c}_y{z}_{н})}=a_r+j{a}_x;$

$\begin{array}{l}B=\frac{-jN}{z_0}=b_r+j{b}_x;\\ C=-\frac{j(b_y+N{a}_y{z}_{н})}{d_y+N{c}_y{z}_{н}}=c_r+j{c}_x;\end{array}$ (13)

$D=\frac{N{z}_{н}}{m\left[\cos \right(\phi )+j\sin (\phi \left)\right]z_0(d_y+N{c}_y{z}_{н})}=d_r+j{d}_x.$

При использовании параллельной по току обратной связи (рис. 1, г) элементы классической матрицы передачи НЧ одного каскада проще определить через элементы смешанной матрицы f:

$\begin{array}{l}{a}_y=\frac{1}{f_{21}};b_y=\frac{-f_{22}}{f_{21}};\\ c_y=\frac{f_{11}}{f_{21}};d_y=\frac{-(f_{11}{f}_{22}-f_{12}{f}_{21})}{f_{21}},\end{array}$ (14)

где $f_{11}=f_{11}^{нэ}+f_{11}^{oc};$ $f_{12}=f_{12}^{нэ}+f_{12}^{oc};$ $f_{21}=f_{21}^{нэ}+f_{21}^{oc};$ $f_{22}=f_{22}^{нэ}+f_{22}^{oc}$ – известные суммарные элементы смешанной матрицы  НЧ (НЭ и ЦОС).

Перемножим матрицы передачи РЧ и НЧ одного каскада. Получим общую матрицу передачи (3) и общую смешанную матрицу  каскада:

$F_{к}=\left|\begin{array}{cc}{F}_{11}& F_{12}\\ F_{21}& F_{22}\end{array}\right|$, (15)

где

$\begin{array}{l}{F}_{11}=\frac{C_1}{A_1};F_{12}=\frac{(A_1{D}_1-B_1{C}_1)}{A_1};\\ F_{21}=\frac{1}{A_1};F_{22}=\frac{-B_1}{A_1}.\end{array}$

Общая смешанная матрица всех  каскадов находится путем суммирования смешанных матриц  отдельных каскадов. Поэтому общая передаточная функция всего устройства может быть записана следующим образом:

$\begin{array}{l}H=N{z}_{н}/\left\{\right(N{d}_y+c_y{z}_{н}\left)\right(jb+Nd{z}_0)+\\ +(a+Njc{z}_0)(N{b}_y+a_y{z}_{н})\}.\end{array}$ (16)

Подставим (16) в (1). Получим комплексное уравнение, решение которого приводит к взаимосвязи (5) элементов классической матрицы передачи РЧ, оптимальной по критерию (1), но с новыми коэффициентами:

$B=\frac{-jN}{z_{н}}=b_r+j{b}_x;$

$\begin{array}{l}C=-\frac{j(b_y+N{d}_y{z}_0)}{a_y+N{c}_y{z}_0}=c_r+j{c}_x;\\ D=-\frac{N(b_y+N{d}_y{z}_0)}{z_{н}(a_y+N{c}_y{z}_0)}=d_r+j{d}_x;\end{array}$ (17)

$E=\frac{N}{m\left[\cos \right(\phi )+j\sin (\phi \left)\right](a_y+N{c}_y{z}_0)}=e_r+j{e}_x.$

Анализ выражения для передаточной функции (4) показывает, что частотные характеристики исследуемых радиоустройств из $N$ одинаковых каскадов типа РЧ-НЧ (рис. 1, а) идентичны АЧХ и ФЧХ радиоустройств из одного каскада, но с сопротивлениями источника сигнала и нагрузки, умноженными на  (рис. 2, а). В общем случае частотные характеристики исследуемых радиоустройств из $N_2$ групп одинаковых каскадов по $N_1$ не обязательно одинаковых каскадов типа РЧ – НЧ в каждой группе идентичны АЧХ и ФЧХ радиоустройств из одной группы $N_1$ не обязательно одинаковых каскадов типа НЧ – РЧ, но с сопротивлениями источника сигнала и нагрузки, умноженными на $N_2.$

Анализ выражения для передаточной функции (8) показывает, что частотные характеристики исследуемых радиоустройств (рис. 1, б) из $N$ одинаковых каскадов типа РЧ – РЧ идентичны АЧХ и ФЧХ радиоустройств из одного каскада, но с сопротивлениями источника сигнала и нагрузки, разделенными на  (рис. 2, б). В общем случае частотные характеристики исследуемых радиоустройств из $N_2$ групп каскадов по $N_1$ не обязательно одинаковых каскадов типа РЧ – НЧ в каждой группе идентичны АЧХ и ФЧХ радиоустройств из одной группы $N_1$ не обязательно одинаковых каскадов типа РЧ – НЧ, но с сопротивлениями источника сигнала и нагрузки, разделенными на $N_2.$

Анализ выражения для передаточной функции (12) показывает, что частотные характеристики исследуемых радиоустройств (рис. 1, в) из $N$ одинаковых каскадов типа РЧ – НЧ подобны АЧХ и ФЧХ радиоустройств из одного каскада, но с сопротивлением нагрузки, умноженным на N, и измененным выходным сопротивлением РЧ (рис. 2, в):

$\frac{d{z}_0+jb}{jc{z}_0+a}\to \frac{d{z}_0+Njb}{jc{z}_0+Na}.$ (18)

В общем случае частотные характеристики исследуемых радиоустройств из $N_2$ групп каскадов по $N_1$ не обязательно одинаковых каскадов типа РЧ – НЧ в каждой группе подобны АЧХ и ФЧХ радиоустройств из одной группы $N_1$ не обязательно одинаковых каскадов типа РЧ – НЧ, но с сопротивлением нагрузки, умноженным на $N_2$ и измененным выходным сопротивлением РЧ:

$\frac{d{z}_0+jb}{jc{z}_0+a}\to \frac{d{z}_0+N_{2}jb}{jc{z}_0+N_{2}a}.$ (19)

Правая часть выражения (18) означает, что сопротивление источника сигнала разделяется на $N$ (рис. 2, в). Модуль передаточной функции умножается на N. Правая часть выражения (19) означает, что сопротивление источника сигнала разделяется на $N_2.$ Модуль передаточной функции умножается на $N_2.$ Полосы частот полностью совпадают.

Анализ выражения для передаточной функции (16) показывает, что частотные характеристики исследуемых радиоустройств (рис. 1, г) из $N$ одинаковых каскадов типа РЧ – НЧ подобны АЧХ и ФЧХ радиоустройств из одного каскада, но с сопротивлением нагрузки, разделенным на $N$ и измененным выходным сопротивлением РЧ (рис. 2, г):

$\frac{d{z}_0+jb}{jc{z}_0+a}\to \frac{d{z}_0+jb/N}{jc{z}_0+a/N}.$ (20)

В общем случае частотные характеристики исследуемых радиоустройств из $N_2$ групп каскадов по $N_1$ не обязательно одинаковых каскадов типа РЧ – НЧ в каждой группе подобны АЧХ и ФЧХ радиоустройств из одной группы $N_1$ не обязательно одинаковых каскадов типа РЧ – НЧ, но с сопротивлением нагрузки, разделенным на $N_2$ и измененным выходным сопротивлением РЧ:

$\frac{d_y{z}_0+b_y}{c_y{z}_0+a_y}\to \frac{d_y{z}_0+b_y/N_2}{c_y{z}_0+a_y/N_2}.$ (21)

Правая часть выражения (20) означает, что сопротивление источника сигнала умножается на $N$ (рис. 2, г). Модуль передаточной функции разделяется на N. Правая часть выражения (21) означает, что сопротивление источника сигнала умножается на $N_2.$ Модуль передаточной функции разделяется на $N_2.$ Полосы частот полностью совпадают. Такие схемы будем называть эквивалентными. Они могут значительно упростить решение многих задач радиоэлектроники, например задач обеспечения распространения сигнала только в одном направлении (от входа к выходу) и независимости предыдущего каскада от присоединения последующего. Эти свойства необходимы для динамических звеньев при построении радиоустройств автоматического регулирования.

 

Рис. 2. Структурные схемы однокаскадных радиоустройств с параллельной по напряжению (а), последовательной по току (б), последовательной по напряжению (в) и параллельной по току (г) цепями обратной связи, эквивалентные со схемами, показанными на рис. 1, а, б, в, г

Fig. 2. Block diagrams of single-stage radio devices with parallel in voltage (a), sequential in current (b), sequential in voltage (c) and parallel in current (d) feedback circuits, equivalent to the circuits shown in Fig. 1, a, b, c, d

 

Для отыскания выражений для определения параметров типовых схем РЧ необходимо взять известные формулы для элементов a, b, c, d [1; 4], выраженные через сопротивления или проводимости двухполюсников, а также коэффициенты A, B, C, D для (5) с выбранным типом обратной связи. Затем надо разделить полученное комплексное уравнение на действительную и мнимую части и решить сформированную таким образом систему двух действительных алгебраических уравнений относительно сопротивлений или проводимостей двух двухполюсников выбранной схемы РЧ из $N$ двухполюсников. В результате получаются ограничения в виде зависимостей сопротивлений двух реактивных двухполюсников от частоты, оптимальных по критерию (1). Задача реализации этих частотных характеристик в ограниченной полосе частот решена в работе [1]. Параметры остальных $N-2$ двухполюсников, свободных от указанных ограничений, выбираются из условия обеспечения других критериев, например из условия обеспечения заданной полосы рабочих частот [1].

2. Результаты параметрического синтеза РЧ при использовании каскадов типа РЧ – НЧ

Здесь в качестве примера приводятся некоторые из решений, полученных для типовых схем РЧ и структурной схемы, показанной на рис. 1, а. Если в качестве РЧ используется Г-образное соединение двух сопротивлений $j{X}_{\mathrm{1,2}}$ (рис. 3, а), то зависимости этих сопротивлений от частоты определяются следующим образом:

$\begin{array}{l}{X}_1=\frac{X_2+c_r}{a_r+d_r+X_2{b}_r-1};\\ X_2=\frac{-B_2\pm \sqrt{B_2^2-4A_2{C}_2}}{2A_2},\end{array}$ (22)

где $A_2=b_x;$ $B_2=a_x+d_x-b_r{c}_x+b_x{c}_r;$ $C_2=c_x-a_r{c}_x+a_x{c}_r+c_r{d}_x-c_x{d}_r.$

Обратное Г-образное соединение двух сопротивлений $j{X}_{\mathrm{1,2}}$ (рис. 3, б):

$\begin{array}{l}{X}_1=\frac{c_r-X_2(a_r+d_r-1)}{a_r+X_2{b}_r};\\ X_2=\frac{-B_2\pm \sqrt{B_2^2-4A_2{C}_2}}{2A_2},\end{array}$ (23)

где $A_2=b_x-a_r{b}_x+a_x{b}_r+b_r{d}_x-b_x{d}_r;$ $B_2=a_x+a_r{d}_x-a_x{d}_r-b_r{c}_x+b_x{c}_r;$ $C_2=a_x{c}_r-a_r{c}_x.$ 

Т-образное соединение двухполюсников $j{X}_{\mathrm{1,2,3}}$ (рис. 3, в):

$\begin{array}{l}{X}_1=\frac{X_3+c_r-X_2(a_r+d_r+X_3{b}_r-1)}{a_r+(X_2+X_3)b_r};\\ X_2=\frac{-B_2\pm \sqrt{B_2^2-4A_2{C}_2}}{2A_2},\end{array}$ (24)

где

$A_2=b_x(1-a_r-d_r)+b_r(a_x+d_x);$

$\begin{array}{l}{B}_2=a_x+a_r{d}_x-a_x{d}_r-b_r{c}_x+\\ +b_x{c}_r+X_3(2b_x+b_r{d}_x-b_x{d}_r);\end{array}$

$C_2=b_x{X}_3^2+(a_x-b_r{c}_x+b_x{c}_r)X_3-a_r{c}_x+a_x{c}_r;$

$X_1=\frac{X_3+c_r-X_2(a_r+d_r+X_3{b}_r-1)}{a_r+(X_2+X_3)b_r};$

$X_3=\frac{-B_3\pm \sqrt{B_3^2-4A_3{C}_3}}{2A_3},$

где

$A_3=b_x;$

$B_3=a_x-b_r{c}_x+b_x{c}_r+X_2(2b_x+b_r{d}_x-b_x{d}_r);$

$\begin{array}{l}{C}_3=\left[b_x\right(1-a_r-d_r)+b_r(a_x+d_x\left)\right]X_2^2+\\ +(a_x+a_r{d}_x-a_x{d}_r-b_r{c}_x+b_x{c}_r)X_2-a_r{c}_x+a_x{c}_r;\end{array}$

$X_2=\frac{c_r+X_3-X_1(a_r+X_3{b}_r)}{(X_1+X_3)b_r+d_r+e_r-1};$

$X_3=\frac{-B_3\pm \sqrt{B_3^2-4A_3{C}_3}}{2A_3},$

где

$A_3=b_x;$

$B_3=a_x+d_x-X_1(b_r{d}_x-b_x{d}_r)-b_r{c}_x+b_x{c}_r;$

$\begin{array}{l}{C}_3=(a_x{b}_r-a_r{b}_x)X_1^2+(a_x{d}_r-a_r{d}_x-a_x-\\ -b_r{c}_x+b_x{c}_r)X_1+c_x(1-a_r+d_r)+c_r(a_x+d_x).\end{array}$

П-образное соединение двухполюсников $j{X}_{\mathrm{1,2,3}}$ (рис. 3, г):

$\begin{array}{l}{X}_1=\frac{X_3(X_2+c_r)+X_2{c}_r}{X_2{a}_r-c_r+X_3(a_r+d_r+X_2{b}_r-1)};\\ X_2=\frac{-B_2\pm \sqrt{B_2^2-4A_2{C}_2}}{2A_2},\end{array}$ (25)

где

$A_2=b_x{X}_3^2+(a_x-b_r{c}_x+b_x{c}_r)X_3-a_r{c}_x+a_x{c}_r;$

$C_2=X_3^2\left[c_r\right(a_x+d_x)+c_x(1-a_r-d_r\left)\right];$

$\begin{array}{l}{B}_2=X_3^2(a_x+d_x-b_r{c}_x+b_x{c}_r)+\\ +X_3(2a_x{c}_r-2a_r{c}_x+c_r{d}_x-c_x{d}_r);\end{array}$

$X_1=\frac{X_3(X_2+c_r)+X_2{c}_r}{X_2{a}_r-c_r+X_3(a_r+d_r+X_2{b}_r-1)};$

$X_3=\frac{-B_3\pm \sqrt{B_3^2-4A_3{C}_3}}{2A_3},$

где

$\begin{array}{l}{A}_3=b_x{X}_2^2+(c_r+X_2)(a_x+d_x)+\\ +c_x(1-a_r-d_r)-X_2(b_r{c}_x-b_x{c}_r)\end{array}$

$\begin{array}{l}{B}_3=X_2(2a_x{c}_r-2a_r{c}_x+c_r{d}_x-c_x{d}_r)+\\ +X_2^2(a_x-b_r{c}_x+b_x{c}_r);\end{array}$

$C_3=X_2^2(a_x{c}_r-a_r{c}_x);$

$X_2=\frac{(X_1+X_3)c_r+X_1{X}_3(1-a_r-d_r)}{X_1{a}_r-c_r+X_3(X_1{b}_r-1)};$

$X_3=\frac{-B_3\pm \sqrt{B_3^2-4A_3{C}_3}}{2A_3},$

где

$\begin{array}{l}{A}_3=\left[b_x\right(1-a_r-d_r)+b_r(a_x+d_x\left)\right]X_1^2+\\ +(b_x{c}_r-b_r{c}_x-a_x-d_x)X_1+c_x;\end{array}$

$\begin{array}{l}{B}_3=X_1^2(a_x+a_r{d}_x-a_x{d}_r-\\ -b_r{c}_x+b_x{c}_r)-X_1(c_r{d}_x-c_x{d}_r);\end{array}$

$C_3=X_1^2(a_x{c}_r-a_r{c}_x).$

 

Рис. 3. Примеры синтезированных реактивных СЧ для многокаскадных устройств

Fig. 3. Examples of synthesized reactive midrange for multistage devices

 

3. Математическое и схемотехническое моделирование усилителей с одинаковыми каскадами типа РЧ – НЧ

Здесь для примера показаны принципиальная и эквивалентная схемы однокаскадного и двухкаскадного узкополосных усилителей (рис. 4–9), соответствующих исследуемым структурным схемам с параллельной по напряжению связью, показанным на рис. 1, а, 2, а, а также их теоретические и экспериментальные характеристики. Использован транзистор типа  (рис. 4, а, 5, а). Схема НЧ выполнена в виде параллельно соединенных транзистора и ЦОС в виде П-образного соединения трех элементов    $C_{66}, R_{106}, R_{108}, C_{74}, R_{113}, R_{115}$ на двухкаскадной схеме (рис. 4, а) и $C_{66}, R_{106}, R_{108}$ на однокаскадной схеме (рис. 5, а). Нагрузка и сопротивление источника сигнала выполнены на элементах $R_{100}$ и $R_{107}$ соответственно. Схемы РЧ собраны в виде Т-образного четырехполюсника на элементах $L_5, L_6, C_{70}, L_8, L_9, C_{75}$ (рис. 4, а), $L_5, L_6, C_{70}$ (рис. 5, а), параметры которых определялись по формулам (24).

 

Рис. 4. Принципиальная схема двухкаскадного узкополосного усилителя (а), соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), и его частотные характеристики (б), полученные в системе MicroCap

Fig. 4. Schematic diagram of a two-stage narrow-band amplifier (a), corresponding to the structural diagram (Fig. 1, a), and its frequency characteristics (b), obtained in the MicroCap system

 

Рис. 5. Принципиальная схема однокаскадного узкополосного усилителя (а), соответствующая структурной схеме (рис. 2, а), его частотные характеристики (б), полученные в системе MicroCap, и частотные характеристики его эквивалентной схемы, полученные в системе MathCad (в)

Fig. 5. Schematic diagram of a single-stage narrow-band amplifier (a) corresponding to the structural diagram (Fig. 2, a), its frequency characteristics (b) obtained in the MicroCap system, and the frequency characteristics of its equivalent circuit obtained in the MathCad system (c)

 

Эквивалентная схема нелинейного элемента выполнена в виде перекрытого Т-образного четырехполюсника на элементах $R_{29},$ $C_{33},$ $R_{13},$ $L_{22},$ $R_{28},$ $L_{23},$ $R_9,$ $L_{19}$ (рис. 6, а). Параметры эквивалентной схемы НЭ выбраны из условия совпадения входного сопротивления НЧ с входным сопротивлением НЧ с использованием реального транзистора [1]. Схема НЧ реализована в виде параллельно соединенных эквивалентной схемы нелинейного элемента и цепи обратной связи из П-образного соединения трех элементов $C_8, R_{19}, R_{30}.$ Параметры ЦОС заданы произвольно. Схема РЧ собрана на основе Т-образного соединения трех элементов $L_{24}, L_{25}, C_{34}.$

 

Рис. 6. Эквивалентная схема (а) однокаскадного узкополосного усилителя (рис. 5, а), соответствующая структурной схеме (рис. 2, а), и ее частотные характеристики (б), полученные в системе OrCad

Fig. 6. Equivalent circuit (a) of a single-stage narrow-band amplifier (Fig. 5, a), corresponding to the structural diagram (Fig. 2, a), and its frequency characteristics (b) obtained in the OrCad system

 

Частотные характеристики принципиальных схем, показанных на рис. 4 и 5, идентичны. Это соответствует выводам, сделанным на основе анализа полученных выше выражений для передаточных функций исследуемых структурных схем (рис. 1, а). Анализ также показывает, что экспериментальные (рис. 4, б, 5, б) частотные характеристики принципиальной схемы узкополосного усилителя (рис. 4, а, 5, а) удовлетворительно совпадают с характеристиками эквивалентной схемы (рис. 6, а) усилителя, полученные расчетным путем (рис. 5, в) и экспериментально (рис. 6, б). Резонансная частота эквивалентной схемы $f\approx 700$ МГц (рис. 5, в и 6, б) незначительно отличается от резонансной частоты принципиальной схемы $f\approx 697$ МГц (рис. 4, б, 5, б). Произведение коэффициента усиления на полосу частот составляет примерно 120 МГц.

На рис. 7–9 показана еще одна пара эквивалентных однокаскадной и двухкаскадной схем, но с другими значениями сопротивлений источника сигнала и нагрузки. В этих схемах с помощью описанной выше методики оптимизированы параметры двухполюсников не только РЧ, но и всех остальных двухполюсников. Произведение коэффициента усиления на полосу частот составляет примерно 500 МГц.

 

Рис. 7. Вторая принципиальная схема двухкаскадного узкополосного усилителя (а), соответствующая структурной схеме (рис. 1, а), и его частотные характеристики (б), полученные в системе MicroCap

Fig. 7. The second schematic diagram of a two-stage narrow-band amplifier (a), corresponding to the structural diagram (Fig. 1, a), and its frequency characteristics (b), obtained in the MicroCap system

 

Рис. 8. Принципиальная схема однокаскадного узкополосного усилителя (а), соответствующая структурной схеме (рис. 2, а), его частотные характеристики (б), полученные в системе MicroCap, и частотные характеристики его эквивалентной схемы, полученные в системе MathCad (в)

Fig. 8. Schematic diagram of a single-stage narrow-band amplifier (a), corresponding to the structural diagram (Fig. 2, a), its frequency characteristics (b), obtained in the MicroCap system, and the frequency characteristics of its equivalent circuit, obtained in the MathCad system (c)

 

Рис. 9. Эквивалентная схема (а) однокаскадного узкополосного усилителя (рис. 9, а), соответствующая структурной схеме (рис. 2, а), и ее частотные характеристики (б), полученные в системе OrCad

Fig. 9. Equivalent circuit (a) of a single-stage narrow-band amplifier (Fig. 9, a), corresponding to the structural diagram (Fig. 2, a), and its frequency characteristics (b), obtained in the OrCad system

 

Таким образом, полученные математические модели РЧ-типа (22)–(25) могут быть использованы для технического проектирования различных радиоустройств с заданными частотными характеристиками.

About the authors

Aleksandr A. Golovkov

Military Educational and Scientific Centre of the Air Force N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh) the Ministry of Defence of the Russian Federation

Email: valgol2595@gmail.com

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Aviation Systems and Radio Navigation and Radio Communication Complexes

Russian Federation, Voronezh

Aleksey V. Fomin

Military Educational and Scientific Centre of the Air Force N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» () the Ministry of Defence of the Russian Federation

Author for correspondence.
Email: folexx@mail.ru

Head of The Training and Command Post of the Department of Automatic Control Systems

Russian Federation, Voronezh

References

Supplementary files