Influence of the switching frequency of the switch and the amplitude of the reference voltage of a pulsed voltage regulator of the lowering type on its stability

Full Text

Введение

Основная отличительная особенность всех импульсных источников электропитания – они являются разновидностью однотактного преобразователя напряжения, охваченного контуром отрицательной обратной связи. Несмотря на совершенствование систем автоматизированного проектирования, все еще остается актуальной задача моделирования работы устройства для расчета запаса устойчивости по амплитуде. Также необходимость увеличения коэффициента стабилизации приводит к выявлению зависимости характеристик устойчивости от точности частоты и формы пилообразного напряжения эталонного сигнала. Метод логарифмических частотных характеристик дает также возможности по определению частоты среза, резонансной частоты и оценке запаса устойчивости по фазе по критерию Найквиста.

1. Расчет выходных параметров

Импульсный стабилизатор характеризуется структурной схемой с представленными на ней динамическими звеньями, характеризующими ИСН как систему автоматического управления (САУ), и некоторыми выражениями для их передаточных функций.

На рис. 1 изображена структурная схема для ИСН понижающего типа.

 

Рис. 1. Блок-схема ИСН

Fig. 1. Block diagram of the pulse voltage regulator

 

На схеме: силовой ключ ИСН представляет собой множительное звено, который есть при изменении коэффициента заполнения $\Delta d=\widehat{d}$ [1] (по цепи обратной связи) передаточная функция ${K^{\text{'}}}_{кл}=U_1$ и выполняет операцию

$U_2=d{U}_1,$ (1)

Силовой ключ при изменении входного напряжения $U_1$ представляется передаточной функцией

${K^{\text{'}\text{'}}}_{кл}=d.$ (2)

Передаточная функция сглаживающего LC-фильтра выглядит следующим образом:

$K_{ф}\left(s\right)=\frac{K_{ф}}{{Т}_{ф}^2{s}^2+2\xi T_{ф}s+1},$ (3)

где ${Т}_{ф}$ – постоянная времени; $\xi$ – коэффициент затухания; $K_{ф}=\frac{R_{н}}{R_{н}+R_{э}}$ – коэффициент передачи фильтра по постоянному току; $R_{э}$ – эквивалентное внутреннее сопротивление ИСН.

Коэффициент передачи сравнивающего делителя ИСН выражается как

$\alpha =\frac{R_2}{R_1+R_2},$ (4)

Передаточная функция усилителя постоянного тока (УПТ) – $K_{у}.$ УПТ в ИСН является практически безынерционным звеном, так как постоянная времени УПТ много меньше постоянной времени фильтра.

Передаточная функция модулятора ШИМ $\left({К}_{м}\right)$ рассчитывается по следующей формуле:

${К}_{м}=\frac{\Delta d}{\alpha K_{у}\Delta U_2}=\frac{1}{V_p}\left[\frac{1}{В}\right].$ (5)

Представление ШИМ в качестве линейного звена с коэффициентом передачи Kм возможно при малом уровне пульсации на входе ШИМ, т. е. при достаточно хорошем сглаживающем фильтре, что обычно всегда имеет место, и при соблюдении условий, когда ИСН является непрерывной системой.

Постоянную запаздывания ${\tau }_{з}$ следует ввести в цепь прямой связи структурной схемы (рис. 1), например в коэффициент передачи ШИМ. В связи с этим формула преобразуется:

${К}_{м}\left(s\right)={К}_{м}{e}^{-s{\tau }_{з}}=\frac{1}{V_p}{e}^{-s{\tau }_{з}},$ (6)

где $V_p$ – амплитуда пилообразного напряжения синхронизации ИСН.

На основании линейной структурной схемы рис. 1 передаточная функция разомкнутой системы ИСН получается при размыкании цепи обратной связи, т. е. звена а, и равна произведению передаточных функций всех последовательно соединенных звеньев в ИСН:

$W\left(s\right)=\frac{\alpha K_y{K}_{м}{K}_{кл}^{/}{K}_{ф}}{{Т}_{ф}^2{s}^2+2\xi {Т}_{ф}s+1}=\frac{K{e}^{-s{\tau }_{з}}}{{Т}_{ф}^2{s}^2+2\xi T_{ф}s+1},$ (7)

где $K\approx \frac{\alpha K_y{U}_1}{V_p}$ – коэффициент передачи разомкнутой системы ИСН, численно равный его коэффициенту стабилизации (обычно ${К}_{ф}\cong 1).$

Оценка устойчивости импульсного регулятора с обратной связью производится при помощи классических критериев устойчивости с использованием выражения его передаточной функции.

Как известно, передаточная функция замкнутой системы $\Phi \left(s\right)$ выражается через передаточную функцию разомкнутой системы:

$\Phi \left(s\right)=\frac{W\left(s\right)}{1+W\left(s\right)}.$ (8)

Функция  записывается отношением двух полиномов $\left(M\right(s)/N\left(s\right))$ комплексной частоты $s=\alpha \pm j\omega .$

$\Phi \left(s\right)=M\left(s\right)/\left(N\right(s)+M(s\left)\right).$ (9)

Корни числителя являются нулями этой функции, корни знаменателя – ее полюсами или собственными частотами системы при $N\left(s\right)\ne 0$ [2].

2. Определение устойчивости по критерию Найквиста

Система будет устойчивой, если ни одна из собственных частот не имеет положительной вещественной части или ни один из полюсов системы не лежит в правой полуплоскости величины s, то есть для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения передаточной функции замкнутой системы имели отрицательную вещественную часть [3].

На практике большее распространение получили частотные критерии, прежде всего критерий Найквиста, с помощью которого и будет проводится дальнейшее исследование.

В соответствии с критерием Найквиста по передаточной функции разомкнутой системы могут быть оценены как устойчивость, так и запасы устойчивости по фазе для замкнутой системы.

Напомним, что по частотному критерию Найквиста амплитудно-фазовая характеристика передаточной функции (W(јω) = V(ω) + јV(ω)) для устойчивой системы не должна охватывать точку с координатами (–1; ј0), а по логарифмическому частотному критерию Найквиста для устойчивости системы необходимо, чтобы во всей области частот, где ЛАЧХ положительна, т. е. до частоты среза (fср), фазовая характеристика (ФЧХ) проходила выше уровня –π (–180°). При этом запас устойчивости по фазе (gс = Н°) показывает, насколько фазовый угол ФЧХ j(fср) отличается от –π = –180° на частоте среза fср.

Проведем расчет оценки устойчивости нашего ИСН-1, структурная схема которого изображена на рис. 2, на вышеприведенные параметры. Рассчитаем динамические параметры ИСН без цепей коррекции [4; 5].

 

Рис. 2. Структурная схема исследуемого ИСН понижающего типа

Fig. 2. Block diagram of the investigated lower-type pulse voltage regulator

 

На рис. 3 и 4 изображен листинг программы для моделирования работы вышеупомянутого стабилизатора, благодаря чему можно наглядно, по графикам, определить запас устойчивости по фазе [6].

 

Рис. 3. Листинг из программы Mathcad

Fig. 3. Listing from the Mathcad program

 

Рис. 4. Листинг из программы Mathcad

Fig. 4. Listing from the Mathcad program

 

Рис. 5. ЛАЧХ ИСН, полученная в результате моделирования

Fig. 5. LCHH of the pulse voltage regulator, obtained as a result of modeling

 

Из рис. 5 видно, что стабилизатор находится на грани устойчивости, так как имеет на частоте среза fср = 2700 Гц значение фазового угла:

${\phi }_{\text{íñ}}=\frac{180}{y}\text{arc}\left(W\right(n\left)\right)=173°,$

Таким образом, запас устойчивости по фазе γс = = Н = 7° (запас устойчивости по фазе gс = Н° показывает, насколько фазовый угол ФЧХ j(fср) отличается от –π (–180°) на частоте среза fср) [7].

Собственная (резонансная) частота фильтра $f_0$ составляет:

$f_0=\frac{{\omega }_{ф}}{2\pi }=\frac{4100}{2\pi }=653$ Гц.

Заключение

1. С ростом амплитуды пилообразного напряжения – запас устойчивости по фазе увеличивается.
2. Частота коммутации ключа не оказывает влияния на устойчивость ИСН.
3. Зависимость пульсаций, влияющих на стабильность работы, от амплитуды пилообразного напряжения является непрогнозируемой величиной и принимает случайное значение.

Увеличение пилообразного напряжения – нежелательное явление, так как снижает стабильность.

About the authors

Danil L. Myasnikov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: danil1232011@mail.ru

Master’s Student

Russian Federation, Samara

Roman S. Demidov

Samara branch of the Research Institute for Fire Safety

Email: demidovr@mail.ru

Head of the Samara branch of the Research Institute for Fire Safety

Russian Federation, Samara

Yulia V. Sokolova

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: ula.81.81@mail.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Radioelectronic Systems

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files