Reflection of waves from a mobile elastic layer in a multimode waveguide

Full Text

Введение

Волноводные структуры применяются для передачи энергии и информационных сигналов в широком диапазоне длин волн и по волнонаправляющим физическим свойствам обычно имеют взаимные (одинаковые) свойства в прямом и обратном направлениях. Несимметрия структуры и внешние воздействия часто могут стать причиной невзаимности структур для волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях (это свойство хотя и ограниченно, но уже используется в так называемых невзаимных устройствах СВЧ-, КВЧ- и оптического диапазонов: это ферритовые вентили, циркуляторы, фазовращатели) [4]. Вместе с тем невзаимные свойства волнонаправляющих структур, независимых от их физической природы, не рассматривались.

Рассмотрим эффект Доплера для основной и высших мод многомодового волновода со слоем магнитодиэлектрика, движущимся вдоль оси волновода. Основные свойства могут быть рассмотрены на модели плоского волновода (рис. 1). Пусть однородный слой среды 2 толщиной d с показателем преломления $n_2=\sqrt{{\epsilon }_2{\mu }_2}$ движется с постоянной скоростью u вдоль оси волновода Ox. Координата левого края слоя описывается во времени зависимостью $x=ut,$ правого – $x=ut+d.$ Слева от границы расположена среда 1, характеризуемая показателем преломления $n_1=\sqrt{{\epsilon }_1{\mu }_1}.$ Справа – среда 3 с показателем преломления $n_3=\sqrt{{\epsilon }_3{\mu }_3}.$ Скорость распространения волн в первой среде равна $c_1,$ в третьей $c_3.$  Во второй среде с учетом ее движения вдоль оси волновода Ox скорости волн в прямом и обратном направлениях в общем случае различаются $c_{21}\ne c_{22}.$ Для анализа особенностей отражения электромагнитных волн, падающих из области 1 на поверхность подвижного слоя, ищется решение волновых уравнений в областях 1–3 с учетом граничных условий на стенках волновода $E_{\tau }\left(y=\mathrm{0,}d\right)=0$ и на подвижных границах раздела сред $(x=ut)$ в виде

$\begin{array}{l}{E}_{1z}\left(x\right)=E_{2z}\left(x\right),\\ H_{1y}\left(x\right)=H_{2y}\left(x\right),\\ E_{2z}\left(x+d\right)=E_{3z}\left(x+d\right),\\ H_{2y}\left(x+d\right)=H_{3y}\left(x+d\right).\end{array}$   (1)

Анализ показывает, что решение существует в том случае, когда частоты падающих и отраженных волн в каждом из слоев в общем случае различны. Решение в каждой из областей ищется в виде [5]:

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{11z}=A_{11}\sin k_{z}z\exp \left[i\left(\omega t-k{}_{11}x\right)\right];\\ E_{12z}=A_{12}\sin k_{z}z\exp \left[i\left({\omega }_{1}t+k{}_{12}x\right)\right],\end{array}\right.$

$x\le \mathrm{0,}$

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{21z}=A_{21}\sin k_{z}z\exp \left[i\left({\omega }_{2}t+k{}_{21}x\right)\right];\\ E_{22z}=A_{22}\sin k_{z}z\exp \left[i\left({\omega }_{3}t-k{}_{22}x\right)\right],\end{array}\right.$

$x\le 0\le d,$

$E_{31z}=A{}_{31}\mathrm{s}in{k}_{z}z\exp \left[i\left({\omega }_{4}t-k{}_{31}x\right)\right],$

$x\ge d,$

где в общем случае волновые числа прямых и обратных волн могут различаться  $k_{11}\ne k_{12},$ $k_{21}\ne k_{22}.$

 

Рис. 1. Отражение и прохождение волн через подвижный слой в волноводе

Fig. 1. Reflection and transmission of waves through a moving layer in a waveguide

 

Проекция волнового числа на ось Oz с учетом граничных условий в плоскостях $y=\mathrm{0,}$ $y=a$ равна $k_{zm}=m\pi /a,$ $m=\mathrm{1,2,3...}$ – индекс моды. Продольные волновые числа определяются соотношениями:

$k_{11}=k_{12}=\sqrt{n_1^2\frac{{\omega }^2}{c^2}-k_{zm}^2},k_{21}=\sqrt{n_2^2\frac{{\omega }_2^2}{c_{21}^2}-k_{zm}^2},$

$k_{22}=\sqrt{n_2^2\frac{{\omega }_3^2}{c_{22}^2}-k_{zm}^2},k_{31}=\sqrt{n_3^2\frac{{\omega }_4^2}{c^2}-k_{zm}^2}.$

Для кусочно-однородной конфигурации преобразования мод на границах раздела сред не происходит. В этом случае распространяющиеся в волноводе моды, характеризуемые индексами m, между собой не взаимодействуют, и можно независимо рассматривать распространения и отражения отдельно каждой моды. Подстановка искомых решений в граничные условия для компонент поля $E_z,$ $H_y$ при $x=ut,$ $x=ut+d$ дает соотношения между амплитудами $A_{ij}$ и частотами ${\omega }_i$ для каждого типа волн с произвольным индексом m, который для простоты записи в системе уравнений опускается:

$\begin{array}{l}{A}_{11}{e}^{i\left(\omega -u{k}_{11}\right)t}+A_{12}{e}^{i\left({\omega }_1+u{k}_{12}\right)t}=\\ =A_{21}{e}^{i\left({\omega }_2-u{k}_{21}\right)t}+A_{22}{e}^{i\left({\omega }_3+u{k}_{22}\right)t},\end{array}$

$\begin{array}{l}-\frac{k_{11}}{{\rho }_1}{A}_{11}{e}^{i\left(\omega -u{k}_{11}\right)t}+\frac{k_{12}}{{\rho }_1}{A}_{12}{e}^{i\left({\omega }_1+u{k}_{12}\right)t}=\\ =-\frac{k_{21}}{{\rho }_2}{A}_{21}{e}^{i\left({\omega }_2-u{k}_{21}\right)t}+\frac{k_{22}}{{\rho }_2}{A}_{22}{e}^{i\left({\omega }_3+u{k}_{22}\right)t},\end{array}$

$\begin{array}{l}{A}_{21}{e}^{-\frac{i{\omega }_{2}d}{c_{21}}}{e}^{i\left({\omega }_2-u{k}_{21}\right)t}+A_{22}{e}^{\frac{i{\omega }_{3}d}{c_{22}}}{e}^{i\left({\omega }_3+u{k}_{22}\right)t}=\\ =A_{31}{e}^{-\frac{i{\omega }_{4}d}{c_{31}}}{e}^{i\left({\omega }_4-u{k}_{31}\right)t},\end{array}$

$\begin{array}{l}-\frac{k_{21}}{{\rho }_2}{A}_{21}{e}^{-\frac{i{\omega }_{2}d}{c_{21}}}{e}^{i\left({\omega }_2+u{k}_{21}\right)t}+\\ +\frac{k_{22}}{{\rho }_2}{A}_{22}{e}^{\frac{i{\omega }_{3}d}{c_{22}}}{e}^{i\left({\omega }_3+u{k}_{22}\right)t}=\\ =-\frac{k_{31}}{{\rho }_3}{A}_{31}{e}^{-\frac{i{\omega }_{4}d}{c_{31}}}{e}^{i\left({\omega }_4-u{k}_{31}\right)t}.\end{array}$

Эти соотношения должны выполняться для любого момента времени t, что приводит к условию

$\begin{array}{l}\omega -u{k}_{11}\left(\omega \right)={\omega }_1+u{k}_{12}\left({\omega }_1\right)={\omega }_2-u{k}_{21}\left({\omega }_2\right)=\\ ={\omega }_3+u{k}_{22}\left({\omega }_3\right)={\omega }_4-u{k}_{31}\left({\omega }_4\right).\end{array}$ (2)

Отметим, что частоты ${\omega }_1$ – отраженной от левой границы подвижного слоя волны в первой среде, волны, ${\omega }_2$ – прошедшей во вторую среду, частота волны во втором слое ${\omega }_3,$ отраженной от правой границы подвижного слоя 2, частота ${\omega }_4$ волны, прошедшей в среду 3, в общем случае отличаются от частоты падающей волны $\omega$ и зависят: от скорости движения границы раздела сред u, от скорости движения каждой из сред ${\upsilon }_1,$ ${\upsilon }_2,$ ${\upsilon }_3,$ от типа волноводной структуры и индекса моды m. Следует отметить, что соотношения выполняются для различных типов кусочно-однородных вдоль оси Oz волноводных структур.

Рассмотрим основные особенности, которые вносит поперечная вариация поля. Частота ${\omega }_1,$ отраженной от подвижного слоя волны с индексом m определяется через частоту ω падающей на границу волны с тем же индексом уравнением

$\omega -u{k}_{11mz}\left(\omega \right)={\omega }_{1m}+u{k}_{12mz}\left({\omega }_{1m}\right),$

которое для плоской структуры, показанной на рис. 1 может быть представлено в виде

$\omega -u\sqrt{n_1^2\frac{{\omega }_{}^2}{c^2}-{\left(\frac{m\pi }{2a}\right)}^2}={\omega }_1+u\sqrt{n_1^2\frac{{\omega }_1^2}{c^2}-{\left(\frac{m\pi }{2a}\right)}^2}$ (3)

(здесь $c_1=c).$ Для волновых чисел падающей и отраженной волн имеем соотношение

$k-\frac{u}{с}\sqrt{n_1^2{k}^2-k_{zm}^2}=k_1+\frac{u}{с}\sqrt{n_1^2{k}_1^2-k_{zm}^2}.$ (4)

Частота отраженной волны ${\omega }_1$ в волноводе, включающего движущуюся границу раздела сред, зависит от номера моды m.

На рис. 2–3 показана зависимость относительного изменения частоты отраженных волн от относительной скорости движения границы раздела сред $u/c$ для различных мод. Если слой 2 неподвижен, тогда $u/c<0$ как и следовало ожидать, эффект Доплера не наблюдается $({\omega }_1/\omega =1).$ Увеличение частоты $\left({\omega }_4=\frac{{с}_1-u}{{с}_3-u}\omega \right)$ наблюдается при движении слоя навстречу волне $\left(u/c<0\right),$ уменьшение частоты $\left({\omega }_1/\omega <1\right)$ наблюдается при «убегании» слоя от волны $(u/c>1).$ Случай $m=0$ соответствует одномерной структуре и сводится к известному соотношению [1; 2]:

${\omega }_1=\frac{с-u}{с+u}\omega .$

С увеличением индекса моды m скорость изменения частоты ${\omega }_1/\omega$ в зависимости от скорости движения границы раздела сред $u/c$ уменьшается и при некотором критическом значении скорости $\left(u/c>1\right),$ различном для разных мод m, зависимость ${\omega }_1/\omega$ принимает аномальный характер: уменьшение частоты с ростом скорости меняется на увеличение частоты. При этом сохраняется условие $\left({\omega }_1/\omega <1\right).$

Частота отраженной волны ${\omega }_{1m}$ зависит от индекса возбуждаемой моды m. Это означает, что если граница раздела 1 и 2 сред является неоднородной (например, слой переменной толщины), то отражение от границы раздела сред в волноводе сопровождается возбуждением высших мод и каждой моде соответствует свой доплеровский сдвиг отраженной волны, и спектр отраженного сигнала обогащается увеличением числа мод и увеличением числа частот в отраженной волне.

 

Рис. 2. Зависимость изменения частоты ${\mathit{\omega }}_{\mathbf{1}}\mathbf{/}\mathit{\omega }$ отраженных волн в зависимости от относительной скорости u/c движения границы раздела сред (1 – m = 0; 2 – m = 1; 3 – m = 2; 4 – m = 3; 5 – m = 4, πc/ωa = 0,2, n = 1)

Fig. 2. Dependence of the change in the frequency  of reflected waves depending on the relative velocity u/c of the movement of the interface between the media (1 – m = 0; 2 – m = 1; 3 – m = 2; 4 – m = 3; 5 – m = 4, πc/ωa = 0,2, n = 1)

 

Рис. 3. Зависимость изменения частоты  отраженных волн в зависимости от относительной скорости u/c движения границы раздела сред (1 – m = 0; 2 – m = 1; 3 – m = 2; 4 – m = 3; 5 – m = 4, πc/ωa = 0,2, n = 1)

Fig. 3. Dependence of the change in the frequency  of the reflected waves depending on the relative velocity u/c of the movement of the interface between the media (1 – m = 0; 2 – m = 1; 3 – m = 2; 4 – m = 3; 5 – m = 4, πc/ωa = 0,2, n = 1)

 

Движение слоя приводит к тому, что каждой моде соответствует отдельная частотная составляющая ${\omega }_{1m}$ эффекта Доплера, формируется многомодовый и соответствующий ему многочастотный эффект Доплера [3].

Для волны, прошедшей в третью область, частоты мод прошедших волн ${\omega }_{4m}$ в общем случае отличаются от частоты волны, падающей на границу раздела подвижного слоя, и определяются уравнением

$\omega -u{k}_{11m}\left(\omega \right)={\omega }_{4m}-u{k}_{31m}\left({\omega }_{4m}\right).$ (5)

В частности, для плоской структуры:

$\omega -u\sqrt{\frac{{\omega }_{}^2}{c^2}{n}_1^2-{\left(\frac{m\pi }{2a}\right)}^2}={\omega }_{4m}-u\sqrt{\frac{{\omega }_{4m}^2}{c^2}{n}_3^2-{\left(\frac{m\pi }{2a}\right)}^2}.$

Частоты прошедших в третью сред мод не зависят от параметров второй среды. Отметим, что если параметры первой и третьей сред одинаковые $\left(n_1=n_3\right),$ то прохождение моды $m=1$ не приводит к сдвигу частоты прошедшей волны и ω = ω41. Однако частоты прошедших волн более высокого порядка $\left(m>1\right),$ которые могут возбуждаться неоднородностями структуры, не совпадают с частотой падающей волны $\left(\omega \ne {\omega }_{41}\right).$ В частном случае $m=0$ подвижной границы раздела в свободном пространстве $\left(u/c\ne 0\right)$ имеем известные соотношения для отраженной и прошедшей волн:

${\omega }_1=\frac{{с}_1-u}{{с}_1+u}\omega , {\omega }_4=\frac{{с}_1-u}{{с}_3-u}\omega .$

Для прошедшей волны уменьшение или увеличение частоты доплеровского сдвига зависит от соотношения скоростей распространения волн в первой и третьей средах, и, если скорости волн в этих средах совпадают, доплеровский сдвиг для прошедших волн не наблюдается [6; 7].

В многомодовых волноводных структурах с подвижными средами может наблюдаться эффект Доплера для каждой моды, доплеровский сдвиг частоты зависит от индекса моды, в случае неоднородной структуры будет наблюдаться многомодовый эффект Доплера: отражение многих мод с различными частотными сдвигами по отношению к частоте падающей на неоднородность волны.

Заключение

Изучено влияние невзаимности параметров сред, заполняющих волноводную структуру, на параметры акустических и электромагнитных волноводов. Невзаимность структуры приводит к изменению критических длин волн или частот мод, распространяющихся в волноводе, в частности, к изменению количества распространяющихся мод. Движение среды, вызывающее невзаимность параметров, приводит к изменению волновых чисел и наиболее существенно при скоростях движения сред, сопоставимых со скоростью распространения волн в неподвижной среде.

Рассмотрено прохождение волн через подвижную границу раздела сред в волноводе. Получены соотношения для расчета частот отраженных и прошедших подвижную границу раздела сред в волноводе для основной и высших типов волн в зависимости от скорости движения границы раздела сред и самих сред. При наличии неоднородностей, вызывающих порождение многомодового режима, возникает формирование многокомпонентного спектра частот, соответствующих модовым компонентам, многочастотного эффекта Доплера для отраженных и для прошедших неоднородность волн.

Установлено, что отражение от движущейся границы раздела сред приводит к зависимости изменения частоты отраженного сигнала как от скорости движения границы раздела сред, так и от номера моды. Для высших типов волн эта зависимость наименьшая для малых скоростей движения границы  и наибольшая при больших скоростях $u/c>\mathrm{0,7.}$

About the authors

Elena S. Ustinova

Volga Region State University of Service

Email: nik-098@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-2207-111X

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Information and Electronic Service

Russian Federation, Togliatti

Vladimir I. Volovach

Volga Region State University of Service

Email: volovach.vi@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0201-2545

доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой информационного и электронного сервиса 

Russian Federation, Togliatti

Tatyana A. Antipova

Samara State Medical University

Email: antipovata81@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5499-2170

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Medical Physics, Mathematics and Informatics

Russian Federation, Samara

Kaira A. Adishirin-Zade

Samara State Medical University

Author for correspondence.
Email: adysirinzade67@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-3641-3678

Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor of the Department of Medical Physics, Mathematics and Informatics

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files