Interaction of electromagnetic wave and metamaterial with inductive type chiral inclusions

Full Text

Введение

В настоящее время метаматериалы (греч. «meta» вне, за пределами), т. е. композитные материалы с различными включениями, распределенными как хаотически, так и периодически, широко применяются, в частности, в радиотехнике, при конструировании космических аппаратов, в медицине и т. д. [1–4]. Благодаря этим включениям полученные материалы имеют многие полезные физические, электрические, оптические и другие свойства, которых нет у природных веществ. Среди метаматериалов выделяются вещества с киральными свойствами [5], которые способны вращать плоскость поляризации электромагнитных волн. В оптике аналогом подобных веществ служат оптически активные вещества, например, кварц, раствор глюкозы и др. [6].

Однако методы расчета метаматериалов довольно ограничены [7]. В основном все расчеты базируются на решении уравнений Максвелла и подобранных в соответствии с задачей материальных уравнений.

Существующий подход обладает ограничениями, т. к. обычно используется при большой концентрации киральных включений, причем вводятся осредненные характеристики метаматериалов, например, параметр киральности.

В настоящей работе сделана попытка более детального подхода к свойствам киральных метаматериалов. В частности проведен анализ влияния этих свойств на взаимодействие киральных элементов индуктивного типа с электромагнитной волной, падающей на пластинку из метаматериала.

1. Линейный метод расчета взаимодействия метаматериала с электромагнитной волной

При исследовании метаматериалов с киральными включениями на основе уравнений Максвелла обычно используют материальные уравнения, включающие т. н. параметр киральности  В [8] предложены материальные уравнения в следующем виде:

$\mathit{D}={\epsilon }_a\mathit{E}\mp i\frac{\chi }{V}\mathit{H},$    (1)

$\mathit{B}={\mu }_a\mathit{H}\pm i\frac{\chi }{V}\mathit{E},$    (2)

где D и B – индукции электрического и магнитного полей в электромагнитной волне, взаимодействующей с киральной средой; E и H – напряженности электрической и магнитной составляющей волны; ${\epsilon }_a$ и ${\mu }_a$ – абсолютные электрическая и магнитная проницаемости киральной среды; V – скорость электромагнитной волны в киральной среде; $\chi$ – параметр киральности, в данном случае безразмерная величина.

В [8] показано, что материальные уравнения (1) и (2) можно записать в следующем виде:

$\mathit{D}=\left(1\pm \chi \right){\epsilon }_a\mathit{E},$     (3)

$\mathit{B}=\left(1\pm \chi \right){\mu }_a\mathit{H}.$     (4)

В формулах (1)–(4) верхние знаки относится к правовращающему киральному элементу, нижние к левовращающему.

Используя (3) и (4) можно показать [8], что если киральная среда обладает только реактивными сопротивлениями, электромагнитная волна в ней подчиняется волновым уравнениям:

$\Delta \mathit{D}={\left(\frac{1\pm \chi }{V}\right)}^2\frac{{\partial }^2\mathit{D}}{\partial t^2},$     (5)

$\Delta \mathit{B}={\left(\frac{1\pm \chi }{V}\right)}^2\frac{{\partial }^2\mathit{B}}{\partial t^2},$     (6)

где t – время.

В дальнейшем нас будет интересовать только уравнение (5). Подставляя (3) в (5) и переходя к скалярному потенциалу $\phi$ [9], найдем:

$\Delta \phi ={\left(\frac{1\pm \chi }{V}\right)}^2\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}.$    (7)

Будем искать решение уравнения (7) в виде:

$\phi -{\phi }_0=\phi \left(\mathit{r}\right)\exp \left(i\omega t\right),$    (8)

где ${\phi }_0$ – начальный уровень отсчета потенциала; r – совокупность пространственных координат; $\omega$ – циклическая частота падающей электромагнитной волны.

Подставляя (8) в (7), имеем:

$\Delta \phi \left(\mathit{r}\right)+{\left(1\pm \chi \right)}^2{k}^2\phi \left(\mathit{r}\right)=\mathrm{0,}$    (9)

где $k=\frac{\omega }{V}$ – модуль волнового вектора электромагнитной волны.

Решая уравнение (9), с использованием начальных и граничных условий, можно исследовать процессы отражения, преломления, дифракции электромагнитной волны в метаматериале.

2. Уравнение взаимодействия метаматериала с киральными включениями индуктивного типа и электромагнитной волны

Рассмотрим пластинку из метаматериала с киральными включениями индуктивного типа, состоящую из диэлектрика, в который включены токопроводящие киральные элементы в виде спиралей, ось которых направлена поперек пластинки. Киральные элементы распределены периодически.

 

Рис. 1. Пластинка из метаматериала, облучаемая электромагнитной волной

Fig. 1. A plate of metamaterial irradiated by an electromagnetic wave

 

На рис. 1 показано облучение пластинки электромагнитной волной. Предполагаем, что киральные включения не имеют активного сопротивления. Киральный элемент полностью пронизывает пластинку.

Особенностью пластинки является распределенная по ее поверхностям емкость при точечных индуктивных включениях. Поэтому рассматривать взаимодействие отдельного кирального элемента, имеющего индуктивность и емкость, с электромагнитной волной некорректно.

При облучении на пластинке возникает разность потенциалов, подчиняющаяся уравнению (7). Плотность тока через пластику будет иметь вид:

$j_m=C_m\frac{\partial \phi }{\partial t}+\left(\phi -{\phi }_0\right)g_m,$    (10)

где ${С}_m$ – емкость единицы площади пластинки; $\phi$ – потенциал на пластинке относительно исходного уровня ${\phi }_0;$ $g_m$ – электропроводность единицы площади пластинки за счет индуктивной составляющей.

Первое слагаемое (10) отражает емкостный ток смещения, второе слагаемое – индуктивный ток через киральные элементы.

Для спирального кирального элемента можно записать уравнение баланса напряжений:

$-L_i{S}_i\frac{\partial j_i}{\partial t}=\left(\phi -{\phi }_0\right),$    (11)

где $j_i$ – плотность тока через i-й киральный элемент; $L_i$ – индуктивность i-го кирального элемента; $S_i$ – площадь пластинки, приходящаяся на один киральный элемент, имеющий индуктивную электропроводность $g_i.$

Плотность тока $j_i$ через киральный элемент связана с разностью потенциалов на пластинке и электропроводностью этого кирального элемента $g_i$ по формуле закона Ома:

$j_i{S}_i=g_i\left(\phi -{\phi }_0\right).$    (12)

Подставляя (12) в (11), найдем:

$g_i=-\frac{\left(\phi -{\phi }_0\right)}{L_i\frac{\partial \phi }{\partial t}}.$    (13)

Электропроводность, приходящаяся на единицу пощади пластинки, равна:

$g_m=-\frac{\left(\phi -{\phi }_0\right)}{S_i{L}_i\frac{\partial \phi }{\partial t}},$    (14)

где учтено $g_i=g_m{S}_i.$

Подставив (14) в (10), найдем:

$j_m=C_m\frac{\partial \phi }{\partial t}-\frac{{\left(\phi -{\phi }_0\right)}^2}{S_i{L}_i\frac{\partial \phi }{\partial t}}.$    (15)

Используя $C_i=C_m{S}_i$ – емкость пластинки, приходящуюся на один киральный элемент, и обозначая ${\omega }_0^2=\frac{1}{C_i{L}_i}$ – собственную частоту киральной системы, найдем:

$\frac{j_m}{C_m}\frac{\partial \phi }{\partial t}={\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}^2-{\left(\phi -{\phi }_0\right)}^2{\omega }_0^2.$    (16)

Рассмотрим пластинку, состоящую из одного ряда киральных элементов, рис. 2.

 

Рис. 2. Однорядная киральная пластинка

Fig. 2. Single row chiral plate

 

Вдоль этой пластинки течет индуктивный ток.

Закон электромагнитной индукции для этого тока имеет вид:

$-L\frac{\partial I_X}{\partial t}=\phi -{\phi }_0,$    (17)

где $I_X={\gamma }_X\frac{S}{l}\left(\phi -{\phi }_0\right)$ – продольный индуктивный ток; ${\gamma }_X$ – удельная индуктивная электропроводность однорядной пластинки; L – ее индуктивность; S – площадь поперечного сечения однорядной пластинки; l – ее длина.

Следовательно:

$-{\gamma }_{X}S{L}_1\frac{\partial \phi }{\partial t}=\phi -{\phi }_0,$    (18)

где $L_1=\frac{L}{l}$ – индуктивность единицы длины однорядной пластинки.

По закону Ома для плотности продольного тока имеем:

$j_X=-{\gamma }_X\frac{\partial \phi }{\partial X}.$    (19)

Следовательно:

$d{j}_X=-{\gamma }_X\frac{{\partial }^2\phi }{\partial X^2}dX.$    (20)

Поделив (20) на (18), и сократив на ${\gamma }_X$, найдем:

$d{j}_X=\frac{\phi -{\phi }_0}{S{L}_1\frac{\partial \phi }{\partial t}}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial X^2}dX.$    (21)

С другой стороны, учитывая, что продольный ток определяется только наличием поперечного тока (или наоборот), имеем:

$Sd{j}_X=j_{m}bdX,$    (22)

где b – ширина однорядной пластинки.

Подставляя (21) в (22), имеем:

$j_m=\frac{\phi -{\phi }_0}{L_{1}b\frac{\partial \phi }{\partial t}}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial X^2}.$   (23)

Далее подставляя (23) в (16), найдем:

$\frac{\phi -{\phi }_0}{C_m{L}_{1}b}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial X^2}={\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}^2-{\left(\phi -{\phi }_0\right)}^2{\omega }_0^2.$    (24)

Учитывая ${С}_1={С}_{m}b$ – емкость единицы длины однорядной пластинки и $V^2=\frac{1}{C_1{L}_1}$ – квадрат скорости электромагнитного поля вдоль пластинки, имеем:

$V^2\left(\phi -{\phi }_0\right)\frac{{\partial }^2\phi }{\partial X^2}={\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}^2-{\left(\phi -{\phi }_0\right)}^2{\omega }_0^2.$    (25)

Нелинейное уравнение (25) можно преобразовать к виду, справедливому для пространственной геометрии:

$V^2\Delta \phi +{\omega }_0^2\left(\phi -{\phi }_0\right)=\frac{1}{\phi -{\phi }_0}{\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}^2.$    (26)

Линеаризацию уравнения (26) можно осуществить соотношением (8):

$\Delta \phi \left(\mathit{r}\right)+k_S^2\phi \left(\mathit{r}\right)=\mathrm{0,}$    (27)

где

$k_S^2=\frac{{\omega }_0^2+{\omega }^2}{V^2}=k_0^2+k^2,$

где $k_S$ – волновое число электромагнитной волны в киральной среде.

Заметим, что нелинейное уравнение, аналогичное (25) и (26), возникает при исследовании самоиндуцированной прозрачности вещества [10], при распространении нервного импульса (последовательности потенциалов действия) по нервному волокну [11].

3. Различные виды решений уравнения взаимодействия метаматериала и электромагнитной волны

Линейные уравнения (27) и (9) отражают один и тот же физический процесс – распространение электромагнитных колебаний по киральной пластинке. Различие заключается в том, что при выводе (27), в отличие от (9), не было необходимости использовать материальные уравнения (1)–(4), т. е. параметр киральности не вводился.

На основе тождества уравнений (27) и (9) можно положить:

$k_S^2=k_0^2+k^2={\left(1+\chi \right)}^2{k}^2.$   (28)

В дальнейшем, для определенности предполагаются правовращающие киральные элементы.

Следовательно, параметр киральности можно записать в виде;

$\chi =\sqrt{1+\frac{k_0^2}{k^2}}-1.$    (29)

Если $k_0<<k$ или ${\omega }_0<<\omega$ (собственная частота киральной среды много меньше частоты падающей электромагнитной волны), то формула (29) упрощается:

$\chi =\frac{k_0^2}{2k^2}=\frac{{\omega }_0^2}{2{\omega }^2}.$    (30)

Заметим, что квантово-механический расчет оптически активного вещества [12] приводит к формуле для параметра киральности:

$\chi =\frac{2V\eta }{3\hslash }\frac{{\omega }_{0j}}{{\omega }_{0j}^2-{\omega }^2},$    (31)

где $\hslash$ – приведенная постоянная Планка; $\eta$ – величина пропорциональная произведению действительных частей электрического и магнитного дипольных моментов энергетического перехода оптически активной молекулы, возбуждаемого светом данной длины волны; ${\omega }_{0j}$ – в данном случае частота, соответствующая энергетическому переходу $0\to j$ [13].

Увеличение степени частотной зависимости  до квадратичной в формуле (30) по сравнению с (31) является характерным при переходе из квантовой области в классическую.

На рис. 2 показан иллюстративный график колебаний потенциала на киральной пластинке в соответствии с колебательными решениями, удовлетворяющими уравнениям (9) и (27). Характер колебаний будет исследован ниже.

3.1. Многоволновое решение уравнения взаимодействия метаматериала и электромагнитной волны

Нелинейное уравнение (25) имеет, по крайней мере, еще одно решение в виде последовательности уединенных бегущих волн типа:

$\begin{array}{l}\phi -{\phi }_0=\\ ={\phi }_{\max }\exp \left(-\frac{{\left(k_0\left(X-X_0\right)\pm {\omega }_0\left(t-t_0\right)\right)}^2}{2}\right).\end{array}$    (32)

где $k_0=\frac{{\omega }_0}{V}$ – волновое число собственной бегущей по киральной среде волны; ${\phi }_{\max }$ – амплитудное значение потенциала  $\phi -{\phi }_0;$ $X_0$ – координата центра кирального элемента и, соответственно, максимума (центра) волнового импульса; $t_0$ – время достижения этого максимума. Знак минус относится к волне, распространяющейся слева направо, знак плюс справа налево.

Рост потенциала над киральными включениями, рис. 2, обусловлен пропорциональностью реактивного сопротивления киральных включений их индуктивностям $\phi -{\phi }_0~X_{Li}=\omega L_i.$

Из анализа обоих графиков можно заключить, что верхний график рис. 2 относиться к достаточно частым включениям киральных элементов в пластинке, а нижний к более редким. Поэтому вводить параметр киральности в решение (32) нерационально.

Очевидно, для нелинейных уравнений (25) или (26) должно существовать многоволновое решение. Многоволновые решения найдены для очень ограниченного круга нелинейных волновых уравнений [14; 15]. Многоволновое решение должно зависеть от концентрации киральных элементов в пластинке. Только с его помощью можно понять, при каких условиях можно обоснованно вводить параметр киральности, т. е. понять границы применимости материальных уравнений (1)–(4).

Уравнение (25) допускает многоволновое решение в виде:

$\phi ={\phi }_0+{\phi }_{\max }\sum _{n=1}^N\exp \left(-\frac{{\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right)}^2}{2}\right),$     (33)

где N – количество волн-импульсов, укладывающихся на длине l пластинки, рис. 2, равное количеству киральных элементов; n – текущий номер импульса; $X_{0n}$ – координаты максимумов волн-импульсов, $t_{0n}$ – времена достижения этих максимумов.

Подставляя (33) в (25), найдем:

$V^2\left(\frac{{\partial }^2\phi }{\partial X^2}\right)\sum _{n=1}^N{\phi }_n+{\omega }_0^2{\left(\sum _{n=1}^N{\phi }_n\right)}^2={\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)}^2,$    (34)

где обозначено:

${\phi }_n=\exp \left(-\frac{{\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right)}^2}{2}\right).$    (35)

Находя производные по координате X:

$\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial X^2}=\sum _{n=1}^N{\phi }_n\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-\right.\\ {\left.-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right)}^2{k}_0^2+{\phi }_n{k}_0^2=\\ =k_0^2\sum _{n=1}^N{\phi }_n\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-\right.\\ {\left.-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right)}^2+k_0^2\sum _{n=1}^N{\phi }_n,\end{array}$    (36)

и по времени t:

$\frac{\partial \phi }{\partial t}=-{\omega }_0\sum _{n=1}^N{\phi }_n\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right),$    (37)

подставим (36) и (37) в уравнение (34). Учитывая $k_{0}V={\omega }_0,$ получим:

$\begin{array}{l}\left(\sum _{n=1}^N{\phi }_n\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-\right.\right.\\ \left.{\left.-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right)}^2+\sum _{n=1}^N{\phi }_n\right)\sum _{n=1}^N{\phi }_n=\\ ={\left(\sum _{n=1}^N{\phi }_n\right)}^2+\\ +{\left(\sum _{n=1}^N{\phi }_n\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right)\right)}^2.\end{array}$    (38)

Сокращая в левой и правой частях (38) одинаковые слагаемые ${\left(\sum _{n=1}^N{\phi }_n\right)}^2,$ найдем:

$\begin{array}{l}\sum _{n=1}^N{\phi }_n\sum _{n=1}^N{\phi }_n{\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right)}^2=\\ ={\left(\sum _{n=1}^N{\phi }_n\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right)\right)}^2,\end{array}$    (39)

Рассмотрим два подряд идущих одинаковых импульса $n=\mathrm{1,}2.$ Записывая для этого случая формулу (39), найдем:

$\begin{array}{l}\left({\phi }_1+{\phi }_2\right)\left({\phi }_1{\left(k_0\left(X-X_{01}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{01}\right)\right)}^2+\right.\\ \left.+{\phi }_2{\left(k_0\left(X-X_{02}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{02}\right)\right)}^2\right)=\\ =\left({\phi }_1\left(k_0\left(X-X_{01}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{01}\right)\right)+\right.\\ {\left.+{\phi }_2\left(k_0\left(X-X_{02}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{02}\right)\right)\right)}^2.\end{array}$     (40)

Преобразовывая формулу (40), получим:

$k_0\left(X_{02}-X_{01}\right)-{\omega }_0\left(t_{02}-t_{01}\right)=0.$    (41)

Формула (41) указывает, что расстояние между киральными элементами $\delta =\left(X_{02}-X_{01}\right),$ рис. 2, электромагнитный импульс проходит за время $\left(t_{02}-t_{01}\right)$ со скоростью $V={\omega }_0/k_0.$ Величина $1/\delta$ характеризует линейную концентрацию киральных элементов в пластинке.

Используя в (39) $t_{0n}=X_{0n}/V=k_0{X}_{0n}/{\omega }_0,$ получаем, что выражения в скобках ${\left(k_0\left(X-X_{0n}\right)-{\omega }_0\left(t-t_{0n}\right)\right)}^2={\left(k_0\left(X\right)-\left({\omega }_{0}t\right)\right)}^2$ не зависят от n, их можно вынести за знак суммы и сократить. В результате (39) превращается в тождество.

Следовательно, (33) является многоволновым решением нелинейного уравнения (25).

Наиболее простой вид многоволновое решение (33) приобретает в случае одинакового расстояния между всеми импульсами и, соответственно, между киральными элементами. В этом случае координаты максимумов импульсов $X_{0n}=n\delta ,$ а времена достижения максимумов $t_{0n}=k_0{X}_{0n}/{\omega }_0=k_{0}n\delta /{\omega }_0.$

На рис. 3 для иллюстрации показаны несколько следующих друг за другом импульсов, построенных по формуле (33) при условиях: $V=0$ – отсутствия зависимости от времени (фиксированная во времени картина), ${\phi }_0=\mathrm{0,}$ ${\phi }_{\max }=\mathrm{1,}$ $k_0=\mathrm{2,}$ $\delta =4.$

 

Рис. 3. Следующие друг за другом импульсы в многоволновом решении

Fig. 3. Consecutive impulses in a multiwave solution

 

Таким образом, формула (33), при условии равномерного распределения одинаковых импульсов, является многоволновым периодическим решением нелинейного уравнения (25).

3.2. Решение уравнения взаимодействия метаматериала и электромагнитной волны в виде стоячих волн

Рассмотрим более подробно другой вид волны, возникающей на однорядной киральной пластинке при падении на нее электромагнитной волны.

Стоячие волны чаще всего образуются в линейных системах в результате суперпозиции (интерференции) прямых и отраженных бегущих волн. Однако известно, что стоячие волны могут возникать и в нелинейных системах [16]. Многие физические процессы носят принципиально нелинейный характер и процесс возникновения стоячих волн в таких системах нетривиален. Рассмотрим возможность возникновения стоячих волн в исследуемой киральной среде.

Нелинейные уравнения (25) и (26) можно решить методом Фурье разделения переменных [17]. Рассмотрим решение уравнения (25) в виде:

$\phi -{\phi }_0=\phi \left(X\right)T\left(t\right).$    (24)

где $\phi \left(X\right)$ – функция только координаты Х; $T\left(t\right)$ – функция только времени t.

Подставив (42) в (25), найдем:

$\begin{array}{l}{V}^2\phi \left(X\right)T^2\left(t\right)\frac{{\partial }^2\phi \left(X\right)}{\partial X^2}=\\ ={\left(\phi \left(X\right)\frac{\partial T\left(t\right)}{\partial t}\right)}^2-{\phi }^2\left(X\right)T^2\left(t\right){\omega }_0^2.\end{array}$      (43)

Разделим обе части уравнения на  В результате получим:

$\begin{array}{l}{V}^2\frac{1}{\phi \left(X\right)}\frac{{\partial }^2\phi \left(X\right)}{\partial X^2}+{\omega }_0^2=\\ ={\left(\frac{1}{T\left(t\right)}\frac{\partial T\left(t\right)}{\partial t}\right)}^2=-{\alpha }^2.\end{array}$      (44)

где $\alpha$ – постоянная величина.

Уравнение (44) распадается на два независимых уравнения. Уравнение, зависящее от Х, имеет вид:

$\frac{{\partial }^2\phi \left(X\right)}{\partial X^2}+\left(k_0^2+\frac{{\alpha }^2}{V^2}\right)\phi \left(X\right)=0.$     (45)

Сравнивая (45) и (27), замечаем, что $k_S^2=k_0^2+\frac{{\alpha }^2}{V^2}.$ Следовательно, $k^2=\frac{{\alpha }^2}{V^2}$ и, следовательно, $\alpha =\omega .$

Решение уравнения (45) запишем в виде:

$\phi \left(X\right)=\phi \left(0\right)\exp \left(i{k}_{S}X\right).$    (46)

где $\phi \left(0\right)$ – значение функции $\phi \left(X\right)$ в начале координат.

Второе уравнение равенства (44) имеет вид:

$\frac{\partial T\left(t\right)}{\partial t}=i\omega T\left(t\right).$    (47)

Решая это уравнение, найдем:

$T\left(t\right)=T\left(0\right)\exp \left(i\omega t\right),$     (48)

где $T\left(0\right)$ – начальное значение функции $T\left(t\right).$

Используя (42), (46) и (48), найдем решение уравнения (25) в виде:

$\phi -{\phi }_0={\phi }_{А}\exp \left(i\omega t\right)\exp \left(i{k}_{S}X\right),$    (49)

где обозначено ${\phi }_A=T\left(0\right)\phi \left(0\right)$ – амплитудное значение потенциала $\phi -{\phi }_0$ на пластинке

Функция $\phi -{\phi }_0$ не должна иметь мнимых слагаемых, потенциал – величина действительная. Использование экспонент с мнимыми показателями вводится для удобства преобразований. Реально, в этих экспонентах нужно учитывать только действительные слагаемые. Поэтому формула (49) описывает решение уравнения (25) в виде стоячих волн:

$\begin{array}{l}\phi -{\phi }_0={\phi }_{А}\cos \omega t\cos k_{S}X=\\ ={\phi }_{А}\cos \omega t\cos \frac{2\pi X}{\delta },\end{array}$    (50)

где ${\phi }_A$ – амплитудное значение стоячих волн; $\delta$ – длина волны.

Условие возникновения узлов в стоячей волне $X_{\text{уз}}=\pm \left(2n+1\right)\frac{\delta }{4},$ где $n=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...}$

На концах однорядной киральной пластинки, рис. 2, должны быть узлы стоячей волны. Если возбуждение волны происходит в центре пластинки, то номер максимально удаленного от центра пластинки узла можно найти по формуле $\pm \frac{l}{2}=\pm \left(2n_{\max }+1\right)\frac{\delta }{4}$ или $n_{\max }=\left(\frac{l}{\delta }-\frac{1}{2}\right).$

Нужно отметить, что бегущие волны $\phi -{\phi }_0=\frac{{\phi }_{А}}{2}\cos \left(k_{S}X\pm \omega t\right),$ с учетом $k_S^2=\frac{{\omega }_0^2+{\omega }^2}{V^2},$ не являются решением уравнения (25), поэтому формулу (50) с физической точки зрения нельзя представить, как сумму прямой и отраженной от границ пластинки волн, хотя математически эту процедуру несложно сделать. Это следствие нелинейности уравнения (25).

В заключение интересно проследить графически переход многоволнового решения (33) в решение в виде стоячих волн (50). Этот переход осуществляется при сближении импульсов, рис. 2, 3, т. е. при уменьшении величины $\delta .$

На рис. 4 показаны два графика. График 1 построен по формуле (33) при условиях: $V=\mathrm{0,} {\phi }_0=\mathrm{0,} {\phi }_{\max }=\mathrm{1,} k_0=\mathrm{2,} \delta =2$ для $N=8$ импульсов. График 2 (пунктиром) построен по формуле (50) при условиях ${\phi }_0=\mathrm{0,65}$ и ${\phi }_{А}\cos \omega t=\mathrm{0,38}$ для некоторого момента времени t.

 

Рис. 4. Переход многоволнового решения в решение в виде стоячей волны: 1 – многоволновое решение, 2 – стоячая волна

Fig. 4. Transition of a multiwave solution to a standing wave solution: 1 – multiwave solution, 2 – standing wave

 

Заключение

Распределение потенциала на пластинке из метаматериала с индуктивными киральными включениями исследовано как с использованием материальных уравнений совместно с уравнениями Максвелла, так и на основе детального метода расчета взаимодействия киральных элементов и электромагнитной волны. Сравнение двух подходов позволило выяснить, что введение параметра киральности корректно только при достаточно высокой концентрации киральных включений. На основе сравнения результатов двух методов найдена частотная зависимость параметра киральности. При использовании детального метода расчета взаимодействия киральных элементов и электромагнитной волны получено нелинейное уравнение для потенциала на пластинке из метаматериала, имеющее решения в виде стоячих волн и уединенных волн. Бегущие синусоидальные волны не являются решением этого уравнения. Показано существование многоволнового решения нелинейного уравнения. При уменьшении расстояния между киральными элементами исследован процесс перехода многоволнового решения нелинейного уравнения в решение в виде стоячей волны.

About the authors

Andrey N. Volobuev

Samara State Medical University

Email: volobuev47@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8624-6981

Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Medical Physics, Mathematics and Informatics

Russian Federation, Samara

Tatyana A. Antipova

Samara State Medical University

Email: antipovata81@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7003-5909

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Medical Physics, Mathematics and Informatics

Russian Federation, Samara

Kaira A. Adyshirin-Zade

Samara State Medical University

Author for correspondence.
Email: adysirinzade67@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-3641-3678

Candidate of Pedagogical Sciences, Docent, Head Teacher of the Department of Medical Physics, Mathematics and Informatics

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files