Point spread function of a four-wave radiation converter in a multimode waveguide with Kerr nonlinearity

Full Text

Введение

Интерес к четырехволновому взаимодействию в волноводах обусловлен возможностью реализации в них больших эффективностей преобразования (коэффициентов отражения) за счет увеличения области нелинейного взаимодействия без существенного изменения интенсивностей взаимодействующих волн [1–5].

Использование четырехволновых преобразователей излучения в системах адаптивной оптики, в системах обработки в реальном масштабе времени изображений, временных сигналов [6–9] невозможно без установления соответствия между пространственно-временными характеристиками взаимодействующих волн [10; 11].

В работах [12–15] в приближениях заданного поля по волнам накачки, малого коэффициента отражения с использованием метода функции размытия точки (ФРТ) проанализировано качество обращения волнового фронта (ОВФ) четырехволновыми преобразователями излучения в многомодовых волноводах при использовании сред с различным типом нелинейности, с учетом схемы распространения взаимодействующих волн, пространственной структуры волн накачки. Однако приближение малого коэффициента отражения не позволяет рассмотреть влияние интенсивностей волн накачки на качество обращения волнового фронта.

Целью настоящей работы является исследование качества обращения волнового фронта четырехволновым преобразователем излучения в многомодовых волноводах с керровской нелинейностью при больших коэффициентах отражения, когда необходимо учитывать не только перекачку энергии их волн накачки в сигнальную и объектную волны, но и перекачку энергии из объектной волны в сигнальную и наоборот.

1. Вывод выражения для ФРТ

Расмотрим типичную схему вырожденного четырехволнового взаимодействия $\omega +\omega -\omega =\omega$ со встречными волнами накачки. На нелинейную среду, расположенную между плоскостями $z=0$ и $z=l$ падают две волны накачки с комплексными амплитудами $A_1$ и $A_2$ и сигнальная волна с комплексной амплитудой $A_3$. В результате четырехволнового взаимодействия генерируется объектная волна с комплексной амплитудой $A_4$, распространяющаяся навстречу сигнальной волне и имеющая волновой фронт, обращенный по отношению к волновому фронту сигнальной волны (рис. 1).

 

Рис. 1. Схема четырехволнового взаимодействия

Fig. 1. Scheme of four-wave interaction

 

В приближении заданного поля по волнам накачки, без учета изменения диэлектрической проницаемости среды вследствие самовоздействия, самодифракции волн накачки, система уравнений, описывающая четырехволновое взаимодействие, имеет вид [10]:

$\begin{array}{l}\left\{{\nabla }^2+k^2{n}^2\left(x\right)\right\}{A}_{\mathrm{1,2}}=\mathrm{0,}\\ \left\{{\nabla }^2+k^2{n}^2\left(x\right)\right\}{A}_{\mathrm{3,4}}=\frac{24\pi {\omega }^2{\chi }^{\left(3\right)}}{c^2}{A}_1{A}_2{A}_{\mathrm{4,3}}^{\ast }.\end{array}$ (1)

Здесь ${\chi }^{\left(3\right)}$ – нелинейная восприимчивость; $n\left(x\right)$ – показатель преломления; $k=\omega /c$; $\omega$ – циклическая частота; $c$ – скорость света в вакууме.

Пусть четырехволновое взаимодействие реализуется в волноводе. Разложим амплитуды взаимодействующих волн по модам волновода:

$A_1\left(x,\text{\hspace{0.17em}}z\right)=\sum _{n=0}^N{a}_{1n}\left(z\right){\tilde{f}}_n\left(x\right)\exp \left(-i{\beta }_{n}z\right),$

$\begin{array}{l}{A}_3\left(x,z\right)=\sum _{s=0}^N{a}_{3s}\left(z\right){\tilde{f}}_s\left(x\right)\exp \left(-i{\beta }_{s}z\right),\\ A_2\left(x,z\right)=\sum _{m=0}^N{a}_{1m}\left(z\right){\tilde{f}}_m\left(x\right)\exp \left(i{\beta }_{m}z\right),\end{array}$

$A_4\left(x,z\right)=\sum _{r=0}^N{a}_{4r}\left(z\right){\tilde{f}}_r\left(x\right)\exp \left(i{\beta }_{r}z\right).$ (2)

Здесь $a_{jn}\left(z\right)$ – коэффициенты в разложении амплитуд взаимодействующих волн по модам волновода; ${\tilde{f}}_n\left(x\right)$ – n-я мода волновода; ${\beta }_n$ – постоянная распространения n-й моды; $j=1,4$; $N$ – число отсечки.

С учетом (2) в приближении медленно меняющихся амплитуд система уравнений (1) примет вид

$\frac{d{a}_{1n}}{dz}=\mathrm{0,}\frac{d{a}_{2m}}{dz}=\mathrm{0,}$

$\begin{array}{l}\frac{d{a}_{3s}}{dz}=-i\frac{12\pi {\omega }^2{\chi }^{\left(3\right)}}{c^2{\beta }_s}\times \\ \times \sum _{n=0}^N\sum _{m=0}^N\sum _{r=0}^N{a}_{1n}{a}_{2m}{a}_{4r}^{\ast }{\gamma }_{nmsr}\exp \left(-i{\Delta }_{nmsr}z\right),\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{d{a}_{4r}}{dz}=i\frac{12\pi {\omega }^2{\chi }^{\left(3\right)}}{c^2{\beta }_r}\times \\ \times \sum _{n=0}^N\sum _{m=0}^N\sum _{r=0}^N{a}_{1n}{a}_{2m}{a}_{3s}^{\ast }{\gamma }_{nmsr}\exp \left(-i{\Delta }_{nmsr}z\right),\end{array}$ (3)

где ${\gamma }_{nmsr}=\int {\tilde{f}}_n\left(x\right){\tilde{f}}_m\left(x\right){\tilde{f}}_s\left(x\right){\tilde{f}}_r\left(x\right)dx$ – интеграл перекрытия, ${∆}_{nmsr}={\beta }_n-{\beta }_m-{\beta }_s+{\beta }_r$.

Рассмотрим четырехволновое взаимодействие в длинном волноводе $\left({∆}_{nmsr}l\gg 1, {∆}_{nmsr}\ne 0\right)$. Если волны накачки одномодовые с равными номерами мод $A_{1,2}(x,z)=a_{1,2n}exp\left(\mp i{\beta }_{n}z\right)$, то из условия синхронизма вытекает, что r-я мода объектной волны однозначно связана с r-й модой сигнальной волны.

От системы связанных уравнений для коэффициентов в разложении амплитуд сигнальной и объектной волн по модам волновода (3) можно перейти к дифференциальным уравнениям второго порядка:

$$\frac{d^2{a}_{\mathrm{3,4}r}}{d{z}^2}+G_{nr}^2{a}_{\mathrm{3,4}r}=0.$$  (4)

Здесь

$G_{nr}=\frac{12\pi {\omega }^2{\chi }^{\left(3\right)}}{c^2{\beta }_r}{\gamma }_{nnrr}{a}_{1n}^{\left(0\right)}{a}_{2n}^{\left(0\right)},$

$a_{1n}^{\left(0\right)}=a_{1n}\left(z=0\right), ...a_{2n}^{\left(0\right)}=a_{2n}\left(z=\mathcal{l}\right).$

При выполнении граничных условий

$a_{3s}\left(z=0\right)=a_{3s}^{\left(0\right)},a_{4r}\left(z=\mathcal{l}\right)=0$ (5)

значение коэффициентов в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода на передней грани нелинейного слоя есть

$a_{4r}\left(z=0\right)=-i{a_{3r}^{\left(0\right)}}^{\ast }tg\left(G_{nr}\mathcal{l}\right).$ (6)

Если четырехволновое взаимодействие реализуется в кольцевом резонаторе, осуществляющем обратную связь по сигнальной и объектной волнам, то граничные условия на коэффициенты $a_{3s}$ и $a_{4r}$ имеют вид [16; 17]

$\begin{array}{l}{a}_{3s}\left(z=0\right)=\sqrt{1-R_1}{a}_{3s}^{\left(0\right)}+\sqrt{R_1{R}_2}{a}_{3s}\left(z=\mathcal{l}\right),\\ a_{4r}\left(z=\mathcal{l}\right)=\sqrt{R_1{R}_2}{a}_{4r}\left(z=0\right).\end{array}$ (7)

Здесь $R_1$ – коэффициент отражения полупрозрачного зеркала связи; $R_2$ – коэффициент отражения зеркал, осуществляющих перенос амплитуд сигнальной и объектной волн с одной грани волновода на другую.

С учетом граничных условий (7) значение коэффициентов в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода на передней грани нелинейного слоя есть

$\begin{array}{l}{a}_{4r}\left(z=0\right)=-i\sqrt{1-R_1}\times \\ \times \frac{{a_{3r}^{\left(0\right)}}^{\ast }\sin \left(G_{nr}\mathcal{l}\right)}{\left[1+R_1{R}_2\right]\cos \left(G_{nr}\mathcal{l}\right)-2\sqrt{R_1{R}_2}}.\end{array}$ (8)

При $R_1=R_2=0$ из выражения (8) получается выражение (6).

В качестве сигнальной волны возьмем волну от точечного источника, расположенного на передней грани нелинейного слоя в точке с координатой $x_0$ $\left(A_3(x,z=0)=\delta \left(x-x_0\right)\right)$. Зная выражения для коэффициентов в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода, найдем выражение для ФРТ на передней грани волновода:

$\begin{array}{l}\Gamma \left(x,x_0,z=0\right)=-i\sqrt{1-R_1}\times \\ \times \sum _{r=0}^N\frac{{\tilde{f}}_r\left(x\right){\tilde{f}}_r\left(x_0\right)\sin \left(G_{nr}\mathcal{l}\right)}{\left[1+R_1{R}_2\right]\cos \left(G_{nr}\mathcal{l}\right)-2\sqrt{R_1{R}_2}}.\end{array}$ (9)

При отсутствии обратной связи по сигнальной и объектной волнам выражение для ФРТ примет вид

${\Gamma }_1\left(x,x_0,z=0\right)=-i\sum _{r=0}^N{\tilde{f}}_r\left(x\right){\tilde{f}}_r\left(x_0\right)\text{tg}\left(G_{nr}\mathcal{l}\right).$ (10)

Выражения (9), (10) полностью описывают качество преобразования излучения при четырехволновом взаимодействии в многомодовом волноводе с керровской нелинейностью при наличии (9) и отсутсивии (10) обратной связи по объектной и сигнальной волнам.

2. Анализ результатов

При выполнении условий

$\left[1+R_1{R}_2\right]\cos \left(G_{nr}\mathcal{l}\right)-2\sqrt{R_1{R}_2}=0$ (11)

коэффициент r-й моды в выражении для ФРТ (8) стремится к бесконечности (точка «генерации»), именно эта мода и будет определять вид ФРТ.

В случае отсутствия обратной связи по объектной и сигнальной волнам условие «генерации» (11) перепишется следующим образом:

$\cos \left(G_{nr}\mathcal{l}\right)=0.$ (12)

Если в качестве волновода используется волновод с бесконечно проводящими поверхностями, расположенными на расстоянии 2a, то модами такого волновода являются функции [18]:

${\tilde{f}}_n\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{a}}\sin \left[\frac{\pi \left(n+1\right)}{2a}x\right].$ (13)

Интеграл перекрытия мод волновода с бесконечно проводящими поверхностями есть

${\gamma }_{nnrr}=\frac{1}{4a}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{3,}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}если\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}r=n,\\ \mathrm{2,}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}если\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}r\ne n.\end{array}\right.$ (14)

При выполнении граничных условий (5) первая точка «генерации» наблюдается при условии

$G_{nn}\mathcal{l}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\omega }^2{\chi }^{\left(3\right)}\mathcal{l}}{c^{2}ka}{a}_{1n}^{\left(0\right)}{a}_{2n}^{\left(0\right)}=\frac{1}{18}.$ (15)

Вторая точка «генерации» наблюдается при условии

$G_{nr}\mathcal{l}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\omega }^2{\chi }^{\left(3\right)}\mathcal{l}}{c^{2}ka}{a}_{1n}^{\left(0\right)}{a}_{2n}^{\left(0\right)}=\frac{1}{12}.$ (16)

При записи условий (15), (16) считали, что вид ФРТ определяют приосевые моды волновода $\left({\beta }_r\simeq k\right)$ [14]. Условия (15) и (16) позволяют при известных параметрах волновода с бесконечно проводящими стенками, значении нелинейной восприимчивости найти интенсивности волн накачки, при которых реализуются условия «генерации».

Вблизи первой точки «генерации» вид ФРТ определяет мода волновода, номер которой равен номеру мод волн накачки.

Вблизи второй точки «генерации» вклад в выражения для ФРТ моды волновода, номер которой совпадает с номером мод волн накачки, пренебрежимо мал. С увеличением числа приосевых мод, учитываемых при расчете ФРТ, отсутствие одной моды в выражениях (9) и (10) слабо сказывается на виде ФРТ. Таким образом, вблизи второй точки «генерации» четырехволновой преобразователь излучения осуществляет преобразование сигнальной волны с высоким качеством и большим коэффициентом отражения.

Наличие двух точек «генерации» при четырехволновом взаимодействии в волноводе с бесконечно проводящими поверхностями предполагает наличие в выражении для ФРТ моды, номер которой равен номеру мод волн накачки. Если это условие не выполняется (например, рассматривается функция размытия точки, расположенной на оси волновода, и номер мод волн накачки нечетный), то для этой точки существует одна точка «генерации», определяемая выражением (16).

Рассмотрим в качестве волновода параболический волновод $\epsilon \left(x\right)=n_1^2[1-2{\epsilon }_2{(x/x_q)}^2],$ модами которого являются функции Гаусса – Эрмита [18]:

${\tilde{f}}_n\left(x\right)=\sqrt[4]{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!{\omega }_0}}{H}_n\left(\frac{x\sqrt{2}}{{\omega }_0}\right)\exp \left(-\frac{x^2}{{\omega }_0^2}\right).$ (17)

Здесь

$H_n\left(\frac{x\sqrt{2}}{{\omega }_0}\right)$ – функция Эрмита n-го порядка, ${\omega }_0^2=\frac{2x_q}{k\sqrt{2{\epsilon }_2}}.$

С учетом (17) выражение для ФРТ (10) примет вид

$\begin{array}{l}{\Gamma }_2\left(x,x_0,z=0\right)=-i\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sum _{r=0}^{N_1}\frac{1}{2^{r}r!{\omega }_0}\times \\ \times H_r\left(\frac{x_0\sqrt{2}}{{\omega }_0}\right)H_r\left(\frac{x\sqrt{2}}{{\omega }_0}\right)\exp \left(-\frac{x^2+x_0^2}{{\omega }_0^2}\right)tg\left(G_{nr}\mathcal{l}\right)\text{\hspace{0.17em}}.\end{array}$ (18)

Вид ФРТ существенным образом зависит от интеграла перекрытия. Подробный анализ интеграла перекрытия четырех мод параболического волновода приведен в работе [12]. Интеграл перекрытия ${\gamma }_{nmrr}$ имеет максимум при $n=r$. По мере увеличения разности между номерами мод $\left|n-r\right|$ значение интеграла перекрытия монотонно уменьшается.

На рис. 2 приведены характерные графики нормированного модуля ФРТ четырехволнового преобразователя излучения ($\widetilde{Г}=\left|{\Gamma }_2(x,x=\mathrm{0,}z=0)/{\Gamma }_{\mathrm{2,}\max }\right|, {Г}_{2,max}$ – наибольшее значение модуля ФРТ) при различных значениях нормированной интенсивности волн накачки

$\left(G_0=\frac{12\pi {\omega }^2{\chi }^{\left(3\right)}\mathcal{l}}{c^{2}k}{\gamma }_{0000}{a}_{1n}^{\left(0\right)}{a}_{2n}^{\left(0\right)}\right)$.

 

Рис. 2. Зависимость модуля ФРТ от поперечной координаты при $k{\omega }_0=20, N_1=20, n=0, G_0={10}^{-3}$(а), 1,57 (б – первая точка «генерации»), 3 (в), 4,19 (г – вторая точка «генерации»)

Fig. 2. Dependence of the PSF modulus on the transverse coordinate at $k{\omega }_0=20, N_1=20, n=0, G_0={10}^{-3}$(a), 1,57 (b – the first «generation» point), 3 (c), 4,19 (d is the second point of «generation»)

 

Как и при четырехволновом взаимодействии в волноводе с бесконечно проводящими поверхностями, при четырехволновом взаимодействии в параболическом волноводе для волн накачки с номерами мод $n=0, 2, 6, ...$ первая точка «генерации» наблюдается при совпадении номера моды объектной волны с номером мод волн накачки (рис. 2, б). Вблизи этой точки «генерации» вид ФРТ определяет мода волновода, номер которой совпадает с номером мод волн накачки.

Уменьшение с увеличением номера мод волн накачки значения интеграла перекрытия ${\gamma }_{nnnn}$ приводит к росту интенсивности волн накачки, при которых реализуется условие «генерации».

В отличие от четырехволнового преобразователя излучения в волноводе с бесконечно проводящими поверхностями, для четырехволнового преобразователя излучения в параболическом волноводе число точек «генерации» равно числу мод, учитываемых при нахождении ФРТ. Вблизи этих точек «генерации» вид ФРТ определяет одна мода волновода с номером $r\ne n$ (рис. 2, г).

На рис. 3 для волн накачки с номером моды $n=0$ приведена зависимость полуширины центрального максимума ФРТ $\left(∆x\right)$ определяемая из уравнения

$\left|{\Gamma }_2\left(x=\Delta x,x=\mathrm{0,}z=0\right)\right|=\frac{1}{2}{\Gamma }_{\mathrm{2,}\max },$ (19)

от нормированной интенсивности волн накачки. По мере приближения интенсивности волн накачки к интенсивности, при которой реализуется условие наблюдения первой точки «генерации», полуширина модуля ФРТ увеличивается, что свидетельствует об ухудшении качества преобразования излучения. При дальнейшем увеличении интенсивности волн накачки $\left(G_0\ge 1.7\right)$ основная доля энергии изображения точечного сигнала перестает быть сосредоточена в центральном максимуме (рис. 2, в), что не позволяет использовать значение  для оценки качества ОВФ.

 

Рис. 3. Зависимость полуширины модуля функции размытия точки от интенсивности при $k{\omega }_0=20, N_1=20$

Fig. 3. Dependence of the half-width of the modulus of the point blur function on the intensity at $k{\omega }_0=20, N_1=20$

 

Учет наличия положительной обратной связи по объектной и сигнальной волнам без изменения вида ФРТ значительно снижает значения интенсивностей волн накачки, при которых реализуется условие «генерации»:

$G_{nr}\mathcal{l}=\arccos \left(\frac{2\sqrt{R_1{R}_2}}{1+R_1{R}_2}\right).$ (20)

Так, например, при параметрах кольцевого резонатора $R_1=0,5, R_2=0,8$ значения интенсивности волн накачки, при котором наблюдается первая точка «генерации» при четырехволновом взаимодействии в волноводе с бесконечно проводящими поверхностями, оказывается в 3 раза меньше, чем при отсутствии обратной связи по объектной и сигнальной волнам.

Заключение

Учет перекачки энергии из сигнальной волны в объектную и наоборот при четырехволновом взаимодействии в волноводе с керровской нелинейностью при одномодовых волнах накачки приводит к появлению точек «генерации», в которых коэффициент отражения стремится к бесконечности. Найдены условия на параметры волновода, волн накачки, при которых реализуется условие «генерации». Вблизи первой точки «генерации» вид ФРТ определяет мода волновода, номер которой совпадает с номером мод волн накачки.

Наличие положительной обратной связи на сигнальную и объектную волны без изменения вида ФРТ приводит к значительному уменьшению значения интенсивностей волн накачки, при которых реализуется условие «генерации».

About the authors

Elena V. Vorob’eva

Samara National Research University

Email: loginovaely@mail.ru

was born in 1977, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Optics and Spectroscopy, Samara National Research University, Samara, Russia.

Research interests: nonlinear optics, dynamic holography.

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Valery V. Ivakhnik

Samara National Research University

Email: ivakhnik@ssau.ru

was born in 1951, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Optics and Spectroscopy, Samara National Research University, Samara, Russia.

Research interests: nonlinear optics, dynamic holography.

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Darkhan R. Kapizov

Samara National Research University

Email: darkhankapizov@gmail.com

was born in 1996, 1st year postgraduate student of the Department of Optics and Spectroscopy, Samara National Research University, Samara, Russia.

Research interests: nonlinear optics, dynamic holography.

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Vladimir I. Nikonov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: nikon5919@mail.ru

was born in 1959, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Optics and Spectroscopy, Samara National Research University, Samara, Russia.

Research interests: nonlinear optics, dynamic holography.

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

References

Supplementary files