Influence of detuning and Kerr nonlinearity on atom-atom entanglement in the double two-photon Jaynes–Cummings model

Full Text

Введение

Перепутывание является фундаментальным понятием квантовой физики, играющим ключевую роль как для понимания роли нелокальных корреляций в квантовой механике, так и для практических приложений в физике квантовых вычислений и квантовых коммуникаций [1]. Потому в последние годы было потрачено много усилий для изучения как свойств и количественных мер перепутывания квантовых объектов различной физической природы, так и механизмов контроля и управления перепутанными состояниями. Квантовая электродинамика резонатора (РКЭД) является приоритетным инструментом для исследований перепутанных состояний кубитов, взаимодействующих с квантовыми полями резонаторов. В последние годы удалось экспериментально наблюдать перепутанные состояния кубитов на нейтральных атомах, ионах в магнитных ловушках, сверхпроводящих кольцах, квантовых точках и примесных спинах [2]. Теоретические исследования систем кубитов, взаимодействующих с выделенными модами резонаторов, основаны на модели Джейнса – Каммингса (МДК) и ее обобщениях [3]. Хорошо известно, что модель Джейнса – Каммингса (МДК) является простейшей из возможных физических моделей, которая описывает взаимодействие естественного или искусственного двухуровневого атома (кубита) с одномодовым полем резонатора и может быть использована для описания широкого круга явлений в квантовой оптике и конденсированных средах. Для того чтобы исследовать более широкий спектр явлений, обусловленных взаимодействием кубитов с квантовыми полями резонаторов, в последние годы были рассмотрены многочисленные обобщения МДК (см. ссылки в [4]). Йонак и соавторы [4; 5] предложили так называемую двойную модель Джейнса – Каммингса (ДМДК), которая состоит из двух двухуровневых атомов (кубитов) и двух резонаторных мод при условии, что каждый атом взаимодействует только с одним полем. Они обнаружили, что для слабых малофотонных полей резонаторов перепутывание кубитов не является стабильным, парметр перепутывания кубитов испытывает периодические осцилляции Раби, при этом наблюдается эффект мгновенной смерти перепутывания. В последнее время ДМДК была тщательно исследована (см. ссылки [6; 7]). При этом было показано, что керровскпя нелинейность среды резонатора может использоваться для усиления максимальной степени перепутывания кубитов и для подавления эффекта мгновенной смерти перепутывания. Однофотонная двойная модель Джейнса – Каммингса может быть расширена до нелинейной версии, известной как двухфотонная ДМДК [9]. В последнее время в ряде работ было показано, что расстройка может также быть использована для стабилизации атом-атомного перепутывания [22–24]. В данной работе мы провели исследование влияния расстройки между атомами и двойной частотой мод полей и керровской нелинейности в обоих модах резонаторов на атом-атомное перепутывание для различных перепутанных начальных атомных состояний в рамках двухфотонной ДМДК.

1. Модель и ее точное решение

Рассмотрим два идентичных двухуровневых атома (кубита), которые будем обозначать как A и B с энергетической щелью $\hslash {\omega }_0$ и две одинаковые независимые резонаторые моды двух копланарных микроволновых резонаторов, которые будем обозначать как a и b, с частотами ${\omega }_a={\omega }_b=\omega .$ Пусть кубит A нерезонансно взаимодействует с полем одномодового резонатора a, а кубит B нерезонансно взаимодействует с полем одномодового резонатора b. Положим, что оба взаимодействия носят двухфотонный характер. Выберем для рассмотрения случай, когда константы связи между кубитами и полями равны. Пусть в обоих резонаторах также имеется дополнительная среда Керра. В системе отсчета, вращающейся с удвоенной частотой мод полей, гамильтониан данной системы в приближении вращающейся волны может быть представлен в виде

$H=\left(1/2\right)\hslash ∆\left({\sigma }_A^z+{\sigma }_B^z\right)+\hslash {\gamma }_a\left({\sigma }_A^{+}{a}^2+a^{+2}{\sigma }_A^{-}\right)+$

$+\hslash {\gamma }_b\left({\sigma }_B^{+}{b}^2+b^{+2}{\sigma }_B^{-}\right)+{\chi }_a{a}^{+2}{a}^2+{\chi }_b{b}^{+2}{b}^2,$ (1)

где $\left(1/2\right){\sigma }_i^z$ – оператор инверсии в i-м кубите $\left(i=A, B\right)$; ${\sigma }_i^{+}=\left|+{⟩}_{ii}⟨-\right|$ и ${\sigma }_i^{-}=\left|-{⟩}_{ii}⟨+\right|$ ‒ операторы перехода между возбужденным $\overline{)+{⟩}_i}$ и основным $\overline{)-{⟩}_i}$ состояниями в i-м кубите; $a^{+}$ и $a$ ‒ операторы рождения и уничтожения фотонов моды резонатора a; $b^{+}$ и $b$ ‒ операторы рождения и уничтожения фотонов моды резонатора b; ${\gamma }_a$ ‒ постоянная связи между кубитом A и модой резонатора a; ${\gamma }_b$ ‒ постояная связи между кубитом B и модой резонатора b; ${\chi }_a$ ‒ параметр керровской нелинейности для резонатора a; ${\chi }_b$ ‒ параметр керровской нелинейности для резонатора b, и $\delta ={\omega }_0-2\omega$ – расстройка. Положим для простоты ${\gamma }_a={\gamma }_b=\gamma$; ${\chi }_a={\chi }_b=\chi$.

Выберем в качестве начального состояния двух кубитов перепутанное состояние белловского типа

$\overline{)\Psi \left(0\right){⟩}_A}=\overline{)\cos \theta }+\mathrm{,} -⟩+\overline{)\sin \theta }-\mathrm{,}+⟩$ (2)

или

$\overline{)\Psi \left(0\right){⟩}_A}=\overline{)\cos \theta }+\mathrm{,} +⟩+\overline{)\sin \theta }-\mathrm{,}-⟩,$ (3)

где $\theta$ – параметр, определяющий степень начального перепутывания кубитов. Для перепутанных состояний $0<\theta <\pi$. В случае $\theta =0$ или $\theta =\pi$ кубиты находятся в одном из сепарабельных состояний.

В качестве начального состояния полей резонаторов выберем вакуумное состояние $\overline{)0, 0⟩}$ Тогда полное начальное состояние для рассматриваемой модели имеет вид

$\left|\Psi \right(0)⟩=|\Psi \left(0\right){⟩}_A\otimes |\mathrm{0,0}⟩,$ (4)

или

$\left|\Psi \right(0)⟩=|\Psi \left(0\right){⟩}_A\otimes |\mathrm{0,0}⟩,$ (5)

Решая квантовое уравнение Лиувилля, мы можем найти временную волновую функцию системы. Для начального состояния (4) временная волновая функция может быть представлена в следующей форме:

$\begin{array}{l}\left|\Psi \right(t)⟩=X_1(t\left)\right|+,-;\mathrm{0,0}⟩+X_2\left(t\right)|-,+;\mathrm{0,0}⟩+\\ +X_3\left(t\right)|-,-;\mathrm{2,0}⟩+X_4(t\left)\right|-,-;\mathrm{0,2}⟩.\end{array}$ (6)

Здесь

$\begin{array}{l}{X}_1\left(t\right)=\cos \theta e^{-i(2\tilde{\chi }-\delta )t/2}\times \\ \times \left[{\Omega }_3\cos ({\Omega }_{3}t/2)+i(2\tilde{\chi }-\delta )\sin ({\Omega }_{3}t/2)\right]/{\Omega }_3,\end{array}$

$\begin{array}{l}{X}_2\left(t\right)=\sin \theta e^{-i(2\tilde{\chi }-\delta )t/2}\times \\ \times \left[{\Omega }_3\cos ({\Omega }_{3}t/2)+i(2\tilde{\chi }-\delta )\sin ({\Omega }_{3}t/2)\right]/{\Omega }_3,\end{array}$

$X_3\left(t\right)=i\cos \theta 2\sqrt{2}\gamma e^{-i(2\tilde{\chi }-\delta )t/2}\sin ({\Omega }_{3}t/2)/{\Omega }_3,$

$X_4\left(t\right)=-i\sin \theta 2\sqrt{2}\gamma e^{-i(2\tilde{\chi }-\delta )t/2}\sin ({\Omega }_{3}t/2)/{\Omega }_3,$

где ${\Omega }_3=\sqrt{(\delta -2\chi ~{)}^2+8{\gamma }^2}$ и $\delta =\Delta /\gamma ,$ $\tilde{\chi }=\chi /\gamma \hslash \mathrm{.}$

Для начального состояния (5) временная волновая функция имеет вид

$\begin{array}{l}\left|\Psi \right(t)⟩=X_1(t\left)\right|+,+;\mathrm{0,0}⟩+X_2\left(t\right)|-,-;\mathrm{0,0}⟩+\\ +X_3\left(t\right)|+,-;\mathrm{0,2}⟩+X_4(t\left)\right|-,+;\mathrm{2,0}⟩+X_5\left(t\right)|-,-;\mathrm{2,2}⟩.\end{array}$ (7)

Здесь

$\begin{array}{l}{X}_1\left(t\right)=\cos \theta e^{-2i\tilde{\chi }t}[4{\gamma }^2+{\Omega }_5^2\cos ({\Omega }_{4}t)+\\ +(2\tilde{\chi }-\delta ){\Omega }_4\sin \left({\Omega }_4\gamma t\right)]/{\Omega }_4^2,\end{array}$

$X_2\left(t\right)=\sin \theta e^{i\delta t},$

$\begin{array}{l}{X}_3\left(t\right)=X_4\left(t\right)=2\cos \theta \gamma e^{-2i\tilde{\chi }t}\times \\ \times \left[2\right(2\tilde{\chi }-\delta \left){\sin }^2\right({\Omega }_{4}t/2)-i{\Omega }_4\sin ({\Omega }_{4}t\left)\right]/{\Omega }_4^2,\end{array}$

$X_5\left(t\right)=\cos \theta {\gamma }^2{e}^{-2i\tilde{\chi }t}[1-\cos ({\Omega }_{4}t\left)\right]/{\Omega }_4^2,$

где ${\Omega }_4=(1/2){\Omega }_3.$

2. Перепутывание кубитов

Для двухкубитной системы, описываемой матрицей атомной плотности ${\rho }_A\left(t\right)$ мера перепутывания или отрицательности может быть определена в терминах отрицательных собственных значений ${\mu }_i^{-}$ частично транспонированной редуцированной атомной матрицы плотности $\left({\rho }_A^{T_1}\right)$ [25; 26]

$\epsilon =-2\sum {\mu }_i^{-}$ (8)

В случае, когда $\epsilon =0$ два кубита являются сепарабельными (т. е. они неперепутаны), а условие $\epsilon >0$ означает наличие атом-атомного перепутывания. Случай $\epsilon =1$ указывает на максимальную запутанность.

Используя временную волновую функцию, можно получить полную матрицу плотности для всей системы в виде

$\rho \left(t\right)=\left|\Psi \right(t)⟩⟨\Psi (t\left)\right|.$

Взяв след по полевым переменным от полной матрицы плотности, можно получить редуцированную атомную матрицу плотности. Для начального состояния (4) она имеет вид

 (9)

Частично транспонированая по переменным одного кубита редуцированная атомная матрица плотности для (9) имеет вид

${\rho }_A^{T_1}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& X_2{X}_1^{*}\\ 0& |X_1{|}^2& 0& 0\\ 0& 0& |X_2{|}^2& 0\\ X_1{X}_2^{*}& 0& 0& |X_3{|}^2+|X_4{|}^2\end{array}\right).$ (10)

Матрица (10) имеет только одно собственное значение, которое может быть отрицательным. В результате в рассматриваемом случае отрицательность можно записать в виде

$\begin{array}{l}\epsilon \left(t\right)=\sqrt{{\left(\right|X_3{|}^2+\left|X_4{|}^2\right)}^2+4|X_1{X}_2^{*}{|}^2}-\\ -|X_3{|}^2-|X_4{|}^2.\end{array}$ (11)

Для начального состояния (5) редуцированная матрица плотности имеет вид

${\rho }_A\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}|X_1{|}^2& 0& 0& X_1{X}_2^{*}\\ 0& |X_3{|}^2& 0& 0\\ 0& 0& |X_4{|}^2& 0\\ X_1^{*}{X}_2& 0& 0& |X_2{|}^2+|X_5{|}^2\end{array}\right).$ (12)

Частично транспонированная по переменным одного кубита редуцированная атомная матрица плотности для (12) принимает вид

${\rho }_A^{T_1}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}|X_1{|}^2& 0& 0& 0\\ 0& |X_3{|}^2& X_1{X}_2^{*}& 0\\ 0& X_1^{*}{X}_2& |X_4{|}^2& 0\\ 0& 0& 0& |X_2{|}^2+|X_5{|}^2\end{array}\right).$ (13)

Матрица (13) также имеет только одно собственное значение, которое может быть отрицательным. В результате в рассматриваемом случае отрицательность можно записать как

$\begin{array}{l}\epsilon \left(t\right)=\sqrt{{\left(\right|X_2{|}^2+\left|X_5{|}^2\right)}^2+4|X_1{X}_2^{*}{|}^2}-\\ -|X_2{|}^2-|X_5{|}^2.\end{array}$ (14)

Результаты численного моделирования параметров перепутывания кубитов (11) и (14) представлены на рис. 1 и 2.

 

Рис. 1. Отрицательность как функция безразмерного времени $\gamma t$ для начального перепутанного атомного состояния (2). Параметр $\tilde{\chi }=0$ расстройка $\delta =0$ (сплошная), $\delta =5$ (пунктирная), $\delta =20$ (точечная) (а); расстройка $\delta =0$, $\tilde{\chi }=0$ (сплошная), $\tilde{\chi }=3$(пунктирная), $\tilde{\chi }=5$(точечная) (б). Параметр $\theta =\pi /4$

Fig. 1. Negativity as a function of dimensionless time $\gamma t$ for the initial entangled atomic state (2). Parameter, $\tilde{\chi }=0$ detuning, $\delta =0$ (solid), $\delta =5$ (dashed), $\delta =20$ (dotted) (a); detuning, $\delta =0$, $\tilde{\chi }=0$ (solid), $\tilde{\chi }=3$ (dashed), $\tilde{\chi }=5$ (dotted) (b). Parameter $\theta =\pi /4$

 

Рис. 2. Отрицательность как функция безразмерного времени $\gamma t$ для для начального перепутанного атомного состояния (3). Параметр $\tilde{\chi }=0$ расстройка $\delta =0$ (сплошная), $\delta =5$ (пунктирная), $\delta =20$ (точечная) (а); расстройка $\delta =0, \tilde{\chi }=0$(сплошная), $\tilde{\chi }=3$ (пунктирная), $\tilde{\chi }=5$ (точечная) (б). Параметр $\theta =\pi /6$

Fig. 2. Negativity as a function of dimensionless time $\gamma t$ for the initial entangled atomic state (3). Parameter, $\tilde{\chi }=0$ detuning, $\delta =0$ (solid), $\delta =5$ (dashed), $\delta =20$ (dotted) (a); detuning, $\delta =0, \tilde{\chi }=0$ (solid), $\tilde{\chi }=3$ (dashed), $\tilde{\chi }=5$ (dotted) (b). Parameter $\theta =\pi /6$

 

3. Результаты и обсуждение

Отрицательность для запутанного начального атомного состояния (2) изображена на рис. 1, a как функция безразмерного времени $\gamma t$ для резонаторов, в которых отсутствует керровская среда, т. е. $\tilde{\chi }=0$ и различными значениями параметра расстройки. Представлены графики для значений параметра расстройки $\delta =0$ (сплошная линия), $\delta /\gamma =5$ (пунктирная линия) и $\delta /\gamma =20$ (точечная линия). На рис. 1, б показана временная зависмость отрицательности для начального состояния (2) резонансного взаимодействия кубитов с полями, т. е. для модели для случая $\delta =0$, и различные значения коэффициента керровской нелинейности $\tilde{\chi }=0$ (сплошная линия), $\tilde{\chi }/\gamma =3$ (пунктирная линия) $\tilde{\chi }/\gamma =20$ (точечная линия) Для всех кривых, представленных на рис. 1, параметр $\theta =\pi /4$. Из рис. 1 хорошо видно, что для рассматриваемого начального состояния отсутствует эффект мгновенной смерти перепутывания для любых значений парметров модели (указанная особенность имеет место и для любых других значений парамера $0<\theta <\pi$). Из рис. 1 также видно, что с увеличением расстройки или коэффициента керровской нелинейности флуктуация отрицательности уменьшается. Следовательно, расстройка и керровская нелинейность могут стабилизировать наведенное перепутывание между двумя кубитами, что может быть полезным в осуществлении контроля за степенью атом-атомного перепутывания. Поведение параметра отрицательности для начального перепутанного атомного состояния (3) и $\theta =\pi /4$ аналогично для начального состояния (2). На рис. 2 показана отрицательность как функция безразмерного времени $\gamma t$ для начального атомного состояния (3) и $\theta =\pi /6$. На рис. 2, а рассмотрена модель без керровской среды, т. е. $\tilde{\chi }=0$ а параметр расстройки выбран равным: $\delta =0$ (сплошная линия), $\delta /\gamma =5$ (пунктирная линия), $\delta /\gamma =20$ (точечная линия). Соответственно, на рис. 2, б $\delta =0$, а коэффициенты керровской нелинейности равны: $\tilde{\chi }=0$ (сплошная линия), $\tilde{\chi }/y=3$ (пунктирная линия) и $\tilde{\chi }/y=20$ (точечная линия). Из рис. 2 видно, что в рассматриваемом случае возникает эффект мгновенной смерти перепутывания. Мгновенная смерть перепутывания – это исчезновение перепутывания состояний атомов на временах, меньших времени декогеренции изучаемой системы. При увеличении расстройки или коэффициента керровской нелинейности эффект мгновенной смерти перепутывания исчезает. Это означает, что как расстройка, так и керровская среда могут эффективно подавлять этот эффект.

Заключение

В этой статье мы исследовали перепутывание между двумя идентичными кубитами, которые взаимодействуют с двумя независимыми модами копланарных идеальных резонаторов посредством двухфотонных переходов. Мы учли расстройку и керровскую нелинейность в обеих модах. Мы рассмотрели два начальных перепутанных атомных состояния белловского типа и вычислили временное поведение отрицательности для различных значений параметров модели. Результаты показывают, что оба эти параметра оказывают большое влияние на поведение параметра перепутывания кубитов. Наличие расстройки и керровской нелинейности приводит к стабилизации перепутывания для всех начальных атомных состояний белловского типа. Для начального перепутанного состояния кубитов вида (3) расстройка и наличие керровской среды в резонаторах могут предотвратить нежелательный эффект мгновенной смерти перепутывания состояний кубитов.

About the authors

Rodion K. Zakharov

Samara National Research University

Email: ssau@ssau.ru

1st year postgraduate student of the Department of General and Theoretical Physics, Samara National Research University, Samara, Russia. In 2020, he graduated from the magistracy of the Physics Department of the Samara National Research University. Author of two scientific papers.

Research interests: quantum optics and quantum radiophysics, quantum informatics.

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Evgeny K. Bashkirov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: bash@samsu.ru
ORCID iD: 0000-0003-2569-1322

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics, Samara National Research University, Samara, Russia. In 1978, he graduated from the Physics Department of Kuibyshev State University and in 1984 - post graduated from Moscow State University. Author of over 350 scientific papers.

Research interests: quantum optics and quantum radiophysics, quantum informatics, theory of nonequilibrium phenomena.

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

References

Supplementary files