Solution of the internal and external problems of electrodynamics for a symmetrical vibrator with a reflector made of parallel straight conductors
- Authors: Tabakov D.P.1, Al-Nozaili B.2
-
Affiliations:
- Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics
- Samara National Research University
- Issue: Vol 27, No 2 (2024)
- Pages: 7-21
- Section: Articles
- URL: https://journals.ssau.ru/pwp/article/view/27697
- DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2024.27.2.7-21
- ID: 27697
Cite item
Full Text
Abstract
Background. The work is aimed at the development and research of rigorous methods for calculating multi-element emitting and re-emitting structures, consisting mainly of the same type of elements, as well as studying the physical processes occurring in them. An iterative approach to solving the internal problem is proposed, which allows minimizing the cost of computer time and computer memory.
Aim. In this work, using the proposed approach, we solve the internal and external problems of electrodynamics for a symmetrical vibrator with a reflector made of parallel straight conductors. The convergence of the iterative process is studied, the currents on the elements of the structure, its input resistance and radiation characteristics are calculated.
Methods. The research is based on a strict electrodynamic approach, within the framework of which, for the specified structure in the thin-wire approximation, an integral representation of the electromagnetic field is formed, which, when considered on the surface of conductors together with boundary conditions, is reduced to a system of Fredholm integral equations of the second kind, written relative to unknown current distributions on conductors (internal task). The solution of the internal problem within the framework of the method of moments is reduced to solving a SLAE with a block matrix.
Results. A mathematical model of a radiating structure is proposed, which is a symmetrical vibrator with a reflector made of parallel straight conductors. The internal and external problems of electrodynamics are formulated and solved for given parameter values. An effective algorithm for calculating the block matrix of SLAEs is proposed. Recommendations are given for the selection of systems of projection functions within the framework of the method of moments. The convergence of the iterative process for solving an internal problem of electrodynamics has been studied. The input resistance of the structure and the basic characteristics of its radiation are determined.
Conclusion. A rational choice of systems of projection functions, based on the properties of the structure and its constituent elements, makes it possible to significantly reduce the size of the SLAE matrix and, accordingly, reduce computational costs. Taking into account the properties of the structure and its constituent elements also makes it possible to construct effective algorithms for calculating the SLAE matrix. It is shown that the convergence of the iterative process may be absent near resonant frequencies, therefore, when solving the internal problem, a combined approach should be used, which involves the use of both rigorous and approximate methods for solving SLAEs. At non-resonant frequencies, the iterative approach demonstrates its effectiveness. It is concluded that for such structures it is advisable to distinguish between resonant and non-resonant operating modes. In the non-resonant mode, the current functions have a fairly smooth dependence on frequency; in the resonant mode, these dependences become quite sharp and difficult to predict. In this regard, the task of developing an iterative approach to solving the internal problem of electrodynamics in resonant operating modes seems relevant.
Full Text
Введение
Моделирование распределения токов на многоэлементных излучающих структурах имеет особое значение в теории антенн. При проектировании таких излучающих структур необходимо учитывать взаимодействие между их отдельными элементами, что является довольно сложной задачей. Долгое время в инженерной практике для расчета взаимодействия использовался метод наведенных ЭДС. Основные принципы этого метода изложены в работе [1]. Метод наведенных ЭДС позволяет находить наведенные собственные сопротивления элементов антенны, а также амплитуды и фазы токов в пассивных элементах. Из недостатков метода отметим, что он накладывает определенные ограничения на длину и расстояние между элементами в силу использования приближенных распределений тока.
Сейчас для решения таких задач применяют системы автоматизированного проектирования, использующие в своей основе методы моментов [2], конечных элементов и конечных разностей [3]. К недостаткам такого подхода можно отнести высокие требования к ЭВМ, большую стоимость программного обеспечения, отсутствие математической модели в явном виде.
Таким образом, разработка универсальных методов расчета межэлементного взаимодействия является актуальной задачей. В [4] рассмотрен итерационный подход к решению интегральных уравнений теории проволочных антенн на основе многошагового метода минимальных невязок. Здесь метод применялся непосредственно к общей матрице системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В [5] в качестве основы для расчета взаимодействия было предложено использование модификации метода Гаусса – Зейделя [6] для случая блочной матрицы СЛАУ. Сделан вывод, что предложенный метод может быть эффективен для расчета метаструктур, имеющих конечные размеры [7]. В [8] материалы статьи [5] были дополнены алгоритмами расчета элементов блочной матрицы СЛАУ для случая построения структуры из однотипных элементов, обладающих различными видами симметрий. Показано, что данные алгоритмы позволяют существенно сокращать время расчета.
В [9] рассмотрен вопрос использования метода [5] для расчета распределений токов на директорной антенне [10]. Показано, что для директорной антенны в исследуемом диапазоне частот метод обладает хорошей сходимостью.
В настоящей статье исследуются возможности использования итерационного подхода к решению внутренней задачи для симметричного вибратора с рефлектором из параллельных прямолинейных проводников. Вместе с этим представлен ключевой алгоритм расчета элементов блочной матрицы, имеющий линейную оценку сложности в зависимости от числа элементов рефлектора, даны рекомендации по выбору систем проекционных функций и учету имеющихся у структуры симметрий. Проведено исследование распределений токов, входного сопротивления и характеристик излучения рассматриваемой структуры.
1. Внутренняя электродинамическая задача для многоэлементной структуры
Рассмотрим излучающую либо переизлучающую структуру, образованную совокупностью элементов
В данной системе
Относительно неизвестных коэффициентов
Здесь
Здесь скобки
В общем случае, когда структура состоит из хаотично расположенных, отличных друг от друга элементов
Более эффективные методы расчета можно построить, опираясь на информативные параметры
- для текущих n,
на основе информативных параметров соответствующих элементов вычисляется ключ - выполняется поиск ключа
в - если ключ
обнаружен в k-й позиции вектора то - если ключ
не обнаружен в то вектор дополняется ключом вектор – матрицей а где – число элементов дополненного вектора
Ключевой алгоритм имеет малую вычислительную сложность, однако процедура формирования ключей существенно зависит от свойств структуры, ее элементов и не имеет однозначного решения.
2. Прямые и итерационные методы решения СЛАУ
Заключительным этапом решения внутренней задачи является решение блочной СЛАУ (3). Решать СЛАУ прямыми методами (методы LU-разложения, вращения, отражения, Гаусса и т. д. [6]) в случае использования базисных и тестовых функций универсального вида может быть нецелесообразным в силу ряда причин. Во-первых, даже для структур, содержащих не более сотни элементов, размерность матрицы будет довольно большой, а сложность решения пропорциональна третьей степени размерности. Также в данном случае будет наблюдаться накопление погрешностей округления [6]. Во-вторых, приведенный ранее алгоритм формирования внутренней задачи предполагает использование методов решения СЛАУ, не приводящих к модификации исходной блочной матрицы в процессе расчета или к выделению дополнительной памяти в размере, необходимом для хранения полной исходной блочной матрицы.
В качестве одного из альтернативных вариантов можно использовать итерационные методы, основанные на расщеплении матрицы (методы типа последовательной верхней релаксации [6]), однако в случае отсутствия диагонального преобладания в матрице
Достичь сходимости классических итерационных методов можно, рассматривая именно блочную СЛАУ (3) в предположении, что между элементами структуры отсутствует достаточно сильная связь. Под сильной будем понимать кондуктивную связь, или такую связь по полю, при которой найдется элемент, энергия наведенных полей на котором превышает энергию излучаемого им поля. Сильная связь по полю возможна, например, в резонансных случаях. Практически пригодность метода можно определить по наличию или отсутствию сходимости решения. Также на сходимость итерационного процесса существенным образом влияет выбор систем проекционных функций (СПФ). Оптимальным вариантом в данном случае представляется использование систем собственных функций входящих в структуру элементов или СПФ, близких к собственным функциям [11]. Вычисление собственных функций представляет собой вспомогательную задачу, сложность решения которой определяется числом уникальных объектов и их свойствами.
Применяя процедуру Гаусса – Зейделя [6] к блочной СЛАУ, можно записать следующую форму ее решения:
здесь и далее
– обращенные собственные матрицы и весовые матрицы соответственно; выступают в качестве матриц предобуславливателя.
В процедуре (6) можно также использовать более простой вариант
Здесь оператор
где
3. Интегральные представления электромагнитного поля тонкопроволочной многоэлементной структуры
Многоэлементная тонкопроволочная структура
где
здесь
– ядра ИП ЭМП;
– функция Грина для свободного пространства и ее производная соответственно;
Для
На каждой образующей справедливо граничное условие для идеального проводника:
Умножая поочередно (12) на тестовые функции
Конкретизируем способ вычисления интегралов в (13) с помощью процедуры сегментации проводников, предполагающей представление n-го проводника в виде совокупности
Здесь
В качестве базисных будем использовать взвешенные суммы функций, кусочно-постоянных в пределах каждого сегмента:
где
В качестве тестовых будем использовать взвешенные суммы дельта-функций Дирака
Такой подход можно рассматривать как обобщенный метод коллокаций [13]. Из представленных выражений видно, что в случае (15) роль весовых коэффициентов играют значения функций
Применяя приведенные выражения в (13) с учетом свойств дельта-функции, получаем формулы для расчета матричных коэффициентов и коэффициентов правой части СЛАУ с помощью конечных сумм:
здесь:
Традиционному методу коллокаций соответствует выбор:
где
4. Анализируемая излучающая структура
Рассматриваемая в статье структура является одним из вариантов панельной антенны, представляющей собой активный вибратор
В центре активного вибратора
Образующая любого проводника структуры может быть описана выражением:
здесь
Рис. 1. Геометрия исследуемой структуры
Fig. 1. Geometry of the structure under study
Используем ключевой алгоритм расчета массивов
После сегментации такой структуры к ней в полной мере становятся применимы выражения (3) и (17). Длины проводников подберем так, чтобы они состояли из равных сегментов длиной
- СПФ первого типа, учитывающие симметрию и способ возбуждения структуры:
Выражения (17) при этом приобретают вид:
В выражениях (23) и (24)
- СПФ второго типа, учитывающие симметрию и способ возбуждения структуры, а также вид собственных функций на ее отдельных элементах [11]:
5. Результаты численного моделирования
При проведении численного моделирования в качестве главного параметра, нормируемого к длине волны, была выбрана длина активного вибратора
На рис. 2 представлена визуализация структуры блочных матриц для различного числа элементов рефлектора. В центре каждого блока обозначено значение
Рис. 2. Структура блочных матриц в случае 5 (а), 9 (б), 15 (в) и 19 (г) элементов рефлектора; в центре блока обозначен номер вектора существенных элементов, оси абсцисс – индексы столбцов матриц, оси ординат – индексы строк матриц; на цветовой шкале отложены номер вектора существенных элементов
Fig. 2. Structure of block matrices in the case of 5 (a), 9 (b), 15 (c) and 19 (d) reflector elements; in the center of the block the number of the vector of essential elements is indicated, the abscissa axes are the indices of the matrix columns, the ordinate axes are the indices of the matrix rows; the number of the vector of essential elements is shown on the color scale
На рис. 3 показаны результаты исследования зависимости сходимости итерационного процесса (6) от
Рис. 3. Исследование сходимости итерационного процесса решения внутренней задачи для СПФ первого (а) и второго (б) типа; номер кривой соответствует числу элементов рефлектора
Fig. 3. Study of the convergence of the iterative process of solving the internal problem for SPF of the first (a) and second (b) types; the number of the curve corresponds to the number of elements
На рис. 4 представлено сравнение амплитудных распределений тока на активном вибраторе, полученных при
Рис. 4. Сравнение амплитудных распределений тока на правом плече активного вибратора, полученных различными методами для
Fig. 4. Comparison of amplitude current distributions on the right arm of the active vibrator, obtained by various methods for
На рис. 5 представлены зависимости нормированных максимальных амплитуд токов
Наибольшую амплитуду тока в нерезонансном случае имеет элемент рефлектора, расположенный непосредственно под активным вибратором, а наименьшую – крайние элементы рефлектора, однако в резонансном случае разница между максимальными амплитудами элементов рефлектора заметно уменьшается и уже не имеет прямой зависимости от расстояния до активного вибратора.
Рис. 5. Зависимость нормированных максимальных амплитуд токов на активном вибраторе (кривая «a») и элементах рефлектора (кривые 1–5, 1–10) от
Fig. 5. Dependence of the normalized maximum amplitude of currents on the active vibrator (curve «a») and reflector elements (curves 1–5, 1–10) on
На рис. 6, а приведен анализ зависимости корреляции форм амплитудных распределений тока на соседних элементах рефлектора от
здесь – номер элемента рефлектора. Исходя их представленного графика, можно сделать вывод о высокой степени схожести амплитудных распределений тока, которая существенно падает в резонансном случае для элементов рефлектора, находящихся ближе к его краям. Картина становится более контрастной в случае оценки невязки амплитудных распределений тока на соседних элементах рефлектора, оцениваемой с помощью формулы
Рис. 6. Зависимость степени корреляции
Fig. 6. Dependence of the degree of correlation
Соответствующие зависимости показаны на рис. 6, б. Здесь видно, что в нерезонансном случае наименьшую разницу амплитуд имеют соседние элементы рефлектора, расположенные под активным вибратором, при этом в резонансном случае рассматриваемая разность существенно увеличивается. В целом по результатам анализа графиков, представленных на рис. 5 и рис. 6, можно сделать вывод о гладкости рассмотренных зависимостей от
На рис. 7 приведена зависимость входного сопротивления активного вибратора от
Рис. 7. Зависимость действительной и мнимой части входного сопротивления активного вибратора при различном числе элементов рефлектора, число элементов и компонента входного сопротивления указаны в обозначении кривых
Fig. 7. Dependence of the real and imaginary parts of the input resistance of the active vibrator for different numbers of reflector elements, the number of elements and the input resistance component are indicated in the designation of the curves
Далее рассмотрим характеристики излучения структуры. Отметим, что представленная модель во многом является тестовой и изначально предназначалась для исследования сходимости итерационных процессов при решении внутренней электродинамической задачи. С практической точки зрения рефлектор должен минимизировать излучение структуры в нижнем полупространстве (обратное излучение). Однако в этом случае необходимо подбирать параметры структуры оптимальным образом, что не входило в задачи исследования. В нашем (общем) случае можно говорить о задаче дифракции на рефлекторе, возбуждаемом электромагнитным полем тонкого электрического вибратора. При этом сам рефлектор следует рассматривать как дифракционную решетку конечных размеров, обладающую резонансными свойствами вследствие конечной длины входящих в его состав элементов.
На рис. 8 представлены результаты сравнения нормированных меридианных диаграмм направленности (ДН), полученных различными методами для
На рис. 9 представлены результаты расчета нормированных меридианных ДН при тех же значениях
Рис. 8. Сравнение нормированных амплитудных меридианных ДН
Fig. 8. Comparison of normalized amplitude meridian patterns
Рис. 9. Сравнение нормированных амплитудных меридианных ДН
Fig. 9. Comparison of normalized amplitude meridian patterns
Заключение
В статье рассмотрен строгий подход к решению внутренней электродинамической задачи для многоэлементных структур, состоящих из однотипных элементов. В рамках подхода задача сводится к решению СЛАУ с блочной матрицей. Показано, что в силу геометрических особенностей рассматриваемых структур расчет блочной матрицы может быть существенно упрощен, так как она содержит множество одинаковых элементов. Рациональный выбор систем проекционных функций позволяет значительно сократить размер матрицы СЛАУ и, соответственно, вычислительные затраты на ее решение.
Предложенный подход применен для электродинамического анализа тестовой структуры, являющейся одним из вариантов панельной антенны, представляющей собой тонкий симметричный электрический вибратор, расположенный над рефлектором, образованным совокупностью тонких прямолинейных эквидистантно расположенных проводников. Приведен конкретный вариант реализации ключевого алгоритма расчета блочной матрицы. Показано, что расчет блочной матрицы с применением приведенного алгоритма имеет линейную, а не квадратичную оценку сложности, характерную для непосредственного расчета, что крайне важно в случае большого числа элементов рефлектора.
Учет симметрии структуры и выбор системы проекционных функций, близких к собственным функциям тонкого электрического вибратора, позволяет существенно сократить размер блоков матрицы СЛАУ, снижая сложность ее решения прямыми методами.
Для рассмотренной структуры с помощью различных алгоритмов осуществлено решение внутренней электродинамической задачи, проведен анализ распределений токов на элементах структуры, исследована сходимость итерационных процессов, построена частотная зависимость входного сопротивления и рассчитаны нормированные диаграммы направленности.
Показано, что, в отличие от исследованной ранее директорной антенны [9], итерационный процесс может расходиться вблизи частот, на которых наблюдаются резонансные явления в элементах структуры. Наиболее ярко этот момент проявляется вблизи частоты первого резонанса активного вибратора, а также вблизи частот первого и второго собственных резонансов элементов рефлектора. На остальных частотах сходимость итерационного процесса можно считать очень хорошей, а итерационный подход к решению внутренней задачи – эффективным. Таким образом, для рассматриваемой структуры наиболее рациональным представляется использование итерационного подхода к решению СЛАУ в нерезонансных случаях и прямого подхода – в резонансных. В дальнейшем решение проблемы сходимости для подобных структур авторы связывают с введением в итерационный алгоритм предобуславливающей матрицы, учитывающей резонансные эффекты.
Для полученных распределений тока был проведен анализ: корреляции форм амплитудных распределений тока на соседних элементах рефлектора, невязок амплитудных распределений тока на соседних элементах рефлектора, соотношений максимальных амплитуд тока на элементах структуры. Выявлено, что в нерезонансных случаях указанные характеристики довольно плавно зависят от а в резонансных случаях изменения становятся довольно резкими и непредсказуемыми.
Анализ зависимости входного сопротивления активного вибратора от показал, что наличие рефлектора в данном случае практически не влияет на входное сопротивление, которое практически полностью совпадает с аналогичными зависимостями для одиночного тонкого симметричного вибратора.
Исследование характеристик излучения рассмотренной структуры выявило, что увеличение числа элементов рефлектора при используемых параметрах моделирования ведет к существенному снижению лепестка обратного излучения с одновременным сужением последнего, однако с ростом скорость падения амплитуды обратного лепестка при увеличении числа элементов рефлектора уменьшается. Также представленную модель излучающей структуры можно использовать в качестве оптимизационной для получения соотношений параметров, позволяющих минимизировать уровень обратного лепестка излучения.
Подводя итог, отметим, что с практической точки зрения для структур, подобных рассмотренным, наибольший интерес представляют именно резонансные случаи, когда многие характеристики структур имеют неустойчивое поведение в частотной области, а общий итерационный подход к решению внутренней задачи не всегда обеспечивает сходимость к результату. Здесь актуальным представляется получение эффективных алгоритмов решения внутренней задачи с учетом физики происходящих в структурах процессов и проведением углубленного исследования поведения оператора соответствующей задачи в окрестности резонансных точек.
About the authors
Dmitry P. Tabakov
Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics
Author for correspondence.
Email: illuminator84@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-9173-4936
SPIN-code: 9666-0814
ResearcherId: Q-9888-2017
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Radioelectronic Systems
Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010Bassam Mohammed-Ali Al-Nozaili
Samara National Research University
Email: bassam_91@mail.ru
SPIN-code: 7368-7223
graduate student, assistant professor of the Department of Physics
Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086References
- S. A. Schelkunoff and H. T. Friis, Antennas Theory and Practice. New York: Wiley, 1952.
- R. F. Harrington, Field Computation by Moment Method. New York: Macmillan, 1968.
- R. H. Gallagher, Finite Element Analysis: Fundamentals. Hoboken: Prentice-Hall, 1974.
- A. S. Il’inskiy, O. Yu. Perfilov, and A. B. Samokhin, “Iterative method for solving integral equations of the theory of wire antennas,” Matematicheskoe modelirovanie, vol. 6, no. 3, pp. 52–59, 1994, url: https://www.mathnet.ru/rus/mm1848. (In Russ.)
- V. A. Neganov, I. Yu. Marsakov, and D. P. Tabakov, “The calculation of the interaction of elements metastructures based on the Gauss – Seidel method,” Physics of Wave Processes and Radio Systems, vol. 16, no. 3, pp. 6–16, 2013, url: https://elibrary.ru/item.asp?id=21007651. (In Russ.)
- N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, and G. M. Kobel’kov, Numerical Methods. Moscow: Laboratoriya bazovykh znaniy, 2000. (In Russ.)
- V. G. Veselago, “Electrodynamics of substances with simultaneously negative values of ε and μ,” Uspekhi fizicheskikh nauk, vol. 92, no. 3, pp. 517–526, 1967, doi: https://doi.org/10.3367/UFNr.0092.196707d.0517. (In Russ.)
- D. P. Tabakov, “Application of iterative procedures to electrodynamic analysis of metamaterials,” Radiotekhnika, no. 7, pp. 86–94, 2015. (In Russ.)
- D. P. Tabakov and B. M. A. Al-Nozaili, “Calculation of currents on multi-element radiating structures using the iterative method,” Radiotekhnika i elektronika, vol. 67, no. 7, pp. 651–659, 2022, url: https://elibrary.ru/item.asp?id=48867815. (In Russ.)
- A. L. Drabkin, V. L. Zuzenko, and A. G. Kislov, Antenna-Feeder Devices; 2nd ed., add. and rework. Moscow: Sov. radio, 1974. (In Russ.)
- D. P. Tabakov and A. G. Mayorov, “Approximation of the solution to the internal electrodynamic problem for a thin tubular vibrator using the eigenfunction method,” Trudy uchebnykh zavedeniy svyazi, vol. 5, no. 4, pp. 58–64, 2019, doi: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2019-5-4-58-64. (In Russ.)
- V. A. Kapitonov et al., “Integral representation of the electromagnetic field geometrically chiral structure,” Physics of Wave Processes and Radio Systems, vol. 15, no. 4, pp. 6–13, 2012, url: https://elibrary.ru/item.asp?id=19001844. (In Russ.)
- R. Mittra, Ed. Computational Methods in Electrodynamics; transl. E. L. Burshteyn, Ed. Moscow: Mir, 1977. (In Russ.)
- V. A. Strizhkov, “Mathematical modeling of electrodynamic processes in complex antenna systems,” Matematicheskoe modelirovanie, vol. 1, no. 8, pp. 127–138, 1989, url: https://www.mathnet.ru/rus/mm2614. (In Russ.)
Supplementary files
![](/img/style/loading.gif)