Electromagnetic TE- and TM-waves propagation in a plane waveguide covered with graphene characterized by nonlinear conductivity

Full Text

Введение

В настоящее время большое внимание уделяется изучению двумерных материалов и двумерных электронных компонентов. Среди прочих двумерных материалов особое место занимает графен, полученный экспериментально в 2004 г. Геймом и Новоселовым [1]. Графен представляет собой слой атомов углерода, образующих гексагональную решетку. Благодаря своей особой структуре графен обладает рядом уникальных электрических, тепловых, механических и оптических свойств, которые делают его весьма перспективным для различных применений [2]. Так, в фотонике и оптоэлектронике активно изучаются волноведущие структуры с графеном самых разных форм, начиная от простых прямоугольных и круглых цилиндрических волноводов и заканчивая волноводами весьма экзотических конфигураций, которые могут служить эффективными фотодетекторами, модуляторами, поляризаторами, сенсорами и т. д. [3].

Одним из наиболее важных свойств графена является его способность взаимодействовать с электромагнитными волнами в широком диапазоне частот, в частности, в диапазоне частот от 0,1 до 10 ТГц. Как известно, терагерцовые технологии находят широкое применение в различных областях науки и техники. Так, например, они используются для химического и биологического зондирования, формирования изображений в ближней зоне, спектроскопии, телекоммуникации и т. д. Однако разработка эффективных электрических компонентов, способных обрабатывать и передавать ТГц-волны, до сих пор остается серьезной проблемой, тормозящей развитие ТГц-технологий. Считается, что графен, обладающий почти чисто мнимой поверхностной проводимостью в этом диапазоне частот, может быть полезен для решения указанной проблемы [4; 5].

В работах [6; 7] впервые было теоретически предсказано, что графен должен обладать сильной кубической нелинейностью, обусловленной взаимодействием носителей заряда в графене с электромагнитным полем. С тех пор множество исследований выявили различные нелинейные свойства графена, включая насыщающееся поглощение и нелинейное преломление, генерацию высших гармоник и генерацию комбинационных гармоник. В частности, на технологически важных ТГц-частотах экспериментально было обнаружено насыщение поглощения в легированном графене [8] и генерация третьей гармоники [9].

В данной работе исследуется распространение монохроматических терагерцовых ТЕ- и ТМ-поляризованных волн в плоском диэлектрическом слое, покрытым с одной стороны слоем графена. Как известно, волноводные свойства графен-интегрированных структур имеют большое значение для различных приложений и исследовались многими авторами [10–16]. Так, в работах [10–12] изучалась возможность распространения ТЕ- и ТМ-поляризованных волн, локализованных на слое графена, с дисперсией в терагерцовом диапазоне электромагнитного излучения. Распространение электромагнитных волн, локализованных в плоской структуре, образованной двумя графеновыми слоями и разделяющим их тонким слоем диэлектрика, рассматривалось в работах [13–15]. В работе [16] авторы исследуют распространение электромагнитных волн в структуре, состоящей из набора чередующихся слоев диэлектрика и графена.

Настоящая работа имеет следующую важную особенность. Мы учитываем нелинейное взаимодействие графена с электромагнитной волной. Точнее, мы предполагаем, что проводимость графена представляет собой сумму двух членов: первый - константа, а второй зависит от квадрата модуля тангенциальной составляющей электрического поля. Такая нелинейность отвечает так называемым эффектам самовоздействия в графене. Другие нелинейные эффекты, такие как генерация высших гармоник, в нашем исследовании не рассматриваются. В работе получено дисперсионное уравнение, позволяющее для волновода с заданными характеристиками определить его постоянные распространения. Следует отметить, что для получения дисперсионного уравнения в явном виде мы вынуждены наложить некоторые ограничения на проводимость графена, которые более подробно обсуждаются ниже. Тем не менее дисперсионное уравнение, записанное в явном виде, является важным результатом. Исследуя это уравнение численно или аналитически, можно определить важные свойства рассматриваемой волноведущей структуры.

 

1. Электродинамическая постановка задачи

Рассмотрим монохроматические ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные волны

$(E,H)e^{i\gamma z-i\omega t},$ (1)

где  есть круговая частота; $\gamma$ – волновое число (постоянная распространения), $E$ и $H$ есть комплексные амплитуды, причем компоненты векторов $E,$ $H$ зависят лишь от одной (поперечной) пространственной координаты x, распространяющиеся в плоском диэлектрическом волноводе $\Sigma x\mathrm{,}z\in {ℝ}^2$$0\le x\le h\},$ расположенном между двумя полупространствами $x<0$ и $x>h.$ На границе $x=h$ волновода находится слой графена.

Волновод $\Sigma$ заполнен однородной изотропной средой, характеризующейся постоянной диэлектрической проницаемостью ${\epsilon }_2.$ Полупространства $x<0$ и $x>h$ заполнены однородными изотропными средами, которые характеризуются постоянными диэлектрическими проницаемостями ${\epsilon }_1$ и ${\epsilon }_3,$ соответственно, причем $1<{\epsilon }_1\le$${\epsilon }_3<{\epsilon }_2.$ Всюду магнитная проницаемость $\mu ={\mu }_0,$ где ${\mu }_0$ есть магнитная постоянная.

Комплексные амплитуды  $E,$ $H$  удовлетворяет уравнениям Максвелла

$\text{rot\hspace{0.05em}}-i\omega {\epsilon }_0\epsilon \mathrm{,}\text{\hspace{1em}rot\hspace{0.05em}}i\omega \mu \mathrm{,}$ (2)

где ${\epsilon }_0$ есть диэлектрическая постоянная и

$\epsilon \left(\begin{array}{c}{\epsilon }_1\mathrm{,}xh\mathrm{,}\\ {\epsilon }_2\mathrm{,}xh\mathrm{,}\\ {\epsilon }_3\mathrm{,}xh\mathrm{.}\end{array}\right.$

Амплитуды  $E,$ $H$ удовлетворяют условию затухания на бесконечности. Касательная составляющая вектора $E$ непрерывна на обеих границах волновода. Касательная составляющая вектора $H$ непрерывна на границе $x=\mathrm{0,}$ но терпит разрыв на границе $x=h$ с графеном так, что справедлива формула

${\left.\left[n,H^{+}-H^{-}\right]\right|}_{x=h}={\sigma }_g{\left.{}_{\tau }\right|}_{x=h},$

где скобка $[\ast \mathrm{,}\ast ]$ обозначает векторное произведение, $n=(1,0,0)$ есть единичный вектор нормали, направленный вдоль оси x, величины $H^{+}$ и $H^{-}$ есть значения магнитного поля соответственно над и под поверхностью $x=h,$ величина ${\sigma }_g$ есть поверхностная проводимость графена, $E_{\mathbf{\tau }}$ есть касательная составляющая электрического поля.

Проводимость графена ${\sigma }_g$ описывается формулой

${\sigma }_g{\sigma }^{}+{{{\sigma }^{}}_{\tau }}^2\mathrm{,}$

где ${\sigma }^{\left(1\right)}$ и ${\sigma }^{\left(3\right)}$ есть некоторые постоянные [6; 7].

Линейная часть ${\sigma }^{\left(1\right)}$ проводимости графена определяется по формуле

${\sigma }^{\left(1\right)}=i\mathrm{Im}{\sigma }_{\mathrm{int}ra},$ (3)

и  вычисляется по формуле

${\sigma }_{\mathrm{int}ra}$$\frac{2i{e}^2{k}_{b}T}{\pi {\hslash }^2\omega +i{\tau }^{-1}}$$\ln$$\left[2\cosh \left(\frac{{\mu }_c}{2k_{b}T}\right)\right],$

где $e$ есть заряд электрона; $k_b$ – постоянная Больцмана, $\hslash$ есть приведенная постоянная Планка; ${\mu }_c$ – химический потенциал; $T$ есть температура и $\tau$ – время релаксации носителей заряда в графене [17; 18]. Подчеркнем, что используемая нами формула для линейной проводимости графена является «приближенной». Во-первых, она не содержит слагаемого, отвечающего межзонной проводимости в графене. Это оправдано при энергиях фотонов $\hslash \omega <2{\mu }_c,$ поскольку межзонные переходы в этом случае заблокированы в силу принципа запрета Паули [19]. Указанное неравенство, как правило, выполняется в терагерцовом диапазоне частот. Во-вторых, мы пренебрегаем действительной частью внутризонной проводимости графена или, другими словами, не учитываем поглощения в графене. Это допустимо в терагерцовом диапазоне частот, где графен обладает сильным плазмонным откликом и гораздо меньшими потерями. Кроме того, отметим, что мнимая часть внутризонной проводимости положительна в терагерцовом диапозоне частот.

Для вычисления нелинейного коэффициента ${\sigma }^{\left(3\right)}$ предлагаются разные формулы [6; 7; 20]. В данном исследовании мы будем пспользовать формулу, представленную в работе [7]. В соответсвие с ней

${\sigma }^{\left(3\right)}-i\frac{3e^4{v}_F^2}{32{\omega }^3{\hslash }^2{\mu }_c}\mathrm{,}$ (4)

где $v_F\approx c/300$ есть скорость Ферми в графене, а $c$ есть скорость света в вакууме.

Задача заключается в нахождении таких значений волнового числа $\gamma ={\gamma }^{\text{'}},$ при которых существует электромагнитное поле (1), удовлетворяющее системе уравнениям Максвелла (2), условию затухания на бесконечности и всем приведенным выше условиям сопряжениям. Числа $\gamma ={\gamma }^{\text{'}}$ называются постоянными распространения волновода. Знание полного набора постоянных распространения необходимо при проектировании волноведущих структур.

Ниже будем использовать следующие обозначения

${\theta }_1\gamma \sqrt{{\gamma }^2-k_0^2{\epsilon }_1}\mathrm{,}{\theta }_2\gamma \sqrt{k_0^2{\epsilon }_2-{\gamma }^2},$ (5)

${\theta }_3\gamma \sqrt{{\gamma }^2-k_0^2{\epsilon }_3},$

где

$k_0^2={\omega }^2{\mu }_0{\epsilon }_0.$ (6)

 

2. ТЕ-волны

Пусть электромагитные волны (1) ТЕ-поляризованы, т. е. комлексные амлпитуды $E$ и $H$ имеют вид

$E=$$(0, E_y(x),0),$ $H=\left(H_x\right(x), 0,H_z(x\left)\right).$

В этом случае задача о распространении электромагнитных волн сводится к задаче ${\mathcal{P}}_{\text{TE}},$ которая заключается в нахождении $\gamma =\widehat{\gamma }>$$k_0\sqrt{{\epsilon }_3},$ таких, что существует решение $Y\equiv Y\left(x\widehat{\gamma }\right)$ дифференциального уравнения

${\gamma }^{2}Y\left(x\right)-{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=k_0^2{\epsilon }_{2}Y\left(x\right),$

где $Y\left(x\right):={\text{E}}_y\text{(}x),$ удовлетворяющее краевым условиям

$Y^{\text{'}}\left(0\right)-{\theta }_1\left(\gamma \right)Y\left(0\right)=0,$ (7)

$Y^{\text{'}}\left(h\right)+$${\theta }_3\left(\gamma \right)Y\left(h\right)$$=-120\pi i{k}_0$ $({\sigma }^{\left(1\right)}+{\sigma }^{\left(3\right)}{Y}^2(h\left)\right)Y\left(h\right),$

где ${\theta }_1\mathrm{,}$ ${\theta }_3$ и $k_0$ определены в (5) и (6), соответственно.                                                                

Кроме того, мы вводим дополнительное условие для нахождения дискретного набора решений задачи, что соответствует физическому процессу распространения волн в волноведущих структурах. В качестве такого условия выберем

$Y\left(0\right)=A_{\text{TE}}\mathrm{,}$

где $A_{\text{TE}}$ есть некоторая постоянная.

Задачу ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ можно отнести к специальному классу задач на собственные значения с некоторым дополнительным условием. Число $\widehat{\gamma },$ являющееся решением задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TE}},$ будем называть собственным значением задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TE}},$ а функцию $Y(x;\widehat{\gamma )}$ будем называть собственной функцией задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}.$

Поскольку условие (7) содержит кубический член $Y^3\left(h\right),$ то задача ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ является нелинейной. Она представляет новый класс нелиненейных задач с нелинейными граничными условиями.

Если в (7) положить ${\sigma }^{\left(3\right)}=0,$ то задача ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ вырождается в линейную задачу. Назовем ее задачей ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0.$ Подчеркнем, что условие (7) в линейной задаче ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0$ не требуется и потому может быть опущено.

Задача ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0$ также, как и задача ${\mathcal{P}}_{\text{TE}},$ описывает распространение монохроматической ТЕ-поляризованной волны в плоском диэлектрическом волноводе, покрытом слоем графена, который харакетризуется линейной поверхностной проводимостью.

Решая представленное выше уравнения и используя краевые условия, получаем для задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ дисперсионное уравнение вида

$ctg{\theta }_{2}h=-\frac{{\phi }_1}{{\theta }_2{\phi }_2},$ (8)

где ${\theta }_2$ определена в (3), а ${\phi }_1\equiv {\phi }_1\left(\gamma \right),$ ${\phi }_2\equiv {\phi }_2\left(\gamma \right)$ определяются как

${\phi }_1\left(\gamma \right)=-{\theta }_2^2+{\theta }_1{\theta }_3-k_0\left|{\overline{\sigma }}_1\right|{\theta }_1+$

$+k_0\alpha {\theta }_1{\theta }_2^{-2}({\theta }_1^2{\sin }^2{\theta }_{2}h+3{\theta }_2^2{\cos }^2{\theta }_{2}h),$

${\phi }_2\left(\gamma \right)={\theta }_1+{\theta }_3-k_0\left|{\overline{\sigma }}_1\right|+$

$+k_0\alpha {\theta }_2^{-2}(3{\theta }_1^2{\sin }^2{\theta }_{2}h+{\theta }_2^2{\cos }^2{\theta }_{2}h);$

здесь  ${\overline{\sigma }}_1=120\pi {\sigma }^{\left(1\right)},$ $\alpha =\left|{\overline{\sigma }}_3\right|A_{TE}^2,$ ${\overline{\sigma }}_3=120\pi {\sigma }^{\left(3\right)},$ где $A_{TE}$ есть значение касательной компоненты вектора  на границе  Дисперсионное уравнение (8) позволяет для ТЕ-волны заданной частоты и волновода заданной толщины определить постоянные распространения волновода (прочие параметры также считаются фиксированными).

Касательная компонента электрического поля $Y\left(x\right)$ определяется по формуле

$Yx{A}_{\text{TE}}{\theta }_2^{-1}{\theta }_1\sin {\theta }_{2}x+{\theta }_2\cos {\theta }_{2}x$

Задача ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ исследована в работе [21], где получено дисперсионное уравнение, аналогичное уравнению (8). Однако, в работе [21] дисперсионное уравнение записано несколько в ином виде, а именно, используя величины, нормированные на $k_0,$ см. формулу (6), что может быть неудобно для таких расчетов, в которых фиксирована толщина волновода и изменяется частота электромагнитной волны. Уравнение (8) этого недостатка не имеет.

Исследуя уравнение (8), можно получить достаточные условия для параметров волновода, при которых в нем могут распространяться монохроматические ТЕ-поляризованные электромагнитные волны. Следующие два утверждения дают такие условия.

Утверждение 1. Пусть $n>0$ есть некоторое целое число. Если параметры волновода $\Sigma$  удовлетворяют условиям

${\epsilon }_3\ge {{\overline{\sigma }}_1}^2+{\epsilon }_1\mathrm{,}h\ge \frac{\pi n+}{\sqrt{{\epsilon }_2-{\epsilon }_3}}{k}_0^{-1}\mathrm{,}$

то существует по-крайней мере $n$ постоянных распространения ${\widehat{\gamma }}_n\in \Gamma :=$$\sqrt{k_0{\epsilon }_3}\mathrm{,}\sqrt{k_0{\epsilon }_2}$ отвечающих $n$ собственным модам волновода $\Sigma .$

Утверждение 2. Пусть $n>0$ есть некоторое целое число. Если параметры волновода $\Sigma$ удовлетворяют условиям

$\alpha \ge {\overline{\sigma }}_{1}h\ge \frac{\pi n+\sqrt{3\alpha +{\overline{\sigma }}_1}}{\sqrt{3\alpha {\epsilon }_2-{\epsilon }_1}}{k}_0^{-1}\mathrm{,}$

 то существует по-крайней мере  постоянных распространения ${\widehat{\gamma }}_n\in \Gamma :=$$\sqrt{k_0{\epsilon }_3}\mathrm{,}\sqrt{k_0{\epsilon }_2}$ отвечающих $n$ собственным модам волновода $\Sigma .$

Стоит отметить, что второе условие в последней формуле можно заменить более грубым, но в то же время и более простым неравенством вида

$h⩾\frac{2\pi n+}{\sqrt{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}}{k}_0^{-1}\mathrm{.}$

 

3. ТМ-волны

Пусть электромагитные волны (1) ТМ-поляризованы, т. е. комлексные амлпитуды $E$ и $H$ имеют вид

${\text{E=(E}}_x\text{(}x),0,{\text{E}}_z\text{(}x)), H=(0,{\text{H}}_y\text{(}x),0).$

В этом случае задача о распространении электромагнитных волн сводится к задаче ${\mathcal{P}}_{\text{TM}},$ которая заключается в нахождении $\gamma =\widehat{\gamma }>$$k_0\sqrt{{\epsilon }_3},$ таких, что существуют функции $X\equiv X(x;\widehat{\gamma }),$ $Z\equiv Z(x;\widehat{\gamma }),$  удовлетворяющие системе уравнений

$\left(\begin{array}{c}-{Z^{\text{'}}}^{\text{'}}+\gamma X^{\text{'}}{k}_0^2{\epsilon }_{2}Z\mathrm{,}\\ -Z^{\text{'}}+\gamma X{k}_0^2{\gamma }^{-1}{\epsilon }_{2}X\mathrm{,}\end{array}\right.$

где $Xi{\text{E}}_x\left(x\right),$ $Z{\text{E}}_z\left(x\right),$ и краевым условиям

${\epsilon }_2\theta \left(\gamma \right)X\left(0\right)-{\epsilon }_1\gamma Z\left(0\right)=0,$ (9)

${\epsilon }_2{\theta }_3\left(\gamma \right)X\left(h\right)+{\epsilon }_3\gamma Z\left(h\right)=$

$=-120\pi i{k}_0^{-1}\gamma {\theta }_3\left(\gamma \right)({\sigma }^{\left(1\right)}+{\sigma }^{\left(3\right)}{Z}^2(h\left)Z\right(h),$

где  ${\theta }_1\left(\gamma \right),$ ${\theta }_3\gamma$ и $k_0$ определены выше. 

Кроме того, мы вводим дополнительное условие для нахождения дискретного набора решений задачи, что соответствует физическому процессу распространения волн в волноведущих структурах. В качестве такого условия выберем

$X\left(0\right)\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}{A}_{\text{TM}},$

где $A_{\text{TM}}$ есть некоторая постоянная.

Задачу ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}$ также как и задачу ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ можно отнести к специальному классу задач на собственные значения, где вводится некоторое дополнительное условие. Число $\widehat{\gamma }$ будем называть собственным значением задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TM}},$ а функции $X(x;\widehat{\gamma }),$ $Z(x;\widehat{\gamma })$  – собственными функциями задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}.$

Если в (9) положить ${\sigma }^{\left(3\right)}=0$ то задача ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}$ вырождается в линейную задачу, которую назовем задачей ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0.$ Заметим, что условие (9) в линейной задаче ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0$ не требуется и потому может быть опущено.

Задача ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0$ также как и задача ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}$ описывает распространение монохроматической ТМ-поляризованной волны в плоском диэлектрическом волноводе, покрытом слоем графена, который харакетризуется линейной поверхностной проводимостью.

Решая указанную выше систему уравнений и используя краевые условия, получаем для задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}$ дисперсионное уравнение вида

$ctg{\theta }_{2}h=\frac{{\psi }_1}{{\epsilon }_2{\theta }_2{\psi }_2},$ (10)

где ${\psi }_1\equiv {\psi }_1\left(\gamma \right),$ ${\psi }_2\equiv {\psi }_2\left(\gamma \right)$  определяются как

${\psi }_1\left(\gamma \right)=$$={\epsilon }_1\left(k_0^2{\epsilon }_3{\theta }_2^2-k_0\left|{\overline{\sigma }}_1\right|{\theta }_2^2{\theta }_3\right)+$

$+k_0\beta \frac{{\epsilon }_1{\theta }_2^2{\theta }_3}{{\epsilon }_2^2{\gamma }^2}\left({\epsilon }_1^2{\theta }_2^2{\sin }^2{\theta }_{2}h+3{\epsilon }_2^2{\theta }_1^2{\cos }^2{\theta }_{2}h\right)-$

$-k_0^2{\epsilon }_2^2{\theta }_1{\theta }_3,$

${\psi }_2\left(\gamma \right)=$$k_0^2{\epsilon }_1{\theta }_3+{\theta }_1\left(k_0^2{\epsilon }_3-k_0\left|{\overline{\sigma }}_1\right|{\theta }_3\right)+$

$+k_0\beta \frac{{\theta }_1{\theta }_3}{{\epsilon }_2^2{\gamma }^2}\left({\epsilon }_2^2{\theta }_1^2{\cos }^2{\theta }_{2}h+3{\epsilon }_1^2{\theta }_2^2{\sin }^2{\theta }_{2}h\right);$

здесь $\beta =\left|{\overline{\sigma }}_3\right|A_{TM}^2,$ и $A_{TM}$ – значение нормальной составляющей $E$ слева от границы $x=\mathrm{0,}$ другие величины определены выше.

Компоненты электрического поля $X\left(x\right)$ и  определяются по формулам

$X\left(x\right)\frac{A_{\text{TM}}}{{\epsilon }_2{\theta }_2}({\theta }_1{\epsilon }_2\sin {\theta }_{2}x+{\epsilon }_1{\theta }_2\cos {\theta }_{2}x),$

$Z\left(x\right)\frac{A_{\text{TM}}}{{\epsilon }_2\gamma }({\epsilon }_2{\theta }_1\cos {\theta }_{2}x-{\epsilon }_1{\theta }_2\sin {\theta }_{2}x).$

Исследуя уравнение (10), можно получить достаточные условия для параметров волновода, при которых в нем могут распространяться монохроматические ТМ-поляризованные электромагнитные волны. Действительно, имеют место утверждения 3 и 4.

Утверждение 3. Пусть $n>0$ есть некоторое целое число. Если параметры волновода $\Sigma$ удовлетворяют условиям

${\epsilon }_3\ge {\overline{|\sigma }}_1\text{|}\sqrt{{\epsilon }_2-{\epsilon }_3}\mathrm{,}h\ge \frac{(n+1)\pi }{\sqrt{{\epsilon }_2-{\epsilon }_3}}{k}_0^{-1}\mathrm{,}$

 то существует не менее $n$ постоянных распространения ${\widehat{\gamma }}_n\in \Gamma ,$ отвечающих собственным модам волновода $\Sigma .$

Утверждение 4. Пусть $n>0$ есть некоторое целое число Если параметры волновода $\Sigma$ удовлетворяют условиям

${\epsilon }_3⩾\frac{{\epsilon }_1\beta }{\beta -{\overline{|\sigma }}_1|}\mathrm{,}\beta -{\overline{|\sigma }}_1|>0,$

$h⩾$$\frac{2\sqrt{{\epsilon }_2-{\epsilon }_3}(3\beta {\epsilon }_1^2+{\epsilon }_2^2|{\overline{\sigma }}_1\left|\pi \right(n+1)}{3\beta {\epsilon }_1^2{\epsilon }_2-{\epsilon }_3\left({\epsilon }_2^2\right|{\overline{\sigma }}_1|+3\beta {\epsilon }_1^2)}{k}_0^{-1}\mathrm{,}$

 то существует по-крайней мере $n$ постоянных распространения ${\widehat{\gamma }}_n\in \Gamma ,$ отвечающих собственным модам волновода $\Sigma .$

 

4. Численные результаты

Ниже представлены некоторые численные результаты.

В вычислениях мы использовали следующие значения для диэлектрических проницаемостей:  ${\epsilon }_1=1$, ${\epsilon }_2=11,7,$ ${\epsilon }_3=2,1025.$ Проницаемостью ${\epsilon }_2=11,7$ обладает кремний $\left(Si\right),$ а проницаемостью ${\epsilon }_3=2,1025$ обладает диоксид кремния ${\text{(SiO}}_2)$ [22; 23].

Для нахождения ${\sigma }^{\left(1\right)}$ и ${\sigma }^{\left(3\right)}$ соответственно по формулам (3) и (4) использовались следующие параметры:  ${\mu }_c=\mathrm{0,2}$ $eV,$ $T=300$ $K,$ $\tau =10$ ps. Время релаксации $\tau$ носителей заряда в графене выбрано в соответствие с [24].

На рис. 1–4 представлены дисперсионные кривые для рассматриваемого плоского волновода с графеновым покрытием. Как известно, дисперсионные кривые строятся как зависимость волнового числа (постоянной распространения) либо от частоты волны $\omega$ либо от толщины волновода h. Мы построили обе этих зависимости. На рис. 1 и 2 представлена зависимость $\gamma \equiv \gamma \left(\omega \right)$ при фиксированной толщине волновода, а на рис. 3 и 4 представлена зависимость  при фиксированной частоте электромагнитной волны.

Вертикальная прямая $\omega /2\pi =4$ на рис. 1, 2 отвечает соответственно ТЕ- и ТМ-поляризованным волнам с частотой 4 ТГц. Вертикальная прямая $h=20$ мкм на рис. 3, 4 соответствует волноводу толщиной 20 мкм. Точки пересечения дисперсионных кривых с этими прямыми, обозначенные на рисунках ромбами, являются постоянными распространения волновода.

 

Рис. 1. Дисперсионные кривые задач ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ (синие) и ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0$ (красные) для волновода толщиной $h=20$ мкм. Ромбами обозначены постоянные распространения ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,54,}$ ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,59}$ (в нелинейном режиме) и ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,89,}$ ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,64}$ (в линейном режиме) волновода

Fig. 1. Dispersion curves of problems  ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ (blue) and ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0$ (red) for a waveguide of thickness  $h=20$ $\mu m.$ Diamonds denote propagation constants ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,54,}$ ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,59}$  (in the nonlinear regime) and ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,89,}$ (in the linear one) of the waveguide

 

Рис. 2. Дисперсионные кривые задач ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}$ (синие) и ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0$ (красные) для волновода толщиной $h=20$ мкм. Ромбами обозначены постоянные распространения ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,4,}$ ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,65}$ (в нелинейном режиме) и ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,25,}$ ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,42}$ (в линейном режиме) волновода

Fig. 2. Dispersion curves of problems ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}$ (blue) and ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0$ (red) for a waveguide of thickness $h=20$ $\mu m.$ Diamonds denote propagation constants ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,4,}$ ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,65}$ (in the nonlinear regime) and  ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,25,}$ (in the linear one) of the waveguide

 

Рис. 3. Дисперсионные кривые задач ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ (синие) и ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0$ (красные) для электромагнитной волны с частотой $\omega =8\pi$ ТГц. Ромбами обозначены постоянные распространения ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,54,}$ ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,59}$ (в нелинейном режиме) и ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,89,}$ ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,64}$ (в линейном режиме) волновода 

Fig. 3. Dispersion curves of problems ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ (blue) and ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0$ (red) for an electromagnetic wave with frequency $\omega =8\pi$ THz. Diamonds denote propagation constants ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,54,}$ ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,59}$ (in the nonlinear regime) and ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,89,}$ ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,64}$ (in the linear one) of the waveguide

 

Рис. 4. Дисперсионные кривые задач ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}$(синие) и ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0$(красные) для электромагнитной волны с частотой $\omega =8\pi$ ТГц. Ромбами обозначены постоянные распространения ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,4,}$ ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,65}$ (в нелинейном режиме) ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,25,}$ ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,42}$ и (в линейном режиме) волновода

Fig. 4. Dispersion curves of problems ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}$ (blue) and ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0$ (red) for an electromagnetic wave with frequency $\omega =8\pi$ THz. Diamonds denote propagation constants ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,4,}$ ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,65}$ (in the nonlinear regime) ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,25,}$ ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,42}$ and    (in the linear one) of the waveguide

На рис 5–7 представлены компоненты электрического поля – функция  в случае ТЕ-поляризации и    в случае ТМ-поляризации – для постоянных распространения, отмеченных на рис. 1–4 ромбами.

 

Рис. 5. Касательная компонента $E_y$ электрического поля для постоянной распространения ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,54}$ (синяя кривая) в нелинейном режиме (задача ${\mathcal{P}}_{\text{TE}})$ и постоянной распространения ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,89}$ (красная кривая) в линейном режиме (задача ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0),$ которые отмечены на рис. 1, 3 синим и красным ромбами

Fig. 5. Tangential component $E_y$ of electric field for propagation constant ${\widehat{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,54}$ (blue curve) in the nonlinear regime (problem ${\mathcal{P}}_{\text{TE}})$ and propagation constant ${\tilde{\gamma }}_1\approx \mathrm{1,89}$ (red curve) in the linear regime (problem ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0),$  which are denoted in figs. 1, 3 by blue and red diamonds

 

Рис. 6. Компонента $i{E}_x$ электрического поля для постоянной распространения ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,65}$ (синяя кривая) в нелинейном режиме (задача ${\mathcal{P}}_{\text{TM}})$ и постоянной распространения ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,44}$ (красная кривая) в линейном режиме (задача ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0),$ которые отмечены на рис. 2, 4 синим и красным ромбами

Fig. 6. Component $i{E}_x$ of the electric field for propagation constant ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,65}$ (blue curve) in the nonlinear regime (problem ${\mathcal{P}}_{\text{TM}})$ and propagation constant ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,44}$ (red curve) in the linear regime (problem ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0),$ which are denoted in figs. 2, 4 by blue and red diamonds

 

Рис. 7. Компонента $E_z$ электрического поля для постоянной распространения ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,65}$ (синяя кривая) в нелинейном режиме (задача ${\mathcal{P}}_{\text{TM}})$ и постоянной распространения ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,44}$ (красная кривая) в линейном режиме (задача ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0),$ которые отмечены на рис. 2, 4 синим и красным ромбами

Fig. 7. Component $E_z$ of the electric field for propagation constant ${\widehat{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,65}$ (blue curve) in the nonlinear regime (problem ${\mathcal{P}}_{\text{TM}})$ and propagation constant ${\tilde{\gamma }}_2\approx \mathrm{2,44}$ (red curve) in the linear regime (problem ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0),$ which are denoted in figs. 2, 4 by blue and red diamonds

 

Заключение

В данной работе, используя аналитический подход, исследовано распространение монохроматических ТЕ- и ТМ-поляризованных электромагнитных волн в плоском диэлектрическом слое, покрытом графеном. Важной особенностью данного исследования является учет кубической нелинейности графена, отвечающей так называемым эффектам самовоздействия, которые не влияют на частоту падающей электромагнитной волны.

В работе получены в явном виде пара дисперсионных уравнений (для ТЕ- и ТМ-волн), вполне описывающих волноводные свойства рассматриваемой структуры. Исследуя эти уравнения аналитически, найдены условия на параметры волновода, обеспечивающие существование заданного числа волноводных мод.

Численные результаты, представленные в данной работе, дают некоторое представление о том, как нелинейность графена влияет на электромагнитные волны, распространяющие в структуре. Например, на рис. 1, 3 видно, что синие дисперсионные кривые задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}$ расположены ниже, чем красные дисперсионные кривые задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TE}}^0.$ На рис. 2, 4 видно, что синие дисперсионные кривые задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}$ расположены выше, чем красные дисперсионные кривые задачи ${\mathcal{P}}_{\text{TM}}^0.$ Принимая во внимание связь между волновым числом и длиной волны, получается, что в плоском диэлектрическом волноводе с графеновым покрытием в сильном нелинейном режиме распространяются ТЕ-волны с большей длиной волны и ТМ-волны с меньшей длиной волны по сравнению с ТЕ- и ТМ-волнами, распространяющимися в том же волноводе в линейном режиме. Кроме того, сильная нелинейность графена приводит к большей локализации электромагнитного поля внутри волновода, см. рис. 5–7.

About the authors

Yury G. Smirnov

Penza State University

Author for correspondence.
Email: smirnovyug@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9040-628X
SPIN-code: 1415-9378
Scopus Author ID: 8341

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Mathematics and Supercomputing

Russian Federation, Penza, Krasnay Street 40, 440026

Stanislav V. Tikhov

Penza State University

Email: Tik.Stanislav2015@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-8495-0569
SPIN-code: 7767-2367
Scopus Author ID: 1052340

PhD student of the Department of Mathematics and Supercomputing

Russian Federation, Penza, Krasnay Street 40, 440026

References

Supplementary files